4.4.3不同函數(shù)增長的差異

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.2.了解直線上升、指數(shù)爆

炸、對(duì)數(shù)增長等增長含義3能根據(jù)具體問題選擇合適函數(shù)模型.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)三種常見函數(shù)模型的增長差異

y-ay=log“xy=kx

x(a>\)(?>1)3。)

在(0,+8)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

隨X的增大逐漸變隨X的增大逐漸趨于

圖象的變化隨X的增大勻速上升

“陡”穩(wěn)定

增長速度y-ax的增長快于y=fcr的增長，y—kx的增長快于y=log?x的增長

增長后果會(huì)存在一個(gè)X0,當(dāng)X>xo時(shí)，有丁>fcr>log亞

思考在區(qū)間(0,+8)上，當(dāng)Al,n>0時(shí)，是否總有k>g?x<L“成立？

『答案』不是，但總存在Xo，使得當(dāng)67>1,/7>0,X>Xo時(shí)，logMbVr'成立.

■思考辨析判斷正誤

1.當(dāng)x每增加一個(gè)單位時(shí)，y增加或減少的量為定值(不為0),則y是x的一次函數(shù).(J)

2.函數(shù)y=k>g/增長的速度越來越慢.(V)

3.不存在一個(gè)實(shí)數(shù)機(jī)，使得當(dāng)時(shí)，l.r>xl00.(X)

4.由于指數(shù)函數(shù)模型增長速度最快，所以對(duì)于任意xWR恒有〃>2x(n>l).(X)

題型探究----------探-究-重-點(diǎn)、提-升-素-養(yǎng)-

一、幾個(gè)函數(shù)模型增長差異的比較

例1(1)下列函數(shù)中，增長速度最快的是()

A.y=202(TB.^^x2020

C.y=log202oxD.y=2020x

『答案』A

『解析』比較一次函數(shù)、厚函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快.

(2)四個(gè)變量》,以，>3,丫4隨變量X變化的數(shù)據(jù)如下表：

X151015202530

y\226101226401626901

2321024327681.05X1063.36X1071.07X109

2102030405060

7424.3225.3225.9076.3226.6446.907

則關(guān)于X呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是.

『答案』V

『解析』以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化.從表格中可以看出，四個(gè)變量“，>2,”,

以均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量次的增長速度最快，

畫出它們的圖象(圖略)，可知變量”關(guān)于X呈指數(shù)型函數(shù)變化.

反思感悟常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)

(1)線性函數(shù)模型

線性函數(shù)模型y=fcc+b(QO)的增長特點(diǎn)是“直線上升”，其增長速度不變.

(2)指數(shù)函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型)，=優(yōu)(。>1)的增長特點(diǎn)是隨著變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增

長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型

對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=logd(a>l)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，

即增長速度平緩.可稱為“對(duì)數(shù)增長”.

跟蹤訓(xùn)練1下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是()

A.y=6vB.y=k)g6X

C.y—x2D.y—6x

『答案』B

『解析』D中一次函數(shù)的增長速度不變，A,C中函數(shù)的增長速度越來越快，只有B中對(duì)

數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，符合題意.

二、函數(shù)模型的選擇問題

例2某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品，在前三個(gè)月的月生產(chǎn)量依次為100t,120t,130t.為了

預(yù)測(cè)今后各個(gè)月的生產(chǎn)量，需要以這三個(gè)月的月產(chǎn)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)來模擬月產(chǎn)量y與

月序數(shù)x之間的關(guān)系.對(duì)此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y=Ax)=a『+W+c(a,b,c均為待定

系數(shù)，xGN")或函數(shù)y=g(x)=pq'+r(p,q,r均為待定系數(shù)，x《N"),現(xiàn)在已知該廠這種新

產(chǎn)品在第四個(gè)月的月產(chǎn)量為1371,則選用這兩個(gè)函數(shù)中的哪一個(gè)作為模擬函數(shù)較好？

>(l)=a+6+c=100,

解根據(jù)題意可列方程組卜2)=4〃+26+c=120,

7(3)=9“+3b+c=130.

卜=-5,

解得卜=35,

〔c=70.

所以y=/U)=—5/+35x+70.①

同理y=g(x)=-80X0.5，+140.@

再將x=4分別代入①式與②式得

犬4)=-5X42+35X4+70=130(。，

g(4)=-80X0.54+140=135。).

與式4)相比，g(4)在數(shù)值上更為接近第四個(gè)月的實(shí)際月產(chǎn)量，所以②式作為模擬函數(shù)比①式更

好，故選用函數(shù)y=g(x)=p/+r作為模擬函數(shù)較好.

反思感悟建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個(gè)原則

(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素、主要變量，盡量建立較低階、

較簡便的模型.

(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計(jì)算、推理，且能得出正

確結(jié)論.

(3)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，

能回到具體問題中解決問題.

跟蹤訓(xùn)練2某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴(yán)重，測(cè)得最近三年沙漠增加值分別為

0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加值y萬公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式大致

可以是()

A.>1—0.2xB._y—^(X2+2X)

2工

C.D.y=0.2+logifrr

『答案』C

『解析』對(duì)于A,x=l,2時(shí)，符合題意，x=3時(shí)，y=0.6,與0.76相差0.16；

對(duì)于B,x=l時(shí)，y=0.3；x=2時(shí)，y=0.8；x=3時(shí)，>'=1.5,相差較大，不符合題意；

對(duì)于C,x=l,2時(shí)，符合題意，x=3時(shí)，y=0.8,與0.76相差0.04,與A比較，更符合題意；

對(duì)于D,x=l時(shí)，y=0.2；x=2時(shí)，y=0.45；x=3時(shí)，yg0.6<0.7,相差較大，不符合題意.

三、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)模型的比較

例3函數(shù)人x)=2、和ga)=2的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(xi，/)，8(X2,”),

且X1<X2.

(1)請(qǐng)指出圖中曲線C”C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；

⑵結(jié)合函數(shù)圖象，判斷.穴6),

g(6),人2020),g(2020)的大小.

解(1)G對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=d,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為./U)=2l

(2)因?yàn)榛餷)>g(l),貝2)vg(2),_A9)<g(9),貝l0)>g(10),

所以1<XI<2,9<X2<10,

所以為<6<12,2020x2,

從圖象上可以看出，當(dāng)X1<X<X2時(shí)，貝X)<g(X),

所以#6)<g(6).

當(dāng)X>X2時(shí)，4X)>g(X),

所以_/(2020)>g(2020).

又因?yàn)間(2020)>g(6),

所以,“2020)>g(2020)>g(6)N?6).

反思感悟指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)增長差異的判斷方法

(1)根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對(duì)函數(shù)增長模型進(jìn)行判斷.

⑵根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快

慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函

數(shù).

跟蹤訓(xùn)練3甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向運(yùn)動(dòng)，其路程力(x)(i=l,2,3,4)

關(guān)于時(shí)間x(x20)的函數(shù)關(guān)系式分別為力(X)=2'—1,力(》)=/，力(x)=x，力(x)=log2(x+l).有

以下結(jié)論：

①當(dāng)X>1時(shí)，甲走在最前面；

②當(dāng)尤>1時(shí)，乙走在最前面；

③當(dāng)0<x<l時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>l時(shí)，丁走在最后面；

④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；

⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)為.

『答案』③④⑤

『解析』四個(gè)函數(shù)的大致圖象如圖所示，根據(jù)圖象易知，③④⑤正確.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

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1.下列函數(shù)中，在(0,+8)上增長速度最快的是()

A.B.y=log2X

C.y=2xD.y=2x

『答案』D

2.在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：

X一2.01.()01.002.003.00

y0.240.5112.023.988.02

則x,y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近？(其中a,b為待定系數(shù))()

A.y—a+bxB.y—a+bx

b

C.y=ax1+bD._y=a+~

『答案』B

『解析』在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，知模擬函數(shù)為y=a+".

3.甲從A地到B地，途中前一半路程的行駛速度是。后一半路程的行駛速度是。2(。1＜。2)，

則下圖中能正確反映甲從A地到B地走過的路程$與時(shí)間t的關(guān)系的是()

『答案』B

4.現(xiàn)測(cè)得(x,y)的兩組對(duì)應(yīng)值分別為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個(gè)待選模型：甲：y=/+l,乙：y

=3x-l,若又測(cè)得(x