核心素養(yǎng)提升練五十三雙曲線(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2018·邢臺(tái)模擬)雙曲線x2-4y2=-1的漸近線方程為 ()A.x±2y=0 B.y±2x=0C.x±4y=0 D.y±4x=0【解析】選A.由已知,雙曲線為-x2=1,所以其漸近線方程是-x2=0,即x±2y=0.2.(2018·石家莊模擬)若雙曲線M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,P為雙曲線M上一點(diǎn),且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,則雙曲線M的離心率為()A.3 B.2 C. D.【解析】選D.P為雙曲線M上一點(diǎn),|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=10,所以雙曲線的離心率為e==.3.已知曲線-=1(a>0,b>0)為等軸雙曲線,且焦點(diǎn)到漸近線的距離為,則該雙曲線的方程為 ()A.x2-y2= B.x2-y2=1C.x2-y2= D.x2-y2=2【解析】選D.由已知,若曲線-=1(a>0,b>0)為等軸雙曲線,則a2=b2,c==a,即焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(±a,0);漸近線方程為x±y=0,若焦點(diǎn)到漸近線的距離為,則=a=,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,即x2-y2=2.4.已知雙曲線-=1的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x+y=5上,則雙曲線的漸近線方程為 ()A.y=±x B.y=±xC.y=±x D.y=±x【解析】選B.由已知,雙曲線的方程為-=1,其焦點(diǎn)在x軸上,直線x+y=5與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,0),所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),9+m=25,解得m=16,所以雙曲線的方程為-=1,漸近線方程為y=±x.5.已知雙曲線-=1(b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為 ()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1【解析】選D.不妨設(shè)A(x0,y0)在第一象限,由已知由①③得=,④所以=×=,⑤由②④⑤得b2=12.所以雙曲線的方程為-=1.6.設(shè)F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線依次與雙曲線C的左、右支交于點(diǎn)P,Q,若|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,則該雙曲線的離心率為 ()A. B.1+C.2+ D.4+2【解析】選B.∠PQF=60°,因?yàn)閨PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,連接F1P,F1Q,由對(duì)稱性可知,四邊形F1PFQ為矩形,|F1F|=2|QF|,|QF1|=|QF|,所以e====+1.7.(2019·棗莊模擬)已知雙曲線C1:-y2=1,雙曲線C2:-=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,M是雙曲線C2的一條漸近線上的點(diǎn),且OM⊥MF2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OMF2的面積S=16,且雙曲線C1,C2的離心率相同,則雙曲線C2的實(shí)軸長(zhǎng)是 ()A.32 B.16 C.8 D.4【解析】選B.雙曲線C1:-y2=1的離心率為,設(shè)F2(c,0),雙曲線C2一條漸近線方程為y=x,則|F2M|==b,即|OM|==a,由S=16得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,解得a=8,b=4,c=4,即雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2017·北京高考)若雙曲線x2-=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m=________.

【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知a=1,b2=m,c=,所以雙曲線的離心率e===,1+m=3,解得m=2.答案:2【變式備選】(2018·深圳模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,一條漸近線方程為x-2y=0,則它的離心率為 ()A. B. C. D.2【解析】選A.設(shè)雙曲線的方程是-=1(其中a>0,b>0),則漸近線方程是y=±x,由已知=,即b=2a,所以離心率e===.9.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)雙曲線-=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,則a=________.

【解析】因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0),所以雙曲線的漸近線方程為y=±x,又雙曲線的一條漸近線方程為y=x,所以a=5.答案:510.(2018·沈陽(yáng)模擬)設(shè)橢圓C1的離心率為,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26,若雙曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.

【解析】由已知知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-5,0),F2(5,0),設(shè)雙曲線C2上的一點(diǎn)P,則||PF1|-|PF2||=8.由雙曲線的定義知,a=4,b=3.所以雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.即-=1.答案:-=1(15分鐘25分)1.(5分)(2018·新余模擬)雙曲線-=1(a≠0)的漸近線方程為 ()A.y=±2x B.y=±xC.y=±4x D.y=±x【解析】選A.由雙曲線的漸近線方程知,y=±x=±2x.2.(5分)(2018·武漢模擬)雙曲線Γ:-=1(a>0,b>0)的焦距為10,焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,則Γ的實(shí)軸長(zhǎng)等于________.

【解析】由題意知其中一個(gè)焦點(diǎn)為(0,5),雙曲線的焦點(diǎn)(0,5)到漸近線y=x,即ax-by=0的距離為==b=3,所以a=4,2a=8.答案:83.(5分)已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)_______.

【解析】如圖所示,設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,因?yàn)閨MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2,C1的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|=6,又根據(jù)雙曲線的定義,得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大,與C1的距離小),其中a=1,c=3,所以b2=8,所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2-=1(x≤-1).答案:x2-=1(x≤-1)4.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:y=x與直線l2:y=-x之間的陰影部分記為W,區(qū)域W中動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到l1,l2的距離之積為1. (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程.(2)動(dòng)直線l穿過(guò)區(qū)域W,分別交直線l1,l2于A,B兩點(diǎn),若直線l與軌跡C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求證:△OAB的面積恒為定值.【解析】(1)由已知·=1,|(x+y)(x-y)|=2.因?yàn)辄c(diǎn)P在區(qū)域W內(nèi),所以x+y與x-y同號(hào),(x+y)(x-y)=x2-y2=2,即點(diǎn)P的軌跡C的方程為-=1.(2)設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)D,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),|OD|=,|AB|=2,得S△OAB=|AB|·|OD|=2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+m,顯然k≠0,則D-,0,把直線l的方程與C:x2-y2=2聯(lián)立得