第第頁第8章概率單元綜合能力測(cè)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由對(duì)稱性可知，故.故選：A2．袋中有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（

）A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】B【解析】設(shè)第一次取得白球?yàn)槭录诙稳〉眉t球?yàn)槭录?，所以在第一次取得紅球前提下，則第二次取得白球的概率為：.故選：B.3．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：589則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以.故選：D4．隨機(jī)變量，若，，則（

）A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85【答案】C【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，，解得，所以，故選：C5．在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最小的一組是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，所以，對(duì)于B，所以，對(duì)于C，所以，對(duì)于D，所以，故選：C6．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，則的最大值為（

）X012PaA． B． C． D．1【答案】C【解析】，故，易得，，則，故，，又因?yàn)椋裕蔬x：C．7．袋子中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球，甲先從袋子中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸出的球不再放回，然后乙從袋子中隨機(jī)摸一個(gè)球，若甲?乙兩人摸到紅球的概率分別為，則（

）A． B．C． D．或【答案】A【解析】設(shè)為“甲摸到紅球”，為“乙摸到紅球”，而乙兩人摸到紅球可分為甲摸到紅球后乙摸到紅球、甲摸到藍(lán)球后乙摸到紅球，則，而，故，故選：A.8．江先生每天9點(diǎn)上班，上班通常開私家車加步行或乘坐地鐵加步行，私家車路程近一些，但路上經(jīng)常擁堵，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，從停車場(chǎng)步行到單位要6分鐘；江先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線長(zhǎng)且乘客多，所需間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘，從統(tǒng)計(jì)的角度出發(fā)，下列說法中合理的有（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，A．若出門，則開私家車不會(huì)遲到B．若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C．若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大D．若出門，則乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)滿足時(shí)，江先生仍舊有可能遲到，只不過發(fā)生的概率較小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，若出門，①江先生開私家車，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生開私家車不會(huì)遲到；②江先生乘坐地鐵，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生乘坐地鐵不會(huì)遲到；此時(shí)兩種上班方式，江先生不遲到的概率相當(dāng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若出門，①江先生開私家車，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生開私家車不會(huì)遲到；②江先生乘坐地鐵，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生乘坐地鐵不會(huì)遲到；此時(shí)兩種上班方式，顯然江先生開私家車不遲到的可能性更大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若出門，江先生乘坐地鐵上班，當(dāng)滿足時(shí)，江先生乘坐地鐵不會(huì)遲到，此時(shí)不遲到的可能性極小，故江先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：01230.40.30.2若離散型隨機(jī)變量滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由分布列的性質(zhì)知，則，故，故A正確；，故C錯(cuò)誤；則，故B正確；所以，故D正確．故選：ABD．10．若隨機(jī)變量，下列說法中正確的有（

）A． B．期望C．期望 D．方差【答案】AC【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，則，，，由期望的性質(zhì)可得，由方差的性質(zhì)可得，AC對(duì)，BD錯(cuò).故選：AC.11．某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn).部分芯片由智能檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分次品芯片會(huì)被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗(yàn).記表示事件“某芯片通過智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”，表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，該款芯片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取個(gè)，這個(gè)芯片中恰有個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間，則下列說法正確的是（

）（若，則）A．B．C．D．取得最大值時(shí)，的估計(jì)值為53【答案】ACD【解析】依題意，，A正確；由，則，又，于是，即，因此，即，則，B錯(cuò)誤；由又，C正確；，設(shè)，由，解得，即，由，解得，即，所以最大時(shí)的估計(jì)值為53，D正確.故選：ACD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．某科研型農(nóng)場(chǎng)試驗(yàn)了生態(tài)柳丁的種植，在種植基地從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取100個(gè)，得到其質(zhì)量（單位：g）的頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表如圖．已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取1個(gè)柳丁，則該柳丁為商品果的概率為．質(zhì)量/g商品果率0.70.80.80.90.7【答案】/【解析】記事件“從柳丁中任取1個(gè)為商品果”，由全概率公式可得，故答案為：.13．為準(zhǔn)備2022年北京一張家口冬奧會(huì)，某冰上項(xiàng)目組織計(jì)劃招收一批9~14歲的青少年參加集訓(xùn)，以選拔運(yùn)動(dòng)員，共有10000名運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加測(cè)試，其測(cè)試成績(jī)（滿分100分）服從正態(tài)分布，成績(jī)?yōu)?0分及以上者可以進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)，已知80分及以上的人數(shù)為228人，請(qǐng)你通過以上信息，推斷進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)的人數(shù)為．附：，，．【答案】13【解析】正態(tài)分布，可知，分及以上的人數(shù)為人，則，由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可得：，得，所以，則，則分及以上的人數(shù)為人.故答案為：.14．“布朗運(yùn)動(dòng)”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉組成，某粒子作布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達(dá)容器外就會(huì)被外部捕獲裝置所捕獲，此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號(hào)倉，則試驗(yàn)結(jié)束時(shí)該粒子是從1號(hào)倉到達(dá)容器外的概率為．【答案】【解析】設(shè)從出發(fā)最終從1號(hào)口出的概率為，所以，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）今天，中國航天仍然邁著大步向浩瀚字宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就.某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識(shí)測(cè)試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，按照，，，分組，得到如圖所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)；(2)從測(cè)試成績(jī)?cè)诘耐瑢W(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑選出4道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽.現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對(duì)4道，乙能答對(duì)3道，且甲、乙兩人各題是否答對(duì)相互獨(dú)立，記甲、乙兩人中進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為，求分布列及期望.【解析】（1）成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，由于，，故該校學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)落在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為（2）從6道題中選4道共有種選擇，因?yàn)榧啄艽饘?duì)其中的4道，故甲能進(jìn)行復(fù)賽的情況有種，故甲能進(jìn)行復(fù)賽的概率為，不能進(jìn)復(fù)賽的概率為，因?yàn)橐夷艽饘?duì)其中的3道，故乙能進(jìn)行復(fù)賽的情況有種，故乙能進(jìn)行復(fù)賽的概率為，不能進(jìn)復(fù)賽的概率為，的可能取值為，，，，故分布列如下：012數(shù)學(xué)期望為.16．（15分）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0，已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.8和0.2；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的.若已知接收的信號(hào)為0，求發(fā)送的信號(hào)為1的概率.【解析】設(shè)A表示“發(fā)送的信號(hào)為0”，B表示“接收的信號(hào)為0”，則表示“發(fā)送的信號(hào)為1”，表示“接收的信號(hào)為1”.由題意得，，，，，.由貝葉斯公式有.故已知接收的信號(hào)為0，則發(fā)送的信號(hào)為1的概率為.17．（15分）法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)到同一家面包店購買一個(gè)面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g，上下浮動(dòng)不超過50g．這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布．(1)已知如下結(jié)論：若X～N（μ，σ2），從X的取值中隨機(jī)抽取k（k∈N*，k≥2）個(gè)數(shù)據(jù)，記這k個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機(jī)變量Y～N.利用該結(jié)論解決下面問題．①假設(shè)面包師的說法是真實(shí)的，隨機(jī)購買25個(gè)面包，記隨機(jī)購買25個(gè)面包的平均值為Y，求P（Y≤980）；②龐加萊每天都會(huì)將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在區(qū)間（950，1050）內(nèi)，并得出計(jì)算25個(gè)面包的平均質(zhì)量為978.72g．龐加萊通過分析舉報(bào)了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個(gè)面包，其中黑色面包2個(gè)；第二箱中共裝有8個(gè)面包，其中黑色面包3個(gè)．現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個(gè)面包，求取出黑色面包個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：①若隨機(jī)變量η服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.9973；②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生．【解析】（1）①因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?②由①知，又由這25個(gè)面包的平均質(zhì)量為，因?yàn)?，而為小概率事件，小概率事件基本不?huì)發(fā)生，這就是龐加萊舉報(bào)該面包的理由.（2）設(shè)取出黑色面包的個(gè)數(shù)為，則的所有可能取值為，可得，，，所以分布列為012所以期望為.18．（17分）11月29日，遼寧省政府新聞辦召開“山海有情天遼地寧”冰雪主題系列首場(chǎng)現(xiàn)場(chǎng)新聞發(fā)布會(huì)，該會(huì)重點(diǎn)介紹今年沈陽市深入開展冰雪旅游?冰雪運(yùn)動(dòng)?冰雪文化的主要舉措?重點(diǎn)活動(dòng)和亮點(diǎn)特色.某冰雪樂園計(jì)劃推出冰雪優(yōu)惠活動(dòng)，發(fā)放冰雪消費(fèi)券.該冰雪樂園計(jì)劃通過摸球兄獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客發(fā)放消費(fèi)券，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸取2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲得的消費(fèi)券的總額.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中1個(gè)所標(biāo)的面值為30元，其余3個(gè)均為20元，求顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為50元的概率.(2)該冰雪樂園對(duì)消費(fèi)券總額的預(yù)算是100000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值40元?60元的2種球組成，或由標(biāo)有面值30元?50元?70元的3種球組成.為了使顧客得到的消費(fèi)券總額的期望符合該冰雪樂園的預(yù)算且每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)方案，并說明理由.【解析】（1）顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為50元的概率為.（2）根據(jù)該冰雪樂園的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為100元，所以先尋找期望為100元的可能方案.對(duì)于面值由40元?60元組成的情況：如果選擇的方案，因?yàn)?00元是面值之和的最大值，所以期望不可能為100元；如果選擇的方案，因?yàn)?00元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為100元；因此可能的方案是，記為方案1.方案1，設(shè)每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為，則的取值范圍是，，則.對(duì)于面值由30元?50元?70元組成的情況：可能的方案是，，分別記為方案2，方案3，方案4.易知方案2，方案3，方案4每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額的期望依次增大，所以先研究方案3.方案3，設(shè)每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為，則的取值范圍是，，則.所以在方案2，方案3，方案4中，方案3符合該冰雪樂園的預(yù)算.因?yàn)?，所以比較方案1，方案3的方差.，.因?yàn)椋赃x擇方案1，即這4個(gè)球的面值為40元?40元?60元?60元.19．（17分）現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1，2，…，n的n個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球．現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒