12.1定義與命題定義對名稱或術(shù)語進行描述或作出規(guī)定,就叫做該名稱或術(shù)語的定義。定義的一般形式有：“……叫做……”，“……是……”“……稱為……”命題判斷一件事情的句子叫做命題.命題的特征：是句子、有判斷(只需作出判斷、無關(guān)對錯.)真命題、假命題如果條件成立，那么結(jié)論成立，像這樣的命題叫做真命題.命題的條件成立時，不能保證結(jié)論總是正確的，也就是說結(jié)論不成立，像這樣的命題叫做假命題.判斷一個命題是假命題只需舉出一個反例.使之具有命題的條件，而不具有命題的結(jié)論。題型1：認識定義1．等腰三角形的定義是．【分析】根據(jù)等腰三角形的定義回答即可?！窘獯稹拷猓河袃蛇呄嗟鹊娜切问堑妊切?。【變式1-1】下列句子中屬于定義的是________．①兩點確定一條直線;②兩邊相等的三角形是等腰三角形;③同角或等角的余角相等;④兩點之間的線段的長度，叫做這兩點之間的距離;⑤兩直線平行，內(nèi)錯角相等;⑥點到直線的距離是該點到這條直線的垂線段的長度.【分析】通過判斷是否對名稱或術(shù)語進行描述或作出規(guī)定，來確認是否為定義．【解答】解：②④⑥分別對名稱和術(shù)語做了具體的描述，所以屬于定義。題型2：認識命題2.下列語句：①鈍角大于90°；②兩點之間，線段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁內(nèi)角不互補，兩直線不平行．其中不是命題的是．【分析】根據(jù)命題的定義：對一件事情作出判斷，是陳述句，進行判斷即可．【解答】解：①鈍角大于90°、②兩點之間，線段最短、⑤同旁內(nèi)角不互補，兩直線不平行，都對事情作出了判斷，因此都屬于命題；③明天可能下雨，沒有對一件事情作出判斷，因此不是命題；④作AD⊥BC屬于作圖語言，并未進行判斷，因此不是命題，故答案為：③④．【變式2-1】命題“在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行”的題設(shè)是，結(jié)論是．【分析】命題常常可以寫為“如果……那么……”的形式，如果后面接題設(shè)，而那么后面接結(jié)論；根據(jù)上步的知識，從命題的定義出發(fā)，尋找題設(shè)和結(jié)論就可以了．【解答】解：∵該命題可改寫為：如果在同一平面內(nèi)兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行，∴題設(shè)是：在同一平面內(nèi)兩條直線垂直于同一條直線，結(jié)論是：這兩條直線平行．故答案為：在同一平面內(nèi)兩條直線垂直于同一條直線，這兩條直線平行．【變式2-2】把下列命題寫成“如果…那么…”的形式：“對頂角相等”：．【分析】命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論，由此即可解答．【解答】解：把“對頂角相等”寫成“如果…那么…”的形式：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．故答案為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．題型3：判斷真命題與假命題3.命題“若ax2＞bx2，則a＞b”是真命題．（填“真”或“假”）【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可解答．【解答】解：∵ax2＞bx2∴x2＞0，∴命題“若ax2＞bx2，則a＞b”是真命題．故答案為：真．【變式3-1】命題“任意兩個直角都相等”是真（填“真”或“假”）命題．【分析】根據(jù)真假命題可進行求解．【解答】解：命題“任意兩個直角都相等”是真命題；故答案為：真．【變式3-2】已知命題：①如果|x|＝x，那么x＞0；②如果a2＝9，那么a＝3；③等角的余角相等；④兩個相等的角是對頂角．其中是假命題的序號有①②④．【分析】根據(jù)絕對值定義可判定①，由平方的概念可判定②，由余角定義可判斷③，根據(jù)對頂角定義可判斷④．【解答】解：如果|x|＝x，那么x≥0，故①是假命題；如果a2＝9，那么a＝3或a＝﹣3，故②是假命題；等角的余角相等；故③是真命題；兩個相等的角不一定是對頂角，故④是假命題；∴假命題有：①②④，故答案為：①②④．【變式3-3】要說明命題“若a＜1，則a2＜1”是假命題，可以舉的反例是a＝?2（答案不唯一）（一個即可）【分析】要使得a2＜1成立，則?1＜a＜1，因此舉反例可列舉a≤?1的數(shù)字即可．【解答】解：由題意，當(dāng)a＝?2時，滿足a＜1，但不滿足a2＜1，故答案為：?2（答案不唯一）．題型4：命題的應(yīng)用4.已知：如圖，△ABC中，點D、E是邊BC上的兩點，點G是邊AB上一點，連接EG并延長．交CA的延長線于點F．從以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF＝∠F，三個條件中選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，構(gòu)成一個正確的數(shù)學(xué)命題，并加以證明．條件：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，結(jié)論：③∠AGF＝∠F．（填序號）證明：．【分析】?、佗冢鶕?jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：條件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；結(jié)論是③∠AGF＝∠F，證明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∵EF∥AD，∴∠AGF＝∠BAD，∠F＝∠DAC，∴∠AGF＝∠F，故答案為：①AD平分∠BAC，②EF∥AD；③∠AGF＝∠F．【變式4-1】觀察下列算式，完成問題：算式①：42﹣22＝12＝4×3算式②：62﹣42＝20＝4×5算式③：82﹣62＝28＝4×7算式④：102﹣82＝36＝4×9…（1）按照以上四個算式的規(guī)律，請寫出算式⑤：122﹣102＝44＝4×11；（2）上述算式用文字表示為：“任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都是4的奇數(shù)倍”．若設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)分別為2n和2n+2（n為整數(shù)），請證明上述命題成立；（3）命題“任意兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差都是4的奇數(shù)倍”是否成立？若成立，請證明；若不成立，請舉出反例．【分析】（1）根據(jù)題意即可得出答案；（2）根據(jù)平方差公式（2n+2）2﹣（2n）2＝4（2n+1），即可得出答案；（3）先設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2n+1和2n﹣1，再由平方差公式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n＝4×2n，即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，可得算式⑤：122﹣102＝44＝4×11，故答案為：122﹣102＝44＝4×11；（2）由題意可得，（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝（4n+2）×2＝4（2n+1），∵4（2n+1）能被4整除，且2n+1為奇數(shù)，∴任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都是4的奇數(shù)倍，成立；（3）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2n+1和2n﹣1，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝4×2n，∵2n是偶數(shù)，∴任意兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差都是4的奇數(shù)倍，不成立．例如：72﹣52＝12×2＝24＝4×6，即72﹣52是4的6倍，6是偶數(shù)，不是奇數(shù)．一．選擇題（共7小題）1．下列命題為真命題的是（）A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 B．如果a2＝b2，那么a＝b C．過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行 D．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行【分析】根據(jù)平方根的概念、平行線的判定和性質(zhì)、平行公理判斷即可．【解答】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本選項說法是假命題，不符合題意；B、如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，故本選項說法是假命題，不符合題意；C、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，本選項說法是真命題，符合題意；D、垂直于同一直線的兩條直線互相平行，故本選項說法是假命題，不符合題意；故選：C．2．關(guān)于命題：若|a|＞|b|，則a＞b．下列說法正確的是（）A．它是真命題 B．它是假命題，反例a＝3，b＝﹣4 C．它是假命題，反例a＝4，b＝3 D．它是假命題，反例a＝﹣4，b＝3【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：若|a|＞|b|，當(dāng)a＞b＞0時，則a＞b；當(dāng)a＜b＜0時，則a＜b，故選：D．3．下列命題中，假命題的是（）A．若|a|＝﹣a，則a＜0 B．若a＝b，則a2＝b2 C．同角的余角相等 D．兩直線平行，同位角相等【分析】利用絕對值的性質(zhì)、余角的定義及平行線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、若|a|＝﹣a，則a≤0，故原命題錯誤，是假命題，符合題意；B、若a＝b，則a2＝b2，正確，是真命題，不符合題意；C、同角的余角相等，正確，是真命題，不符合題意；D、兩直線平行，同位角相等，正確，是真命題，不符合題意．故選：A．4．下列命題為真命題的是（）A．鄰補角的角平分線互相垂直 B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 C．相等的角是對頂角 D．互補的兩個角的角平分線互相垂直【分析】利用鄰補角的定義、平行線的性質(zhì)、對頂角的定義等知識分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、鄰補角的平分線互相垂直，正確，是真命題，符合題意；B、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；C、相等的角不一定是對頂角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；D、互補的兩個角的角平分線不一定垂直，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．故選：A．5．下列選項中，可以用來說明命題“若a＞b，則a2＞b2”屬于假命題的反例是（）A．a(chǎn)＝2，b＝1 B．a(chǎn)＝﹣2，b＝﹣1 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝1【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則、有理數(shù)的乘方法則計算，判斷即可．【解答】解：當(dāng)a＝﹣1，b＝﹣2時，a＞b，而a2＜b2，說明命題“若a＞b，則a2＞b2”屬于假命題，故選：C．6．為說明命題“若m＞n，則m2＞n2”是假命題，所列舉反例正確的是（）A．m＝3，n＝6 B．m＝6，n＝3 C．m＝﹣3，n＝﹣6 D．m＝﹣6，n＝﹣3【分析】根據(jù)所舉反例應(yīng)滿足：m＞n，m2≤n2，逐一進行判斷即可．【解答】解：A．3＜6，故選項錯誤，不符合題意；B．6＞3，62＞32，故選項錯誤，不符合題意；C．﹣3＞﹣6，（﹣3）2＜（﹣6）2，可以推出原命題是假命題，故選項正確，符合題意；D．﹣6＜﹣3，故選項錯誤，不符合題意；故選：C．7．下列命題為真命題的是（）A．若a＞b，則ac2＞bc2 B．若a＞b，則a（c2﹣1）＞b（c2﹣1） C．若ac2＞bc2，則a＞b D．若a2＞b2，則a＞b【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、若a＞b，c≠0，則ac2＞bc2，故本選項說法是假命題，不符合題意；B、若a＞b，c≠±1，則a（c2﹣1）＞b（c2﹣1），故本選項說法是假命題，不符合題意；C、若ac2＞bc2，則a＞b，是真命題，符合題意；D、當(dāng)a2＞b2時，a與b的大小不能確定，故本選項說法是假命題，不符合題意；故選：C．二．填空題（共6小題）8．下列命題中：①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③若∠1＝40°，∠2的兩邊與∠1的兩邊分別平行，則∠2＝40°或140°；④若b⊥c，a⊥c，則b∥a．其中假命題的是①②④（填寫序號）．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、平行公理判斷即可．【解答】解：①兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本小題說法是假命題；②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本小題說法是假命題；③若∠1＝40°，∠2的兩邊與∠1的兩邊分別平行，則∠2＝40°或140°，是真命題；④在同一平面內(nèi)，若b⊥c，a⊥c，則b∥a，故本小題說法是假命題；故答案為：①②④．9．把命題“負數(shù)的偶次冪是正數(shù)”改寫成“如果……，那么……”的形式：如果一個數(shù)是負數(shù)，那么它的偶次冪是正數(shù)．【分析】根據(jù)命題的改寫方法，進行改寫即可．【解答】解：把命題“負數(shù)的偶次冪是正數(shù)”改寫成“如果……，那么……”的形式：如果一個數(shù)是負數(shù)，那么它的偶次冪是正數(shù)；故答案為：如果一個數(shù)是負數(shù)，那么它的偶次冪是正數(shù)．10．關(guān)于某個四邊形的三個特征描述：①對角線互相垂直；②對角線互相平分；③一組鄰邊相等．選擇其中兩個作為條件，另一個作為結(jié)論．若該命題是假命題，則選擇的條件是①③．（填序號）【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)逐一判定即可．【解答】解：①②為條件，③為結(jié)論時為真命題：對角線互相垂直且對角線互相平分的四邊形是菱形，菱形的鄰邊相等；②③為條件，①為結(jié)論時為真命題：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，菱形的對角線互相垂直；①③為條件，②為結(jié)論時為假命題：由對角線互相垂直及一組鄰邊相等不能推出對角線互相平分；故答案為：①③．11．下列命題中，真命題有①（填序號）．①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補；②點到直線的距離是指直線外一點到這條直線的垂線的長度；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④在同一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，有兩個或三個交點；⑤若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；⑥如果兩條直線被第三條直線所截，那么同位角相等．【分析】根據(jù)角的關(guān)系、點到直線的距離，平行線的判定和性質(zhì)判斷即可．【解答】解：①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補，是真命題；②點到直線的距離是指直線外一點到這條直線的垂線段的長度，原命題是假命題；③過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原命題是假命題；④在同一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，有1個或三個交點，原命題是假命題；⑤若a⊥b，b⊥c，則a∥c，原命題是假命題；⑥如果兩條平行線被第三條直線所截，那么同位角相等，原命題是假命題．故答案為：①．12．用一個a的值說明命題“若a＞0，則a＞1a”是假命題，則這個值可以是a＝【分析】根據(jù)a與1a【解答】解：當(dāng)a=12時，則1a∴命題“若a＞0，則a＞故答案為：1213．能說明命題：“若兩個角α，β互補，則這兩個角必為一個銳角一個鈍角”是假命題的反例是α＝90°，β＝90°．【分析】舉出一個反例即可．【解答】解：若兩個角α，β互補，則這兩個角不一定一個是銳角一個是鈍角，如α＝90°，β＝90°，故答案為：α＝90°，β＝90°．三．解答題（共4小題）14．將下列命題改寫成“如果…，那么…”的形式，并判斷它們是真命題還是假命題，若是假命題，請舉出反例．（1）互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零；（2）同旁內(nèi)角互補；（3）等角的余角相等．【分析】分析題意，先找出各個命題的條件和結(jié)論，再根據(jù)如果+條件，那么+結(jié)論，即可進行改寫，再判斷真假．【解答】解：（1）如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；是真命題；（2）如果兩個角是同旁內(nèi)角，那么它們互補；是假命題，反例：如圖，∠1和∠2是同旁內(nèi)角，但兩直線不平行，故∠1和∠2不互補；（3）如果兩個角相等，那么它們的余角也相等；是真命題．15．已知命題“如果兩條平行線被第三條直線所截，那么一對內(nèi)錯角的平分線互相平行．”（1）寫出命題的題設(shè)和結(jié)論；（2）畫出符合命題的幾何圖形；（3）用幾何語言敘述這個命題；（4）說明這個命題是真命題的理由．【分析】（1）根據(jù)命題寫成“如果…，那么…”的形式，如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論，即可得答案；（2）先畫AB∥CD，再畫GH、MN分別平分∠BGF和∠EMC即可；（3）根據(jù)圖形用字母表示敘述即可；（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BGM＝∠CMG，再由GH、MN分別平分∠BGF和∠EMC，可得∠HGM＝∠NMG，即可得答案．【解答】解：（1）題設(shè)：兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：一對內(nèi)錯角的平分線互相平行；（2）如下圖所示：；（3）如上圖，已知AB∥CD，GH、MN分別平分∠BGF和∠EMC，求證：GH∥MN；（4）真命題，理由：∵AB∥CD，∴∠BGM＝∠CMG，又∵GH、MN分別平分∠BGF和∠EMC，∴∠HGM=12∠BGM，∠NMG=1∴∠HGM＝∠NMG，∴GH∥MN．16．如圖，有如下三個論斷：①AD∥EF，②∠1+∠2＝180°，③DG∥AB．（1）請從這三個論斷中選擇兩個作為題設(shè)，余下的一個作為結(jié)論，構(gòu)成一個真命題．試用“如果……那么……”的形式寫出來；（寫出所有的真命題，不要說明理由）（2）請你在上述真命題中選擇一個進行證明．【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合圖形，寫出命題；（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）①如圖，如果AD∥EF，∠1+∠2＝180°，那么DG∥AB；②如圖，如果∠1+∠2＝180°，DG∥AB，那么