最全初中數(shù)學(xué)幾何動點(diǎn)問題專題分類歸納匯總

近幾年有關(guān)“線段最值''的中考試題層出不窮，肪式多樣，往往綜合了幾何變

換、函數(shù)等方面的知識，具有一定的難度，具有很強(qiáng)的探索性，通過研究發(fā)現(xiàn)，

這些問題盡管形式多樣、背景復(fù)雜、變化不斷，但都可以通過幾何變換轉(zhuǎn)化為常

見的基本問題.

最值題目類型多：作圖、計(jì)算：有求差最大，求和最?。呵笾荛L最小、求時(shí)間最

短；求最值、已知最值求待定系數(shù)等：對稱載體多：幾乎涉及到初中全部的軸

對稱圖形(角、線段、等腰三角身、等腰梯彩、菱彩、正方形、拋物線、圓、坐

標(biāo)軸).

我們知道“對稱、平移、旋轉(zhuǎn)”是三種保形變換.通過這三種幾何變換可以實(shí)現(xiàn)

圖形在保持彩狀、大小不變的前梃下而使其位置發(fā)生變化，具有更緊湊的位置關(guān)

系或組合成新的有利論證的基本圖彩.通過幾何變換移動線段的位置是解決最值

問題的有效手段，題可是千變?nèi)f化的，但是運(yùn)用幾何變換把最值問邈轉(zhuǎn)化為基本

問題卻是不變的。

數(shù)學(xué)問題是千變?nèi)f化的，幾何變換的應(yīng)用也不是單一的，有些問題需要多種變換

的組合才能解決，看看以下策略對解決問題能否奏效。

(1)去偽存真。刨去不變的線段，看清楚究竟是幾段和的最小值問題，必須仔

細(xì)研究迎目的背景，搞清楚哪些是動點(diǎn)、哪些是定點(diǎn)、哪些是定長。

(2)科學(xué)選擇。捕捉題目的信號，探索變換的基礎(chǔ)，選擇變換的手段.平移把

不“連”的線段“接”起來，旋轉(zhuǎn)把“碰頭”的線段“展”開來重“接”，對稱把在同側(cè)的

線段翻折過去重組，因此“不連——平移、碰頭——旋轉(zhuǎn)、同側(cè)——對稱“是一般

的思路：對稱變換的基礎(chǔ)是軸對稱圖形，平移變換的基礎(chǔ)是平行線，旋轉(zhuǎn)變換的

基礎(chǔ)是等線段，所以選擇哪種幾何變換還要看題目中具備何種變換的基礎(chǔ)信息。

(3)怎么變換？對稱變換一般以動點(diǎn)所在直線為對稱軸，構(gòu)建定點(diǎn)(直線)的

對稱點(diǎn)(直線)，如有多個動點(diǎn)就必須作多次變換：平移一般是移動沒有公共端

點(diǎn)的兩條線段中的某一條，與另一條對“接”；旋轉(zhuǎn)變換一般以定點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋

轉(zhuǎn)60°或90°.

(4)怎么求值？幾何變換成了,,兩折線”或“三折線''后，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”

或“垂線段最短”把"折線''轉(zhuǎn)"直"，找出最短位置，求出最小值。

第1頁共50頁

目錄

一、一條線段最值.............................1

1單動點(diǎn)型................................1

1.1動點(diǎn)運(yùn)動軌跡----直線型........................1

1.2動點(diǎn)運(yùn)動軌跡——圓或圓弧型....................10

1.2.1定點(diǎn)定長.............................10

1.2.2定弦定角.............................15

1.3動點(diǎn)軌跡為其他曲線，構(gòu)造三角形.................24

2雙動點(diǎn)型................................27

2.1利用等量代換實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化........................27

2.2利用和差關(guān)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化........................28

2.3利用勾股定理實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化........................28

2.4利用三角形邊角關(guān)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化....................29

二、兩條線段最值............................30

1PA+PB型...............................30

1.1兩定一動（將軍飲馬）........................30

第2頁共50頁

1.2兩定兩動..............................39

過河拆橋...............................39

四邊形周長最小；..........................42

1.3一定兩動...............................44

兩動點(diǎn)不隨動...........................44

1.4三動點(diǎn)...............................47

2PA+KPB型..............................48

2.1“胡不歸模型”..........................48

2.2阿氏圓...............................65

三、“費(fèi)馬點(diǎn)”模型...........................72

線段極值解題方略...........................76

第3頁共50頁

一、一條線段最值

1單動點(diǎn)型

所謂的單動點(diǎn)型指：所求線段兩端點(diǎn)中只有個動點(diǎn)的最值問題.通常解決這類問題的思考

步驟為三步：

（,）分析“源動點(diǎn)”的不變量。

（二）分析“從動點(diǎn)”與“源動點(diǎn)”向關(guān)系。

（三）分析“從動點(diǎn)”的不變量.

1.1動點(diǎn)運(yùn)動軌跡一直線型

動點(diǎn)軌跡為一條直線，利用“垂線段最短”

例1、如圖1,在A4BC中,NCA8=30°.BC=l.D為AB卜.?動點(diǎn)（不與點(diǎn)A?合〉A(chǔ)AED

為等邊三角形，過D點(diǎn)作DE的垂線,F為垂線上任點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，則線段CG長的最

小值處.

方法指導(dǎo)：L當(dāng)動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是條直線（射線、線段）時(shí),可運(yùn)用“垂線段最短”性質(zhì)

求線段最值.2.有時(shí)動點(diǎn)軌跡不容易確定，如例1,建議看到“中點(diǎn)”聯(lián)想“三角形的中

位線及直角三角形斜邊上的中線”等性質(zhì).3.試著觀察“動點(diǎn)運(yùn)動到些特殊位置時(shí)，該

動點(diǎn)與其他定點(diǎn)連結(jié)的線段是否與己知邊有一‘定角‘產(chǎn)生”，若成立，則動點(diǎn)軌跡為直線?

如何在動態(tài)問題中找尋“不變量”特征是突破這類問題的關(guān)健.

①當(dāng)一個點(diǎn)的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的

軌跡是直線，

39

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0.2）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為--）（其

44

中m為實(shí)數(shù)），當(dāng)PM的長最小時(shí)，m的值為

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（i,4）,B（3,2）.C（m,-4m+20）,若0C恰好平分四

中牛州?的面枳，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

第4頁共50頁

②當(dāng)某一動點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動點(diǎn)的軌跡為直線

定長

定直線

1.如圖，矩形ABCD中，AB=6.AD=8,點(diǎn)E在邊ADh.且AE:ED=1:3.動點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)，沿AB運(yùn)動到點(diǎn)B停止.過點(diǎn)E作EF1PE交射線BC于點(diǎn)F,設(shè)M是線段EF的

中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動的整個過程中.點(diǎn)M運(yùn)動路線的長為

變式2圖

【變式1］如圖，矩形ABCD中.AB=6.AD=8.點(diǎn)E在BC邊匕且BE:EC=1:3.動

點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA運(yùn)動到點(diǎn)A停止.過點(diǎn)E作EFJ.PE交邊AD或CD于點(diǎn)F,

設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動的整個過程中，點(diǎn)M運(yùn)動路線的長為.

【變式2］如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD匕AB=2,AP=1.E是AB上的一個動

點(diǎn)，連接PE,過點(diǎn)P作PE的垂線，交BC于點(diǎn)F,連接EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為G,當(dāng)點(diǎn)E

從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)G移動的路徑的長是

【變式3］在矩形ABCD中，AB=4.AD=6,P是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，EP的

延長線交射線CD于F點(diǎn).過點(diǎn)P作PQ_LEF,與射線BC相交于點(diǎn)Q.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C時(shí)，試求AE的長；

（2）如圖2,點(diǎn)G為RJ的中點(diǎn)，連結(jié)PG.

①當(dāng)AE=1時(shí)，求PG的長；

②當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，試宜接寫出線段PG掃過的面積.

2.如圖,C,D是線段AB上兩點(diǎn)，且AC=BD=-AB=1.點(diǎn)P是線段CD上一個動點(diǎn).

6

在AB同側(cè)分別作"專邊4PAE和等邊△PBF,M為線段EF的中點(diǎn).在點(diǎn)P從點(diǎn)C移動到

點(diǎn)D時(shí).點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長度為.

第5頁共50頁

【變式1］已知AB=IO.點(diǎn)C、D在線段ABhftAC=DB=2SP超線段CD上的動點(diǎn)，

分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形APEF和正方形PBGH,點(diǎn)01和02姑這兩

個正方形的中心，連接0102.設(shè)0102的中點(diǎn)為Q：當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)

Q移動路徑的長處

【變式2］等邊三角形ABC中,BC=6.D、E是邊BC上兩點(diǎn)，且BD=CE=1,點(diǎn)P是線

段DE上的個動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AC、AB的平行線交AB、AC于點(diǎn)M、N,連接MN、

AP交于點(diǎn)G,則點(diǎn)P由點(diǎn)D移動到點(diǎn)E的過程中，線段BG掃過的區(qū)域面積為.

【變式3］如圖，四邊形ABHK是邊長為6的正方形,點(diǎn)C、D在邊AB上，且AC=DB

=1,點(diǎn)P是線段CD上的動點(diǎn)，分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和

正方形BRQP,E、F分別為MN、QR的中點(diǎn)，連接EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為G,則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)

C運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)G移動的路徑長為.

3.如圖，口知在四邊形ABCD中，AD〃BC,ABXBC.AD=1.BC=3.P為AB邊上的動

點(diǎn)，連接PD并延長到點(diǎn)E,使得PD：PE=1：3,以PE.PC為邊作平行四邊形PEFC,連

接PF,則PF的最小值為

【延伸】在四邊形ABCD中，AB/7CD,BCXCD.AB=3.CD=4,在BC上取點(diǎn)P（P與B,

C不重合），連接PA延長至E,使PE：PA=x：1.連接PD并延長到F,使PF：PD=y：

1（x.y>l）,以PE、PF為邊作平行四邊形.另個頂點(diǎn)為G,求PG長度的最小值（川x,

y表示）.

延伸圖

第6頁共50頁

【同型練】如圖，己知DOABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=l和x=4上，0

是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線0B長的最小值為.

③當(dāng)某一動點(diǎn)與定線段一個端點(diǎn)連接后成的角度不變，則該動點(diǎn)軌跡是直線.

定直線

1.如圖，△ABC和AADE都是等腰直角三角形.NBAC=NDAE=90°,AB=AC=2,。為AC

中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動，連接0E.則在點(diǎn)D運(yùn)動過程中,線段0E的最小值是

為

【變式】1.如圖，邊長為2H的等邊△ABC中，M是高CH所在電線上的?個動點(diǎn)，連接MB,

將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接HN.則在點(diǎn)M運(yùn)動過程中，線段HN長

度的最小值是_______.

第7頁共50頁

2.在AABC中，NACB=90。,AC=BC=4,M為AB的中點(diǎn).D是射線BC上一個動點(diǎn),

連接AD.將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE.連接ED,N為ED的中點(diǎn),

連接AN.MN.

(1)如圖1,當(dāng)BD=2時(shí)，AN=,NM與AB的位置關(guān)系是；

(2)當(dāng)4<BD<8時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖2；

②判斷(1)中加與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化,并證明你的結(jié)論；

(3)連接ME,在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，求ME的長的最小值？

3.在△ABC中，ZBAC=90°.AB=AC=2e?.線段BC卜丁一動點(diǎn)P從C點(diǎn)開始運(yùn)動，到B

點(diǎn)停止，以AP為邊在AC的右側(cè)做等邊△河.則Q點(diǎn)運(yùn)動的路徑長為.

【秒殺訓(xùn)練】

1.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(T,0),點(diǎn)B在交線y=x上運(yùn)動，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的

坐標(biāo)為【】

A.(0,0)

2.如圖.00的半徑為2,點(diǎn)()到直線1的即離為3,點(diǎn)P是直線1上的

個動點(diǎn),PQ切?0于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為【

A.y/5B.^5

C.3D.2

第8頁共50頁

3.如圖，等腰梯形ABCD中，AD/7BC.AD=AB=CD=2.NC=60°,M是BC的

中點(diǎn).

（1）求證：△MDC是等邊三角形：

（2）將△MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即MD）與AB交干■點(diǎn)E.MC（即MC）I可時(shí)

與AD交于,點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E.F和點(diǎn)A構(gòu)成4AEF.試探究Z\AEF的周長是否存在最小值.如

果不存在，請說明理由：如果存在,請計(jì)算出4AEF周長的最小值.

1.2動點(diǎn)運(yùn)動軌跡——圜或圓弧型

動點(diǎn)軌跡為定圓，利用三點(diǎn)共線

方法指導(dǎo)：I.當(dāng)動點(diǎn)的軌跡是定■時(shí),可利用“定點(diǎn)與網(wǎng)上的動點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)匚

網(wǎng)心的距離與半徑和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距肉與半徑小”性質(zhì)求解.2.試著觀察“動

點(diǎn)與其他定點(diǎn)連結(jié)的線段長是否為‘定值’或動點(diǎn)與兩定點(diǎn)構(gòu)成的角是否為宜角”，這是常

見判斷動點(diǎn)擾跡是砌的條件。

1.2.1定點(diǎn)定長

I動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或圓?。?/p>

I.如圖1,在正方形ABCD中，邊長為2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊

上任意一點(diǎn),將4BEF沿EF所在更線折度得到APEF,連接AP.則CP的最

第9頁共50頁

1.如圖，正方形ABCD的邊長為2.將長為2的線段QF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上

同時(shí)滑動.如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿圖中所示方向按A-B-C-D-A滑動到點(diǎn)A為止，

同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按A-B-C-D-A-B滑動到點(diǎn)B為止，那么在

這個過程中，線段QF的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為

【變式1】在地形ABCD中，已知AB=2cm.BC=3cm,現(xiàn)有根長為2cm的木棒EF緊貼

著矩形的邊(即兩個端點(diǎn)始終落在矩形的邊上),按逆時(shí)針方向滑動一周，則木棒EF的中

點(diǎn)P在運(yùn)動過程中所圍成的圖形的面積cm；.

【變式2】如圖,在矩形ABCD中，AB=2.AD=3,點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且

EF=2,點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上動點(diǎn)，則PA+PG的最小值為.

【變式3］如圖.-根木棒AB長為2a,斜靠在與地面0M垂克的墻壁ON上，與地面的

幀斜角NABO=6(r.若木棒沿直線NO下滑，且B端沿直線0M向右滑行,則木棒中點(diǎn)P

也隨之運(yùn)動，已知A端下滑到A'時(shí)，AA'=(J5-0)a,則木棒中點(diǎn)P隨之運(yùn)動到P'

所經(jīng)過的路線長

第10頁共50頁

2.如圖，在^板中，AC=2.AB=3.當(dāng)NB最大時(shí)，BC的長為

3.如圖.在△ABC中，NACB=90°,AB=5.BC=3.P是AB邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B#.

合），^fABCP沿CP所在的直線翻折，得到△!?'CP.連接B'A,則B'A長度的最小值

是

4.如圖，在DABCD中，NBCD=30。，BC=4,CD=33.M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊

上的動點(diǎn).將aAMN沿MN所在在線翻折得到AA'MN.連接A'C,則A'C長度的最小

值是_______.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,若NBAC=25°,ZCAD=75",

則NBDC=/,ZDBC=」.

6.如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC=22,點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC

的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時(shí).點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長是.

7.如圖.矩形ABCD中,AB=2AB=4,長度為2的動線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接EC.取

EC的中點(diǎn)F,連接DF,則DF的取位范圍為.

第11頁共50頁

例2.（15威海）如圖，已知AB=AC=AD.ZCBD=2ZBDC,NBAC=44°.則NCAD的度

數(shù)為_______.

變式：如圖，四邊形ABCD中，DC/7AB.BC=1.AB=AC=AD=2,則BD的長為

例3.如圖，在等腰△ABC中.AC=BC.ZC=70?，點(diǎn)P在AABC的外

部，且與C點(diǎn)均在AB的同側(cè).如果PC=BC,那么NAPB=.

例4.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E為AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段

BC邊上的動點(diǎn).將AEFB沿EF所在的宣線折卷得到aEB'F,連接B'D,則

B'D的最小值為

n.定邊對定角模型

1.2.2定弦定角

II當(dāng)某條邊與該邊所對的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓弧.

見直角一拐斜邊（定長）一婆直徑一足外心一現(xiàn)“圓”形;

見定角一尊對邊（定長）一想周角一特心角一現(xiàn)“圓”形;

第12頁共50頁

【一般解題步驟】

①讓主動點(diǎn)動嚇，觀察從動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡,發(fā)現(xiàn)從動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是段孤.

②尋找不變的張角（這個時(shí)候般是找出張角的補(bǔ)角,這個補(bǔ)角一般為45。、60?；蛘?/p>

個確定的三角函數(shù)的對角等）

③找張角所對的定弦，根據(jù)三點(diǎn)確定隱形圈。

④確定圓心位置，計(jì)算隱形圓半徑.

⑤求出隱形圓圓心至所求線段定點(diǎn)的距離.

⑥計(jì)算最值：在此基礎(chǔ)匕根據(jù)點(diǎn)到映的即離求最侑（最大tfl或最小值）.

1.如圖，以G（0,1）為陰心,半徑為2的假1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩

點(diǎn)，點(diǎn)E為（DG上動點(diǎn)，CFJ.AE于F.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F

所經(jīng)過的路徑長為

2.如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸匕點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7,3）.點(diǎn)E在

邊AB上，且AE=1,若點(diǎn)P為y軸上一動點(diǎn)，連接EP,過點(diǎn)0作直線EP的垂線段，

垂足為點(diǎn)H,在點(diǎn)P從F（0,金）運(yùn)動到原點(diǎn)0的過程中，點(diǎn)H的運(yùn)動路徑長為.

4

3.在正方形A13CD中，AD=2,點(diǎn)E從D出發(fā)向終點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)F從C出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)

動，且始終保持DE=CF,連接AE和DF交于點(diǎn)P,則P點(diǎn)運(yùn)動的路徑長足.

第13頁共50頁

4.等腰RtAABC中，ZC=90*.AC=BC=4.D為線段AC上一動點(diǎn)，連

接BD,過點(diǎn)C作CHLBD于H,連接AH.則All的最小值為.

5.如圖.RtAABC中，AB1BC.AB=6.BC=4.P是AABC內(nèi)部的?個動點(diǎn)，且滿足NPAB

=NPBC,則線段CP長的最小(fl為.

6.如圖，在邊長為23的等邊4人設(shè)中.動點(diǎn)D從C向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)E以相同

的速度從A出發(fā)向終點(diǎn)C運(yùn)動.連接BE.AD相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的路徑長為.

7.如圖，00的半徑為1,弦AB=1.點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上動點(diǎn)，AC1AP交直線PB于

點(diǎn)C,MAABC的最大面枳是

8.如圖，己拋物線y=ax'+bx+c(aWO)與x軸交于A(1,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸

交于C(0,2),連結(jié)AC、BC.

(1)求拋物線解析式：

(2)BC的垂直平分線交拋物線于D、E兩點(diǎn),求直線DE的解析式；

(3)若點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，且NCPB=NCAB,求出所有滿足條件的

P點(diǎn)坐標(biāo).

第14頁共50頁

9.如圖，在正方形ABCD中，AB=2,動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)F從

點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)E、F運(yùn)動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動，運(yùn)動

過程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P.則線段DP的最小值為。

變式：宜線y=x+4分別與x軸、y軸相交與點(diǎn)M,N.邊長為2的正方形OABC個頂

點(diǎn)0在坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線AN與MC相交，點(diǎn)P.若正方形燒蒼點(diǎn)()旋氣周，則點(diǎn)P

到點(diǎn)(0,2)長度的最小值是

10.如圖，邊長為3的正方形ABCD,兩頂點(diǎn)A、B分別在平面更角坐標(biāo)系的x軸、y軸

的正半軸上滑動，點(diǎn)C點(diǎn)D在第一象限.點(diǎn)E為正方形ABCD的對稱中心，連結(jié)OE,則

0E的長的最大值是

變式：如圖,已知平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx(k*0)經(jīng)過點(diǎn)C(a,3a)(a>0).線段BC

的兩個端點(diǎn)分別在x軸與直線y=kx上(B、C均與原點(diǎn)0不重合)滑動，且BC=2,分

別作BP±x軸,CPJ.Fl線y=kx,交點(diǎn)為P,經(jīng)探究在卷個滑動過程中,P、0兩點(diǎn)間的即

離為定值.

第15頁共50頁

11.如圖，開口向下的拋物線y=a(x-2)2+A交x軸于點(diǎn)A.B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于

點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P,過頂點(diǎn)P作x軸,y軸的垂線,垂足分別為M,N,連結(jié)CP,CM.ZCPM=45",

tanNCMP-0.8.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式：

(2)若點(diǎn)D為射線PCh動點(diǎn)，BD交△HID的外接圓于點(diǎn)Q,求PQ的最小值.

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

【例I】如圖，ZXABC中，AC=3,BC=4>/2.ZACB=45".D為AABC內(nèi)?動點(diǎn)，?0為

△ACD的外接圓,直級BD交?0于P點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)，弧AE=CP,則AD的最小值

為

【例2】如圖，AC=3,BC=5,且/BAC=90°.D為AC上一動點(diǎn)，以AD

為直徑作圓，連接BD交圓于E點(diǎn)，連CE,則CE的最小值為

【練】如圖，在AABC中，AC=3,BC=4>歷,ZACB=45",AM〃BC,點(diǎn)P在射線AMh

運(yùn)動，連BP交△APC的外接圓于D,則AD的最小值為

A

B-

第16頁共50頁

［例3］如圖，00的半徑為2,弦AB的長為，點(diǎn)P為優(yōu)狐AB上一動點(diǎn)，AC_LAP交直

線PB于點(diǎn)C,則AABC的面積的最大值是

【練】如圖，00的半徑為1,弦AB=1,點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上動點(diǎn),AC1

AP交宜線PB于點(diǎn)C.WIJAABC的最大面枳是()

【例4】如圖，邊長為3的笠邊△ABC,D、E分別為邊BC、AC匕的點(diǎn)，且BD=CE,AD,

BE交于P點(diǎn)，則CP的最小值為

［例5］如圖,A(l.0)、B(3.0).以AB為直徑作0M,射線0F交。M于E、F兩點(diǎn)，C

為弧AB的中點(diǎn)，D為EF的中點(diǎn).當(dāng)射線繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，CD的最小值為

【練】如圖8.AB是00的直徑，AB=2.ZABC=60°.P是上一動點(diǎn),D是AP的中點(diǎn)，

連接CD.則CD的最小值為

第17頁共50頁

針對練習(xí)；

1.如圖，在動點(diǎn)C與定長線段AB組成的aABC中，AB=6,AD1BC于點(diǎn)D,BE1AC于

點(diǎn)E,連接DE.當(dāng)點(diǎn)C在運(yùn)動過程中，始終有處=立.則點(diǎn)C到AB的即離的最大

AB2

仇是

2.如圖，已知以BC為宜徑的OO.A為瓠BC中點(diǎn)，P為弧AC上任意點(diǎn)，AD_LAP交BP

于D,連CD.若BC=8,則CD的最小值為

1.3動點(diǎn)軌跡為其他曲線，構(gòu)造三角形

方法指導(dǎo)：1.當(dāng)動點(diǎn)軌跡不是“定線”或“定圓”時(shí)，不妨將此線段

轉(zhuǎn)化為一個三角形中，其中在該三角形中其他兩條邊位置不定但長度確定,

則所求線段的最大值為其他兩線段長之和，最小值為其他兩線段長之

差.2.在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上

的中線.

第18頁共50頁

例1、如圖，NM0N=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊0M,ON上，當(dāng)B在邊ON上

運(yùn)動時(shí)，A隨之在邊0M上運(yùn)動,矩形ABCD的形狀保持不變,其中

AB=2,BC=1,求運(yùn)動過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)0的最大距離.

變式訓(xùn)練：

1、如圖，在RtZ\ABC中，ZACB-90".BC-6.tanZBAC--.點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處,

2

將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BD,F為BD中點(diǎn)，求線段CF長度的最大值.

2.如圖.在aABC中，ZC=90°.AC=2.BC=1,點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸上.當(dāng)點(diǎn)A

在x軸運(yùn)動時(shí).點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)0的最大距離為

圖12-2

提示：取AC中點(diǎn)D.由BOWOD+BD=1+0,知B0的最大值為

1+夜

第19頁共50頁

3.如圖，ZM0N=90°.線段AB兩端點(diǎn)分別在邊OV,ON上，當(dāng)A在邊0M上運(yùn)動時(shí)，B隨

之在邊ON上運(yùn)動，AB=2保持不變，以AB為邊向外作等邊△ABC,在運(yùn)動過程中，四邊形

AOBC的面積的最大值是.

4.如圖，平面宜角坐標(biāo)系中,將含30"的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限.其斜邊兩

端點(diǎn)A、B分別落在xMi,y軸上，且AB=l2cm.

（I）若0B=6cm.

①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)A向右滑動的距離與點(diǎn)B向上滑動的距離相紇.求滑動的即離：

（2）點(diǎn)C與點(diǎn)0的即崗的最大值=cm.

2雙動點(diǎn)型

解決雙動點(diǎn)問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為單動點(diǎn)問題，接著再用單動點(diǎn)的方法解決線段最值問

期”有這樣一類雙動點(diǎn)，它是由某一動點(diǎn)所產(chǎn)生的.同樣就可用“源動點(diǎn)”和“從動點(diǎn)”的

分析方法來處理，現(xiàn)總結(jié)思考前三個步驟：（一）分析“源動點(diǎn)”的不變量.（二）分析“雙動

點(diǎn)”與“源動點(diǎn)”間關(guān)系.（三）轉(zhuǎn)化為單動點(diǎn)問題。顯然確定“雙動點(diǎn)”與“源動點(diǎn)”間關(guān)

系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。

2.1利用等■代換實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例LZkABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4,BC=3,P是AB上?動點(diǎn),且PE_LAC于E,

PFLBF于F，求EF的最小值.

第20頁共50頁

分析：點(diǎn)P帶動點(diǎn)E、F,顯然點(diǎn)P是雙動點(diǎn)E、F的“源動點(diǎn):第一步，“源動點(diǎn)”P在

定邊AB上運(yùn)動.第二步，由條件可知四邊形PECF為矩形,所以雙動點(diǎn)EF與“源動點(diǎn)”

P存在等量關(guān)系EF=CP.第三步，C是定點(diǎn)，P是動點(diǎn)且在一邊上運(yùn)動，可轉(zhuǎn)化為“動點(diǎn)軌

跡為一條宜線的單動點(diǎn)型;

提示：雙動點(diǎn)線段能否等于圖中“源動點(diǎn)”與某一定點(diǎn)連結(jié)的線段？

2.2利用和差關(guān)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例2、如圖，在△ABC中，AB=10.AC=8.BC=6,經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動圓與CA,CB

分別相交于點(diǎn)P，Q.則線段PQ長度的最小值是.

分析：本題的雙動點(diǎn)P、D可看成由“源動點(diǎn)”E產(chǎn)生.第?步.“源動點(diǎn)”E在定邊上運(yùn)

動，且保持OELAB,第二步，雙動點(diǎn)PD是圓上的動弦旦所時(shí)圓周角為直角，因此PD為圓

0直徑.源動點(diǎn)與雙動點(diǎn)滿足PD-CO+OE.第三步，PD長轉(zhuǎn)化為△€（）￡三邊關(guān)系，當(dāng)C,0,

E三點(diǎn)共線時(shí)CE最短，可轉(zhuǎn)化為“動點(diǎn)貌跡為條直線的單動點(diǎn)型，當(dāng)CE上AB時(shí)PD

長度最小。

提示：雙動點(diǎn)線段能否表示成與“源動點(diǎn)”相關(guān)線段的和（差）？

2.3利用勾股定理實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例3、如圖,在RtZiAOB中，0A=0B=3ji.圓0的半徑為1,點(diǎn)P是AB邊上的動點(diǎn)，過

點(diǎn)P作圓。的條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為.

分析：PQ為圓。切線，PQ_LOQ,雙動點(diǎn)PQ與“源動點(diǎn)”P滿足勾股定理PQOP：-0Q，,

而0Q為定值1.囚此要PQ最小只幫0P取最小.問題可轉(zhuǎn)化為“動點(diǎn)軌跡為條有線的單

動點(diǎn)型”

提示：雙動點(diǎn)的線段出現(xiàn)“垂宜”信息時(shí)能否與“源動點(diǎn)'’構(gòu)成“宜角三

角形”，從而利用勾股定理實(shí)現(xiàn)單動點(diǎn)的轉(zhuǎn)化。

第21頁共50頁

2.4利用三角形邊角關(guān)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例4、如圖，AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2.D是線段BC上的一個動點(diǎn)，以

AD為宜徑畫0分別交于AB、AC于E、F,連接EF.則線段EF長度的最小值為.

分析：本題的難點(diǎn)就在于確定雙動點(diǎn)EF與“源動點(diǎn)”D的關(guān)系，即EF與AD之間的數(shù)吊

關(guān)系.連半徑構(gòu)造等腰△OEF,達(dá)到定角圓周角么EAF轉(zhuǎn)化為圓心角NEOF,宜徑AD轉(zhuǎn)化

為半徑OE、OF.伊EF與AD共存于一個三角形中,解三角形得EF=走.因A是定點(diǎn)，

2

D在線段BC上動，問題域終轉(zhuǎn)化為“動點(diǎn)軌跡為條直線的單動點(diǎn)型”.

二、兩條線段最值

1PA+PB型

1.1兩定一動（將軍飲馬）

出現(xiàn)一個動點(diǎn)的解題方法

這類試題的解決方法主要是通過軸對稱，將動點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個定點(diǎn)中的其中一

個，映射到直線的另一側(cè).當(dāng)動點(diǎn)在這個定點(diǎn)的對稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時(shí)，由“兩點(diǎn)

之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點(diǎn)線段的長.

引：如圖在直線1上找一點(diǎn)P使AP4-BP最短.

Z

R

圖（1）圖（2）

解：（1）如果兩點(diǎn)在直線異側(cè)，如圖（I）,連接AB交直線1于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所示作的

點(diǎn)：

<2）如果兩點(diǎn)在直線同側(cè).如圖（2）,可通過軸對稱把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)在直線異側(cè)的情

況.

證明：如下圖所示，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D.在BD的延長線匕取B關(guān)于河

岸的對稱點(diǎn)B'.連結(jié)AB',與河岸線相交于P,則P點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)，只要從A出發(fā),

沿直線到P,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的。

第22頁共50頁

如果在河邊的另外任一點(diǎn)C,則CB=CB\但是，

AC+CB=AC+CBr>AB'=AP+PB*=AP+PB.可見，在P點(diǎn)外任何一點(diǎn)C,它與A、B

兩點(diǎn)的距離和都比AP+PB都長.

本質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。

【小結(jié)】

通過“對稱”及構(gòu)建“兩點(diǎn)間的線段”某本圖形，相動態(tài)變化中的線段通過轉(zhuǎn)換.達(dá)到變

化過程中的極限狀態(tài),得到最小值即“兩點(diǎn)間的距離”。路徑最短問題.基本卜.運(yùn)用軸對稱.

將分散的線段集中到兩點(diǎn)之間,從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短，來實(shí)現(xiàn)最短路徑的求解.所以

最短路徑向題需要考慮軸對稱。

兩個關(guān)愜點(diǎn)：

（I）找準(zhǔn)對稱軸.動點(diǎn)所在的真線即為對稱軸,

<2）同側(cè)化異惻,同側(cè)的兩個點(diǎn)，通過作對稱點(diǎn)，牯化為對稱軸異傀

的兩個點(diǎn)，連線即與對稱軸相交.交點(diǎn)即是所求。

將軍飲馬口訣，“和最小，對稱找“

第23頁共50頁

例1如圖，拋物線丫=一丁+6;一2與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn),

2

且A(-l,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)：

⑵點(diǎn)M是x軸上的?個動點(diǎn),當(dāng)△DCM的周長最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

例翹2定義種變換：平移拋物線耳得到拋物線鳥,使鳥經(jīng)過￡的頂點(diǎn)A.設(shè)的人對

稱軸分別交￡、6于點(diǎn)D、B,點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn).

如圖1,若K：y=gx'-2x+N.絆過變換后，AC=2>/3，點(diǎn)P是聲線AC卜尼

求點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到自線AD的距離之和的最小值.

分析：如何找對稱點(diǎn)進(jìn)行變換是本題的難點(diǎn)，注意到點(diǎn)P是自線AC上的動點(diǎn)，所以宜線AC

就是對稱軸，從而運(yùn)用對稱變換把線段PD轉(zhuǎn)化為線段PB進(jìn)行求解.

解題量略：在不改變線段長度的前提下,運(yùn)用時(shí)稱變換把對稱軸同側(cè)的兩條線段放在了對稱

軸的兩側(cè)，把旦雜的最值問題轉(zhuǎn)化為基本問題.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”

把“兩折線”轉(zhuǎn)“宜”,找出最小位置，并求出最小值.交換的奧秘是：動點(diǎn)在哪條百線卜.

就以這條直線為對稱軸，構(gòu)建某定點(diǎn)的對稱點(diǎn).對稱變換是轉(zhuǎn)化的手段，也是解決問題的

關(guān)鍵.

第24頁共50頁

【牛刀小試】

1.如圖，正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動點(diǎn).則

PB+PE的最小值是.

2.如圖所示，正方形ABCD的面積為12,AABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方

形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小.則這個最小值

為.

3.如圖，MN是半徑為1的00的直徑.點(diǎn)A在。0上.NAMN=30°,B為AN弧的中

點(diǎn)，P是史徑MN上一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為.

4.如圖，AB是。0的宜徑，AB=8.點(diǎn)M在。0h.ZWAB=20*.N是弧MB的中點(diǎn)，P

是宜徑AB卜.的動點(diǎn).若MN=1.則△PMN周長的最小值為.

5.已知A(-2,3),B(3,1),P點(diǎn)在x軸匕若PA+PB長度最小，則最小值為

6.如圖，在RtAABC中，ZC=90*.ZB=60"，點(diǎn)D是BC邊卜.的點(diǎn)，CD=1,將AABC

沿直線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線AD上的動點(diǎn)，則4PEB

的周長的最小值是.

第5?第6題

7.如圖，有圓形透明玻璃容2s.高15cm,底面周長為24cm,

在容器內(nèi)壁柜上邊緣4cm的A處，停若只小飛蟲，?只蜘蛛

從容器底部外向上爬了3cm的B處時(shí)(B處與A處蛤好相對),

發(fā)現(xiàn)了小飛蟲，問蜘蛛怎樣爬去吃小飛蟲最近？它至少要爬多少

路？(厚度忽略不計(jì)).

匕一4

第25頁共50頁

8.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=BC=4,點(diǎn)M在BC上，且BM=1,N是AC

上一動點(diǎn)，則BN+MN的最小值為。

9.如圖，在邊長為2的等邊aABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE+DE的

最小值為.

10.如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(、回，0)和(0,2),點(diǎn)C是x軸上的一個動點(diǎn)，且A,B,C

三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

11.如圖，正方形ABCD的邊長是8,P是CD上的一點(diǎn)，且PD的長為2,M是其對角線

AC上的一個動點(diǎn)，則DM+MP的最小值是____.

11.如圖，正方形ABCD的邊長是8,P是CD上的一點(diǎn)，且PD的長為2,M是其對角線

AC上的一個動點(diǎn)，則DM+MP的最小值是

12.菱形ABC0在平面直角坐標(biāo)系中的位黃如圖所示，頂點(diǎn)(26,0),NA0C=60°,點(diǎn)P是

對角線0B上一個動點(diǎn),E(0,-l),問：EP+AP最短是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

第12題

13.如圖，已知點(diǎn)A(l,1)、B(3,2),且P為x軸上一動點(diǎn)，則aABP的周長的最小值

為.

第26頁共50頁

14.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=120",NB=ND=90°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、

N,使ZXAMN周長最小時(shí)，則NAMN+NANM的度數(shù)為【】

A.130°B.120°C.110°D.100°

15.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道唾沖水泵站,分別向河的同側(cè)張MA和李村

B送水.經(jīng)實(shí)地勘杳后,I.程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí)，以河道上的大橋0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以河道所

在的出線為x軸建立直角坐標(biāo)系(加圖).兩村的坐標(biāo)分別為A(2.3),B(12.7).

(1)若從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮，水泵站建在即崗大橋0多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短？

(2)水泵站建在即離大橋0多遠(yuǎn)的地方，可使它到張村、李村的即離相等？

1.2兩定兩動

過河拆橋

第27頁共50頁

【解決方法】平移變換

平移變換的特征是：對應(yīng)線段平行且相等，它可以改變線段的位置卻不改變其方向和長

度.平移變換是把岌雜的最值問題轉(zhuǎn)化為基本問題的重要手段。

【問題再現(xiàn)】（人教版七年級（下）第五章造橋選址問題）如圖3,A和B兩地在條河

的兩岸，現(xiàn)要在河上造座橋MN.造橋在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假

定河的兩岸是平行的直線，橋MN要與河岸垂直）

圖3

在解決這道題題目前，我們先看以下模型：圖3

【模型抽象】

動手操作一：如果把更線11和點(diǎn)A向上運(yùn)動，而直線12和點(diǎn)B不動，你會

畫嗎？（平移要注意什么？）

在解決這道題題目前，我們先看以下模型：圖3

【模型抽象】

動手掾作一：如果把宜線11和點(diǎn)A向上.運(yùn)動，而直線12和點(diǎn)B不動，你會

畫嗎？（平移要注意什么？）

A.岫4.

問題：A、B為兩村莊之間隔著河流，河流兩岸為直線11、12,若在兩岸建橋CD,橋與河

流兩岸垂直,橋建在何處,可使AC+CD+DB最短.

第28頁共50頁

策略：平移回去，把問題牯化為在宣線上找點(diǎn)D.使A'D>DB最短

問題：如圖，若A、B為定點(diǎn)，而線段PQ長為定值，當(dāng)P在何處，AP+PQ+QB

最短。

*

4

【小結(jié)】

兩動點(diǎn)，其中一個隨另一個動（個主動，一個從動），并且兩動點(diǎn)間的距離保持不變。川平

第29頁共50頁

移方法，可把兩動點(diǎn)變成一個動點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個定點(diǎn)和一個動點(diǎn)”類型來解。（處理方法:

當(dāng)兩點(diǎn)間有一段固定的距離時(shí)，利用平移可將這距離“壓縮為零”，再連接構(gòu)建“兩點(diǎn)間

的線段”這一圖形-）

例1（人教版七年級（下）第五章造橋選址問題）如圖3,A和B兩地在條河的兩岸，

現(xiàn)要在河上造座橋MN,造橋在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩

岸是平行的直線，橋MN要與河岸垂直）

分析：假設(shè)河的兩岸為直線.這個問題要求“路徑AMNB最短”

實(shí)際上就是“AMtBN”最短（因?yàn)椤皹蛞c河垂直”,橋長是定佰，也就是河

兩岸的距離）.怎樣保證"AM+BN”最短呢？如圖4（1）,把BN沿與河岸垂

宜的方向平移河的寬度到B'M（B為定點(diǎn)，則點(diǎn)B,為定點(diǎn)），則AM+BN-AM+

B'V,點(diǎn)A、B'為定點(diǎn)，點(diǎn)M為宜線上的動點(diǎn)，所以當(dāng)A、M、B'三點(diǎn)在

一直線上時(shí)，AM+B'M最小.

解題策略：運(yùn)用平移變換，在保持平移后的線段