1.4無窮小與無窮大_第1頁
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當1.4無窮小與無窮大

一、無窮小定義1.若時,函數則稱函數例如:函數當時為無窮小;函數時為無窮小;函數當為時的無窮小.時為無窮小.說明:1.稱一個函數為無窮小必須說明自變量的變化趨勢時,函數(或)則稱函數為

若(或)則時的無窮小.2.除0以外任何很小的常數都不是無窮小!3.0可以

看成無窮小!2、無窮大記作時,函數(或)則稱函數為定義2.若(或)則時的無窮大.說明:1）.稱一個函數為無窮大必須說明自變量的變化趨勢例如2）.無窮大不是很大的數,它是描述函數的一種狀態(tài).3）.函數為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,函數當但所以時,不是無窮大!4）.趨向于負無窮大時，不能視為無窮小前者絕對值無限變大，后者絕對值無限變小3、無窮小與無窮大的關系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則(自證)據此定理,關于無窮大的問題都可轉化為無窮小來討論.定理2.在自變量的同一變化過程中,說明:4、無窮小運算法則

1.有限個無窮小的和還是無窮小.

2.有界函數與無窮小的乘積是無窮小.3.常數與無窮小的乘積是無窮小.4.有限個無窮小的乘積是無窮小.說明:無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，例1.求解:利用定理2可知都是無窮小,引例.但可見無窮小趨于0的速度是多樣的.二、無窮小的比較定義.若則稱

是比

高階的無窮小,若若若若或設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱

是比

低階的無窮小;則稱

是

的同階無窮小;則稱

是關于

的k階無窮小;則稱

是

的等價無窮小,記作例如,當～時～～又如，故時是關于x的二階無窮小,～且例1.證明:當時,～證:～定理.設且存在

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