黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高考考前模擬數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為100分，

分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）

-A-甲?乙

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)

2.設(shè)集合M={X，+3%+2>0},集合N={X|（；）Y4},則MeN=（）

A.-2}B.{尤|尤>-1}C.1x|x<-2}D.R

a.a>b

1g(x)=c12，則函數(shù)/(x)=/(x)?g(x)的最小值

3.定義a③b=<,7,已知函數(shù)/(X)=C.2

b.a<b2-sinx2-cosx

為()

24

A.-B.1C.-D.2

33

4.已知耳、罵分別為雙曲線C：與—4=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，過耳的直線/交C于A、B兩點(diǎn),。

ab

為坐標(biāo)原點(diǎn)，若。4,8耳，|4&|=|8修|,則C的離心率為（）

A.2B.45C.76D.小

5.已知復(fù)數(shù)z滿足￡巨=2-，（其中三為z的共輯復(fù)數(shù)），貝!]忖的值為（）

1—Z

A.1B.2C.73D.V?

6.一小商販準(zhǔn)備用50元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進(jìn)價(jià)4元，乙每件進(jìn)價(jià)7元，甲商品每賣出

去1件可賺1元，乙商品每賣出去1件可賺1.8元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為

（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

7.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿

意程度，用分層抽樣的方法抽取30%的戶主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為

圖2

A.240,18B.200,20

C.240,20D.200,18

8.已知關(guān)于x的方程gsinx+sine-X卜加在區(qū)間[0,2乃）上有兩個(gè)根X1,馬，且上一司上不，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍是（）

A.0,；）B.[1,2）C.[0,1）D.[0,1]

9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,3},C={2,3,4,5},則（Ac5）uC=（）

A.[1,2,3,5}B.[1,2,3,4}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5）

10.已知正四面體ABC。的棱長為1,。是該正四面體外接球球心，且=+x,y,zeR,則

x+y+z=（）

31

A.-B.-

43

11

C.—D?一

24

■rr------.1-----1_

11.已知AABC為等腰直角三角形，A=?,BC=2叵，"為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且

則（）

「751

A.2J2—4B.——C.-----D.——

12.如圖,這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測試的班級(jí)平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）

甲班乙班

7958

7311013

2113

A.甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的平均水平高于乙班

B.甲班的數(shù)學(xué)成績的平均分比乙班穩(wěn)定

c.甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的中位數(shù)高于乙班

D.甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測試的總平均分是103

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知一組數(shù)據(jù)—1,1,0,-2,%的方差為10,則％=

14.在四面體ABC。中，AABZ）與ABDC都是邊長為2的等邊三角形，且平面A5D_L平面,則該四面體外接

球的體積為.

15.已知等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且犯,心生，4%成等差數(shù)列，則四2（。3+。4）-袖2（4+%）=.

16.甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生參加兩個(gè)企業(yè)的實(shí)習(xí)，每個(gè)企業(yè)兩人，貝!甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）橢圓E:「+==l（a〉6〉l）的左、右焦點(diǎn)分別為K,B，橢圓E上兩動(dòng)點(diǎn)RQ使得四邊形為

ab

平行四邊形，且平行四邊形PFQF?的周長和最大面積分別為8和.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線尸工與橢圓E的另一交點(diǎn)為〃，當(dāng)點(diǎn)片在以線段為直徑的圓上時(shí)，求直線尸工的方程.

18.（12分）—已知函數(shù)/（%）二1萬辦9之一（Q+i）x+]nx,〃￡7?.

（1）當(dāng)。=0時(shí)，求曲線/（X）在點(diǎn)（2,/（2））的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

19.（12分）設(shè)左eR,函數(shù)g（x）=Z:（無—e）,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

X

(1)設(shè)函數(shù)/(%)=

1-lnx

①若k=-l,試判斷函數(shù)/(X)與g(x)的圖像在區(qū)間(1,五)上是否有交點(diǎn)；

②求證：對(duì)任意的keR,直線y=g(x)都不是y=/(x)的切線；

(2)設(shè)函數(shù)〃(無)=2尤-尤lnx+xg(x)-efcx,試判斷函數(shù)/z(x)是否存在極小值，若存在，求出左的取值范圍；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

20.(12分)山東省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的

3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語，自主選擇的

3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、

數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名

來劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案,將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績從高到低分為-、

-_、------+-------共8個(gè)等級(jí)。參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為；：.、

一：、上一:、二?等級(jí)考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將二至二等級(jí)內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，

分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80,61-70>51-60、41-50、31-40、21-30八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績.

舉例說明.

某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，該學(xué)科二一等級(jí)的原始分分布區(qū)間為58?69,則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬二一等

級(jí).而二一等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61?70,那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：

設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為二，..，求得二、門-十

一Z-fl

四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績?yōu)?7.

(1)某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測試，其中物理考試原始成績

基本服從正態(tài)分布.

(i)若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，等級(jí)為二一,其所在原始分分布區(qū)間為82?93,求小明轉(zhuǎn)換后的

物理成績；

(ii)求物理原始分在區(qū)間一：的人數(shù)；

(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取4人，記二表示這4人中等級(jí)成績?cè)趨^(qū)間的人數(shù)，求二的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

（附：若隨機(jī)變量口~口（11口＞），則二（1二-二Y二〈二+二）=0.682'二（二一：二＜二，＜二+2二）=0954

二二一，二‘二：□+￡二=:.；；"）

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為

[y=sina

極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為P=-2sin8

（1）求曲線G的普通方程和曲線°2的普通方程；

（2）若P,Q分別為曲線G，上的動(dòng)點(diǎn)，求IPQI的最大值.

22.（10分）已知函數(shù)/1（x）=d,g（x）=xsinx+cosx.

（1）判斷函數(shù)g（x）在區(qū)間（0,21）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑵記函數(shù)/（九）在區(qū)間（0,2句上的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為%、%,求證：/h）+/（%2）＜0.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.

【詳解】

對(duì)于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,

故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；

對(duì)于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,

故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確;

對(duì)于C甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為

100+80+100+80+100+80310

6―亍

80+60+80+60+60+100250M十收

乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為—,故C正確；

63

對(duì)于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分，不是最強(qiáng)的，故D錯(cuò)誤；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

試題分析：由題M=卜、2+3x+2)0}={x|2或X)—1),

2V=1x|(1r<4j=<x|(1)x<Q^|>=N={x\x>-2},選D

考點(diǎn)：集合的運(yùn)算

3、A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得F(x)>/(%),F(x)>g(x),則2F(x)>/(x)+g(x)，再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的

形式，可求得函數(shù)的最小值.

【詳解】

依題意得下(x)N/(%),F(x)>g(x),則2尸(x)2f(x)+g(x),

11111

/(x)+g(x)=--------2—?---------2-=—(--------2—1---------2-)[Q—sin9x)+(2—cos9x)]

2-sin2x2-cos2x32-sin2x2-cos2x

22c,2

2-cosx2—sin：">l(2+2片cos62-sing=￡(當(dāng)且僅當(dāng)2-cosx2-sinx

=*+即

2-sin2x2-cos2x3V2-sin2x2-cos2x32-sin2x2-cos2x

1242

sin"9x=cos9'x=5時(shí)”=”成立.此時(shí),/(x)=g(x)=],2F(x)>-,F(x)的最小值為-,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出2/(x)?/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題.

4、D

【解析】

作出圖象，取中點(diǎn)E,連接E尸2,設(shè)尸M=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到。2=7壯，進(jìn)而得

到e的值

【詳解】

解：取A3中點(diǎn)E,連接EE：,則由已知可得8月尸2,FiA^AE^EB,

設(shè)尸M=x,則由雙曲線定義可得A尸2=2a+x,BFi-BF2=3x-2a-x=2a,

所以x=2a,貝！IE歹2=2右a,

由勾股定理可得(4a)2+(2Ba)2=(2c)2,

所以c2—7a2,

則e=—=y/l

a

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問題，關(guān)

鍵是列出含有中兩個(gè)量的方程，有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理，從而求出離心率.

5、D

【解析】

按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出再寫出z,進(jìn)而求出國.

【詳解】

1+z_(l+i)2_2i__.

口—(1-z)(l+z)一5一乙

/.——--z=2—i=i?Z=2—in~^=-----=—iQ—i)=—l—2i,

1-ii

z=—1+2i=|z|=J(-1)?+2。=逐.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軌復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.

【詳解】

4x+7y<50,

設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別x,V利潤為z元，由題意/z=x+L8y,

.x,y&N,

【點(diǎn)睛】

本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷了,y是否是整數(shù)，是否是非負(fù)數(shù)，并準(zhǔn)確的畫出

可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù).

【詳解】

樣本容量為：(150+250+400)x30%=240,

...抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為：240x150+^+400x40%=18.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合

理運(yùn)用.

8、C

【解析】

TT

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡，構(gòu)造新的函數(shù)y=2sin(x+-),將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問

6

題，畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合人-司24，解得機(jī)的取值范圍.

【詳解】

由題化簡得Gsinx+cosx=7〃，m=2sin(x+—),

6

TT

作出y=2sin(x+4)的圖象，

又由卜一印2萬易知OW/72<1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數(shù)形結(jié)合法，求得范圍.屬于中檔題.

9、D

【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.

【詳解】

解：A={1,3,5},8={1,2,3},C={2,3,4,5),

則(Ac5)uC={1,3}u{2,3,4,5}={1,2,3,4,5)

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

3

如圖設(shè)”，平面5CD,球心。在AE上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得AO=—AP,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,

重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出x+y+z的值.

【詳解】

如圖設(shè)"，平面BCD,球心。在A尸上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形5CD是正三角形,

=逅，在直角三角形中,

BF三

OB'=OF2+BF-=>0A2=(--AO)?"。=與

3

AO=-AF,AF=AB+BF，AF=AD+DF^AF=AC+CF>因?yàn)槭瑸橹匦?，因此?+尸。+￡0=0,則

4

AB+AC+AZ)),因此x=y—z——[,則x+y+z=—3,故A.

'4'4

【點(diǎn)睛】

本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.

11、D

【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可求得點(diǎn)〃的坐標(biāo)，進(jìn)而求得由平面向

量的數(shù)量積可得答案.

【詳解】

如圖建系，則A（0,0）,3（2,0）,C（0,2）,

|V

\、由+易得則

，，、r4/L）、乙乙）、乙乙）乙

AB

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)

算求解能力.

12、D

【解析】

計(jì)算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到ABC正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，。錯(cuò)誤，得到

答案.

【詳解】

由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4；

乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.

因?yàn)榧?、乙兩班的人?shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，故。錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、7或—8

【解析】

依據(jù)方差公式列出方程，解出即可.

【詳解】

Y—2

—1,1,0,-2,X的平均數(shù)為2——，

所以—J+（一一一j旬+[.旬卜1。

解得x=7或1=-8.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查方差公式的應(yīng)用.

r20V15

14、------n

【解析】

先確定球心的位置，結(jié)合勾股定理可求球的半徑，進(jìn)而可得球的面積.

【詳解】

取ABDC的外心為。1,設(shè)。為球心，連接則平面取5。的中點(diǎn)"，連接AM,O.M,過。

做OGLAM于點(diǎn)G,易知四邊形OOi"G為矩形，連接04,OC,設(shè)Q4=H,OQ=MG=/z.連接,則。一

M,C三點(diǎn)共線，易知朋A=MC=G，所以O(shè)G=MQ=遮，CQ=3后.在4AAG9和MA。。。中，

1313

+獷=爐，所以丸=立

GA1+GO2=<9A2,OC+a。=℃2,即便—=R2,

3

得心平.所以“飆二駕

n-

本題主要考查幾何體的外接球問題，外接球的半徑的求解一般有兩個(gè)思路：一是確定球心位置，利用勾股定理求解半

徑；二是利用熟悉的模型求解半徑，比如長方體外接球半徑是其對(duì)角線的一半.

15、-2

【解析】

根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得公比；代入表達(dá)式，結(jié)合對(duì)數(shù)式的化簡即可求解.

【詳解】

等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且3a2,g/，4囚成等差數(shù)列，

貝（］%=3a2+4q,

由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知qq?=3qq+4q,

所以/_3"4=0,

解得q=4或q=-l（舍），

所以由對(duì)數(shù)式運(yùn)算性質(zhì)可得

log2（a3+%）-/%（4+%）

,CLCJ2+aq3,1

=/暇彳工方}二/暇%

I1。

=log?-=-2?

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用，等比數(shù)列通項(xiàng)公式的用法，對(duì)數(shù)式的化簡運(yùn)算，屬于中檔題.

1

16、-

3

【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情況，代入概率計(jì)算公式.

【詳解】

解：甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生參加兩個(gè)企業(yè)的實(shí)習(xí)，每個(gè)企業(yè)兩人，共有年=6種，甲乙在同一個(gè)公司有兩種可能,

21

故概率為「=:=彳，

63

故答案為

3

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、(1)寧+4=1(2)3x+/v-3=0或3x-5-3=0

【解析】

(1)根據(jù)題意計(jì)算得到a=2,b=gc=\,得到橢圓方程.

6m

X+>22

(2)設(shè)/%：x=7利+1,。(不必),加(々,%)，聯(lián)立方程得到,，根據(jù)片P?耳"=0,計(jì)算得

到答案.

【詳解】

(1)由平行四邊形的周長為8,可知4a=8,即a=2.

由平行四邊形的最大面積為2g,可知6c=也，又a>b>l,解得人=6,c=l.

22

所以橢圓方程為上+乙=1.

43

(2)注意到直線尸工的斜率不為0,且過定點(diǎn)8(1,0).

設(shè)/%：兀=歿+1,尸(七,%),川(兀2，%)，

6m

X+%"a2：，

3m+4

由＜3^+4/-12消*得(3"+4)9+6沖—9=0,所以,

9

,為二二

3m2+4"

因?yàn)镕P=(my片以=

Xx+2,%),(my2+2,%)，

所以FP-RMm?加

}=(mj[+2)(mj2+2)+%%=(+1)M%+2(M+%)+4

9(m2+l)1247-9m2

3m2+43m2+43m2+4

因?yàn)辄c(diǎn)及在以線段PM為直徑的圓上，所以耳P?片"=0,即機(jī)=土立，

3

所以直線PF2的方程3x+J7y—3=0或3x——3=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓方程，根據(jù)直線和橢圓的位置關(guān)系求直線，將題目轉(zhuǎn)化為片尸?耳"=0是解題的關(guān)鍵.

18、(1)x+2y+2-21n2=0；(2)當(dāng)④0時(shí),/(?在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+w)上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜。＜1時(shí),/(%)

在(0,1)和(工,+8］上單調(diào)遞增，在［1,-

上單調(diào)遞減；當(dāng)。=1時(shí)，/⑺在(0,+s)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),/(工)在

\a)Ia

和(1,十》)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

【解析】

⑴根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

⑵易得函數(shù)定義域是(0,+8)，且/(x)=SKD.故分如0,0＜。＜1和。=1與。＞1四種情況，分別分析得極值

x

點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】

(1)當(dāng)a=0時(shí),/(x)=—x+Inx,/'(x)=—1+工,則切線的斜率為/f(2)=-1+-=--

x22

又/(2)=-2+ln2,則曲線f(x)在點(diǎn)(2,7(2))的切線方程是j-(-2+ln2)=-1(x-2),

即x+2y+2—2In2=0.

1

(2)/(%)=5以9一(a+l)%+lnx的定義域是(0,+oo).

「，/、/八1ax2~(a+l)x+1(6zx-l)(x-l)

/(x)=依一(4+1)+—=---------------=-------------

xxx

①當(dāng)火。時(shí),1V0,所以當(dāng)工￡(0,1)時(shí)J(%)>0；當(dāng)％e(l,+a))時(shí)J(%)v。,

所以在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,4w)上單調(diào)遞減;

②當(dāng)0<a<l時(shí),：〉1,所以當(dāng)xe(0,D和，,+s］時(shí),/'(x)>0；當(dāng)時(shí),/■'(x)<0,

所以/(x)在(0,1)和上單調(diào)遞增，在［1,J上單調(diào)遞減；

③當(dāng)。=1時(shí)」=1,所以(x)..0在(0,+8)上恒成立.所以/(元)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

a

④當(dāng)a>l時(shí),0<工<1,

a

所以xe［o,，］和(1,+8)時(shí),/'(%)>0；xe時(shí)J'(x)<0.

所以/(x)在國］和(1,+8)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)6,0時(shí),了⑴在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時(shí),/⑺在(0,1)和15+8］上單調(diào)遞

增，在，口上單調(diào)遞減；當(dāng)“=1時(shí),/W在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)。>1時(shí),〃x)在［0,\和(Ly)上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論，需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點(diǎn)，再根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)

系分類討論即可.屬于?？碱}.

19、(1)①函數(shù)/(x)與g(x)的圖象在區(qū)間(1,五)上有交點(diǎn)；②證明見解析；⑵左>0且心上；

2e

【解析】

(1)①令/(x)=/(x)-g(x),結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可；②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為無。，求出切線方程，得到

x0=2e—elnxQ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;

(2)求出/z(x)的解析式，通過討論上的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定左的范圍即可.

【詳解】

解：(1)①當(dāng)左=一1時(shí)，函數(shù)g(x)=f+e,

4-F(x)=f(x)-g(x)=+x-e,xe(l,&),

1—lnx

則/⑴=2-e<0,F(4e)=3s/e-e>0,

故㈤<0,

又函數(shù)尸(x)在區(qū)間(1,J7)上的圖象是不間斷曲線，

故函數(shù)F(x)在區(qū)間(1,J7)上有零點(diǎn)，

故函數(shù)/(x)與g(x)的圖象在區(qū)間Q&)上有交點(diǎn)；

②證明：假設(shè)存在keR,使得直線>=左(彳-6)是曲線y=/(x)的切線，

切點(diǎn)橫坐標(biāo)為％,且％e(0,e)L(e,+oo),

則切線y=/(%)在點(diǎn)％=/切線方程為V=f'(x0)(x-x0)+f(x0),

pn2-_2無。-巾啄+尤0

22

(Inx。~I)(l/vc0—I)1-lnxQ

2-lnx2xo7()/g)?%=履

從而％=0

229

(Znx0—I)(lwc0-I)1-lnxQ

消去左，得見=2e-e/%,故玉)=e滿足等式,

令5(%)=%0+,所以式^)=1+一,

兀0

故函數(shù)s(1)在(0,e)和(e,+8)上單調(diào)遞增，

又函數(shù)$(%)在/=e時(shí)s(e)=0,

故方程x0=2.e-elnxQ有唯一解x0-e,

又占?(0,6)(e,+oo),

故天不存在，即證;

(2)由h(x)=2x—xlnx+xg(x)—ekx=2x-xlrvc+kx1-2&x得,

%>0,fi'(x)=1—Inx+2k(x—e),

m(x)=\-lnx+2k{x-e),

2kx—1

則mr(x)=2k—

⑴當(dāng)鼠。時(shí)，〃(%)遞減，

故當(dāng)無￡(0,e)時(shí),h\x)>0,力(%)遞增,

當(dāng)xw(e,+oo)時(shí)，〃(%)<0,h(x)遞減，

故飄元)在％=e處取得極大值，不合題意；

⑺無>0時(shí),則見尤)在(0上)遞減，在』,+8)遞增,

2k2k

①當(dāng)0</<J-時(shí)，—>e,

2e2k

故根(x)在(0,1)遞減，

可得當(dāng)xe(0,e)時(shí)，h'(x)>0,

當(dāng)xe(e，w)時(shí)，h'(x)<0,

-j-1

易證絲令m(k)=2e%-/nkw(G三)，

k2kk2e

令”!>2e,

故n(t)=let,貝(|HQ)=2e-----1>0,

t

故〃⑺在(2e,+o))遞增，

貝!|>〃(2e)>n(l)>0,

即0<女<上時(shí)，m>0,

1-

故在(弁，絲)內(nèi)存在%,使得加(%)=o,

2kJ

故々(X)在(1,%)上遞減，在(%,+8)遞增，

2k

故例>)在x=x0處取得極小值.

②由(1)知左二;^~,――=ef

2e2k

故〃(x)在(0,e)遞減，在(e,+8)遞增，

故X￡(0,+8)時(shí)，"(x)..O,/(4)遞增，不合題意；

③當(dāng)上>-^-時(shí)，0<-^<e,

2e2k

當(dāng)xe(二,e)時(shí),〃(x)<0,f(x)遞減,

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，〃(x)>0,f(x)遞增，

故/x)在x=e處取極小值，符合題意，

綜上，實(shí)數(shù)左的范圍是左>0且左，

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

20、(1)(i)83.;(ii)272.(2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)原始分?jǐn)?shù)分布區(qū)間及轉(zhuǎn)換分區(qū)間，結(jié)合所給示例，即可求得小明轉(zhuǎn)換后的物理成績；根據(jù)正態(tài)分布滿足

,結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求得「二"內(nèi)的概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)即可求得在該區(qū)間的人數(shù)。

(2)根據(jù)各等級(jí)人數(shù)所占比例可知在區(qū)間-二：內(nèi)的概率為，由二項(xiàng)分布即可求得二的分布列及各情況下的概率，結(jié)

合數(shù)學(xué)期望的公式即可求解。

【詳解】

(1)(i)設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級(jí)分為二，

"一：二二4/

求得二*82M

小明轉(zhuǎn)換后的物理成績?yōu)?3分;

(ii)因?yàn)槲锢砜荚囋挤只痉恼龖B(tài)分布二：J二.I,

所以0(72<口<"=口(3<口<X)一0(?<口<22)

=D(M<□<-5n<<?<n<77)

r

7

=CJSd-

所以物理原始分在區(qū)間-的人數(shù)為"二..；-：二(人)；

(2)由題意得，隨機(jī)抽取1人，其等級(jí)成績?cè)趨^(qū)間?一內(nèi)的概率為，

隨機(jī)抽取4人，貝!J

A口(呼

二仁=0=(3'=3'二(二='=匕.i(9'=相

二仁=3=三(步份=3二仁=刃=比.針⑶=3

的分布列為

n01234

2/421696M

n2_

05初0505^25

數(shù)學(xué)期望.

二?！?/p>

【點(diǎn)睛】

本題考查了統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，正態(tài)分布下求某區(qū)間概率的方法，分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，文字多，數(shù)據(jù)多，需要細(xì)

心的分析和理解，屬于中檔題。

21、(1)—+y2=1,x2+(y+l)2=1；(2)速+1

4-3

【解析】

試題分析：(1)由sin2。+cos2a=l消去參數(shù)a，可得G的普通方程，由/+/=夕2,丁=夕sin?？傻肅2的普通

方程；

(2)設(shè)P(2cos%sin。)為曲線G上一點(diǎn)，點(diǎn)P到曲線。2的圓心(O，