ANOVA1范例一硬木濃度與紙張強(qiáng)度的關(guān)系?

Hardwood Observations Concentration123456TotalsAve. 5%7815119106010101217131819159415.6715141819171618102172019252223182012721.17 Overall 38315.96ANOVA2變異數(shù)分析

(AnalysisofVariance，ANOVA)適用問題預(yù)測(cè)(獨(dú)立)變數(shù)為名目尺度，準(zhǔn)則(相依)變數(shù)為區(qū)間或比例尺度。假設(shè)檢定H0：μ1=μ2=μ3=…=μmH1：notallμiequivalenceANOVA3ANOVA之假設(shè)所有的樣本都是隨機(jī)抽選而得，而且彼此獨(dú)立。各母體呈常態(tài)分配。各母體的變異數(shù)都相等。ANOVA4問題之圖示—箱型圖Alwaysagoodpracticetocomparethelevelsofthefactorusinggraphicalmethodssuchasboxplots.Comparativeboxplotsshowthevariabilityoftheobservationswithinafactorlevelandthevariabilitybetweenfactorlevels.ANOVA5ANOVA6ANOVA之模式1TheobservationsYijcanbemodeledbyτi=實(shí)驗(yàn)變數(shù)的第j個(gè)水平對(duì)Y的差異效果。εij=誤差項(xiàng)。假設(shè)其為獨(dú)立、常態(tài)分配，平均數(shù)為0，變異數(shù)為σ2。ANOVA7ANOVA之模式2n=numberoftotalobservationsm=numberoffactorlevelsni=numberofobservationspertreatment(factor)levelANOVA8資料之變異來源1實(shí)驗(yàn)變數(shù)的變異(treatmentvariation)(組間變異)(組間離均差平方和)SSTreatment=∑ni(Yi-Y)2誤差(error)的變異(組內(nèi)變異)(組內(nèi)離均差平方和)SSE=∑∑(Yij-Yi)2總變異(totalvariability)ANOVA9資料之變異來源2ThesumofsquaresidentityisNotationally,thisisoftenwrittenasSST=SSTreatments+SSEANOVA10ANOVA之原理1TheexpectedvalueofthetreatmentsumofsquaresisIfthenullhypothesisistrue,thenANOVA11ANOVA之原理2TheerrormeansquareIfthenullhypothesisistrue,theratio

hasanF-distributionwith(m–1)anda(n–m)degreesoffreedom.ANOVA12變異數(shù)分析表ANOVA13范例一之變異數(shù)分析表ANOVA14ResidualAnalysisAssumptions:modelerrorsarenormallyandindependentlydistributedwithequalvariance.Checktheassumptionsbylookingatresidualplots.ANOVA15ResidualAnalysis—equalvariancePlotofresidualsversusfactorlevelsANOVA16ResidualAnalysis—normallyNormalprobabilityplotofresidualsANOVA17范例二1小華想了解三種教學(xué)工具(黑板、PowerPoint、在線)的教學(xué)效果。將其12位學(xué)生隨機(jī)分成三組，對(duì)每組采用不同的教工具做實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過一段期間后舉行測(cè)驗(yàn)果下表。試對(duì)此問題進(jìn)行分析。ANOVA18范例二2學(xué)生分?jǐn)?shù)黑板組PowerPoint組在線組456567678789平均=5.5平均=6.5平均=7.5ANOVA19范例二3—ANOVAtable變異來源SS自由度MSF組間8242.4組內(nèi)1591.67合計(jì)2311ANOVA20多重比較檢定—概念變異數(shù)分析的結(jié)果如拒絶接受虛無假設(shè)，并不表示所有的μi都不相等，此時(shí)尚可進(jìn)一步檢定各μi中，那幾個(gè)相等與那幾個(gè)不相等，或是將各μi作大小次序排列，此即所謂多重比較(multiplecomparisons)問題。ANOVA21多重比較檢定—原理1以信賴區(qū)間的數(shù)值來比較每一對(duì)母體平均數(shù)μg和μh(g≠h)的大小，然后再綜合比較各μi的大小。在1-α的信賴水平下(μg-μh)的信賴區(qū)間為ANOVA22多重比較檢定—原理2若(L,U)包括0在內(nèi)，表示(μg-μh)在(1-α)的信賴水平下，可能等于0，亦即接受H0：μg=μh如果L>0，表示在(1-α)的信賴水平下，μg>μh如果U<0，表示在(1-α)的信賴水平下，μg<μh為同時(shí)比較所μi(i=1~m)的大小，則必須求[(μg-μh)|1≦g<h≦m]的100(1-α)%的聯(lián)立信賴區(qū)間。ANOVA23常用之多重比較檢定法Bonferronimethod適用于比對(duì)個(gè)數(shù)較少時(shí)(例如，2~3)Scheffemethod適用于比對(duì)個(gè)數(shù)較多時(shí)Tukeymethod只能應(yīng)用于各組樣本大小相等的場(chǎng)合不同方法之主要差異，在于求聯(lián)立信賴區(qū)間時(shí)，使用不同的機(jī)率理論。ANOVA24SPSS―單因子變異數(shù)分析Analyze→CompareMeans→One-WayANOVAAnalyze→GeneralLinearModel→UnivariateANOVA25二因子變異數(shù)分析假設(shè)兩因子間無互動(dòng)關(guān)系存在隨機(jī)區(qū)集設(shè)計(jì)區(qū)集因子無法控制兩因子完全隨機(jī)設(shè)計(jì)可根據(jù)實(shí)驗(yàn)單位的地點(diǎn)特性或某些固定因素而將之歸入不同的區(qū)集(區(qū)集因子可控制)兩因子間考慮互動(dòng)關(guān)系互動(dòng)之二因素變異數(shù)分析(重復(fù)二因子變異數(shù)分析)ANOVA26隨機(jī)區(qū)集設(shè)計(jì)與

兩因子完全隨機(jī)設(shè)計(jì)區(qū)集1…j…n處理水平1Y11Y12…T1…Y21…i…YijTi…mTmB1…Bj…BnYANOVA27隨機(jī)區(qū)集設(shè)計(jì)與

兩因子完全隨機(jī)設(shè)計(jì)模型1Yij=μ+αi+

j+εij處理變量之假設(shè)H0(Treatment)：α1=α2=…=αm=0H1(Treatment)：αi不全為0區(qū)集因子之假設(shè)H0(Block)：

1=

2=…=

n=0H1(Block)：

j不全為0SST=SSTreatment+SSBlock+SSESSTreatment=n∑(Ti-Y)2SSBlock=m∑(Bj-Y)2SSE=SST-SSTreatment-SSBlockANOVA28隨機(jī)區(qū)集設(shè)計(jì)與

兩因子完全隨機(jī)設(shè)計(jì)模型2αi：第i種處理的效果(影響)

j：第j個(gè)區(qū)間的效果(影響)Ti：第i個(gè)實(shí)驗(yàn)變量水平的平均數(shù)(i=1~m)Bj：第j個(gè)區(qū)集變量水平的平均數(shù)(j=1~n)m：實(shí)驗(yàn)變量水平的數(shù)目n：區(qū)集的數(shù)目ANOVA29隨機(jī)區(qū)集設(shè)計(jì)與

兩因子完全隨機(jī)設(shè)計(jì)模型3FTreatment=MSTreatmentMSE=SSTreatment/(m-1)SSE/(m-1)(n-1)IfFTreatment≦Fα，無法拒絶H0(Treatment)FTreatment>Fα，拒絶H0(Treatment)ANOVA30隨機(jī)區(qū)集設(shè)計(jì)與

兩因子完全隨機(jī)設(shè)計(jì)模型4FBlock=MSBlockMSE=SSBlock/(n-1)SSE/(m-1)(n-1)IfFBlock≦Fα，無法拒絶H0(Block)FBlock>Fα，拒絶H0(Block)ANOVA31范例三1某食品公司為測(cè)定在四種包裝設(shè)計(jì)中，那一種包裝最受消費(fèi)者歡迎，進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。為考慮不同的商店類型可能有不同的反應(yīng)，因此選擇五種不同類型的商店各4家，每家只銷售一種包裝設(shè)計(jì)的食品，試銷一星期后各商店之銷售量如下表，試以α=0.05檢定包裝設(shè)計(jì)方式是否影響產(chǎn)品銷售量?ANOVA32范例三2商店類型實(shí)驗(yàn)變數(shù)平均數(shù)超市雜貨店面包店冷飲店其他包裝設(shè)計(jì)11228176220141712171631371381411411510367區(qū)集平均數(shù)1471261110ANOVA33范例三3變異來源SS自由度MSF區(qū)集18444623實(shí)驗(yàn)變數(shù)3103103.3351.67誤差24122合計(jì)51819ANOVA34范例三4因?yàn)閷?shí)驗(yàn)變量F值(51.67)遠(yuǎn)大于5%顯著水平下F的臨界值(F0.05,3,12)=3.49，故可推知：不同包裝設(shè)計(jì)的銷量有顯著差異。ANOVA35SPSS―兩因子變異數(shù)分析(無互動(dòng)關(guān)系)Analyze→GeneralLinearModel→UnivariateModel→Custom→MaineffectsANOVA36范例四1某位計(jì)算機(jī)程序教師想了解他所教的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言(因素A)和他所使用的計(jì)算機(jī)類型(因素B)對(duì)學(xué)生成績(jī)的影響。其進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)：在四個(gè)學(xué)期當(dāng)中，他教了16班，每班在學(xué)期終了都舉行一次標(biāo)準(zhǔn)測(cè)驗(yàn)，各班的平均成績(jī)?nèi)缦卤恚囈驭?0.01檢定(1)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言、(2)計(jì)算機(jī)類型是否影響學(xué)習(xí)成效?ANOVA37范例四2計(jì)算機(jī)類型平均1234計(jì)算機(jī)語(yǔ)言16486888480.5027483909284.7536885846976.5046984878982.25平均68.7584.5087.2583.5081ANOVA38范例四3變異來源SS自由度MSF計(jì)算機(jī)語(yǔ)言144.5348.171.78計(jì)算機(jī)類型830.53276.8310.25誤差243927合計(jì)121815ANOVA39范例四4因?yàn)镕A=1.78<F0.01,3,9=6.99，接受H0(A)，亦即在1%顯著水平下，計(jì)算機(jī)語(yǔ)言對(duì)學(xué)生的計(jì)算機(jī)分?jǐn)?shù)沒有影響。FB=10.25>F0.01,3,9，拒絶H0(B)，亦即在1%顯著水平下，所用之計(jì)算機(jī)類型對(duì)學(xué)生的計(jì)算機(jī)分?jǐn)?shù)有影響。ANOVA40互動(dòng)之二因子變異數(shù)分析

(重復(fù)二因子變異數(shù)分析)區(qū)集1…j…n處理水平1Y111,Y112…Y11k…Y11r…Y1..……iYij1…Yijr

Yi..…mYm..Y.1.…Y.j.…Y.n.YANOVA41互動(dòng)之二因子變異數(shù)分析

(重復(fù)二因子變異數(shù)分析)模型1Yijk=μ+αi+

j+(α

)ij+εijk處理變量之假設(shè)H0(Treatment)：α1=α2=…=αm=0H1(Treatment)：αi不全為0區(qū)集因子之假設(shè)H0(Block)：

1=

2=…=

n=0H1(Block)：

j不全為0交互作用之假設(shè)H0(Intersection)：(α

)11=(α)12=…(α)mn=0H1(Intersection)：(α

)ij不全為0ANOVA42互動(dòng)之二因子變異數(shù)分析

(重復(fù)二因子變異數(shù)分析)模型2SST=SSTreatment+SSBlock+SSIntersection+SSESSTreatment=nr∑(Yi..-Y)2—自由度為m-1SSBlock=mr∑(Y.j.-Y)2—自由度為n-1SSIntersection=r∑∑(Yij.-Yi..-Y.j.+Y)2—自由度為(n-1)(m-1)SSE=SST-SSTreatment-SSBlock-SSIntersectionSSE=∑∑∑(Yijk-Yij.)2—自由度為mn(r-1)ANOVA43互動(dòng)之二因子變異數(shù)分析

(重復(fù)二因子變異數(shù)分析)模型3ANOVA44互動(dòng)之二因子變異數(shù)分析

(重復(fù)二因子變異數(shù)分析)模型4變異來源平方和自由度均方和F決策處理變量SSTreatmentm-1MSTreatmentMSTreatment/MSEF>Fα,m-1,mn(r-1)，拒絶H0區(qū)集因子SSBlockn-1MSBlockMSBlock/MSEF>Fα,n-1,mn(r-1)，拒絶H0交互作用SSIntersection(m-1)(n-1)MSIntersectionMSIntersection/MSEF>Fα,(m-1)(n-1),mn(r-1)，拒絶H0誤差SSEmn(r-1)MSE總和SSTmnr-1ANOVA45范例五1一公司為了試驗(yàn)不同的包裝方式A1、A2、A3對(duì)產(chǎn)品銷售量的影響，分別在B1、B2、B3、B4四個(gè)試銷點(diǎn)試銷三次，得銷售量如下表。試以α=0.05檢定(1)包裝方式、(2)試銷點(diǎn)、(3)交互作用是否影響產(chǎn)品銷售量?ANOVA46范例五2B1B2B3B4A1151912171013912614811A2202418241822121510211614A32217142619211058191512銷點(diǎn)包裝ANOVA47范例五3B