相似三角形的性質及應用

課前自主復習

1.相似三角形的性質

己知兩個相似三角形的相似比為左，則對應高的比為,對應中線的比為,對應角

平分線的比為,周長的比為,面積的比為.

2.相似多邊形的周長比等于,相似多邊形的面積比等于相似比的.

3.已知D、E、F分別是△ABC三邊的中點，若△ABC的周長為acm,則△DEF的周長為一

Cm；若△ABC的面積為Z?cnP,則△DEF的面積為cm2

4.雙直角三角形（射影定理）

如圖，在RtAABC中，已知NBAC=90。，ADXBC,則

由RtAABDSRSCAD可得AO2=；

由RtAABDRtACBA可得AB2=；

由RtACADRtACBA可得AC?=；

5.如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這樣的

兩個圖形叫做.這個點叫,這時的相似比又稱為.

課前基礎自測

1.如圖OABCD,F為BC中點，延長AD至點E,使DE：AD=1:3,連接EF交DC于點G,

則^SDEG-SACFG=（）

A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9

（2題）

2.如圖，正方形ABCD的邊AB上有一動點E,以EC為邊作矩形ECFG,且邊FG過點D.

在點從點A移動到點B的過程中，矩形ECFG的面積（）

A.先變大后變小B.先變小后變大C.一直變大D.保持不變

3.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E,F為CD邊的兩個三等分點，連接AE,BE交于

點G,貝!JS^EFG:S^BG=------------------1

（3題）（4題）

4.如圖，在△ABC中，BOAC,點D在BC上，且DC=AC,/ACB的平分線CF交AD

于F,點E是AB的中點，連接EF.若四邊形BDFE的面積為6,則4ABD的面積=.

5.如圖，在△ABC中，BC=6,BC邊上的高為4,在ABC的內(nèi)部作一個矩形EFGH,使EF

在BC邊上，另外兩個頂點分別在AB、AC邊上，則對角線EG的長最小值為.

A

課堂講練結合

例1.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A,D分別在x軸、y軸上，對角線

BD〃x軸，反比例函數(shù)y=&（左>0,x>0）的圖象經(jīng)過矩形對角線的交點E.若點A（2,0）,

x

D（0,4）,則左的值為（）

A.16B.20C.32D.40

例1圖例2圖

例2.如圖，已知OABCD中，AE：EB=1:2.則(1)AAEF與△CDF的周長之比為:

(2)如果S^EF=6cm2,那么S&CDF=cm2.

【跟進訓練1】如圖，在nABCD中，AC與BD相交于點O,E為OD的中點，連接AE并

延長交DC于點F,則的值為（）

A.l:3B.l:5C.l:6D.l:ll

【跟進訓練2】如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=6,點E為AD中點，點P為線段AB上

一個動點，連接EP,將△APE沿PE折疊得到△FPE,連接CE,CF,當AECF為直角三角

形時，AP的長為.

例3.如圖，矩形ABCD中，AB=a,BC=b，點M,N分別在邊AB,CD上，點E,F分別

在BC,AD上，MN,EF交于點P,記左=MN:EE若左的值為3,當點N是矩形的頂點

且/MPE=60。，MP=EF=3PE時，求a：b的值.

D

N

M

BEC

【跟進訓練3】如圖，正方形ABCD的邊長為4,點O為對角線AC、BD的交點，點E為

邊AB的中點，ABED繞著點B旋轉至ABDiEi,如果點D、E、Di在同一直線上，求EEi

的長.

例4.小波在復習時，遇到一個課本上的問題，溫故后進行了操作、推理與拓展.

(1)溫故：如圖1,在△ABC中，AD_LBC于點D,正方形PQMN的邊QM在BC上，頂

點P,N分別在邊AB,AC上，若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的邊長；

(2)操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作：

如圖2,任意畫△ABC,在AB上任取一點尸'，畫正方形PQ'MN',使點Q',M'在BC邊

上，點V在△ABC內(nèi)，連接3N'并延長交AC于點N,畫NMLBC于點M,NPLNM交

AB于點P,PQ±BC于點Q,得到四邊形PQMN.小波把線段BN稱為“波利亞線

(3)推理：證明圖2中的四邊形PQMN是正方形;

(4)拓展:在(2)的條件下,在射線BN上截取NE=NM,連接EQ,EM(如圖3).當tanZNBM=

3

:時，猜想NQEM的度數(shù)，并嘗試證明.請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題

課內(nèi)鞏固訓練

1.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若點E是邊CD的中點，連接AE,過點B作BFXAE

于點F,則BF的長為()

2.如圖，以點O為位似中心，將△ABC放大得至!]△DEF.若AD=OA,則△ABC與△DEF的

面積之比為（）

A.l:2B.l:4C.l:5D.l:6

3.七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”.由邊長為4形的正方形ABCD可

以制作一副如圖1所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形EFGH內(nèi)拼成如圖2所示的“拼

搏兔”造型（其中點Q、R分別與圖2中的點E、G重合，點P在邊EH上），貝「拼搏兔”所

在正方形EFGH的邊長是.

圖1

4.如圖，在△ABC中，已知AB=AC=4,BC=6,P是BC邊上的一動點（P不與B、C重合）,

連接AP,NB=/APE,邊PE與AC交于點D,當小APD為等腰三角形時，則PB之長為；

A

5.如圖，RtAABM和RtAADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD,其中AM=AN.

（1）求證：RtAABM^RtAAND；

（2）若MN與AD相交于點T,且AT=！A。，求tan/ABM的值;

4

課后作業(yè)

A組（基礎訓練）

1.如圖，已知D、E分別是AABC的AB、AC邊上的點，DE〃:BC,且：S醵B=1:8,

那么AE：AC等于（）

A.l:9B.l:3C.l:8D.l:2

2.如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，己知點E在CB的延長線上，連接ED交AB于點

F,AF=x（0.2<x<0.S）,EC=y,則線面函數(shù)圖象中，大致能反映y與x之間函數(shù)關系

是（）

3.兩個相似三角形的最短邊分別為5cm和3cm,它們的周長之差為12cm,那么大三角形的

周長為（）

A.14cmB.16cmC.18cmD.30cm

OE3FG

4.如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心是點O,—=—，則一=

OA5BC

5.如圖，在AABC中，已知D、E分別是AB和AC的中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，DF平

分CE于點G,CF=1,貝UBC=,AADE與AABC的周長之比為，ACFG與4

DFB的面積之比為.

6.如圖，取一張長為a,寬為b的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若

要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的a、b應滿足的條件是（）

A.a=42bB.a=2bC.a=2回D.〃=4Z?

i1

i1

i第一次對折1第二次對折

i1

bi1A

i1

i1

i1

7.如圖，已知CD是RtAABC的斜邊AB上的高，ZBAC的平分線分別交BC、CD于點E、

工4。?4石=4尸?48成立嗎？請說明理由.

8.定義：在AABC中，點D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的動點，^ADEF^AABC

(點D、E、F的對應點分別為點A、B、C),則稱4DEF是AABC的子三角形，如圖.

(1)已知：如圖1,z^ABC是等邊三角形，點D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的動點，

且AD=BE=CF.求證：ZXDEF是4ABC的子三角形.

(2)已知：如圖2,Z\DEF是AABC的子三角形，且AB=AC,ZA=90°,若BE=J^,

求CF和AD的長.

9.如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,AB=15,BC=9,在線段AB上取一點D,作DF_LAB

交AC于點F,現(xiàn)將4ADF沿DF折疊，使點A落在線段DB上，對應點記為AD原中

點E的對應點記為Ei，若△EiFAisZ\EiBF,求AD的長

B組（能力提高）

10.如圖，四邊形ABCD中，AB=4,BC=6,AB±BC,BC_LCD,E為AD中點，F(xiàn)為BE

上的點，MFE=-BE,則點F到邊CD的距離是

3

11.如圖，ZkABC是等邊三角形，AB=5,點D是邊BC上一點，連接BH、CH,當/

BHD=60°,ZAHC=90°時，DH=.

12.已知四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線相交于點E.（1）如圖（1）,若NABC=

3

/ADC=90°,求證：EZhEAnECEB；（2）如圖（2）,若NABC=120°,cos/ADC=—,

5

CD=5,AB=12,ACDE的面積為6,求四邊形ABCD的面積；（3）如圖（3）,另一組對邊

3

AB,DC的延長線相交于點F,若cos/ABC=cosNADC=I，CD=5,CF=ED="直接寫出

AD的長（用含〃的式子表示）.

B

B

13.如圖，在AABC中，ZACB=90°,CD是中線，AC=BC,一個以點D為頂點的4