高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省張掖市某校2024屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題一?單選題1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故選:B.2.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：D.3.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得向量，由得，則，因此.故選：C.4.冬天，廣西南寧三位老師帶著11個(gè)歲的幼兒園小朋友到哈爾濱研學(xué)，一身橘紅色的羽線服，以她們獨(dú)特的服裝和歡快的姿態(tài)，在全國(guó)掀起了一股“小砂糖橘”熱潮.已知這11個(gè)小朋友中有5個(gè)男孩，6個(gè)女孩，隨機(jī)請(qǐng)出3個(gè)“小砂糖橘”與小企鵝一起拍照留念，則請(qǐng)出的“小砂糖橘”中至少有2個(gè)女孩的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗從11個(gè)小朋友中任請(qǐng)3人，基本事件共有種，恰好是3個(gè)女孩的方法數(shù)是種，恰好是2個(gè)女孩的方法數(shù)是種，故所求的概率是.故選：C.5.已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與焦點(diǎn)為的拋物線在第一象限交于點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閽佄锞€，所以拋物線準(zhǔn)線方程為，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo).又焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為.故選：A.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，若，則（）A.-1 B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗由前項(xiàng)和定義可得，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，因?yàn)?，所?設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，所以，所以，所以.故選：D.7.若圓上存在唯一點(diǎn)，使得，其中，則正數(shù)的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，則，，因?yàn)?，可得，化?jiǎn)得，故點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，又因?yàn)榇嬖谖ㄒ稽c(diǎn)也在圓上，所以兩圓是外切或內(nèi)切，所以圓心距等于兩圓半徑相加，或者圓心距等于兩圓半徑差的絕對(duì)值，即或，解得或，因?yàn)槭钦龜?shù)，所以.故選：B.8.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（）A.0 B.-1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由零點(diǎn)定義可知，函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程的實(shí)數(shù)根，令，則，顯然，所以，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，所以此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，所以，，即，另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，所以也是函數(shù)的零點(diǎn)，說(shuō)明，即.故選:A.二?多選題9.已知直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則函數(shù)的〖解析〗式可以是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：函數(shù)圖象由圖象沿軸向右平移1個(gè)單位，再把軸下方的圖象關(guān)于軸對(duì)稱翻折到軸上方，故關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；B：函數(shù)的圖象是由圖象沿軸向右平移1個(gè)單位得到的，而函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，其圖象沿軸向右平移1個(gè)單位后的圖象剛好關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；C：令，則該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，故符合題意，故C正確；D：，顯然，故此函數(shù)不是關(guān)于直線對(duì)稱的，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），且，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.D.若點(diǎn)是雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，則〖答案〗AD〖解析〗如圖，連接，由雙曲線定義可知，，由題意得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故且，即四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋炙?，，由，所以，由，得，即有，所以，所以離心率，故A正確；又，所以，所以漸近線方程為，，故B、C錯(cuò)誤，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槭侵本€與雙曲線的交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得，所以.又點(diǎn)在雙曲線上，代入可得，兩式相減可得，所以，故D正確.故選：AD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），如圖所示，若始終成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B.動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為C.向量與夾角的正弦值為D.三棱錐體積的最大值為〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖，則在平面中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，，又可得與相似，可得，再由，可得，即.因?yàn)檎襟w，所以是等邊三角形，顯然可得，因?yàn)?，平面，所以平面，故?dòng)點(diǎn)軌跡是線段，在中，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，利用中的等面積法可得，易得動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C，在平面中，，所以在中，，所以由余弦定理可得，所以，而，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榇怪逼矫?，所以三棱錐體積等于，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，取最大值，所以由的軌跡可知，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)到直線的距離最大，此時(shí)取最大值，所以三棱錐體積的最大值為，故D正確.故選：BD.二?填空題12.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以的面積為.故〖答案〗為：.13.已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則平面截此四棱柱的外接球所得的截面面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由正四棱柱可知底面為正方形，由正四棱柱的外接球特征可知，外接球直徑等于正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)，所以，所以.如圖，取長(zhǎng)方形的中心，連結(jié)，則，而平面，平面，故平面，所以球心到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則球心到平面的距離等于的長(zhǎng).在長(zhǎng)方形中，連結(jié)，則，所以，又平面截此四棱柱的外接球所得的截面為圓面，所以此圓的半徑為，故截面面積為.故〖答案〗為：14.已知函數(shù)，若，則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由得，所以是上增函數(shù).又，故由得，即.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故最小值為.故〖答案〗為：三?解答題15.近年來(lái)，馬拉松比賽受到廣大體育愛(ài)好者的喜愛(ài).某地體育局在五一長(zhǎng)假期間舉辦比賽，志愿者的服務(wù)工作是成功舉辦的重要保障.現(xiàn)抽取了200名候選者的面試成績(jī)，并分成六組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

男生女生合計(jì)被錄取20

未被錄取

合計(jì)

（1）求；（2）估計(jì)候選者面試成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）在抽出的200名候選者的面試成績(jī)中，若規(guī)定分?jǐn)?shù)不低于80分的候選者為被錄取的志愿者，已知這200名候選者中男生與女生人數(shù)相同，男生中有20人被錄取，請(qǐng)補(bǔ)充列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“候選者是否被錄取與性別有關(guān)”.附：，其中.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）由概率和為1得：，解得；（2）由題意知，候選者面試成績(jī)的平均數(shù)，所以候選者面試成績(jī)的平均數(shù)約為68.5.（3）由頻率分布直方圖知不低于80分的人數(shù)為，即被錄取的共有30人，所以被錄取的女生為，又男生與女生各100人，完善列聯(lián)表如下：

男生女生合計(jì)被錄取201030未被錄取8090170合計(jì)100100200，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為“候選者是否被錄取與性別有關(guān)”.16.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，成立，所以，顯然，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以（2），所以數(shù)列的前項(xiàng)和所以17.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且平面平面為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：在中，由，得，即，所以由平面，平面平面，且平面平面得平面（2）解：由（1）得平面，所以，在等邊三角形中，為中點(diǎn)，所以，即兩兩互相垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，又，所以，則，所以，設(shè)，則，得到，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，由，令，得，所以，又一面角的大小為，所以，得到，又，解得，所以存在點(diǎn)使二面角的大小為，且18.已知橢圓左?右頂點(diǎn)分別為，短軸長(zhǎng)為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若第一象限內(nèi)一點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)與外接圓的圓心的連線交軸于點(diǎn)，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)槎梯S長(zhǎng)為，所以，又橢圓的離心率為，則有，解得，所以的方程為.（2）因?yàn)橥饨訄A經(jīng)過(guò)橢圓的左?右頂點(diǎn)，所以圓心在軸上，設(shè)圓心，則圓的半徑為，所以，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，兩方程消去得：再由直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，令，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為又，所以，解得19.泰勒公式是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)定理，它可以將一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處展開(kāi)成無(wú)限項(xiàng)的多項(xiàng)式.當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，它的公式表達(dá)式如下：.注：表示函數(shù)在原點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，表示在原點(diǎn)處