2021-2022學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【浙教版】專題2.13勾股定理與翻折問題（重難點培優(yōu)）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2020?棗莊）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，點E在邊BC上，將△ABE沿直線AE折疊，點B恰好落在對角線AC上的點F處，若∠EAC＝∠ECA，則AC的長是（）A．33 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)折疊的性質得到AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質得到AF＝CF，于是得到結論．【解析】】∵將△ABE沿直線AE折疊，點B恰好落在對角線AC上的點F處，∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴AF＝CF，∴AC＝2AB＝6，故選：D．2．（2017秋?嶗山區(qū)期末）如圖，將矩形ABCD沿GH對折，點C落在Q處，點D落在AB邊上的E處，EQ與BC相交于點F，若AD＝8，AE＝4，AB＝6，則△EBF周長的大小為（）A．8 B．10 C．12 D．6【分析】設AH＝a，則DH＝AD﹣AH＝8﹣a，通過勾股定理即可求出a值，再根據(jù)同角的余角互補可得出∠BFE＝∠AEH，從而得出△EBF∽△HAE，根據(jù)相似三角形的周長比等于對應比即可求出結論．【解析】】設AH＝a，則DH＝AD﹣AH＝8﹣a，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°，AE＝4，AH＝a，EH＝DH＝8﹣a，∴EH2＝AE2+AH2，即（8﹣a）2＝42+a2，解得：a＝3．∵∠BFE+∠BEF＝90°，∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠BFE＝∠AEH．又∵∠EAH＝∠FBE＝90°，∴△EBF∽△HAE，∴C△EBFC∵C△HAE＝AE+EH+AH＝AE+AD＝12，∴C△EBF=23C△HAE＝8故選：A．3．（2019春?臥龍區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點C落在AB邊上的點E處，AD是折痕，則△BDE的周長為（）A．6 B．8 C．12 D．14【分析】利用勾股定理求出AB＝10，利用翻折不變性可得AE＝AC＝6，推出BE＝4即可解決問題．【解析】】在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∴AB=62+由翻折的性質可知：AE＝AC＝6，CD＝DE，∴BE＝4，∴△BDE的周長＝DE+BD+BE＝CD+BD+E＝BC+BE＝8+4＝12，故選：C．4．（2019秋?呼蘭區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝15，AC＝12．沿過點D的直線折疊這個三角形，使點A落在BC邊上的點E處，折痕為CD，則△BDE的周長是（）A．15 B．12 C．9 D．6【分析】根據(jù)翻折變換的性質得到DE＝DA，CE＝CA＝12，根據(jù)已知求出BE的長，根據(jù)三角形周長公式計算即可．【解析】】由折疊的性質可知，DE＝DA，CE＝CA＝12，∵BC＝15，∴BE＝BC﹣CE＝3∴△BDE的周長＝BE+BD+DE＝3+BD+AD＝3+AB＝3+9＝12，即△BDE的周長為12．故選：B．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝6，點E在邊CD上，且CE=23m．連接BE，將△BCE沿BE折疊，點C的對應點C'恰好落在邊AD上，則mA．33 B．23 C．3 D．5【分析】先證明∠DC'E＝30°，則∠AC'B＝60°，再由銳角三角函數(shù)定義得AB＝33即可．【解析】】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝m，∠A＝∠D＝∠C＝90°．∵將△BCE沿BE折疊，點C的對應點C'恰好落在邊AD上，∴BC'＝BC＝6，∠BC'E＝∠C＝90°，C'E＝CE=23m，DE＝CD﹣CE＝m-23m∴DE=12C'E∴∠DC'E＝30°，∴∠AC'B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴AB＝BC'×sin∠AC'B＝6×32=3即m＝33；故選：A．6．（2019春?瑤海區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是BC邊上一點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在點B′處，連接CB′，則CB′的最小值是（）A．13-2 B．13+2 C．13-3 D【分析】由矩形的性質得出∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折疊的性質得：AB'＝AB＝2，當A、B'、C三點共線時，CB'的值最小，由勾股定理得出AC=AB2+BC2=13，得出CB'＝【解析】】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折疊的性質得：AB'＝AB＝2，當A、B'、C三點共線時，CB'的值最小，此時AC=AB∴CB'＝AC﹣AB'=13-2故選：A．7．（2021?遵義）如圖，將矩形紙片ABCD的兩個直角進行折疊，使CB，AD恰好落在對角線AC上，B′，D′分別是B，D的對應點，折痕分別為CF，AE．若AB＝4，BC＝3，則線段B′D′的長是（）A．52 B．2 C．32 D．【分析】由折疊可得，△DAE≌△D'AE，△BCF≌△B'CF，則AD'＝3，CB'＝3，再由勾股定理求出AC＝5，由B'D'＝AD'+B'C﹣B'D'即可求解．【解析】】由折疊可得，△DAE≌△D'AE，△BCF≌△B'CF，∴AD＝AD'，BD＝B'C，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，AD'＝3，CB'＝3，∴B'D'＝AD'+B'C﹣B'D'＝3+3﹣5＝1，故選：D．8．（2021春?武漢期末）如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE折疊后得到△AFE，點F在矩形內(nèi)部．延長AF交CD于點H，若AD＝4，CH=43，則折痕AEA．13 B．22 C．3 D．23【分析】連接EH，先證明Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），得到CH＝FH，設AB＝x，則有AH＝x+43，DH＝x-43，在Rt△ADH中，(x+43)2=42+(x-43)2，解出x＝3，在Rt△【解析】】連接EH，∵E是BC的中點，∴BE＝EC，∵將△ABE折疊后得到△AFE，∴∠AFE＝∠B＝90°，BE＝EF，∴EF＝EC，∵矩形ABCD，∴∠C＝90°，∴Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），∴CH＝FH，∵AD＝4，CH=43設AB＝x，則有AH＝x+43，DH＝x-在Rt△ADH中，(x+43)2=∴x＝3，在Rt△ABE中，BE＝2，AB＝3，∴AE=13，故選：A．9．（2021春?長沙期中）如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地AB＝2.5米，當人體進入感應器的感應范圍內(nèi)時，感應門就會自動打開．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（BC＝1.2米），感應門自動打開，則人頭頂離感應器的距離AD等于（）A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米【分析】過點D作DE⊥AB于點E，構造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的長度即可．【解析】】如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE2故選：B．10．（2020秋?金川區(qū)校級期末）如圖，OP＝1，過點P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1=2；再過點P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2=3；又過點P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法繼續(xù)作下去，得OP2017A．2015 B．2016 C．2017 D．2018【分析】根據(jù)勾股定理分別求出每個直角三角形斜邊長，根據(jù)結果得出規(guī)律，即可得出答案．【解析】】∵OP＝1，OP1=2，OP2=3，OP3=4∴OP4=22…，OP2017=2018．故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2020春?晉城期末）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點C落在AB邊上的點E處，AD是折痕，則△BDE的周長為12．【分析】利用勾股定理求出AB＝10，利用翻折不變性可得AE＝AC＝6，推出BE＝4即可解決問題．【解析】】在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，由翻折的性質可知：AE＝AC＝6，CD＝DE，∴BE＝4，∴△BDE的周長＝DE+BD+BE＝CD+BD+BE＝BC+BE＝8+4＝12，故答案為：12．12．（2020春?南崗區(qū)校級期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D為BC上一點，將AC沿AD折疊，使點C落在AB上點C1處，則CD的長為3．【分析】先根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)折疊的性質求得AC1，BC1的長，從而利用勾股定理可求得CD的長．【解析】】∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，由折疊可得AC1＝AC＝6，∴BC1＝10﹣6＝4，設CD＝x，則BD＝8﹣x，在Rt△DBC1中，42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3．∴CD＝3，故答案為：3．13．（2018秋?錦江區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，點D是邊BC上一點．若沿AD將△ACD翻折，點C剛好落在AB邊上點E處，則AD＝35．【分析】由勾股定理可知BC＝8．由折疊的性質得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90?，設DE＝DC＝x，則BD＝8﹣x，在Rt△BED中依據(jù)勾股定理列方程得出CD＝3，再由勾股定理即可得出AD的長．【解析】】在Rt△ACB中，由勾股定理可知AC2+BC2＝AB2，∴BC=AB2由折疊的性質得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90?．設DE＝DC＝x，則BD＝8﹣x，BE＝AB﹣AE＝4．在Rt△BED中，BE2+DE2＝BD2．∴42+x2＝（8﹣x）2．∴x＝3，∴CD＝3，∴AD=AC2+C故答案為：35．14．如圖，將直角△ABC沿AD對折，使點C落在AB上的E處，若AC＝6，AB＝10，則DB＝5．【分析】翻折前后，對應線段、對應角不變，據(jù)此構建直角三角形，根據(jù)勾股定理，列方程解答即可．【解析】】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，根據(jù)勾股定理得：BC＝8根據(jù)題意得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°則BE＝4．設DE＝x，則DB＝8﹣x．在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得：（8﹣x）2＝16+x2解得x＝3，即DB＝5．15．（2020秋?北碚區(qū)期末）課本第78頁閱讀材料《從勾股定理到圖形面積關系的拓展》中有如下問題：如圖①分別以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正三角形，則圖中的S1，S2，S3滿足的數(shù)量關系是S1+S2＝S3．現(xiàn)將△ABF向上翻折，如圖②，已知S甲＝6，S乙＝5，S丙＝4，則△ABC的面積是7．【分析】由勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，由等邊三角形的面積公式得出S1=34AC2，S2=34BC2，S3=34AB2，得出S1+S2＝S3；設△ABC的面積為S，圖②中2個白色圖形的面積分別為a、b，由S1+S2＝S3，得出S甲+a+S乙+b＝S丙+a+b+S，得出S甲+S乙＝【解析】】∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵△ACE、△BCD、△ABF是等邊三角形，∴S1=34AC2，S2=34BC2，S3=34AB2，S1+S2=34（AC2+BC2）即S1+S2＝S3；設△ABC的面積為S，圖②中2個白色圖形的面積分別為a、b，如圖②所示：∵S1+S2＝S3，∴S甲+a+S乙+b＝S丙+a+b+S，∴S甲+S乙＝S丙+S，∴S＝S甲+S乙﹣S丙＝6+5﹣4＝7；故答案為：S1+S2＝S3；7．16．（2020秋?門頭溝區(qū)期末）如圖，三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10．在AC邊上取一點E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點D重合，則CE的長為3．【分析】由勾股定理可求AC的長，由折疊的性質可得，BD＝AB＝10，EA＝ED，利用勾股定理列方程求解即可．【解析】】由勾股定理得，AC=AB2-BC由折疊的性質可得，BD＝AB＝10，EA＝ED，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣6＝4，設CE＝x，則EA＝ED＝8﹣x，在Rt△DCE中，由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，故答案為：3．17．（2021?合肥三模）如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，點D是邊BC的中點，∠ABC＝∠CAD，將ACD沿直線AD翻折，點C落在點E處，連接BE，那么線段BE的長為233【分析】證△ABC∽△DAC，得出AC2＝BC×CD＝2，AC=2，由勾股定理得出AD=3，由折疊的性質得ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，得出BD＝ED，作DF⊥BE于F，則BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，證△BDF∽△DAC，求出BF=【解析】】如圖所示：∵BC＝2，點D是邊BC的中點，∴BD＝CD＝1，∵∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴AC：CD＝BC：AC，∴AC2＝BC×CD＝2×1＝2，∴AC=2，∴AD=AC由折疊的性質得：ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，∴BD＝ED，作DF⊥BE于F，則BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，∴∠BDF+∠ADC=12×180°＝∵∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BDF＝∠DAC，又∵∠DFB＝∠C＝90°，∴△BDF∽△DAC，∴BFCD=BDAD∴BF=33∴BE＝2BF=23故答案為：23318．（2020秋?道外區(qū)期末）如圖，把長方形紙片ABCD沿折痕EF折疊，使點B與點D重合，點A落在點G處，∠DFG＝68°，則∠BEF的度數(shù)為56°．【分析】根據(jù)折疊的性質和正方形的性質以及三角形內(nèi)角和解答即可．【解析】】∵把長方形紙片ABCD沿折痕EF折疊，使點B與點D重合，點A落在點G處，∴∠G＝∠A＝90°，∠GDE＝∠B＝90°，∵∠DFG＝68°，∴∠GDF＝∠G﹣∠DFG＝90°﹣68°＝22°，∴∠ADE＝∠GDE﹣∠GDF＝90°﹣22°＝68°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣68°＝22°，∴∠DEC＝90°﹣∠EDC＝90°﹣22°＝68°，由折疊可得：∠FEB＝∠FED，∴∠BEF=180°-∠DEC2故答案為：56．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2021春?朝陽區(qū)月考）如圖，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點A與BC的中點D重合，折痕為MN，求線段BN的長．【分析】設BN＝x，則由折疊的性質可得DN＝AN＝18﹣x，根據(jù)中點的定義可得BD＝6，在Rt△BND中，根據(jù)勾股定理可得關于x的方程，解方程即可求解．【解析】】設BN＝x，由折疊的性質可得DN＝AN＝18﹣x，∵D是BC的中點，∴BD＝6，在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，解得x＝8．故線段BN的長為8．20．（2010秋?肥鄉(xiāng)縣期末）在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝8．將矩形紙片沿BD折疊，使點A落在點E處，設DE與BC相交于點F，求BF的長．【分析】設BF＝x，由折疊的性質可知，DF＝BF＝x，CF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理列方程求解．【解析】】設BF＝x，由折疊的性質可知，DF＝BF＝x，CF＝8﹣x，在Rt△CDF中，CF2+CD2＝DF2，即（8﹣x）2+62＝x2，解得x=254，即BF=21．（2020春?海陵區(qū)期末）如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折疊紙片使AC邊落在AB邊上，點C落在點E處，展開紙片得折痕AD．（1）直接寫出AB的長是10；（2）求CD的長．【分析】（1）根據(jù)在直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，利用勾股定理可以求得AB的長；（2）根據(jù)折疊的性質和角平分線的性質，可以得到CD＝DE，AC＝AE，然后設CD＝x，利用勾股定理即可得到CD的長．【解析】】（1）∵直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=AC2故答案為：10；（2）由折疊的性質可知，AD是∠CAB的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，AC＝AE，∴DC＝DE，∵AC＝6，AB＝10，∴AE＝6，BE＝4，設CD＝x，則BD＝8﹣x，DE＝x，∵DE⊥BE，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得，x＝3，即CD的長是3．22．（2014秋?金華期中）如圖，有一個△ABC，三邊長為AC＝6，BC＝8，AB＝10，沿AD折疊，使點C落在AB邊上的點E處．（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．（2）求線段CD的長．【分析】（1）利用勾股定理得的逆定理判斷得出即可；（2）設CD＝x，則DE＝x，BD＝8﹣x在Rt△BDE中，則DE2+BE2＝BD2，進而求出即可．【解析】】（1）△ABC是直角三角形，理由如下：在△ABC中，∵62+82＝102，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°；（2）∵△ADE是△ADC沿直線AD翻折而成，∴∠C＝∠DEB＝90°，CD＝DE，AC＝AE＝6，設CD＝x，則DE＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，∵DE2+BE2＝BD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x2+16＝64﹣16x+x2，∴x＝3，即CD長為3．23．（1）如圖1，已知AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD所在直線對折，點C落在點E的位置（如圖1），則∠EBC等于45度．（2）如圖2，有一直角三角形紙片，兩直角邊AC＝3，BC＝4，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．【分析】（1）由折疊的性質可知∠EDA＝∠ADC＝45°，即∠EDC＝90°，DC＝DE，又AD為△ABC的中線，故BD＝DC，即BD＝DE，△BDE為等腰直角三角形，可得∠EBC＝45°；（2）由折疊的性質可知DE＝CD，AC＝AE，∠AED＝∠C＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，由BE＝AB﹣AE，設CD＝DE＝x，則BD＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理求x即可．【解析】】（1）依題意，得∠EDA＝∠ADC＝45°，即∠EDC＝90°，又∵DC＝DE，AD為△ABC的中線，∴BD＝DC，即BD＝DE，△BDE為等腰直角三角形，∴∠EBC＝45°；（2）令CD＝x，則DB＝4﹣x，由于是直角三角形且是折疊，所以AB＝5，AE＝AC＝3，DE＝x，EB＝2，因為∠AED＝∠C＝90°，故在Rt△BDE中運用勾股定理得：（4﹣x）2＝22+x2，16﹣8x＝4，解得x=32，即CD=24．（2021春?合肥期末）如圖，正方形ABCD中，點E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE翻折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結AG、CF．