2023—2024學(xué)年度下學(xué)期初三數(shù)學(xué)階段性檢測題一、選擇題（每小題3分，共36分）1.下列各數(shù)：中，無理數(shù)有（）個A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本題主要考查無理數(shù)的識別，熟練掌握實(shí)數(shù)的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)；據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：是分?jǐn)?shù)，是整數(shù)，它們均為有理數(shù)；均為無限不循環(huán)小數(shù)，它們是無理數(shù)；綜上，無理數(shù)的個數(shù)共2個，故選：B2.亞運(yùn)會會徽圖案中是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查軸對稱圖形的識別，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．根據(jù)軸對稱圖形的概念逐一判斷即可．【詳解】A.是軸對稱圖形，符合題意；B.不是軸對稱圖形，不符合題意；C.不是軸對稱圖形，不符合題意；D.不是軸對稱圖形，不符合題意；故選A．3.華為Mate60Pro搭載了麒麟9000s芯片，該芯片采用7納米工藝制造，擁有出色的性能和能效比．已知7米等于7000000000納米．?dāng)?shù)據(jù)7000000000用科學(xué)記數(shù)法為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了絕對值大于1的科學(xué)記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵在于確定的值．根據(jù)絕對值大于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，的值為整數(shù)位數(shù)少1，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：7000000000大于1，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，，∴7000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為，故選：D．4.如圖，直線，直角三角形如圖放置，，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，先利用平行線的性質(zhì)可得，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖：∵，∴，∵，∴，故選：C．5.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)整式的乘除運(yùn)算法則，積的乘方法則，完全平方公式分別計算各式即可．【詳解】解：A、，故原選項錯誤；B、，故原選項錯誤；C、，故原選項錯誤；D、，故原選項正確故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了整式的乘法和除法運(yùn)算，積的乘方法則，完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．6.下列說法中，正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)4，4，2，3，1的中位數(shù)是2 B.反映空氣的主要成分（氮?dú)饧s占，氧氣約占，其他微量氣體約占）宜采用折線統(tǒng)計圖C.甲、乙兩人各10次射擊的平均成績相同，方差分別是，，則乙的射擊成績較穩(wěn)定 D.對載人航天器零部件的檢查適合采用抽樣調(diào)查【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了全面調(diào)查和抽樣調(diào)查，平均數(shù)，中位數(shù)以及方差等知識點(diǎn)，選項A根據(jù)中位數(shù)的定義判斷即可；選項B根據(jù)各種統(tǒng)計圖的特點(diǎn)判斷即可；選項C根據(jù)方差的意義判斷即可；選項D根據(jù)全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的定義判斷即可，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】A．一組數(shù)據(jù)4，4，2，3，1的中位數(shù)是3，原說法錯誤，故本選項不符合題意；B．反映空氣的主要成分（氮?dú)饧s占，氧氣約占，其他微量氣體約占）宜采用扇形統(tǒng)計圖，原說法錯誤，故本選項不符合題意；C．甲、乙兩人各10次射擊的平均成績相同，方差分別是，，則乙的射擊成績較穩(wěn)定，說法正確，故本選項符合題意；D．對載人航天器零部件的檢查適合采用全面調(diào)查，原說法錯誤，故本選項不符合題意；故選：C．7.如圖，的對角線，相交于點(diǎn)，的平分線與邊相交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，若，，則的長為（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及等腰三角形的判定可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)三角形的中位線解答即可.【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵是中點(diǎn)，∴；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及三角形的中位線定理等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.如圖，在中，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N，直線與相交于點(diǎn)E．過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)F．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接DE，如圖，利用基本作圖得到AE=CE，則DE為斜邊AC的中線，所以DE=AE=CE，則∠ADE=∠A=34°，接著證明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性質(zhì)計算∠BFC的度數(shù)．【詳解】解：連接DE，如圖，由作法得MN垂直平分AC，∴AE=CE，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDE=90°，∵DE為斜邊AC的中線，∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A=34°，∵BD=CE，∴BD=DE，∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．9.已知關(guān)于的不等式組有5個整數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，根據(jù)不等式組的解集情況確定參數(shù)是解答題的關(guān)鍵．先分別求出每一個不等式的解集，進(jìn)而確定不等式組的解集，最后根據(jù)不等式組有5個整數(shù)解即可解答．【詳解】解：解不等式，可得：，解不等式，可得：，∴不等式組的解集為：∵不等式組有5個整數(shù)解，∴，∴．故選：C．10.如圖所示，的直徑弦，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)CD交AB于H．根據(jù)垂徑定理得CH=DH=OH，設(shè)CH=DH=a，求出BH即可解決問題．【詳解】解：設(shè)CD交AB于H．∵OB=OC，∴∠2=∠3，∵AB⊥CD，∴∠1+∠2+∠3=90°，CH=HD，∵∠1=2∠2，∴4∠3=90°，∴∠3=22.5°，∴∠1=45°，∴CH=OH，設(shè)DH=CH=a，則OC=OB=a，BH=a+a，∴tan∠CDB=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．11.如圖，點(diǎn)從菱形的頂點(diǎn)出發(fā)，沿以的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)，圖是點(diǎn)運(yùn)動時的面積隨時間的關(guān)系圖象，則的值為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】通過分析圖象，點(diǎn)從點(diǎn)到用，此時，的面積為，依此可求菱形的高，再由圖象可知，，在用勾股定理即可．【詳解】過作于點(diǎn)，如圖，∴，∵四邊形是菱形，∴，圖可知，，，的面積，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得：，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形性質(zhì)和一次函數(shù)圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是在解答過程中要注意函數(shù)圖象變化與動點(diǎn)位置之間的關(guān)系．12.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①；②；③；④方程的兩根和為1；⑤若是方程的兩根，則方程的兩根滿足；其中正確結(jié)論有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】B【解析】【分析】綜合二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系進(jìn)行逐項分析．【詳解】解：由題意，，對稱軸為直線，∴，，拋物線與軸相交于正半軸，則，∴，故①錯誤；∵拋物線與軸有兩個不同的交點(diǎn)，∴，即：，故②正確；∵由圖象可得，當(dāng)時，函數(shù)值，∴，∵，∴，故③正確；對于方程，整理得：，∴其兩根之和，∵，∴∴方程的兩根和為2，故④錯誤；∵是方程的兩根，∴函數(shù)圖象與軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵方程的兩根，∴拋物線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∵拋物線開口向下，∴，，∴，，∵，∴，故⑤正確；∴正確的有②③⑤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，掌握函數(shù)的基本性質(zhì)，理解并熟練運(yùn)用函數(shù)與方程之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共12分）13.因式分解：_______．【答案】【解析】【分析】將看作，應(yīng)用平方差公式，即可求解，本題考查了公式法因式分解，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握平方差公式．【詳解】解：．14.如圖是為某公園滑梯的橫截面圖，是臺階，是一個平臺，是滑道，立柱垂直于地面且高度相同，與地面的夾角為，與地面的夾角為．若，則滑道的長度是__________．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)G作于H，先解得到，再證明四邊形是矩形，得到，進(jìn)而證明四邊形是矩形，得到，最后解求出的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)G作于H，在中，，∴；∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，∴滑道的長度是，故答案為：．15.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，且的面積為，則________．【答案】【解析】【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．延長交點(diǎn)軸于，由的面積，可求，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，進(jìn)而求解坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到坐標(biāo)，由都在反比例函數(shù)圖象上列等式，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交點(diǎn)軸于，的面積為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，都在反比例函數(shù)圖象上，，解得，．故答案為：．16.如圖，菱形中，，，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若，則的最小值是____．【答案】【解析】【分析】連接，作的外接圓，連接，，，，利用相似三角形的性質(zhì)判斷出，得出點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，可得結(jié)論．【詳解】連接，作的外接圓，連接，，，，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在任取一點(diǎn)，連接，，∵是的外接圓，∴，∴點(diǎn)在上運(yùn)動，，∴，，∴，∴由勾股定理得：，∵∴，即，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及面積法的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時，最短．三、解答題（6道大題，共72分）17.（1）計算：．（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）1；（2），．【解析】【分析】本題考查了零指數(shù)冪，特殊的三角函數(shù)值，立平方根，負(fù)整數(shù)次冪和分式化簡求值．（1）先分別求解零指數(shù)冪，特殊的三角函數(shù)值，立方根，負(fù)整數(shù)次冪，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計算即可求出值．【詳解】解：（1）；（2）．當(dāng)時，原式．18.近日，教育部發(fā)布《義務(wù)教育勞動課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》．2022年秋季開學(xué)起，勞動課將成為中小學(xué)生的一門獨(dú)立課程．消息一出，引發(fā)了不少家長和老師的關(guān)注和熱議．某校為了解學(xué)生對“勞動課”重視程度，隨機(jī)在校內(nèi)調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果分為“非常重視”“重視”“比較重視”“不重視”四類，并將結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖：根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）在扇形統(tǒng)計圖中，“比較重視”所占圓心角的度數(shù)為_________，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（2）該校共有學(xué)生2400人，請你估計該校對“勞動課”“非常重視”的學(xué)生人數(shù)；（3）對“勞動課”“非常重視”的4人有一名男生，三名女生，若從中隨機(jī)抽取兩人作為“勞動教育宣傳大使”，請利用樹狀圖或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．【答案】（1），圖見解析（2）120（3）【解析】【分析】（1）由“不重視”的人數(shù)和所占百分比可以求出抽查的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)“比較重視”的人數(shù)即可得到其對應(yīng)圓心角度數(shù)，用總?cè)藬?shù)減去已知三類的人數(shù)可以得到“重視”的人數(shù)，據(jù)此可以補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（2）算出“非常重視”的學(xué)生人數(shù)占抽查人數(shù)的百分比，然后乘以該校學(xué)生總數(shù)即可得解；（3）把一名男生和三名女生分別記為A、B1、B2、B3，根據(jù)題意畫出樹狀圖即可得到解答．【小問1詳解】16÷20%=80（人），，80-（4+16+36）=24（人），即“重視”的人數(shù)為24，故答案為，條形統(tǒng)計圖補(bǔ)全如下：【小問2詳解】（人），答：該校對“勞動課”“非常重視”的學(xué)生人數(shù)約為120人；【小問3詳解】記男生為A，女生分別為，∴P（都是女生）．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)的整理和分析，熟練掌握扇形統(tǒng)計圖圓心角的求法、由樣本所占百分比估計總體數(shù)量的方法、用列表法或樹狀圖法求概率的方法是解題關(guān)鍵關(guān)鍵．19.“六一”兒童節(jié)將至，某商店計劃購進(jìn)A型玩具和B型玩具進(jìn)行銷售，已知700元購買A型玩具的個數(shù)是315元購買B組玩具個數(shù)的2倍，一個A型玩具的進(jìn)價比一個B型玩具的進(jìn)價多1元，銷售時，兩種玩具的售價均為15元/個．（1）求一個A型玩具和一個B型玩具的進(jìn)價分別是多少元？（2）該商店計劃購進(jìn)這兩種玩具共200個，其中購進(jìn)A型玩具的數(shù)量不少于B型玩具數(shù)量的，且不超過150個，當(dāng)商店進(jìn)貨時，若一次性購進(jìn)A型玩具超過80個，則A型玩具超過的部分可按進(jìn)價打7折，該商店應(yīng)購進(jìn)A型玩具和B型玩具各多少個，才能在兩種玩具全部售出后所獲利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）A型玩具的進(jìn)價為10元，B型玩具的進(jìn)價為9元（2）當(dāng)購進(jìn)A型玩具150個，B型玩具50個，該商店獲利最大，最大利潤為1260元【解析】【分析】本題考查了分式方程，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程或不等式．（1）設(shè)型玩具每個的進(jìn)價為元，則型玩具每件的進(jìn)價為元，根據(jù)700元購買A型玩具的個數(shù)是315元購買B組玩具個數(shù)的2倍，建立方程求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)型玩具個，則購進(jìn)B型玩具個，總利潤為元，根據(jù)兩種玩具共200個，其中購進(jìn)A型玩具的數(shù)量不少于B型玩具數(shù)量的，且不超過150個，列出不等式，求出m的取值范圍，列出總利潤的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【小問1詳解】解：設(shè)型玩具每個的進(jìn)價為元，則型玩具每件的進(jìn)價為元，由題意得：，解得：經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，答：A型玩具的進(jìn)價為10元，B型玩具的進(jìn)價為9元．【小問2詳解】解：設(shè)購進(jìn)型玩具個，則購進(jìn)B型玩具個，總利潤為元購進(jìn)A型玩具的數(shù)量不少干型玩具數(shù)量的且不超過150個．，且為整數(shù)；可以享受折扣優(yōu)惠，，隨m的增大而增大，當(dāng)時，w最大（元）答：當(dāng)購進(jìn)A型玩具150個，B型玩具50個，該商店獲利最大，最大利潤為1260元．20.如圖，是的外接圓，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，延長到點(diǎn)，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求半徑的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，利用平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)一步證明，得到，利用圓的切線的判定定理解答即可；（2）連接，，交于點(diǎn)，利用（1）的結(jié)論判定四邊形為平行四邊形，利用垂徑定理和勾股定理求得，設(shè)半徑的長為，則，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．【小問1詳解】解：證明：連接，如圖，，．，．，，．，，．是的半徑，是的切線；【小問2詳解】連接，，交于點(diǎn)，如圖，由（1）知：，，四邊形為平行四邊形，，．，．．設(shè)半徑的長為，則，，，解得：．半徑的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理，垂徑定理，平行線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．21.感知：已知矩形，，，把矩形繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，連接，交于點(diǎn)N．特例：（1）如圖1，若點(diǎn)F落在邊上，過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)M，連接，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)F在上方，連接交于點(diǎn)P，連接，若，①求證：；②求的長．③提升：若取中點(diǎn)M，連接，，請直接寫出的最大值．【答案】（1）見解析（2）①見解析②2③【解析】【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，則，再由矩形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而證明，得到，則由角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，據(jù)此證明即可；（2）①先證明，得到，接著再設(shè)未知數(shù)，構(gòu)造方程如下：設(shè)，得，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，得，設(shè)，則，利用勾股定理，線段的垂直平分線解答即可．②根據(jù)，證明，得到，列出比例式，得到，解得．③根據(jù)，是定值，故要使得的最大，只需上的高最大，故當(dāng)?shù)难娱L線與的延長線互相垂直時，的最大，設(shè)二線交點(diǎn)為Q，的延長線與的交點(diǎn)為T，選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，計算解答即可．【小問1詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，則，∵矩形,∴，，∴，∴，∵∴，∴，∵,∴．【小問2詳解】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，∵矩形,∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，整理，得，解得（舍去），∴；過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∴，解得（舍去），∴，∴，∴直線是線段的垂直平分線，∴．②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，則，∵矩形,∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得．③∵中點(diǎn)M，∴,∴，定值，∴要使得最大，只需上的高最大，∴，故當(dāng)?shù)难娱L線與的延長線互相垂直時，的最大，設(shè)二線交點(diǎn)為Q，的延長線與的交點(diǎn)為T，∵，，∴，∴，∴，∴，解得，∴，∴，∴，∴．故的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的