甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第一中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，，則（）A． B． C． D．2．如圖，直角的斜邊長為2，，且點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上滑動，點(diǎn)在線段的右上方．設(shè)，（），記，，分別考察的所有運(yùn)算結(jié)果，則（）A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值3．不等式的解集為，則實數(shù)的值為（）A． B．C． D．4．若函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．5．圓關(guān)于直線對稱，則的值是（）A． B． C． D．6．已知向量，且為正實數(shù)，若滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．7．函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列，，，，，，的一個通項公式為（）A． B．C． D．9．?dāng)?shù)列中，，，則()．A． B． C． D．10．在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前六項和為（）A．63 B．－63 C．－31 D．31二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等腰直角中，，CD是AB邊上的高，E是AC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿CD翻折成直二面角，則異面直線DE與AB所成角的大小為________.12．設(shè)變量x、y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_______.13．若角是第四象限角，則角的終邊在_____________14．方程組的增廣矩陣是________.15．已知等比數(shù)列的前項和為，，則的值是__________.16．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗證成立時，等號左邊的式子是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知點(diǎn)，圓．（1）求過點(diǎn)M的圓的切線方程；（2）若直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為，求的值．18．已知數(shù)列中，，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，求證．19．在△ABC中，AC=4，，．（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若D為BC邊上一點(diǎn)，，求DC的長度．20．如圖，在處有一港口，兩艘海輪同時從港口處出發(fā)向正北方向勻速航行，海輪的航行速度為20海里/小時，海輪的航行速度大于海輪．在港口北偏東60°方向上的處有一觀測站，1小時后在處測得與海輪的距離為30海里，且處對兩艘海輪，的視角為30°．（1）求觀測站到港口的距離；（2）求海輪的航行速度．21．記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知（1）求an（2）求Sn，并求S

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由，代入運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因為，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的正切公式，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

設(shè)，用表示出，根據(jù)的取值范圍，利用三角函數(shù)恒等變換化簡，進(jìn)而求得最值的情況.【詳解】依題意，所以.設(shè)，則，所以，，所以，當(dāng)時，取得最大值為.，所以，所以，當(dāng)時，有最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)化簡求值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.3、C【解析】

不等式的解集為，為方程的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得，.故選C.考點(diǎn)：一元二次不等式；根與系數(shù)關(guān)系.4、D【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義域與函數(shù)解析式的關(guān)系，代值進(jìn)行計算即可．【詳解】解：由已知，又，又，所以：．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的函數(shù)值計算問題，抓住定義域的范圍，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】圓關(guān)于直線對稱，所以圓心(1,1)在直線上，得.故選B.6、A【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式即可．【詳解】由題意得，因為，為正實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時取等．所以選擇A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積以及基本不等式，在用基本不等式時要滿足一正二定三相等．屬于中等題7、D【解析】

令，即有，則，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值，注意等號成立的條件.【詳解】令，即有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值.故選：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，配湊法求解，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

首先注意到數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，其次數(shù)列各項絕對值構(gòu)成一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，從而易求出其通項公式．【詳解】∵數(shù)列{an}各項值為，，，，，，∴各項絕對值構(gòu)成一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，∴|an|＝2n﹣1又∵數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題給出數(shù)列的前幾項，猜想數(shù)列的通項，挖掘其規(guī)律是關(guān)鍵．解題時應(yīng)注意數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，否則會錯．9、B【解析】

通過取倒數(shù)的方式可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列本題正確選項：【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推關(guān)系式求解數(shù)列中的項的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式的形式，確定采用倒數(shù)法得到等差數(shù)列.10、B【解析】

利用等比數(shù)列通項公式求出公式，由此能求出數(shù)列的前六項和.【詳解】在等比數(shù)列中，，，解得數(shù)列的前六項和為：.故選：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項公式求解基本量，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

取的中點(diǎn)，連接，則與所成角即為與所成角，根據(jù)已知可得，，可以判斷三角形為等邊三角形，進(jìn)而求出異面直線直線DE與AB所成角.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，直線DE與AB所成角即為與所成角，，，，，，即三角形為等邊三角形，異面直線DE與AB所成角的大小為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的翻折問題，考查了異面直線所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.12、3【解析】

可通過限定條件作出對應(yīng)的平面區(qū)域圖，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)特點(diǎn)進(jìn)行求值【詳解】可行域如圖所示;則可化為,由圖象可知,當(dāng)過點(diǎn)時，有最大值，則其最大值為:故答案為:3.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題關(guān)鍵是能正確畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)可由幾何意義確定具體含義（最值或斜率）13、第二或第四象限【解析】

根據(jù)角是第四象限角，寫出角的范圍，即可求出角的終邊所在位置．【詳解】因為角是第四象限角，所以，即有，當(dāng)為偶數(shù)時，角的終邊在第四象限；當(dāng)為奇數(shù)時，角的終邊在第二象限，故角的終邊在第二或第四象限．【點(diǎn)睛】本題主要考查象限角的集合的應(yīng)用．14、【解析】

理解方程增廣矩陣的涵義，即可由二元線性方程組，寫出增廣矩陣.【詳解】由題意，方程組的增廣矩陣為其系數(shù)以及常數(shù)項構(gòu)成的矩陣，故方程組的增廣矩陣是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組與增廣矩陣的關(guān)系，需理解增廣矩陣的涵義，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前項和公式，由可得，通過化簡可得，代入的值即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，顯然，∴，∴，∴，∴，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前項和公式，本題解題的關(guān)鍵是看出數(shù)列的公比的值，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)左邊的式子是從開始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1求解即可.【詳解】因為左邊的式子是從開始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為.【點(diǎn)睛】項數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯點(diǎn)，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或．（2）【解析】

(1)分切線的斜率不存在與存在兩種情況分析.當(dāng)斜率存在時設(shè)方程為,再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解即可.(2)利用垂徑定理根據(jù)圓心到直線的距離列出等式求解即可.【詳解】解：（1）由題意知圓心的坐標(biāo)為,半徑,當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時,方程為．由圓心到直線的距離知,此時,直線與圓相切．當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率存在時,設(shè)方程為,即．由題意知,解得,∴方程為．故過點(diǎn)M的圓的切線方程為或．（2）∵圓心到直線的距離為,∴,解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓相切與相交時的求解.注意直線過定點(diǎn)時分析斜率不存在與存在兩種情況.直線與圓相切用圓心到直線的距離等于半徑列式,直線與圓相交用垂徑定理列式.屬于中檔題.18、（1）證明見解析；；（2）【解析】

（1）先證明數(shù)列是以3為公比，以為首項的等比數(shù)列，從而，由此能求出的通項公式；（2）由（1）推導(dǎo)出，從而，利用錯位相減法求和，利用放縮法證明．【詳解】由，，得，，數(shù)列是以3為公比，以為首項的等比數(shù)列，從而，數(shù)列滿足，，，，兩式相減得：，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義、通項公式與求和公式，以及錯位相減法的應(yīng)用，是中檔題．一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解,在寫出“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）由正弦定理得到，在結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的大小，在中，利用余弦定理即可求出邊的長．【詳解】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，所以．因為，所以，所以．（Ⅱ）在中，．在中，由余弦定理，得，即，解得或．經(jīng)檢驗，都符合題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）海里；（2）速度為海里/小時【解析】

（1）由已知可知,所以在中，運(yùn)用余弦定理易得OA的長．（2）因為C航行1小時到達(dá)C，所以知道OC的長即可，即求BC的長．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．【詳解】（1）因為海倫的速度為20海里/小時，所以1小時后，海里又海里，，所以中，由余弦定理知：即即，解得：海里（2）中，由正弦定理知：解得：中，，，所以所以在中，由正弦定理知：，解得：所以答：船的速度為海里/小時【點(diǎn)睛】三角形中一般已知三個條件可求其他條件，用到