北京市北京第四中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（）A． B． C． D．12．在中，，是的內(nèi)心，若，其中，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積為（）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)P(，)為角的終邊上一點(diǎn)，則（）A． B．- C． D．04．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6A．73 B．2 C．85．過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A． B．C． D．6．已知過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角為，則直線的方程為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（0，1] D．（﹣1，0）8．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．9．若函數(shù)（）的最大值與最小正周期相同，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在上是增函數(shù) B．圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?0．長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)相鄰面面積分別為，這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)，若在數(shù)列中，對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_____14．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________.15．已知等比數(shù)列的公比為2,前n項(xiàng)和為,則=______.16．若數(shù)列滿足,,則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知圓的圓心在線段上，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸相切.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程及的最小值.18．向量，，，函數(shù)．（1）求的表達(dá)式，并在直角坐標(biāo)中畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的草圖；（2）若方程在上有兩個(gè)根、，求的取值范圍及的值．19．某醫(yī)學(xué)院讀書(shū)協(xié)會(huì)欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，該協(xié)會(huì)分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．該協(xié)會(huì)確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．（Ⅰ）已知選取的是1月至6月的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出就診人數(shù)關(guān)于晝夜溫差的線性回歸方程；（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問(wèn)（Ⅰ）中該協(xié)會(huì)所得線性回歸方程是否理想？參考公式：回歸直線的方程，其中，．20．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）.為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時(shí)間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間周一周二周三周四周五車流量×（萬(wàn)輛）5051545758PM2.5的濃度（微克/立方米）6070747879（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若周六同一時(shí)間段的車流量是25萬(wàn)輛，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)此時(shí)PM2.5的濃度為多少（保留整數(shù)）？參考公式：由最小二乘法所得回歸直線的方程是：，其中，21．在中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，，，已知．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）設(shè)，，求．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

的對(duì)稱軸為，化簡(jiǎn)得到得到答案.【詳解】對(duì)稱軸為：當(dāng)時(shí)，有最小值為故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱軸，將對(duì)稱軸表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.2、A【解析】

由且，易知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為以為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)部（含邊界），在中，由，利用余弦定理求得邊，再由和，求得內(nèi)切圓的半徑，從而得到，再由動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積得解.【詳解】因?yàn)榍?，根?jù)向量加法的平行四邊形運(yùn)算法則，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)部（含邊界），因?yàn)樵谥校?，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，，所?設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，所以所以.所以.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積為：.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡所覆蓋的面積的求及正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.3、A【解析】

根據(jù)余弦函數(shù)的定義，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P(，)為角的終邊上一點(diǎn)，則.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解析】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比，（Sn≠0）所以S65、C【解析】

先求出直線的斜率，再求出所求直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解.【詳解】由題得直線的斜率為，所以所求的直線的斜率為，所以所求的直線方程為即.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查互相垂直直線的性質(zhì)，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由直線的傾斜角求得直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解．【詳解】∵直線的傾斜角為，∵直線的斜率，又直線過(guò)點(diǎn)，由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線的方程為，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．7、C【解析】

由題意可得在上為減函數(shù)，列出不等式組，由此解得的范圍.【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，其對(duì)稱軸為，∴可得，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】試題分析：由題意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)的概念.9、A【解析】

先由函數(shù)的周期可得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)值域的求法逐一判斷即可得解.【詳解】解：由函數(shù)（）的最大值與最小正周期相同，所以，即，即，對(duì)于選項(xiàng)A，令，解得：，即函數(shù)的增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，即A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，令，解得，即函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：，又無(wú)解，則B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，令，解得，即函數(shù)的對(duì)稱中心為：，又無(wú)解，則C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，即D錯(cuò)誤，綜上可得說(shuō)法正確的是選項(xiàng)A，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)值域的求法，屬中檔題.10、A【解析】

設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，根據(jù)題意有，再根據(jù)球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線求解.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，根據(jù)題意，，解得，所以，所以外接球的表面積，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的組合體問(wèn)題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用共線向量等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，且，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量來(lái)求參數(shù)，解題時(shí)要充分利用共線向量坐標(biāo)表示列等式求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

首先分析題意，可知是取和中的最大值，且是該數(shù)列中的最小項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的單調(diào)性可得出或，代入數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，是取和中的最大值，且是數(shù)列中的最小項(xiàng).若，則，則前面不會(huì)有數(shù)列的項(xiàng)，由于數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，必有，即.此時(shí)，應(yīng)有，，即，解得.，即，得，此時(shí)；若，則，同理，前面不能有數(shù)列的項(xiàng)，即，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減，.當(dāng)時(shí)，，由，即，解得.由，得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列的最小項(xiàng)求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)也考查了數(shù)列中的新定義，解題的關(guān)鍵就是要分析出數(shù)列的單調(diào)性，利用一些特殊項(xiàng)的大小關(guān)系得出不等式組進(jìn)行求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題.13、1．【解析】

利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出的值．【詳解】解：∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，

．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14、【解析】

用輔助角公式把函數(shù)解析式化成正弦型函數(shù)解析式的形式，最后利用正弦型函數(shù)的最小正周期的公式求出最小正周期.【詳解】,函數(shù)的最小正周期為.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式，考查了正弦型函數(shù)最小正周期公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15、【解析】由等比數(shù)列的定義，S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2，得＋1＋q＋q2=.16、【解析】

利用遞推公式再遞推一步,得到一個(gè)新的等式,兩個(gè)等式相減,再利用累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用所求的通項(xiàng)公式可以求出的值.【詳解】得,,所以有,因此.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了累乘法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）的方程為，最小為【解析】

（1）設(shè)圓的方程為，由題意可得，求解即可得到圓的方程；（2）過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，直線被圓截得的弦最小，求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)圓的方程為，所以，解得所以圓的方程為.（2）直線的方程可化為點(diǎn)斜式，所以過(guò)定點(diǎn)．又點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，直線被圓截得的弦最?。?yàn)椋缘男甭?，所以的方程為，即，因?yàn)?，，所以．【點(diǎn)睛】求圓的弦長(zhǎng)的常用方法幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則；②代數(shù)方法：運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式：＝＝.18、（1），見(jiàn)解析（2）或，或．【解析】

（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式即可求出的表達(dá)式，再根據(jù)五點(diǎn)作圖法或者平移法即可作出其在上的草圖；（2）依題意知，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可求出的取值范圍及的值．【詳解】（1）依題知，．將正弦函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，即可得到的圖象，截取的部分即得，如圖所示：（2）依題可知，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可知，或，當(dāng)時(shí)，兩交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以；當(dāng)時(shí)，兩交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以．故或，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式的應(yīng)用，正弦型函數(shù)圖象的畫(huà)法，以及方程的根與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合能力，以及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．19、（1）（2）該協(xié)會(huì)所得線性回歸方程是理想的【解析】試題分析:（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出x,y的平均數(shù),根據(jù)求線性回歸系數(shù)的方法,求出系數(shù),把和,代入公式,求出的值,寫(xiě)出線性回歸方程;（2）根據(jù)所求的線性回歸方程,預(yù)報(bào)當(dāng)自變量為10和6時(shí)的值,把預(yù)報(bào)的值同原來(lái)表中所給的10和6對(duì)應(yīng)的值作差,差的絕對(duì)值不超過(guò)2,得到線性回歸方程理想.試題解析:解：（Ⅰ）由數(shù)據(jù)求得，，，由公式求得，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，；同樣，當(dāng)時(shí)，，.所以，該協(xié)會(huì)所得線性回歸方程是理想的.點(diǎn)睛:求線性回歸方程的步驟:(1)先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出的值;(2)計(jì)算回歸系數(shù);(3)寫(xiě)出線性回歸方程.進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，要先畫(huà)出散點(diǎn)圖確定兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系，然后利用公式求回歸系數(shù),得到回歸直線方程，最后再進(jìn)行有關(guān)的線性分析．20、（1）；（2）37【解析】

（1）根據(jù)題中所給公式分別求出相關(guān)數(shù)據(jù)即可得解；（2）將代入（1）所得直線方程即可得解.【詳解】（1），故y關(guān)于x的線性回歸方程是：（2）當(dāng)時(shí)，所以可以預(yù)測(cè)此時(shí)PM2.5的濃度約為37.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)已知數(shù)據(jù)求回歸