2023-2024學(xué)年江蘇省南通市通州區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(?6)0的值為A.?6 B.0 C.1 D.?2.現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對(duì)稱性.下列漢字是軸對(duì)稱圖形的是(

)A.吉 B.祥 C.如 D.意3.下列計(jì)算正確的是(

)A.a10÷a2=a5 B.4.“白日不到處，青春恰自來.苔花如米小，也學(xué)牡丹開.”若苔花的花粉直徑約為0.0000084米，則數(shù)據(jù)0.0000084用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A.8.4×10?6 B.8.4×10?5 C.5.計(jì)算x+1x?1xA.x B.1 C.1x D.6.已知y2?16y+k是完全平方式，則常數(shù)k的值是(

)A.64 B.32 C.16 D.87.若x為實(shí)數(shù)，在“(5+2)□m”的“□”中添上一種運(yùn)算符號(hào)(在“+”“?”“×”“÷”中選擇)后，其運(yùn)

算的結(jié)果為有理數(shù)，則m的值不可能是A.5+2 B.5?2 C.8.觀察“趙爽弦圖”(如圖)，若圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，a>b，根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式(

)

A.a(a?b)=a2?ab B.(a+b)(a?b)=a2?9.如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分線.若BC=10，AC=8，則CD的長(zhǎng)為(

)A.6

B.5

C.4

D.310.已知2x+1=5，則2x2A.0 B.?1 C.?2 D.?3二、填空題：本題共8小題，共30分。11.分解因式：a2?ab=______．12.分式x?1x的值為0，則x的值是

．13.若式子x+2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

．14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(?2,6)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．15.如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB//DE，AC/?/DF，要使△ABC≌△DEF，只需添加一個(gè)條件，則這個(gè)條件可以是______．

16.已知2m+3n=1，且m≠?n17.如圖，在△ABC中，邊AC，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.若∠C=110°，則∠APB=______度.

18.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°.將△ABC沿直線AB折疊，得△ABC′，延長(zhǎng)AC′，CB相交于點(diǎn)D.若BC=2，則BD=______．

三、解答題：本題共8小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題10分)

計(jì)算：

(1)212?61320.(本小題10分)

化簡(jiǎn)(xx+1+xx?1)?x2?1x.下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運(yùn)算過程：

(1)甲同學(xué)解法的依據(jù)是______，乙同學(xué)解法的依據(jù)是______；(填序號(hào))

①等式的基本性質(zhì)；21.(本小題10分)

如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C.求證：∠A=∠D．

22.(本小題10分)

2022年我國已成為全球最大的電動(dòng)汽車市場(chǎng)，電動(dòng)汽車在保障能源安全，改善空氣質(zhì)量等方面較傳統(tǒng)汽車都有明顯優(yōu)勢(shì)．經(jīng)過對(duì)某款電動(dòng)汽車和某款燃油車的對(duì)比調(diào)查發(fā)現(xiàn)，電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)比燃油車平均每公里的加油費(fèi)少0.6元．若充電費(fèi)和加油費(fèi)均為200元時(shí)，電動(dòng)汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍，求這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)．23.(本小題11分)

(1)發(fā)現(xiàn)：已知相差為2的三個(gè)連續(xù)整數(shù)，首尾兩個(gè)整數(shù)的積與4的和等于中間整數(shù)的平方.例如，?3，?1，1是相差為2的三個(gè)連續(xù)整數(shù)，則?1×3+4=(______)2；

(2)驗(yàn)證：設(shè)最小的整數(shù)為n，請(qǐng)用含n的式子驗(yàn)證“發(fā)現(xiàn)”的結(jié)論正確；

(3)推廣：相差為t(t>0)的三個(gè)連續(xù)整數(shù)，最小的整數(shù)為n，若首尾兩個(gè)整數(shù)的積與9的和等于中間整數(shù)的平方，求t的值．24.(本小題12分)

(1)定理證明：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求證BC=12AB.(請(qǐng)用兩種不同的方法證明.)

(2)方法遷移：如圖，在邊AC上作點(diǎn)P，在邊AB上作點(diǎn)Q，使得PB+PQ最小.(25.(本小題13分)

已知P=x+12，Q=2xx+1，其中x>0．

(1)求證P?Q≥0；

(2)代數(shù)式3P+Q的值能否等于10？若能，求出x的值；若不能，說明理由；

(3)若26.(本小題14分)

已知△ABC是等邊三角形，D是射線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至E，使CE=AD.連接BD，ED．

(1)如圖，若D是AC的中點(diǎn)，求證DB=DE；

(2)若D是邊AC上一點(diǎn)(不與中點(diǎn)重合)，則(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)若D是邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DBC=30°，AB=7，請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)．

答案和解析1.【答案】C

解：(?6)0=1．

故選：C．

根據(jù)零指數(shù)冪的法則進(jìn)行解題即可．

本題考查零指數(shù)冪，掌握任何數(shù)(除去0)2.【答案】A

解：B，C，D選項(xiàng)中的方塊字都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；

A選項(xiàng)中的方塊字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；

故選：A．

根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．

本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3.【答案】B

解：A、a10÷a2=a8，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、(a2)5=a10，正確，符合題意；

C、a4.【答案】A

解：0.0000084=8.4×10?6．

故選：A．

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，5.【答案】B

解：原式=xx+1x?1x

=1，

故選：B．6.【答案】A

解：∵y2?16y+k是完全平方式，(y?8)2=y2?16y+64，

∴k=647.【答案】C

解：如果“□”中添上的是“+”，要使運(yùn)算的結(jié)果為有理數(shù)，則m可以為選項(xiàng)D中的代數(shù)式，因此選項(xiàng)D不符合題意；

如果“□”中添上的是“?”，要使運(yùn)算的結(jié)果為有理數(shù)，則m可以為選項(xiàng)A、B中的代數(shù)式，因此選項(xiàng)A、選項(xiàng)B不符合題意；

如果“□”中添上的是“×”，要使運(yùn)算的結(jié)果為有理數(shù)，則m可以為選項(xiàng)D、B中的代數(shù)式，因此選項(xiàng)B、選項(xiàng)D不符合題意；

如果“□”中添上的是“÷”，要使運(yùn)算的結(jié)果為有理數(shù)，則m可以為選項(xiàng)A中的代數(shù)式，因此選項(xiàng)A不符合題意；

綜上所述，m的值不可能是選項(xiàng)C中的代數(shù)式，

故選：C．

根據(jù)有理化因式的特征，二次根式的運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

本題考查分母有理化，掌握有理化因式的特征以及二次根式的混合運(yùn)算的法則是正確判斷的關(guān)鍵．8.【答案】C

解：標(biāo)記如下：

∵S正方形PQMN=S正方形ABCD?4SRt△ABN，

∴(a?b)2=a2+9.【答案】B

解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)F，

∵BC=10，AC=8，

∴AB=BC2?AC2=6，

∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC，∠A=90°，

∴DE=AD，

在Rt△ABD和Rt△EBD中，

BD=BDAD=DE，

∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)，

∴AB=BE=6，

∴CE=BC?BE=4，

設(shè)CD=x，則AD=DE=8?x，

∵CD2=DE2+CE2，

∴x2=(8?x)2+42，10.【答案】D

解：∵2x+1=5，

∴(2x+1)2=5，

即4x2+4x+1=5，

∴x2+x=1，

∴2x2+2x?5=2(x2+x)?5=2×1?5=?311.【答案】a(a?b)

解：a2?ab=a(a?b)．

直接把公因式a提出來即可．12.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查了分式的值為零的條件：當(dāng)分式的分母不為零，分子為零時(shí)，分式的值為零．

根據(jù)分式的值為零的條件得到x?1=0且x≠0，易得x=1．

【解答】

解：∵分式x?1x的值為0，

∴x?1=0且x≠0，

∴x=1．

故答案為：113.【答案】x≥?2

解：要使式子x+2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須

x+2≥0，

解得：x≥?2．

故答案為：x≥?2．

根據(jù)二次根式有意義的條件得出x+2≥0，再求出答案即可．

本題考查了二次根式有意義的條件，能根據(jù)二次根式有意義的條件得出x+2≥0是解此題的關(guān)鍵，式子a中14.【答案】(2,6)

解：點(diǎn)P(?2,6)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,6)，

故答案為：(2,6)．

根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；即點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(?x,y)即可得到點(diǎn)P(?2,6)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．

此題主要考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，比較容易，關(guān)鍵是熟記規(guī)律：(1)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．(2)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．15.【答案】BC=EF(答案不唯一)

解：要使△ABC≌△DEF，添加一個(gè)條件，則這個(gè)條件可以是BC=EF(答案不唯一)，理由如下：

∵AB//DE，AC/?/DF，

∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，

在△ABC≌△DEF中，

∠B=∠DEFBC=EF∠ACB=∠F，

∴△ABC≌△DEF(ASA)，

∴添加一個(gè)條件可以是BC=EF(答案不唯一)．

故答案為：BC=EF(答案不唯一)．

由全等三角形的判定，即可得到答案．16.【答案】2

解：∵2m+3n=2n+3mmn=1，

∴mn=3m+2n，

∴mn?mm+n

=3m+2n?mm+n

=2(m+n)m+n

=2，

故答案為：217.【答案】140

解：如圖，連接CP，

∵邊AC，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，

∴PA=PC=PB，∠PMC=∠PNC=90°，

∴∠APM=∠CPM，∠CPN=∠BPN，

∵∠C=110°，

∴∠MPN=70°，

∴∠CPM+∠CPN=70°，

∴∠APB=∠APM+∠CPM+∠CPN+∠BPN=2∠MPN=140°．

故答案為：140．

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PC=PB，∠PMC=∠PNC=90°，所以∠APM=∠CPM，∠CPN=∠BPN，結(jié)合圖形計(jì)算即可．

本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.【答案】3解：作C′E⊥BC于點(diǎn)E，則∠CED=∠C′EB=90°，

∵AB=AC，∠BAC=30°，

∴∠ABC=∠C=12×(180°?30°)=75°，

由折疊得BC′=BC=2，∠ABC′=∠ABC=75°，∠AC′B=∠C=75°，

∴∠DBC′=180°?∠ABC′?∠ABC=30°，

∴∠D=∠AC′B?∠DBC′=45°，

∴∠EC′D=∠D=45°，

∴DE=C′E=12BC′=12×2=1，

∴BE=BC′2?C′E2=22?12=3，

∴BD=BE+DE=3+1，

故答案為：3+1．

作C′E⊥BC于點(diǎn)19.【答案】解：(1)原式=43?23+123

=143；

(2)【解析】(1)先逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式即可；

(2)先根據(jù)乘法公式計(jì)算，再去括號(hào)合并同類項(xiàng)即可．

本題考查整式是混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握去括號(hào)法則，合并同類項(xiàng)法則．20.【答案】②

③

解：(1)甲同學(xué)的解法是：先把括號(hào)內(nèi)兩個(gè)分式通分后相加，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，

通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，

故答案為：②．

乙同學(xué)的解法是：根據(jù)乘法的分配律，去掉括號(hào)后，先算分式的乘法，再算加法，

故答案為：③．

(2)選擇乙同學(xué)的解法．

(xx+1+xx?1)?x2?1x

=xx+1?x21.【答案】證明：∵BE=FC，

∴BE+EF=CF+EF，

即BF=CE；

又∵AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABF≌△DCE(SAS)，

∴∠A=∠D．

【解析】此題考查簡(jiǎn)單的角相等，可以通過全等三角形來證明，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．

可通過證△ABF≌△DCE，來得出∠A=∠D的結(jié)論．22.【答案】

解：

設(shè)這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)為x元，

則燃油車平均每公里的加油費(fèi)為(x+0.6)元，根據(jù)題意，得200x=200x+0.6×4經(jīng)檢驗(yàn)，x=0.2是原方程的解，且符合題意．答：這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)為0.2元

【解析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

設(shè)這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)為x元，則燃油車平均每公里的加油費(fèi)為(x+0.6)元，根據(jù)“電動(dòng)汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍列分式方程，解方程即可求解。23.【答案】?1

解：(1)由題意得?1×3+4=1=(?1)2，

故答案為：?1；

(2)驗(yàn)證：設(shè)最小的整數(shù)為n，

則另兩個(gè)連續(xù)整數(shù)為n+2，n+4，

所以n(n+4)+4=n2+4n+4=(n+2)2，

所以相差為2的三個(gè)連續(xù)整數(shù)，存在首尾兩個(gè)整數(shù)的積與4的和等于中間整數(shù)的平方；

(3)相差為t(t>0)的三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)最小的整數(shù)為n，

則另兩個(gè)連續(xù)整數(shù)為n+t，n+2t，

所以n(n+2t)+9=(n+t)2，

所以n2+2nt+9=n2+2nt+t2，

所以t2=9，

所以t=3或t=?3(舍去)，

即t的值為3．

(1)根據(jù)題意解答即可；

(2)設(shè)最小的整數(shù)為n，則另兩個(gè)連續(xù)整數(shù)為n+2，n+4，計(jì)算首尾兩個(gè)整數(shù)的積與424.【答案】(1)證明：方法1，

如圖，延長(zhǎng)BC到D使CD=BC，連接AD，則BC=12BD，

∵∠ACB=90°，

∴AC垂直平分DB，

∴AB=AD，

∵∠BAC=30°，

∴∠B=90°?30°=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴BD=AB，

∴BC=12AB；

方法2，

如圖，取AB中點(diǎn)M，連接CM，則MB=12AB，

∵∠ACB=90°，

∴CM=12AB，

∴CM=BM，

∵∠A=30°，

∴∠B=90°?30°=60°，

∴△BCM是等邊三角形，

【解析】(1)方法1，如圖，延長(zhǎng)BC到D使CD=BC，連接AD，則BC=12BD，判定△ABD是等邊三角形，得到BD=AB，即可證明BC=12AB；方法2，如圖，取AB中點(diǎn)M，連接CM，則MB=12AB，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出△BCM是等邊三角形，即可證明BC=BM=12AB；

(2)作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，過B′作AB的垂線，即可求作出P，Q兩點(diǎn)．

本題考查含30度角的直角三角形，直角三角形斜邊的中線，作圖?復(fù)雜作圖，軸對(duì)稱25.【答案】(1)證明：P?Q=x+12?2xx+1

=(x+1)2?4x2(x+1)

=(x?1)22(x+1)

∵x>0，

∴2(x+1)>0，

又∵(x?1)2≥0，

∴P?Q≥0．

(2)解：能．

3P+Q=6x+1+2xx+1

=6+2xx+1，

當(dāng)6+2xx+1=10時(shí)，解得x=?12，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=?12是原分式方程的解．

(3)3P+Q=6+2xx+1

=2(x+1)+4x+1

=2+【解析】(1)將P、Q分別代入P?Q通分并化簡(jiǎn)，分子為完全平方差，大于或等于0，分母為2(x+1)，大于0，從而得證；

(2)將P、Q分別代入3P+Q并計(jì)算，令其值為10，解分式方程并檢驗(yàn)即可；

(3)將3P+Q整理，當(dāng)x和3P+Q均為整數(shù)時(shí)求出26.【答案】(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠BCA=60°，

∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

∴∠CBD=12∠ABC=30°，AD=CD，

∵AD=CE，

∴CD=CE，

∴∠CDE=∠CED，

又∵∠CDE+∠CED