eq\a\vs4\al(直線與直線的方程)1．1直線的傾斜角和斜率預(yù)習(xí)課本P61～64，思考并完成以下問題(1)直線傾斜角是怎么定義的？(2)過兩點的直線的斜率公式是什么？斜率與傾斜角的關(guān)系如何？eq\a\vs4\al([新知初探])1．直線的傾斜角(1)概念：在平面直角坐標系中，直線l與x軸相交，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角．(2)范圍：0°≤α＜180°，當直線l和x軸平行時，傾斜角為0°.2．直線的斜率(1)概念：斜率k是直線傾斜角α(α≠90°)的正切值，通常把tan_α叫作直線的斜率．(2)斜率與傾斜角對應(yīng)關(guān)系：圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范圍)k＝0k＞0不存在k＜0(3)經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).[點睛]直線的傾斜角和斜率的關(guān)系(1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，此時，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)．(2)直線的斜率也反映了直線相對于x軸的正方向的傾斜程度．當0°≤α＜90°時，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當90°＜α＜180°時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)傾斜角是描述直線的傾斜程度的唯一方法．()(2)任何一條直線有且只有一個斜率和它對應(yīng)．()(3)斜率公式與兩點的順序無關(guān)．()答案：(1)×(2)×(5)√2．若直線l的傾斜角為60°，則該直線的斜率為________．答案：eq\r(3)3．經(jīng)過兩點A(3,2)，B(4,7)的直線的斜率是________．答案：54．經(jīng)過兩點P(1，－4)，Q(－1，－4)的直線的傾斜角是________．答案：0°直線的傾斜角[典例]設(shè)直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當0°≤α＜135°時，傾斜角為α＋45°；當135°≤α＜180°時，傾斜角為α－135°[解析]因為0°≤α＜180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：通過圖像可知：當0°≤α＜135°，l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α＜180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.故選D.[答案]D求直線傾斜角的常用方法(1)定義法：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合傾斜角的定義求出傾斜角．(2)分類法：根據(jù)題意把傾斜角α分為以下四類討論：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°及90°＜α＜180°.[活學(xué)活用]一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°＜α＜90°)，則其傾斜角為()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α解析：選D如圖，當l向上方向的部分在y軸左側(cè)時，傾斜角為90°＋α；當l向上方向的部分在y軸右側(cè)時，傾斜角為90°－α.故選D.求直線的斜率[典例](1)過原點且斜率為eq\f(\r(3),3)的直線l繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°到達l′位置，則直線l′的斜率為________．(2)經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．①A(1,1)，B(－1，－2)；②A(－2，－3)，B(－2,3)；③A(2,2)，B(10,2)．[解析](1)因為直線l的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，所以直線l的傾斜角為30°，所以直線l′的傾斜角為30°＋30°＝60°，所以直線l′的斜率k′＝tan60°＝eq\r(3).答案：eq\r(3)(2)解：①存在，k＝eq\f(－2－1,－1－1)＝eq\f(3,2).②不存在，因為兩點的橫坐標相等，所以斜率不存在．③存在，k＝eq\f(2－2,10－2)＝0.求直線斜率的兩種方法(1)已知直線的傾斜角α?xí)r，可根據(jù)斜率的定義，利用k＝tanα求得．(2)已知直線上經(jīng)過的兩點時，可利用兩點連線的斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，要注意前提條件x1≠x2.若x1＝x2，則斜率不存在．當兩點的橫坐標含有字母時，要先討論橫坐標是否相等再確定直線的斜率．[活學(xué)活用]經(jīng)過點P(2，m)和Q(2m,5)的直線的斜率等于eq\f(1,2)，則m的值是()A．4 B．3C．1或3 D．1或4解析：選B由條件知eq\f(5－m,2m－2)＝eq\f(1,2).解得m＝3.直線的傾斜角和斜率的綜合應(yīng)用[典例]已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點．(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．[解]如圖所示，由題意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1.(1)要使l與線段AB有公共點，故直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，故α的取值范圍是45°≤α≤135°.(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．(2)由兩點坐標求斜率運用兩點斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．(3)涉及直線與線段有交點問題常數(shù)形結(jié)合利用公式求解．[活學(xué)活用]已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，(1)求直線AB和AC的斜率．(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．解：(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7).直線AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3).故直線AB的斜率為eq\f(1,7)，直線AC的斜率為eq\f(5,3).(2)如圖所示，當D由B運動到C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).層級一學(xué)業(yè)水平達標1．給出下列說法，正確的個數(shù)是()①若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等；②一條直線的傾斜角為－30°；③傾斜角為0°的直線只有一條；④直線的傾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}與直線集合建立了一一對應(yīng)關(guān)系．A．0 B．1C．2 D．3解析：選A若兩直線的傾斜角為90°，則它們的斜率不存在，①錯；直線傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，②錯；所有垂直于y軸的直線傾斜角均為0°，③錯；不同的直線可以有相同的傾斜角，④錯．2．已知直線l的傾斜角為120°，則直線l的斜率為()A．－eq\r(3) B.eq\r(3)C．1 D．－eq\f(\r(2),2)解析：選A由題意可知，k＝tan120°＝－eq\r(3).3．過點A(－eq\r(3)，eq\r(2))與B(－eq\r(2)，eq\r(3))的直線的傾斜角為()A．45° B．135°C．45°或135° D．60°解析：選AkAB＝eq\f(\r(3)－\r(2),－\r(2)－(－\r(3)))＝eq\f(\r(3)－\r(2),\r(3)－\r(2))＝1.4．若經(jīng)過A(2,1)，B(1，m)的直線l的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)解析：選A由l的傾斜角為銳角，可知kAB＝eq\f(m－1,1－2)＞0，即m＜1.5．若A，B兩點的橫坐標相等，則直線AB的傾斜角和斜率分別是()A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在解析：選C由于A，B兩點的橫坐標相等，所以直線與x軸垂直，傾斜角為90°，斜率不存在．故選C.6．若過點A(4,2)和B(5，b)的直線與過點C(1,2)，D(3,4)的直線的斜率相等，則b的值為________．解析：由題意，可得eq\f(b－2,5－4)＝eq\f(4－2,3－1)＝1，∴b＝3.答案：37．已知點A(3,4)，在坐標軸上有一點B，若kAB＝2，則B點的坐標為________．解析：若B點在x軸上，則設(shè)B點坐標為(x,0)，由題意知eq\f(4－0,3－x)＝2，解得x＝1，即B(1,0)；若B點在y軸上，則設(shè)B點坐標為(0，y)，由題意知eq\f(4－y,3－0)＝2，解得y＝－2，即B(0，－2)．∴點B的坐標可以為(1,0)或(0，－2)．答案：(1,0)或(0，－2)8．已知三點A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，實數(shù)a的值為________．解析：∵A，B，C三點共線，∴kAB＝kBC，即eq\f(5,3－a)＝eq\f(9a＋7,5)，∴a＝2或eq\f(2,9).答案：2或eq\f(2,9)9．已知直線過點A(2m,3)，B(2，－1)，根據(jù)下列條件求m的值．(1)直線的傾斜角為135°；(2)直線的傾斜角為90°；(3)點C(3，m)在直線上．解：(1)由題意，得eq\f(3－(－1),2m－2)＝tan135°＝－1，得m＝－1.(2)由題意，得2m＝2，得m＝1.(3)由題意，得eq\f(3－(－1),2m－2)＝eq\f(m－(－1),3－2)，得m＝±eq\r(3).10．已知直線l上兩點A(－2,3)，B(3，－2)，求其斜率．若點C(a，b)在直線l上，求a，b間應(yīng)滿足的關(guān)系，并求當a＝eq\f(1,2)時，b的值．解：由斜率公式得kAB＝eq\f(－2－3,3＋2)＝－1.∵C在l上，kAC＝－1，即eq\f(b－3,a＋2)＝－1.∴a＋b－1＝0.當a＝eq\f(1,2)時，b＝1－a＝eq\f(1,2).層級二應(yīng)試能力達標1．設(shè)點P在y軸上，點N是點M關(guān)于y軸的對稱點，若直線PM的斜率為k(k≠0)，則直線PN的斜率是()A．k B．－kC.eq\f(1,k) D．－eq\f(1,k)解析：選B設(shè)P點的坐標為(0，y0)，M(x1，y1)，N(－x1，y1)，由題意知PM斜率為k＝eq\f(y0－y1,0－x1)，而直線PN的斜率為eq\f(y0－y1,0－(－x1))＝－k，故選B.2．l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角α的范圍是()A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°解析：選C直線l經(jīng)過第二、四象限，所以直線l的傾斜角α的范圍是90°＜α＜180°.3．如圖，設(shè)直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為()A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3D．k3＜k2＜k1解析：選A根據(jù)“當0°≤α＜90°時，斜率越大，直線的傾斜程度越大”可知選項A正確．4．已知直線l經(jīng)過點A(1,2)，且不經(jīng)過第四象限，則直線l的斜率k的取值范圍是()A．(－1,0] B．[0,1]C．[1,2] D．[0,2]解析：選D由圖可知當直線位于如圖陰影部分所示的區(qū)域內(nèi)時，滿足題意，所以直線l的斜率滿足0≤k≤2.故選D.5．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直線AP與直線BP的斜率分別為2和－2，則點P的坐標是________．解析：設(shè)點P(x，y)，則有eq\f(y－2,x＋1)＝2且eq\f(y－2,x－3)＝－2，解得x＝1，y＝6，即點P坐標是(1,6)．答案：(1,6)6．若經(jīng)過點P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：由題意知，斜率k＝eq\f(1＋a－2a,1－a－3)＝eq\f(a－1,a＋2)＜0，解得－2＜a＜1.答案：(－2,1)7．已知直線l過點A(1,2)，B(m,3)，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍．解：設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角為α，當m＝1時，斜率k不存在，α＝90°，當m≠1時，k＝eq\f(3－2,m－1)＝eq\f(1,m－1)，當m＞1時，k＝eq\f(1,m－1)＞0，此時α為銳角，0°＜α＜90°，當m＜1時，k＝eq\f(1,m－1)＜0，此時α為鈍角，90°＜α＜180°.所以直線l的斜率k的取值范圍為(－∞，0)∪(0，＋∞)，傾斜角α的取值范圍為0°＜α＜180°.8．點M(x，y)在函數(shù)y＝－2x＋8的圖像上，當x∈[2,5]時，求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍．解：eq\f(y＋1,x＋1)＝eq\f(y－(－1),x－(－1))的幾何意義是過M(x，y)，N(－1，－1)兩點的直線的斜率．∵點M在函數(shù)y＝－2x＋8的圖像上，且x∈[2,5]，∴設(shè)該線段為AB且A(2,4)，B(5，－2)．∵kNA＝eq\f(5,3)，kNB＝－eq\f(1,6)，∴－eq\f(1,6)≤eq\f(y＋1,x＋1)≤eq\f(5,3).∴eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(5,3))).1．2直線的方程第一課時直線方程的點斜式預(yù)習(xí)課本P65～67，思考并完成以下問題(1)直線的點斜式方程是什么？(2)直線的斜截式方程是什么？兩種形式的方程適用的條件是什么？(3)直線在y軸上的截距指的是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．直線的點斜式與斜截式方程點斜式斜截式已知條件點P0(x0，y0)和斜率k斜率k，直線與y軸的交點為(0，b)方程形式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b圖示適用條件斜率存在2．直線在y軸上的截距(1)條件：直線的斜截式方程y＝kx＋b.(2)結(jié)論：b叫做直線y＝kx＋b在y軸上的截距．[點睛]點斜式與斜截式的選擇條件(1)點斜式的選擇條件：①已知斜率(或直線的傾斜角)；②已知直線上一點可選點斜式方程．(2)斜截式的選擇條件：①已知在y軸上的截距；②已知斜率可選斜截式方程．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)直線的點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的任何直線．()(2)直線l的斜率為k，與x軸交點的橫坐標為b，則直線方程可表示為y＝kx＋b.()(3)經(jīng)過點P(x0，y0)的直線有無數(shù)條，這無數(shù)條直線都可寫出點斜式方程．()答案：(1)√(2)×(3)×2．過點P(－2,0)，斜率為3的直線方程是()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)答案：D3．直線y＝2x－3的斜率和在y軸上的截距分別等于()A．2,2 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3答案：D4．直線l的點斜式方程是y＋2＝3(x＋1)，則直線l的斜率是________．答案：3直線方程的點斜式[典例]根據(jù)條件寫出下列直線的方程，并畫出圖形：(1)經(jīng)過點A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)經(jīng)過坐標原點，傾斜角為45°；(3)經(jīng)過點B(3，－5)，傾斜角為90°；(4)經(jīng)過點C(2,8)，D(－3，－2)．[解](1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1.圖形如圖(1)所示．(2)k＝tan45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x.圖形如圖(2)所示．(3)斜率k不存在，∴直線方程為x＝3.圖形如圖(3)所示．(4)k＝eq\f(8－(－2),2－(－3))＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.圖形如圖(4)所示．求直線的點斜式方程的方法步驟(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．[活學(xué)活用]1．過點(－1,2)，且傾斜角為135°的直線方程為________．解析：k＝tan135°＝－1，由直線的點斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝02．斜率為eq\f(\r(3),2)，與x軸交點的橫坐標為－7的直線的點斜式方程為________．解析：由直線與x軸交點的橫坐標為－7，得直線過點(－7,0)．又斜率為eq\f(\r(3),2)，所以所求直線的點斜式方程為：y－0＝eq\f(\r(3),2)(x＋7)．答案：y－0＝eq\f(\r(3),2)(x＋7)直線方程的斜截式[典例]根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程．(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；(3)傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3.[解](1)由直線方程的斜截式可知，所求直線方程為y＝2x＋5.(2)∵傾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，由斜截式可得方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x－2.(3)∵直線的傾斜角為60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，∵直線與y軸的交點到原點的距離為3，∴直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直線方程為y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3.直線的斜截式方程的求解策略(1)直線的斜截式方程是點斜式方程的特殊形式，其適用前提是直線的斜率存在，只要點斜式中的點在y軸上，就可以直接用斜截式表示．(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數(shù)，因此要確定某直線，只需兩個獨立的條件．(3)利用直線的斜截式求方程務(wù)必靈活，如果已知斜率k，只需引入?yún)?shù)b；同理如果已知截距b，只需引入?yún)?shù)k.[活學(xué)活用]已知斜率為2，在y軸上截距為m的直線方程l，若直線l過點(1,1)，求m的值．解：由直線方程的斜截式，得直線方程為y＝2x＋m.∵直線l過點(1,1)，將x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m,1＝2×1＋m，∴m＝－1即為所求．層級一學(xué)業(yè)水平達標1．已知直線的方程是y＋2＝－x－1，則()A．直線經(jīng)過點(－1,2)，斜率為－1B．直線經(jīng)過點(2，－1)，斜率為－1C．直線經(jīng)過點(－1，－2)，斜率為－1D．直線經(jīng)過點(－2，－1)，斜率為1解析：選C方程變形為y＋2＝－(x＋1)，∴直線過點(－1，－2)，斜率為－1.2．已知直線的傾斜角為60°，在y軸上的截距為－2，則此直線方程為()A．y＝eq\r(3)x＋2 B．y＝－eq\r(3)x＋2C．y＝－eq\r(3)x－2 D．y＝eq\r(3)x－2解析：選D斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，則此直線方程為y＝eq\r(3)x－2.3．方程y＝k(x＋4)表示()A．過點(－4,0)的所有直線B．過點(4,0)的一切直線C．過點(－4,0)且不垂直于x軸的一切直線D．過點(－4,0)且除去x軸的一切直線解析：選C顯然y＝k(x＋4)中斜率存在，因此不包含過點(－4,0)且斜率不存在即垂直于x軸的直線．4．如果方程為y＝kx＋b的直線經(jīng)過二、三、四象限，那么有()A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0解析：選D因為直線y＝kx＋b經(jīng)過二、三、四象限，所以直線的斜率為負值，在y軸上的截距為負，因此k＜0，b＜0，故選D.5．直線y＝ax－eq\f(1,a)的圖像可能是()解析：選B由y＝ax－eq\f(1,a)可知，斜率和在y軸上的截距必須異號，故B正確．6．直線y＝eq\f(4,3)x－4在y軸上的截距是________．解析：由y＝eq\f(4,3)x－4，令x＝0，得y＝－4.答案：－47．直線y＝x＋m過點(m，－1)，則其在y軸上的截距是________．解析：y＝x＋m過點(m，－1)，∴－1＝m＋m，即m＝－eq\f(1,2)，從而在y軸上的截距為－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)8．已知一條直線經(jīng)過點P(1,2)，且其斜率與直線y＝2x＋3的斜率相同，則該直線的方程是________．解析：直線的斜率與y＝2x＋3的斜率相同，故k＝2，又過P(1,2)，∴直線的方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：2x－y＝09．直線l1過點P(－1,2)，斜率為－eq\f(\r(3),3)，把l1繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°角得直線l2，求直線l1和l2的方程．解：直線l1的方程是y－2＝－eq\f(\r(3),3)(x＋1)．即eq\r(3)x＋3y－6＋eq\r(3)＝0.∵k1＝－eq\f(\r(3),3)＝tanα1，∴α1＝150°.如圖，l1繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，得到直線l2的傾斜角為α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan120°＝－eq\r(3)，∴l(xiāng)2的方程為y－2＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y－2＋eq\r(3)＝0.10．求傾斜角是直線y＝－eq\r(3)x＋1的傾斜角的eq\f(1,4)，且分別滿足下列條件的直線方程．(1)經(jīng)過點(eq\r(3)，－1)；(2)在y軸上的截距是－5.解：∵直線y＝－eq\r(3)x＋1的斜率k＝－eq\r(3)，∴其傾斜角α＝120°，由題意，得所求直線的傾斜角α1＝eq\f(1,4)α＝30°，故所求直線的斜率k1＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，(1)∵所求直線經(jīng)過點(eq\r(3)，－1)，斜率為eq\f(\r(3),3)，∴所求直線方程是y＋1＝eq\f(\r(3),3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x－3y－6＝0.(2)∵所求直線的斜率是eq\f(\r(3),3)，在y軸上的截距為－5，∴所求直線的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x－5.層級二應(yīng)試能力達標1．直線3x＋2y＋6＝0的斜率為k，在y軸上的截距為b，則有()A．k＝－eq\f(3,2)，b＝3 B．k＝－eq\f(2,3)，b＝－2C．k＝－eq\f(3,2)，b＝－3 D．k＝－eq\f(2,3)，b＝－3解析：選C由3x＋2y＋6＝0，得y＝－eq\f(3,2)x－3，知k＝－eq\f(3,2)，b＝－3.2．直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2的位置關(guān)系如圖所示，則有()A．k1＜k2且b1＜b2B．k1＜k2且b1＞b2C．k1＞k2且b1＞b2D．k1＞k2且b1＜b2解析：選A設(shè)直線l1，l2的傾斜角分別為α1，α2.由題圖可知90°＜α1＜α2＜180°，所以k1＜k2.又b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2.故選A.3．在等腰△ABO中，AO＝AB，點O(0,0)，A(1,3)，而點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)解析：選D如圖，由幾何性質(zhì)知，OA與AB的傾斜角互補，kOA＝3，kAB＝－3，∴直線AB的方程為y－3＝－3(x－1)．4．不論m為何值，直線mx－y＋2m＋1＝0恒過定點()A．(1,2) B．(－2,1)C．(2，－1) D．(2,1)解析：選B∵直線方程可化為y－1＝m[x－(－2)]，∴直線恒過定點(－2,1)．5．已知直線l：y＝k(x－1)＋2不經(jīng)過第二象限，則k的取值范圍是________．解析：由l的方程知l過定點A(1,2)，斜率為k，則kOA＝2(O為坐標原點)，如圖所示，則由數(shù)形結(jié)合可得，k≥2時滿足條件．答案：[2，＋∞)6．給出下列四個結(jié)論：①方程k＝eq\f(y－2,x＋1)與方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直線；②直線l過點P(x1，y1)，傾斜角為90°，則其方程是x＝x1；③直線l過點P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y(tǒng)1；④所有的直線都有點斜式和斜截式方程．其中正確結(jié)論的序號為________．解析：①不正確．方程k＝eq\f(y－2,x＋1)不含點(－1,2)；②正確；③正確；④只有k存在時成立．答案：②③7．已知直線l的斜率為6，且被兩坐標軸截得的線段長為eq\r(37)，求直線l的方程．解：設(shè)所求的直線l的方程為y＝6x＋b，令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝－eq\f(b,6)，∴l(xiāng)與x，y軸的交點分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,6)，0))，(0，b)．由題意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,6)))2＋b2＝37，得b＝±6.∴直線l的方程為y＝6x±6.8．求與兩坐標軸圍成的三角形的周長為9，且斜率為－eq\f(4,3)的直線方程．解：設(shè)直線l的方程為y＝－eq\f(4,3)x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝eq\f(3,4)b.由題意，得|b|＋eq\f(3,4)|b|＋eq\r(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)b))2)＝9.∴|b|＋eq\f(3,4)|b|＋eq\f(5,4)|b|＝9，∴b＝±3.∴所求直線方程為y＝－eq\f(4,3)x＋3或y＝－eq\f(4,3)x－3.第二課時直線方程的兩點式和一般式預(yù)習(xí)課本P67～69，思考并完成以下問題(1)如何由直線上的兩點確定直線的方程？(2)直線的兩點式方程的適用范圍是什么？直線的截距式方程與兩點式方程的關(guān)系是什么？(3)直線的一般式方程是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．直線方程的兩點式和截距式名稱兩點式截距式已知條件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在x，y軸上的截距分別為a，b示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍y1≠y2且x1≠x2ab≠0[點睛]在求直線方程時，應(yīng)適當選用方程的形式，并注意各種形式的適用條件，兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直和經(jīng)過原點的直線．2．直線的一般式方程把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．其中系數(shù)A，B滿足A，B不同時為0.eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩點式適用于求與兩坐標軸不垂直的直線方程．()(2)截距式可表示除過原點外的所有直線．()(3)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化．()(4)平面上任一條直線都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)表示．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(ab＜0)的圖像可能是()答案：C3．過兩點(2015,2016)，(2015,2017)的直線方程是()A．x＝2015 B．x＝2016C．y＝2015 D．x＋y＝2017答案：A4．直線x－y＋5＝0的傾斜角為()A．45° B．60°C．120° D．135°答案：A直線方程的兩點式和截距式[典例](1)求滿足下列條件的直線方程：(1)過點A(－2,3)，B(4，－1)；(2)在x軸，y軸上的截距分別為4，－5；(3)過點P(2,3)，且在兩坐標軸上的截距相等．[解](1)由兩點式得eq\f(y－3,－1－3)＝eq\f(x＋2,4＋2)，化簡得2x＋3y－5＝0.(2)由截距式，得eq\f(x,4)＋eq\f(y,－5)＝1，化簡得5x－4y－20＝0.(3)當直線過原點時，所求直線方程為3x－2y＝0.當直線不過原點時，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵直線過P(2,3)，∴eq\f(2＋3,a)＝1，∴a＝5，直線方程為x＋y－5＝0，所以所求直線方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.求直線的兩點式方程的策略以及注意點(1)當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不平行于坐標軸，若滿足，則考慮用兩點式求方程．(2)由于減法的順序性，一般用兩點式求直線方程時常會將字母或數(shù)字的順序錯位而導(dǎo)致錯位．在記憶和使用兩點式方程時，必須注意坐標的對應(yīng)關(guān)系．[活學(xué)活用]若直線l過點P(4，－3)，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，求直線l的方程．解：法一：設(shè)直線在x軸，y軸上的截距分別為a，b.(1)當a≠0，b≠0時，設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵點P(4，－3)在直線上，∴eq\f(4,a)＋eq\f(－3,b)＝1，若a＝b，則a＝b＝1，直線方程為x＋y＝1.若a＝－b，則a＝7，b＝－7，此時直線的方程為x－y＝7.(2)當a＝b＝0時，直線過原點，且過點(4，－3)，∴直線的方程為3x＋4y＝0.綜上知，所求直線方程為x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.法二：設(shè)直線l的方程為y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝eq\f(4k＋3,k).又∵直線在兩坐標軸上的截距的絕對值相等．∴|－4k－3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋3,k)))，解得k＝1或k＝－1或k＝－eq\f(3,4).∴所求的直線方程為x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.直線方程的一般式[典例]設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據(jù)下列條件分別確定m的值；(1)l在x軸上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.[解](1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3≠0，①,\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3.②))由①得：m≠－1且m≠3，由②得：m＝3或m＝－eq\f(5,3).∴m＝－eq\f(5,3).(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1≠0，③,－\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1.④))由③得：m≠－1且m≠eq\f(1,2)，由④得：m＝－1或m＝－2.∴m＝－2.直線方程的幾種形式的轉(zhuǎn)化[活學(xué)活用]根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－eq\f(1,2)，經(jīng)過點A(8，－2)；(2)經(jīng)過點B(4,2)，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是eq\f(3,2)，－3；(4)經(jīng)過兩點P1(3，－2)，P2(5，－4)．解：(1)由點斜式得y－(－2)＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得eq\f(x,\f(3,2))＋eq\f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0.(4)由兩點式得eq\f(y－(－2),－4－(－2))＝eq\f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0.直線方程的綜合應(yīng)用[典例]已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．[解](1)證明：將直線l的方程整理為y－eq\f(3,5)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))，∴直線l的斜率為a，且過定點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，而點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限內(nèi)，故不論a為何值，l恒過第一象限．(2)直線OA的斜率為k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3.如圖所示，要使l不經(jīng)過第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.故a的取值范圍為[3，＋∞)．含有一個參數(shù)的直線方程，一般表示無窮多條直線，稱為直線系．這無窮多條直線是過同一個點的．這里對一般式靈活變形后變成點斜式是解決問題的關(guān)鍵．[活學(xué)活用]設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)求證：不論a取何值，直線l必過定點，并求出這個定點；(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)證明：直線l的方程可變形為(a＋1)x＋y＋3－(a＋1)＝0.即y＋3＝－(a＋1)(x－1)．故不論a取何值，直線l恒過定點(1，－3)．(2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－(a＋1)＞0，,a－2≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－(a＋1)＝0，,a－2≤0.))∴a≤－1.故a的取值范圍是(－∞，－1]．層級一學(xué)業(yè)水平達標1．過P1(2,0)，P2(0,3)兩點的直線方程是()A.eq\f(x,3)＋eq\f(y,2)＝0 B.eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)＝0C.eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)＝1 D.eq\f(x,2)－eq\f(y,3)＝1解析：選C由截距式得，所求直線的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)＝1.2．直線eq\f(x,3)－eq\f(y,4)＝1在兩坐標軸上的截距之和為()A．1 B．－1C．7 D．－7解析：選B直線在x軸上截距為3，在y軸上截距為－4，因此截距之和為－1.3．直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1過第一、二、三象限，則()A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0解析：選C由于直線過第一、二、三象限，故其a＜0，b＞0.4．直線2x＋y＋7＝0在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則a，b的值是()A．a(chǎn)＝－7，b＝－7 B．a(chǎn)＝－7，b＝－eq\f(7,2)C．a(chǎn)＝－eq\f(7,2)，b＝7 D．a(chǎn)＝－eq\f(7,2)，b＝－7解析：選D令x＝0得y＝－7，∴b＝－7，令y＝0得x＝－eq\f(7,2)，∴a＝－eq\f(7,2).5．已知直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過點A(2,1)，則過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程是()A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0解析：選A∵點A(2,1)在直線a1x＋b1y＋1＝0上，∴2a1＋b1＋1＝0.由此可知點P1(a1，b1)在直線2x＋y＋1＝0上．∵點A(2,1)在直線a2x＋b2y＋1＝0上，∴2a2＋b2＋1＝0.由此可知點P2(a2，b2)也在直線2x＋y＋1＝0上．∴過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程是2x＋y＋1＝0.6．過點(－1,1)和(3,9)的直線在x軸上的截距是________．解析：直線方程為eq\f(y－1,9－1)＝eq\f(x＋1,3＋1)，即y＝2x＋3，令y＝0得x＝－eq\f(3,2)，∴在x軸上的截距為－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)7．已知直線l的傾斜角為60°，在y軸上的截距為－4，則直線l的點斜式方程為________；截距式方程為________；斜截式方程為________；一般式方程為________．解析：由題意，k＝tan60°＝eq\r(3)，點斜式方程：y＋4＝eq\r(3)(x－0)，截距式方程：eq\f(x,\f(4\r(3),3))＋eq\f(y,－4)＝1，斜截式方程：y＝eq\r(3)x－4，一般式方程：eq\r(3)x－y－4＝0.答案：y＋4＝eq\r(3)(x－0)eq\f(x,\f(4\r(3),3))＋eq\f(y,－4)＝1y＝eq\r(3)x－4eq\r(3)x－y－4＝08．已知直線l的斜率是直線2x－3y＋12＝0的斜率的eq\f(1,2)，l在y軸上的截距是直線2x－3y＋12＝0在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為____________．解析：由2x－3y＋12＝0知，斜率為eq\f(2,3)，在y軸上截距為4.根據(jù)題意，直線l的斜率為eq\f(1,3)，在y軸上截距為8，所以直線l的方程為x－3y＋24＝0.答案：x－3y＋24＝09．求過點P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程．解：設(shè)直線方程的截距式為eq\f(x,a＋1)＋eq\f(y,a)＝1.則eq\f(6,a＋1)＋eq\f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，則直線方程是eq\f(x,2＋1)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,1＋1)＋eq\f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.10．三角形的頂點坐標為A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直線AB和直線AC的方程．解：∵直線AB過點A(0，－5)，B(－3,3)兩點，由兩點式方程，得eq\f(y＋5,3＋5)＝eq\f(x－0,－3－0).整理，得8x＋3y＋15＝0.∴直線AB的方程為8x＋3y＋15＝0.又∵直線AC過A(0，－5)，C(2,0)兩點，由截距式得eq\f(x,2)＋eq\f(y,－5)＝1，整理得5x－2y－10＝0，∴直線AC的方程為5x－2y－10＝0.層級二應(yīng)試能力達標1．直線(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x軸上的截距為3，則實數(shù)m的值為()A.eq\f(6,5) B．－6C．－eq\f(6,5) D．6解析：選B令y＝0，則直線在x軸上的截距是x＝eq\f(2m,m＋2)，∴eq\f(2m,m＋2)＝3，∴m＝－6.2．兩條直線l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k(k＞0，b＞0，k≠b)的圖像是()解析：選C由k＞0，b＞0可知，直線l1和l2的傾斜角都是銳角，且在y軸上的截距為正，所以A、B、D錯誤．3．直線x－y－1＝0與坐標軸所圍成的三角形的面積為()A.eq\f(1,4) B．2C．1 D.eq\f(1,2)解析：選D由題意得直線與坐標軸交點為(1,0)，(0，－1)，故三角形面積為eq\f(1,2).4．若直線Ax＋By＋C＝0通過第二、三、四象限，則系數(shù)A，B，C需滿足條件()A．A，B，C同號 B．AC＜0，BC＜0C．C＝0，AB＜0 D．A＝0，BC＜0解析：選A將直線方程化為點斜式為y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B).由題意知直線過二、三、四象限，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)＜0，,－\f(C,B)＜0.))由此可知A，B，C同號．5．過點(－2,3)且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為________________．解析：(1)過原點時，設(shè)為y＝kx，則k＝－eq\f(3,2)，∴y＝－eq\f(3,2)x.(2)不過原點時，設(shè)為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，∴將點(－2,3)代入得a＝－5，∴所求直線方程為3x＋2y＝0或x－y＋5＝0.答案：3x＋2y＝0或x－y＋5＝06．已知直線Ax＋By＋C＝0的斜率為5，且A－2B＋3C＝0，則直線的方程是________．解析：因為直線Ax＋By＋C＝0的斜率為5，所以B≠0，且－eq\f(A,B)＝5，即A＝－5B，又A－2B＋3C＝0，所以－5B－2B＋3C＝0，即C＝eq\f(7,3)B.此時直線的方程化為－5Bx＋By＋eq\f(7,3)B＝0.即－5x＋y＋eq\f(7,3)＝0，故所求直線的方程為15x－3y－7＝0.答案：15x－3y－7＝07．求經(jīng)過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程．解：(1)當直線過原點時，設(shè)為y＝kx，由點A(－5,2)得k＝－eq\f(2,5)，此時，直線方程為y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.(2)當直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－eq\f(1,2)，此時，直線方程為x＋2y＋1＝0.綜上所述，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.8．一條光線從點A(3,2)發(fā)出，經(jīng)x軸反射后，通過點B(－1,6)，求入射光線和反射光線所在的直線方程．解：如圖所示，作A點關(guān)于x軸的對稱點A′，顯然，A′坐標為(3，－2)，連接A′B，則A′B所在直線即為反射光線．∴由兩點式可得直線A′B的方程為eq\f(y－6,－2－6)＝eq\f(x＋1,3＋1)，即2x＋y－4＝0.同理，點B關(guān)于x軸的對稱點為B′(－1，－6)，由兩點式可得直線AB′的方程為eq\f(y－2,－6－2)＝eq\f(x－3,－1－3)，即2x－y－4＝0，∴入射光線所在直線方程為2x－y－4＝0，反射光線所在直線方程為2x＋y－4＝0.1．3兩條直線的位置關(guān)系預(yù)習(xí)課本P70～72，思考并完成以下問題(1)兩條直線平行時，它們的斜率之間有什么關(guān)系？(2)兩條直線垂直時，它們的斜率之間有什么關(guān)系？eq\a\vs4\al([新知初探])1．當直線是斜截式方程時，兩條不重合直線l1與l2的傾斜角分別為α1，α2，當斜率存在時，設(shè)直線方程為l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，則位置關(guān)系平行垂直斜率存在斜率不存在斜率存在一條斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝a2＝90°|α2－α1|＝90°α1＝0°，α2＝90°對應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線斜率都不存在l1⊥l2?k1·k2＝－1l1斜率為0，l2斜率不存在圖示2．當直線是一般式方程時，也可利用以下結(jié)論研究兩直線的平行和垂直關(guān)系：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩條不重合直線l1，l2平行，則它們的斜率一定相等．()(2)斜率相等的兩條直線一定平行．()(3)若兩條直線垂直，則它們的斜率之積為－1.()答案：(1)×(2)×(3)×2．下列直線中與直線x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．a(chǎn)x－ay－a＝0 D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0答案：B3．直線y＝kx與直線y＝2x＋1垂直，則k＝________.答案：－eq\f(1,2)4．若直線l1：2x＋my＋1＝0與直線l2：y＝3x－1平行，則m＝________.答案：－eq\f(2,3)兩條直線平行、垂直的判定[典例]判斷下列各對直線平行還是垂直，并說明理由．(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.[解](1)l1：y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(6,5)，l2：y＝－eq\f(3,5)x－eq\f(3,10).則k1＝－eq\f(3,5)，b1＝eq\f(6,5)，k2＝－eq\f(3,5)，b2＝－eq\f(3,10).∵k1＝k2，b1≠b2，∴l(xiāng)1∥l2.(2)l1：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(7,3)，l2：y＝－2x＋2.則k1＝eq\f(1,2)，k2＝－2，∵k1·k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.(3)∵直線l1，l2的斜率均不存在，且2≠4，∴l(xiāng)1∥l2.(4)∵直線l1的斜率k1＝0，直線l2斜率不存在，∴l(xiāng)1⊥l2.已知直線方程判斷兩條直線平行或垂直的方法[活學(xué)活用]判斷下列各小題中的直線l1與l2的位置關(guān)系．(1)l1的斜率為1，l2經(jīng)過點A(1,1)，B(2,2)；(2)l1經(jīng)過點A(0,1)，B(1,0)，l2經(jīng)過點M(－1,3)，N(2,0)；(3)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點A(10,2)，B(20,3)；(4)l1經(jīng)過點A(3,4)，B(3,100)，l2經(jīng)過點M(－10,40)，N(10,40)．解：(1)k1＝1，k2＝eq\f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2，∴l(xiāng)1∥l2或l1與l2重合．(2)k1＝eq\f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq\f(0－3,2－(－1))＝－1，k1＝k2，數(shù)形結(jié)合知，l1∥l2.(3)k1＝－10，k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.(4)l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸；k2＝eq\f(40－40,10－(－10))＝0，則l2∥x軸．∴l(xiāng)1⊥l2.利用兩直線平行、垂直求直線方程[典例]已知點A(2,2)和直線l：3x＋4y－20＝0，求：(1)過點A和直線l平行的直線方程；(2)過點A和直線l垂直的直線方程．[解]法一：∵直線l的方程為3x＋4y－20＝0，∴kl＝－eq\f(3,4).(1)設(shè)過點A與直線l平行的直線為l1，∵kl＝kl1，∴kl1＝－eq\f(3,4).∴l(xiāng)1的方程為y－2＝－eq\f(3,4)(x－2)，即3x＋4y－14＝0.(2)設(shè)過點A與直線l垂直的直線為l2，∵kl·kl2＝－1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))·kl2＝－1，∴kl2＝eq\f(4,3).∴l(xiāng)2的方程為y－2＝eq\f(4,3)(x－2)，即4x－3y－2＝0.法二：(1)設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋C＝0，∵點(2,2)在直線上，∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14.∴所求直線方程為3x＋4y－14＝0.(2)設(shè)所求直線方程為4x－3y＋λ＝0，∵點(2,2)在直線上，∴4×2－3×2＋λ＝0，∴λ＝－2，即所求直線方程為4x－3y－2＝0.直線方程的常用設(shè)法(1)過定點P(x0，y0)，可設(shè)點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)；(2)知斜率k，設(shè)斜截式y(tǒng)＝kx＋b；(3)與直線Ax＋By＋C＝0平行，設(shè)為Ax＋By＋m＝0；(4)與直線Ax＋By＋C＝0垂直，設(shè)為Bx－Ay＋n＝0.[活學(xué)活用]若直線l與直線2x＋3y＋5＝0平行，且在兩坐標軸上的截距之和為eq\f(5,6)，求直線l的方程．解：設(shè)直線的方程為2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，令x＝0，則在y軸上的截距為b＝－eq\f(λ,3)；令y＝0，則在x軸上的截距為a＝－eq\f(λ,2)，由a＋b＝－eq\f(λ,2)－eq\f(λ,3)＝eq\f(5,6)，得λ＝－1，所以所求直線l的方程為2x＋3y－1＝0.利用兩直線平行、垂直求參數(shù)[典例]若直線l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求：a取何值時，l1∥l2，l1⊥l2.[解]將直線l1化成斜截式方程為y＝－eq\f(a,4)x＋eq\f(1,2)，當a＝0時，l2的方程為x＝－1，l1的方程為y＝eq\f(1,2)，此時l1⊥l2；當a≠0時，l2的斜截式方程為y＝－eq\f(1,a)x－eq\f(1,a).若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)＝－\f(1,a)，,\f(1,2)≠－\f(1,a)，))即a＝2時，l1∥l2；若－eq\f(a,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1，即eq\f(1,4)＝－1，矛盾，故l1與l2在a≠0時不垂直．綜上，當a＝2時，l1∥l2；當a＝0時，l1⊥l2.在應(yīng)用兩條直線平行或垂直求直線方程中的參數(shù)時，若能直觀判斷兩條直線的斜率存在，則可直接利用平行或垂直時斜率滿足的條件列式求參數(shù)；若不能直觀判斷兩條直線的斜率是否存在，運用斜率解題時要分情況討論，若用一般式的系數(shù)解題則無需討論．[活學(xué)活用]已知直線l1過點A(1,1)，B(3，a)，直線l2過點M(2,2)，N(3＋a,4)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．解：kl1＝eq\f(a－1,3－1)＝eq\f(a－1,2)，(1)若l1∥l2，則3＋a≠2，且kl2＝eq\f(4－2,(a＋3)－2)＝eq\f(2,a＋1)＝eq\f(a－1,2)，即a≠－1且a2＝5，∴a＝±eq\r(5).(2)當a＋3＝2，即a＝－1時，l2無斜率，此時kl1＝－1，所以l1與l2不垂直，當a＋3≠2，即a≠－1時，kl2＝eq\f(2,a＋1)，由l1⊥l2得，kl1·kl2＝eq\f(a－1,2)×eq\f(2,a＋1)＝－1.解得a＝0.層級一學(xué)業(yè)水平達標1．直線l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系是()A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直解析：選D設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1·k2＝－1.故兩條直線垂直．2．已知過點A(－1，m)和B(m,5)的直線與3x－y－1＝0平行，則m的值為()A．0 B.eq\f(1,2)C．2 D．10解析：選B由題意kAB＝eq\f(5－m,m＋1)＝3，得m＝eq\f(1,2).3．下列說法中，正確的是()A．若直線l1與l2的斜率相等，則l1∥l2B．若直線l1與l2互相平行，則它們的斜率相等C．直線l1與l2中，若一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則l1與l2一定相交D．若直線l1與l2的斜率都不存在，則l1∥l2解析：選C若l1與l2中一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則l1與l2不平行，故l1與l2一定相交．4．過點(－1,3)，且平行于直線x－2y＋3＝0的直線方程為()A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0解析：選A由點斜式y(tǒng)－3＝eq\f(1,2)(x＋1)，得x－2y＋7＝0，故選A.5．平行于直線4x＋3y－3＝0，且不過第一象限的直線的方程是()A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0解析：選B平行于直線4x＋3y－3＝0的直線具有形式4x＋3y＋c＝0，故排除A、D.但選項C中直線的截距為正，直線過第一象限，不符合條件，故應(yīng)選B.6．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，給出下面四個結(jié)論：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正確的是________．(把正確選項的序號填在橫線上)解析：∵kAB＝－eq\f(3,5)，kCD＝－eq\f(3,5)，kAC＝eq\f(1,4)，kBD＝－4，∴AB∥CD，AC⊥BD.答案：①④7．與直線3x－2y＋6＝0平行且縱截距為9的直線l的方程為________．解析：設(shè)直線l的方程為3x－2y＋b＝0，令x＝0，y＝eq\f(b,2)＝9，得b＝18，故所求的直線方程為3x－2y＋18＝0.答案：3x－2y＋18＝08．已知A(3,1)，B(－1，－1)，C(2,1)，則△ABC的BC邊上的高所在的直線方程為________．解析：kBC＝eq\f(1－(－1),2－(－1))＝eq\f(2,3)，∴BC邊上的高所在直線的斜率k＝－eq\f(3,2)，∴所求直線方程為y－1＝－eq\f(3,2)(x－3)，即3x＋2y－11＝0.答案：3x＋2y－11＝09．已知點A(－1,3)，B(4,2)，以AB為直徑的圓與x軸交于點M，求點M的坐標．解：設(shè)M(x,0)，∵M是以AB為直徑的圓與x軸的交點，∴AM⊥BM，∴kAM·kBM＝－1，即eq\f(3－0,－1－x)×eq\f(2－0,4－x)＝－1，∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2，∴M(1,0)或M(2,0)．10．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點，若順次連接A，B，C，D四點，試判定圖形ABCD的形狀．解：由題意知A，B，C，D四點在坐標平面內(nèi)的位置，如圖所示，由斜率公式可得，kAB＝eq\f(5－3,2－(－4))＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－(－4))＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2).所以kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD與BC不平行．又因為kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四邊形ABCD為直角梯形．層級二應(yīng)試能力達標1．已知直線l1的傾斜角為45°，直線l2過點A(1,2)，B(－5，－4)，則l1與l2的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．平行或重合解析：選D∵l1的傾斜角為45°，∴k1＝tan45°＝1，又∵l2過點A(1,2)，B(－5，－4)，∴k2＝eq\f(2－(－4),1－(－5))＝1，∴k1＝k2，∴l(xiāng)1與l2平行或重合，故選D.2．已知直線－6x＋2y＋3＝0與直線3x－y－2＝0，則兩直線的位置關(guān)系是()A．重合 B．平行C．垂直 D．相交解析：選B設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，在y軸上的截距分別是b1，b2，則k1＝3，k2＝3，b1＝－eq\f(3,2)，b2＝－2，因為k1＝k2，b1≠b2，所以兩直線平行．3．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)為頂點的三角形是()A．銳角三角形B．鈍角三角形C．以A點為直角頂點的直角三角形D．以B點為直角頂點的直角三角形解析：選C∵kAB＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(3,2)，∴kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC.故選C.4．直線x＋a2y＋6＝0和直線(a－2)x＋3ay＋2a＝0沒有公共點，則a的值是()A．1 B．0C．－1 D．0或－1解析：選D兩直線無公共點，即兩直線平行，∴1×3a－a2(a－2)＝0，∴a＝0或－1或3，經(jīng)檢驗知a＝3時兩直線重合．5．若直線l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0與兩坐標軸圍成的四邊形有外接圓，則實數(shù)m的值為________．解析：l1，l2與坐標軸圍成的四邊形有外接圓，則四邊形對角互補．因為坐標軸垂直，故l1⊥l2，即2m＋10＝0，∴m＝－5.答案：－56．若三條直線2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0和2mx－3y＋12＝0圍成直角三角形，則m＝________.解析：設(shè)l1：2x－y＋4＝0，l2：x－y＋5＝0，l3：2mx－3y＋12＝0，l1不垂直于l2，要使圍成的三角形為直角三角形，則l3⊥l1或l3⊥l2.由l3⊥l1得2×eq\f(2,3)m＝－1，∴m＝－eq\f(3,4)；由l3⊥l2得1×eq\f(2,3)m＝－1，∴m＝－eq\f(3,2).故m＝－eq\f(3,4)或－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,4)或－eq\f(3,2)7．已知點M(2,2)，N(5，－2)，點P在x軸上，分別求滿足下列條件的P的坐標．(1)∠MOP＝∠OPN(O為坐標原點)；(2)∠MPN是直角．解：設(shè)P(x,0)，(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴MO∥PN，∴kOM＝kNP，又kOM＝eq\f(2－0,2－0)＝1，kNP＝eq\f(0－(－2),x－5)＝eq\f(2,x－5).∴eq\f(2,x－5)＝1，解得x＝7，即P(7,0)．(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，∴kMP·kNP＝－1，∵kMP＝eq\f(2,2－x)，kNP＝eq\f(2,x－5)，∴eq\f(2,2－x)×eq\f(2,x－5)＝－1，解得x＝1或x＝6.∴P(1,0)或(6,0)．8．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三點．(1)求點D，使直線CD⊥AB，且BC∥AD；(2)判斷此時四邊形ACBD的形狀．解：(1)設(shè)D(x，y)，即D點坐標為(0,1)．(2)∵kAC＝eq\f(0－(－1),3－1)＝eq\f(1,2)，kBD＝eq\f(2－1,2－0)＝eq\f(1,2)，∴kAC＝kBD.∴AC∥BD.∴四邊形ACBD為平行四邊形．而kBC＝eq\f(2－0,2－3)＝－2，∴kBC·kAC＝－1.∴AC⊥BC.∴四邊形ACBD是矩形．又DC⊥AB，∴四邊形ACBD是正方形．1．4兩條直線的交點預(yù)習(xí)課本P72～74，思考并完成以下問題(1)兩條直線有哪幾種位置關(guān)系？(2)如何根據(jù)直線方程判斷兩條直線的位置關(guān)系？(3)兩條直線的交點同時滿足這兩條直線嗎？eq\a\vs4\al([新知初探])兩條直線的交點兩條直線相交，交點一定同時在這兩條直線上，交點坐標是這兩個方程組成的方程組的唯一解；反之，如果這兩個二元一次方程組成的方程組只有一個解，那么以這個解為坐標的點，必是兩條直線的交點，因此求兩條直線的交點，就是求這兩個直線方程的公共解．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩條直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點坐標就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的實數(shù)解．()(2)若方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))無解，則兩直線沒有交點，兩直線平行．()(3)直線x＝2與y＝3沒有交點．()答案：(1)√(2)√(3)×2．直線2x＋3y＋8＝0和直線x－y－1＝0的交點坐標是()A．(－2，－1) B．(－1，－2)C．(1,2) D．(2,1)答案：B3．直線3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．重合 D．不確定答案：B4．斜率為－2，且與直線2x－y＋4＝0的交點在y軸上的直線方程為________．答案：2x＋y－4＝0求兩條直線的交點[典例]判斷下列各對直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點坐標．(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.[解](1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－7＝0，,5x－y－9＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以交點坐標為(2,1)，所以l1與l2相交．(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋5＝0，①,4x－6y＋10＝0，②))①×2得4x－6y＋10＝0.因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一條直線，l1與l2重合．(3)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＝0，①,4x－2y＋3＝0，②))①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程組無解，所以兩直線無公共點，l1∥l2.兩條直線相交的判定方法(1)聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交．(2)兩直線斜率都存在且斜率不等．(3)兩直線的斜率一個存在，另一個不存在．[活學(xué)活用]兩條直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點在直線y＝－x上，那么k的值是()A．－4 B．3C．3或－4 D．±4解析：選C由兩條直線相交，得k≠－eq\f(3,2).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－k＝0，,x－ky＋12＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k2－36,2k＋3)，,y＝\f(k＋24,2k＋3)，))即兩直線的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2－36,2k＋3)，\f(k＋24,2k＋3))).又該交點在直線y＝－x上，所以eq\f(k＋24,2k＋3)＝－eq\f(k2－36,2k＋3)，解得k＝3或k＝－4，故選C.過兩直線交點的直線系方程的應(yīng)用題點一：證明直線系過定點1．求證無論k取任何實數(shù)時，直線(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必過定點，并求出此定點．證明：直線方程可整理為(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.則直線(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0過直線l1：x＋y＝0與l2：x－y－2＝0的交點，聯(lián)立得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\r