2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期數(shù)學(xué)

期中測試卷

（測試范圍：第十六章一-第十八章）

（考試時間120分鐘滿分120分）

選擇題（共10題，每小題3分，共30分）

1.（2023秋?雁塔區(qū)校級期中）若直角三角形的三邊長為5,12,則層的值為（）

A.13B.119C.169D.119或169

2.如圖，在平行四邊形A8CD中，OE平分/AOC,ZDEC=30°,則乙4的度數(shù)為（）

A.100°B.120°C.150°D.105°

3.（2023秋?石景山區(qū)期末）在等腰△ABC中，AB=AC=5,8c=2而，則底邊上的高為（）

A.12B.2V3C.3V2D.18

4.（2023春?交城縣期中）用表示一種新運(yùn)算：對于任意正實(shí)數(shù)例如10?21=

“02+21=11,那么底.（77.2）的運(yùn)算結(jié)果為（）

A.13B.7C.4D.5

5.（2023秋?新華區(qū)校級期末）滿足下列條件時，△ABC不是直角三角形的是（）

A.ZA：ZB：ZC=3：4：5B.ZA=2ZB=2ZC

C.AB=V34,BC=3,AC=5D.ZA=20°,/B=70°

6.（2023?旌陽區(qū)二模）如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.當(dāng)12ABe。是矩形時，90°

B.當(dāng)團(tuán)4BC。是菱形時，ACLBD

C.當(dāng)13ABe。是正方形時，AC=BD

D.當(dāng)E1ABC。是菱形時，AB=AC

7.（2023秋?滄州期末）如圖①，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5〃z的墻上，裝有一個由傳感

器控制的門鈴A,人只要移至該門口4機(jī)及4機(jī)以內(nèi)時，門鈴就會自動發(fā)出語音“歡迎光臨”.如圖②,

一個身高L5m的學(xué)生剛走到。處，門鈴恰好自動響起，則該生頭頂C到門鈴A的距離為（）

圖①圖②

A.7mB.6mC.5mD.4m

8.如圖，在平行四邊形中，E為邊CD上的一個點(diǎn)，將△AOE沿AE折疊至△AD'E處,AD'與

CE交于點(diǎn)凡若/B=50°,NDAE=20°,則/尸即'=（）度.

A.40B.35C.30D.50

9.（2023春?嵐山區(qū)期末）如圖，正方形ABC。的邊長是2,其面積標(biāo)記為Si,以8為斜邊作等腰直角三

角形CDE,以該等腰直角三角形的一條直角邊。E為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2按照此規(guī)律繼續(xù)

作圖，則S2021的值為（）

1

D.22021

10.（2023?青島模擬）如圖，已知正方形ABC。的邊長為6,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△OCE沿。E折疊

得到△。跖，點(diǎn)廠落在EG邊上，連接CF.現(xiàn)有如下5個結(jié)論：①AG+EC=GE；②BFLCF；③S^BEF=~

@GB=2AG.在以上4個結(jié)論中正確的有（）

C.①②④D.①②③④

二.填空題（共8小題，每小題3分，共24分）

11.（2023秋?保定月考）已知y=+歷V+18,則代數(shù)式?-力的值為

12.（2023秋?南京期末）如圖，矩形A8C￡）中，A8=3,AD=1,AB在數(shù)軸上，且點(diǎn)A表示的數(shù)為-1,若

以點(diǎn)A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)則點(diǎn)M表示的實(shí)數(shù)為

DC

13.（2023春?阜平縣期末）己知“=V7+2,Z?=V7-2,則/+房的值為

14.（2023秋?寧陽縣期末）如圖，平行四邊形48C。的對角線AC與8。相交于點(diǎn)。，AELBC,垂足為E,

AB=3,AO=2,BC=5,則AE的長為

15.（2023秋?金東區(qū)期末）己知則J（x—2產(chǎn)+|尤-1|=

16.（2023秋?玄武區(qū)期末）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=4,是△ABC的中線，E是CD

的中點(diǎn)，連接AE,BE,若垂足為E,則8C的長為

17.（2023秋?蒲江縣校級期中）如圖所示的正方形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的.已知正方形48CD

的面積為25,正方形EBG8的面積為1,若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊（x>y）,下列三個

結(jié)論：①/+/=25；②尤-y=l；③移=12；④x+y=40.其中正確的是.（填序號）

18.（2023?南寧一模）如圖，已知/MON=90°,線段AB長為6,AB兩端分別在OM、ON上滑動，以

AB為邊作正方形ABC。，對角線AC、BD相交于點(diǎn)P,連接OC.則OC的最大值為

三、解答題（本大題共8小題，滿分共66分）

19.（每小題4分，共8分）（2023春?五峰縣期中）計(jì)算:

II

(1)(2V12-6J1+3V48)4-V3；(2)3V5x2V10-(2V3+76)(273—㈣x

2-

20.（6分）（2023?北培區(qū)校級開學(xué)）化簡求值:

已知“=泰,°=品'求（之一b

cfi-b行忐3的值?

21.（8分）（2023春?西峰區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD是3C邊上的中線，E是A。的中點(diǎn)，過

點(diǎn)A作BC的平行線交8E的延長線于點(diǎn)尸，連接CT.

（1）求證：AF^DC；

（2）若AB=AC,試判斷四邊形AOCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

AB

22.（7分）（2023春?合川區(qū)校級期中）筆直的河流一側(cè)有一營地C,河邊有兩個漂流點(diǎn)A,B、其中A8=

AC,由于周邊施工，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客，在河邊新建一個漂流點(diǎn)H（A,H,B

在同一直線上），并新修一條路CH,測得2C=10千米，CH=8千米，8/7=6千米.

（1）判斷△8C”的形狀，并說明理由；

（2）求原路線AC的長.

23.（8分）（2023春?員邸日區(qū)期中）如圖，菱形ABC。的對角線AC和BD交于點(diǎn)。，分別過點(diǎn)C、作CE

//BD,DE//AC,CE和。E交于點(diǎn)E

（1）求證：四邊形OOEC是矩形；

（2）當(dāng)/ADB=60°,AO=10時，求CE和AE的長.

B

24.(8分)(2023秋?門頭溝區(qū)期末)已知，如圖，在△ABC中，ZC=90°,4D平分NA4C交于

過。作DE//AC交AB于E.

(1)求證：AE=DE；

(2)如果AC=3,AD=2V3,求AE的長.

25.(9分)(2023春?澄海區(qū)期末)己知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以A3、AD為腰作等

腰三角形△ABF和等腰三角形△AOE,且頂角連結(jié)8。、EF相交于點(diǎn)G,80與AF相

交于點(diǎn)H.

(1)求證：BD=EF；

(2)若NGHF=/BFG,求證：四邊形ABC。是菱形；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)/BAE=/D4E=90°時，連結(jié)8E,若8尸=4,求△BEE的面積.

26.(12分)(2023?寬城區(qū)模擬)問題引入：如圖①，AB//CD,AB>CD,ZABD=9Q°,E是線段AC的

中點(diǎn).連結(jié)并延長交AB于點(diǎn)R連結(jié)BE.判斷BE與。E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

問題延伸：如圖②，在正方形和正方形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，點(diǎn)G在B。上，

尸是線段。產(chǎn)的中點(diǎn)，連結(jié)尸C、PG.

(1)判斷尸C與PG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)連結(jié)CR若AB=3,PC=a,求的長.

圖①圖②

2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期數(shù)學(xué)

期中測試卷

（測試范圍：第十六章一-第十八章）

（考試時間120分鐘滿分120分）

二.選擇題（共10題，每小題3分，共30分）

1.（2023秋?雁塔區(qū)校級期中）若直角三角形的三邊長為5,12,%,則“P的值為（）

A.13B.119C.169D.119或169

【分析】由于直角三角形的斜邊不能確定，故應(yīng)分7"為直角邊與斜邊兩種情況進(jìn)行討論.

【解答】解：當(dāng)MI為直角邊時，m2=122-52=119；

當(dāng)根為斜邊時，m2=52+122=169.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方

之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，平分NAOC,30°,則NA的度數(shù)為（）

A.100°B.120°C.150°D.105°

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出然后

根據(jù)補(bǔ)角性質(zhì)可得答案.

【解答】解：平分/ADC,

ZADC=2ZADE,

中，AD//BC,AB//DC,

；.NADE=NCED=30°,ZA+ZADC^180°,

AZAZ）C=2X30°=60°,

—180°-120°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，準(zhǔn)確識圖并熟練掌握性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?石景山區(qū)期末）在等腰AABC中，AB=AC=5,BC=2A,則底邊上的高為

（）

A.12B.2V3C.3V2D.18

【分析】過點(diǎn)A作ADLBC于點(diǎn)D根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD=3BC=6,

再根據(jù)勾股定理求出AD的長即可求解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作ADLBC于點(diǎn)O,

：△ABC是等腰三角形，AB^AC,

：.BD=CD=寺BC=V13,

在RtZ\4B￡）中，由勾股定理得，

AD=>/AB2-BD2=J52-（V13）2=2^3,

即底邊上的高為2百，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?交城縣期中）用表示一種新運(yùn)算：對于任意正實(shí)數(shù)a-b=V^Tb,例如

10?21=V102+21=11,那么VH-（V7-2）的運(yùn)算結(jié)果為（）

A.13B.7C.4D.5

【分析】直接利用新定義，進(jìn)而代入計(jì)算得出答案.

【解答】解：原式=J&7）2+2

=J（m）2+3

=V16

=4.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的運(yùn)算，正確運(yùn)用新定義是解題關(guān)鍵.

5.（2023秋?新華區(qū)校級期末）滿足下列條件時，△ABC不是直角三角形的是（）

A.ZA：ZB：NC=3：4：5B.NA=2NB=2NC

C.AB=V34.BC=3,AC=5D.NA=20。，NB=70°

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長。，b,C滿足/+必=。2,那么這個

三角形就是直角三角形；三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A.ZA：NB：ZC=3：4：5,則NC=180°x^=75°,不是直角三角

形，故此選項(xiàng)符合題意；

B.VZA=2ZB=2ZC,

1

.\ZB=ZC=180°x；=45°,

4

ZA=90°,

...是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.V32+53=（布）2,

...是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.VZA=20°,ZB=70°,

.?.ZC=90°,

...是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是正確掌握如

果三角形的三邊長a,b,c滿足/+y=/,那么這個三角形就是直角三角形.

6.（2023?旌陽區(qū)二模）如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.當(dāng)團(tuán)ABCD是矩形時，ZABC=90°

B.當(dāng)回ABC。是菱形時，AC±BD

C.當(dāng)回ABC。是正方形時，AC=BD

D.當(dāng)回ABC。是菱形時，AB=AC

【分析】矩形的四個角都是90°,菱形的對角線互相垂直，正方形的對角線相等，菱形

的四條邊相等.

【解答】解：因?yàn)榫匦蔚乃膫€角是直角，

故A正確，

因?yàn)榱庑蔚膶蔷€互相垂直，

故2正確，

因?yàn)檎叫蔚膶蔷€相等，

故C正確，

菱形的對角線和邊長不一定相等，

例如：ZABC=80°,因?yàn)锳B=BC,所以/8AC=/ACB=50°,止匕時AC>A8,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(2023秋?滄州期末)如圖①，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高45〃的墻上，

裝有一個由傳感器控制的門鈴4人只要移至該門口4根及4"z以內(nèi)時，門鈴就會自動發(fā)

出語音“歡迎光臨”.如圖②，一個身高1.5機(jī)的學(xué)生剛走到。處，門鈴恰好自動響起，

則該生頭頂C到門鈴A的距離為()

圖①圖②

A.7mB.6mC.5mD.4m

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理即可解答.

【解答】解：由題意可知：BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3m,CE=4m,

由勾股定理得AC=>JAE2+CE2=V32+42=5(m),

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

8.如圖，在平行四邊形ABCQ中，E為邊CD上的一個點(diǎn)，將△AOE沿AE折疊至

￡處，AD'與CE交于點(diǎn)F,若NB=50°,ZDAE=20°,則NFE。'=()度.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得/3=/。=50°,再由三角形的外角性質(zhì)得/AEC=/

D+ZZ)AE=70°,則NAED=110°,然后由折疊的性質(zhì)得乙4匹==110°,

即可求解.

【解答】解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

.,./8=/。=50°,

VZ￡)AE=20°,

AZAEC=ZD+ZDAE=500+20°=70°，

：.ZAED=180°-70°=110°，

:將△AOE沿AE折疊至E處,

：.ZAED=ZAED'=110°,

：.ZFED'=ZAED'-ZAEC=110°-70°=40°,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識;

熟練掌握翻折變換得性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，求出NAEC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

9.(2023春?嵐山區(qū)期末)如圖，正方形ABC。的邊長是2,其面積標(biāo)記為Si,以CD為斜

邊作等腰直角三角形CDE,以該等腰直角三角形的一條直角邊DE為邊向外作正方形，

其面積標(biāo)記為&按照此規(guī)律繼續(xù)作圖，則S2021的值為()

ARr口

22018220192202022021

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理以及三角形的面積公式可得出部分S1、

S2、S3、義的值，再由面積的變化即可找出變化規(guī)律"S〃=4X(1)n-i>>,依此規(guī)律即

可解決問題.

【解答】解：：是等腰直角三角形，

:.DE=CE,NCED=9Q°,

CD2=DE2+CE2=2DE2,

：.DE=^-CD,

V2

即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的三倍，

1

.*.SI=22=4=4X(-)°,

2

S2=(2x孝)2=2=4X(|)I

S3=(V22=I=4X2,

S4=(lx乎)2=|=4X(|)3,

1

：.Sn=4X（-）n'\

2

???S202L4X$2。2。=$劉8=占，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形面積的計(jì)算、規(guī)律型等

1

知識，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律"S“=4X（5）G”是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?青島模擬）如圖，已知正方形A8CD的邊長為6,點(diǎn)E是8C邊的中點(diǎn)，將4

OCE沿。E折疊得到△￡）￡—點(diǎn)F落在EG邊上，連接CF.現(xiàn)有如下5個結(jié)論：①AG+EC

=GE；②BFLCF；@SABEF=?GB=2AG.在以上4個結(jié)論中正確的有（）

__________—JD

a

BEC

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

【分析】根據(jù)乩證明兩三角形RtAWG烏Rt^FDG即可判斷①；根據(jù)折疊的性質(zhì)和等

腰三角形的性質(zhì)可得/EFC+NEFBngO。，得/B"=90°,所以BFA.CF,即可判斷

②；根據(jù)折疊的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義可得CE=EF=BE=3,設(shè)AG=尤，表示出GF、

BG,根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)求出BE、EF,從而得到GE的長度，再利用勾股定理列出方

程求解即可判斷④;先求ABEG的面積,根據(jù)所和ABEG等高,可知=—=

S?BEGEG

30ip

g,S^BEF=X6=即可判斷③.

【解答】解：由折疊得：LDCE/4DFE,

：.DF=DC,NDFE=NDCE,EC=EF,

??,四邊形ABC。是正方形，

：.AD=CD,ZA=ZDCE=90°,

AZA=ZDFG=90°,AD=DF,

■:DG=DG,

：.RtAADG^RtAFDG（HL）,

：.AG=FG,

：?AG+EC=FG+EF=GE,故①正確；

,?,點(diǎn)E是3c邊的中點(diǎn)，

；?BE=CE,

；?BE=EF=EC,

ZECF=ZEFC9ZEBF=ZEFB,

?；/ECF+NEFC+/EBF+/EFB=180°,

：.ZEFC+ZEFB=90°,

ZBFC=90°,

：.BF±CF,故②正確；

設(shè)AG=x,貝l」3G=6-x,

由RtZXAOG也Rt△尸OG得：AG=FG,

??,點(diǎn)E是5c邊上的中點(diǎn)，

；?EF=CE=BE=3,

在RtZXBEG中，根據(jù)勾股定理得：BG1+BE1=EG2,

(6-x)2+32=(x+3)2,

解得：X—2,

AG=2,

???5G=4,

：.GB=2AG,故④正確，

■:SNEG=渺?BG=x3X4=6,

「△BEF和ABEG等高，

.S&BEFEF3

S^BEGEG5

:,SABEF='x6=等，故③錯誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

勾股定理的應(yīng)用，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.填空題(共8小題，每小題3分，共24分)

11.(2023秋?保定月考)已知尸正二+回與+18,則代數(shù)式々-后的值為

【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x,y的值，進(jìn)而代入得出答案.

【解答】解：???77二^與歷V有意義，

?\%=8,

???y=18,

故《-7?=V8-V18

=2/-3V2

=-V2.

故答案為：-&■.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式有意義的條件、二次根式的化簡求值，正確化簡二次

根式是解題關(guān)鍵.

12.（2023秋?南京期末）如圖，矩形ABC。中，AB=3,AD=l,AB在數(shù)軸上，且點(diǎn)A表

示的數(shù)為-1,若以點(diǎn)A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M,則

點(diǎn)M表示的實(shí)數(shù)為.

DC

【分析】先利用勾股定理求出AC，根據(jù)AC=AM,求出由此即可解決問題.

【解答】解：：四邊形ABCD是矩形，

AZABC=90°,

'：AB=3,AD=BC=1,

；.AC=>JAB2+BC2=V32+l2=V10,

'：AM^AC=VTO,OA=1,

OM=AM-OA=V10-1,

.?.點(diǎn)M表示點(diǎn)數(shù)為1U-1.

故答案為：Vio—i.

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用勾股定理求出

AC、AM的長.

13.（2023春?阜平縣期末）已知a—V7+2,b—V7—2,則a2+b2的值為.

【分析】先分別根據(jù)二次根式的加法法則和二次根式的乘法法則求出a+b和ab的值，再

根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，最后代入求出答案即可.

【解答】解：：。=夕+2,b=y[7-2,

：.a+b^V7+2+V7-2=2V7,

ab=（V7+2）X（V7-2）=7-4=3,

：.a2+b2=（a+b）2-2ab=（2V7）2-2X3=28-6=22,

故答案為：22.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的化簡求值和完全平方公式，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算

法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

14.（2023秋?寧陽縣期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AE

±BC,垂足為E,AB=3,49=2,BC=5,則AE的長為

【分析】首先由勾股定理的逆定理判定△B4C是直角三角形，再利用三角形的面積公式

即可求出AE的長度.

【解答】解：：四邊形ABCQ是平行四邊形，AO=2,

，AC=2AO=4

VAB=3,BC=5,

：.AB2+AC2=AB2,

：.ZBAC=90°,

11

V5ABAC=±xABXAC=*xBCXAE,

11

A-X4X3=4X5XAE,

22

12

：.AE=苦，

故答案為：卷.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質(zhì)，能得出△84C是直角三角

形是解此題的關(guān)鍵.

15.（2023秋?金東區(qū)期末）已知1VXV2,則—2為+|x-1|=.

【分析】根據(jù)二次根式以及絕對值的性質(zhì)，化簡即可.

【解答】解：??TVxV2,

.,.x-1>0,x-2V0,

—2）2+1%-1|

=\x-2\+\x-1|

=2-x+x~1

=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評】此題考查了二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)

性質(zhì).

16.（2023秋?玄武區(qū)期末）如圖，在中，ZBAC=90°,AB=4,CD是△ABC的

中線，￡是C。的中點(diǎn)，連接AE,BE,AE1BE,垂足為E,則BC的長為

A

【分析】根據(jù)垂直定義可得NAE2=90°,從而在RtZXABE中，利用直角三角形斜邊上

的中線性質(zhì)可得磯>=&￡>=%8=2,再在Rt^AQC中，利用直角三角形斜邊上的中線性

質(zhì)可得AE=DE=2,從而可得△ADE是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得/

AOE=60°,從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得NAC￡>=30°,再在RtAWC中，

利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AC=2次，最后在RtZvlBC中，利用勾股定理

進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：?..AEL3E,

AZAEB=90°,

:點(diǎn)￡>是A8的中點(diǎn)，AB=4,

11

：.ED=^AB=2,AD=^AB=2,

9：ZDAC=90°,E是CD的中點(diǎn)，

：.AE=DE=2,

AD=DE=AE=2,

/.△ADE是等邊三角形，

AZADE=60°,

AZACZ）=90°-ZA￡）C=30°,

；.AC=V3AD=2V3,

:.BC=yjAB2+AC2=^42+（2V3）2=2近，

故答案為：2中.

【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，熟練掌握直角三角形斜邊上

的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.（2023秋?蒲江縣校級期中）如圖所示的正方形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的.已

知正方形A8C。的面積為25,正方形EBG8的面積為1,若用無、y分別表示直角三角形

的兩直角邊（x>y），下列三個結(jié)論：?x2+y2=25；?x-y=l；③盯=12；?x+y=40.其

中正確的是.（填序號）

AD

【分析】分別求出小正方形及大正方形的邊長，然后根據(jù)面積關(guān)系得出x與y的關(guān)系式,

依次判斷所給關(guān)系式即可.

【解答】解：由題意可得小正方形的邊長=1,大正方形的邊長=5,

...7+丁=斜邊2=大正方形的面積=25,

故①正確；

?.?小正方形的邊長為1,

??x~y~~1,

故②正確；

??,小正方形的面積+四個直角三角形的面積等于大正方形的面積，

，1+2孫=25,

??xy~~12,

故③正確；

(x+y)2=?+2孫+/=25+24=49,x,y>0,

，x+y=7,

故④不正確.

綜上可得①②③正確.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，掌握正方形的性質(zhì)及直角三角形的知識，根據(jù)所

給圖形，利用面積關(guān)系判斷X與y的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

18.(2023?南寧一模)如圖，已知NMON=90°,線段A8長為6,A2兩端分別在OM、

ON上滑動，以A8為邊作正方形ABC。，對角線AC、8。相交于點(diǎn)P,連接OC.則OC

的最大值為.

OAM

【分析】取A3的中點(diǎn)E,連接。及CE,根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半”可求得OE=BE=再根據(jù)勾股定理求得CE='BE?+C5=3瓜即可根據(jù)“兩

點(diǎn)之間線段最短”得。CW3+3西，則OC的最大值為3+3西，于是得到問題的答案.

【解答】解：取A2的中點(diǎn)E,連接?！?、CE,

?：ZAOB=90°,線段AB長為6,

1

；.OE=BE=抑=3,

:四邊形ABC。是正方形，

；.NCBE=90°,C2=AB=6,

:.CE=y/BE2+CB2=V32+62=3后

'：OC^OE+CE,

：.OCW3+3后

；.0C的最大值為3+3V5,

故答案為：3+3遍.

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股

定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

四、解答題(本大題共8小題，滿分共66分)

19.(每小題4分，共8分)(2023春?五峰縣期中)計(jì)算：

(1)(2V12-6J|+3748)4-73；(2)3V5x2V10-(2V34-V6)(2V3-V6)X

【分析】(1)把括號內(nèi)二次根式化簡合并，再根據(jù)除法法則計(jì)算；

(2)先算乘法，再算加減即可.

【解答】解：(1)原式=(4百一2次+12日)+日

=14V3+V3

=14；

(2)原式=30V2一(12-6)X孝

=30V2-3V2

=27A/2.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的

關(guān)鍵.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇

恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.整式的乘法的運(yùn)算公式及運(yùn)算法則對二次根式的運(yùn)

算同樣適應(yīng).

20.（6分）（2023?北倍區(qū)校級開學(xué)）化簡求值:

1,_1+,1b、?忐/勺值?

已知"=7T了公兩T求（口一工？）

【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡。，b,利用分式的混合運(yùn)算的法則化簡式子，最后將

a,b的值代入運(yùn)算即可.

【解答】解：戶證第而A/^+1,_-\/3-1_-1

-2-，(V3+1)(V3-1)="2-，

店—za+bb(a-b)2

原式=(------------------------)X——77C

(a+Z?)(a-d)(a+b)(a-D)a(a—b)

_a+b—b(a—b)

~(a+b)(a—b)a(a—b)

_1

―a+b

1

—V3+1,V3-1

~~2~+~2~

1

-

月

西

一

一3

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的化簡求值，分母有理化，分式的化簡求值，熟練掌

握分母有理化的法則與分式的混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.

21.（8分）（2023春?西峰區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，A。是BC邊上的中線，E是

的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作2C的平行線交BE的延長線于點(diǎn)R連接C?

（1）求證：AF=DC；

（2）若AB=AC,試判斷四邊形AOCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NOBE,根據(jù)44s證明△AFE之△OBE,

推出AF=BD,即可得出答案；

（2）證得四邊形A8DF是平行四邊形，得到A8=D凡進(jìn)而證得AC=。凡再證得四邊

形AOC尸是平行四邊形，即可得到四邊形ADC尸是矩形.

【解答】（1）證明：???石是AD的中點(diǎn)，

：.AE=DE,

t：AF//BC,

：.NAFE=NDBE.

在△AbE和△D8E中，

Z.AFE=乙DBE

Z-FEA=乙BED,

AE=DE

：.（A4S）,

：.AF=DB.

（是BC邊上的中線，

:.DC=DB,

：.AF=DC；

（2）解：四邊形A3C尸是矩形.

證明：連接。凡

由（1）^AF=DB,AF//DB,

四邊形ABDF是平行四邊形，

：.AB=DF,

'：AB^AC,

：.AC=DF,

由（1）WAF^DC,AF//DC,

四邊形ADCF是平行四邊形，

四邊形AZXT是矩形.

【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，證得44尸E

0△DBE是解題的關(guān)鍵.

22.（7分）（2023春?合川區(qū)校級期中）筆直的河流一側(cè)有一營地C,河邊有兩個漂流點(diǎn)A,

B、其中A8=AC,由于周邊施工，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客，在河邊新

建一個漂流點(diǎn)HG4,H,8在同一直線上），并新修一條路CH,測得8c=10千米，CH

=8千米，B2/=6千米.

（1）判斷△BCH的形狀，并說明理由；

（2）求原路線AC的長.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；

(2)根據(jù)勾股定理解答即可.

【解答】解：(1)ABC”是直角三角形，

理由是：在中，

?.*CI^+BH1=82+62=100,

BC2=100,

CH2+BH2^BC2,

是直角三角形且NCHB=90°；

(2)設(shè)AC=4B=x千米，則(x-6)千米，

在RtZSAC”中，由已知得AC=x,AH=x-6,CH=8,

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2,

.*.x2=(x-6)2+82

解這個方程，得x=8(

答：原來的路線AC的長為g千米.

【點(diǎn)評】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理和定理.

23.(8分)(2023春?哪陽區(qū)期中)如圖，菱形ABC。的對角線AC和8。交于點(diǎn)O,分別

過點(diǎn)C、作CEWBD,DE//AC,CE和DE交于點(diǎn)E

(1)求證：四邊形ODEC是矩形；

(2)當(dāng)/4。2=60。，4。=10時，求CE和AE的長.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ODEC是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)

得出NOOC=90°,根據(jù)矩形的判定得出即可；

(2)求出OD根據(jù)勾股定理求出A。，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AC,根據(jù)勾股定理求出即

可.

【解答】(1)證明：'：DE//AC,CE//BD,

四邊形ODEC是平行四邊形，

?.?四邊形ABC。是菱形，

J.ACLBD,即/。OC=90°,

平行四邊形ODEC是矩形；

(2)解：?.?在Rtz\AO。中，ZAD<9=60°,

：.ZOAD=30°,

1

VA￡>=100D=^AD=5,

：.AO=y/AD2-OD2=5A/3,

?.?四邊形ABC。是菱形，

.*.AC=2AO=10V3,

:四邊形。。EC是矩形，ZACE=90°,CE=OD=5,

在RtZXACE中，由勾股定理得：AE=yjAC2+CE2=J(10V3)2+52=5V13.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，含30°角的直角三角

形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

24.(8分)(2023秋?門頭溝區(qū)期末)已知，如圖，在△ABC中，ZC=90°,AD平分/

BAC交BC于力,過。作。E〃AC交A8于E.

(1)求證：AE=DE-,

(2)如果AC=3,AD=2同求AE1的長.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；

(2)過點(diǎn)。作。尸，42于R根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】(1)證明：：OE〃AC,

：.ZCAD=ZADE,

：4。平分/24(7,

：.ZCAD=ZEAD.

：.ZEAD=ZADE.

；.AE=DE；

(2)解：過點(diǎn)D作DFLAB于F.

c

D

VZC=90°,AC=3,AD=2后

在Rt/XACD中，由勾股定理得AC2+OC2=A￡)2.

：.DC=V3.

平分/BAC,

：.DF=DC=V3.

5L'：AD=AD,ZC=ZAFD=90°,

ARtADAC^RtADAF(HL).

.—AC=3,

...RtZ\DEP中，由勾股定理得EF2+DF2=DE2.

設(shè)AE=x,則￡>E=x,EF=3-x,

(3—%)2+(V3)2=x2,

：.AE=2.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)解答是解題關(guān)鍵.

25.（9分）（2023春?澄海區(qū)期末）已知：如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，分別以42、

為腰作等腰三角形和等腰三角形△ADE，且頂角連結(jié)友）、

所相交于點(diǎn)G,8。與AF相交于點(diǎn)"

（1）求證：BD=EF；

（2）若NGHF=/BFG,求證：四邊形ABCD是菱形；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)/BAF=NZME=90°時，連結(jié)B