2024年高三數(shù)學(xué)沖刺模擬卷05（B卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓

名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知i為虛數(shù)單位."絲=2+歷（a/eR）,則卜+仇|=（）

1—1

A.1B.V2C.2D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的概念即可求得6,再由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可得到結(jié)果.

【詳解】由^^2+歷可得3+ai=（2+bi）（l-i）=（2+b）+0—2）i,

1-i

f3=2+Z?[a=-1....i—

則a=6-2'解得。=1，貝用+歷l="

故選：B

2.已知全集。=R,能表示集合A={xeN|f-3xV0}與3={1,2}關(guān)系的Venn圖是（）

B.

D.

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A,根據(jù)集合的關(guān)系即可求解.

【詳解】全集U=R,集合A={xeN|f—3xWO}={xeN[O<x<3}={O,l,2,3},B={1,2},

所以BA,所以能表示集合A、8關(guān)系的Venn圖是選項(xiàng)B.

故選：B

3.已知拋物線C：J=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上.若M到直線x=-4的距離為7,貝力破匚（）

A.4B.5

C.6D.7

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的定義求解.

【詳解】由拋物線C：/=8x可知，準(zhǔn)線方程為無(wú)=-2,

因?yàn)镸到直線x=T的距離為7,

所以加到拋物線準(zhǔn)線x=-2的距離為5,

由拋物線定義知，1加尸1=5.

故選：B

4.過(guò)三點(diǎn)4。,2),8(3,2),C(l,-6)的圓交》軸于N兩點(diǎn)，貝1跖V|=()

A.y/3B.26c.5D.2V13

【答案】D

【分析】設(shè)圓的方程為丁+>2+6+跌+尸=0,代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出。，E,F,則圓的方程可得，令x=0,

即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓的方程為f+產(chǎn)+m+4+萬(wàn)=0(￡>2+爐一4尸>0),

1+4+D+2E+F=0

則<9+4+30+2E+尸=0,

l+36+￡)-6E+F=0

「.O=-4,E=4,F=-9,

x2+y2-4x+4y-9=0,

令x=0,可得/+4y-9=0,

2-4±71^=-4±2屈7土而,

-1-222

??\MN\=\y,-y2\=2413.

故選：D.

5.遺忘曲線(又稱(chēng)作“艾賓浩斯記憶曲線”)由德國(guó)心理學(xué)家艾?賓浩斯(H.Ebbinghaus)研究發(fā)現(xiàn)，描述了

人類(lèi)大腦對(duì)新事物遺忘的規(guī)律.人體大腦對(duì)新事物遺忘的循序漸進(jìn)的直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌

握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力.該曲線對(duì)人類(lèi)記憶認(rèn)知研究產(chǎn)生了重大影響.陳同學(xué)利

用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率y與初次記憶經(jīng)過(guò)的時(shí)間x(小時(shí))的大致關(guān)系：

y=l-Off若陳同學(xué)需要在明天15時(shí)考語(yǔ)文考試時(shí)擁有復(fù)習(xí)背誦記憶的50%,則他復(fù)習(xí)背誦時(shí)間需大約

在（）

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

【答案】A

【分析】利用函數(shù)模型求出需要記憶的時(shí)間，即可推斷出考前復(fù)習(xí)背誦的時(shí)間在幾點(diǎn)開(kāi)始.

50

【詳解】令l-OSx頡nQS,x006=f,犬=53

6

???他在考試前半小時(shí)復(fù)習(xí)即可，

?,?他復(fù)習(xí)背誦時(shí)間需大約在14：30,

故選：A.

6.已知戊,尸滿足兀＜。工2兀,—：工方工；,且3。―皇+2cosa=5,964§+2sin24=—5,則

2a4/3兀)—

sin~9~+~9~~4)~)

顯口V6-A/2D戈-6

A.D.--------------------c

22,4.4

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件及誘導(dǎo)公式，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合兩角差的正弦公式即可

求解.

【詳解】由96"+2sin2夕=-5,得3(-2^)5+2sin(-24)一5=0,

由3.-萬(wàn)）+2cosa=5,得---J+2sin-J-5=0,

3IT

故一2萬(wàn)和a—望是方程3/+2shw—5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

因?yàn)閍e[n,2兀]，2e，

所以a-g和-26的取值范圍都是g',

因?yàn)楹瘮?shù)y=3x5,y=2siiu在區(qū)間段假上均單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=3r+2siiu在區(qū)間-今片上單調(diào)遞增，

71TV

故方程3丁+2sinx-5=0在區(qū)間一展,上只有一個(gè)根，

所以〃苫=一2/?,即2+24=,，于是有筲+竽三，

....（2a4￡兀）.「兀兀、.兀7i71.71^6—V2

物cr以sm-----1----------=sin---------=sin—cos——cos—sin—=-------------.

<994；（34）34344

故選：D.

222

7.在ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。也c,bc=a-b-c,a=國(guó),b=超,將該三角形繞

AC邊旋轉(zhuǎn)360。得一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體體積為（）

A.4右兀B.3石兀C.2A/3JID.6兀

【答案】B

【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得A=g,c=2有,進(jìn)而可得該旋轉(zhuǎn)體為大圓錐CO去掉小圓錐A0,結(jié)

合圓錐的體積公式運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?0=/_62_。2,即k+。2一々2=一6。，

由余弦定理可得cosA=、+c-2

2bc2bc2

且可得A=g,

又因?yàn)閍=0T,b=A/3,貝?。軯§c=21—3—cz,

即C2+7§C-18=0,解得C=2Q或c=-3有（舍去），

如圖，將該三角形繞AC邊旋轉(zhuǎn)360。得一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體為大圓錐CO去掉小圓錐A0,

可得AO=ABcos60o=忘80=A8sin6（T=3,貝UCO=C4+AO=2百,

大圓錐CO的底面半徑為3,高為2代，體積為匕=；x9?ix2g=6后，

小圓錐AO的底面半徑為3,高為內(nèi)，體積為％=gx9兀x6=3扃，

所以該旋轉(zhuǎn)體體積為V=乂一匕=6扃-3扃=3扃.

故選：B.

8.從1,2,3,-JOO這100個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)抽取三個(gè)不同的數(shù)，這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為隨機(jī)抽取四

個(gè)不同的數(shù)，這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為N,則N"的后兩位數(shù)字為()

A.89B.51C.49D.13

【答案】C

【分析】先根據(jù)抽取三個(gè)數(shù)為等差數(shù)列，求出公差為1,2,L時(shí)，滿足題意的數(shù)列的個(gè)數(shù)，通過(guò)等差數(shù)列前“項(xiàng)和

公式，求出M即可，同理求出N的值,因?yàn)橐蟮氖荖",即1617245。的后兩位，將1617次。寫(xiě)為(1600+17戶5°,用

二項(xiàng)式定理展開(kāi)可得1617245。的后兩位與0245。后兩位一致，將17245。寫(xiě)為28嚴(yán)5=(-1+290)3,利用二項(xiàng)式定

理展開(kāi)，因?yàn)镃葭(-1)1223X2902++C；^(-1)0X2901225的后兩位一定是00,貝1]17加。的后兩位數(shù)與

22512241

C?225(-I)'x290°+C；225(-1)x290的后兩位一致，計(jì)算結(jié)果即可.

【詳解】解:由題知,當(dāng)抽取三個(gè)不同的數(shù)，成等差數(shù)列時(shí)，記公差為d,

當(dāng)d=l時(shí)，數(shù)列可為：

{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},,{98,99,100}共計(jì)98個(gè)，

當(dāng)d=2時(shí)，數(shù)列可為：

{L3,5},{2,4,6},{3,5,7},{4,6,8},,{96,98,100}共計(jì)96個(gè)，

當(dāng)d=3時(shí)，數(shù)列可為：

{1,4,7},{2,5,8},{3,6,9},,{94,97,100}共計(jì)94個(gè)，

L

當(dāng)d=48時(shí)，數(shù)列可為：

{1,49,97},{2,50,98},{3,51,99},{4,52,100}共計(jì)4個(gè)，

當(dāng)d=49時(shí)，數(shù)列可為：

{1,50,99},{2,51,100}共計(jì)2個(gè)，

故"=98+96+94++4+2

49(98+2)

=2450,

2

當(dāng)抽取四個(gè)不同的數(shù)，成等差數(shù)列時(shí)，記公差為4,

當(dāng)4=1時(shí)，數(shù)列可為：

{1,2,3,4},{2,3,4,5},{3,4,5⑹，…,{97,98,99,100}共計(jì)97個(gè)，

當(dāng)4=2時(shí)，數(shù)列可為：

{1,3,5,7},{2,4,6,8},{3,5,7,9},{4,6,8,10},,{94,96,98,100}共計(jì)94個(gè),

當(dāng)4=3時(shí)，數(shù)列可為：

(1,4,7,10},{2,5,8,11},{3,6,9,12},,{91,94,97,100}共計(jì)91個(gè)，

L

當(dāng)4=32時(shí)，數(shù)列可為：

{1,33,65,97},{2,34,66,98},{3,35,67,99},{4,36,68,100}共計(jì)4個(gè),

當(dāng)4=33時(shí)，數(shù)列可為:

{1,34,67,100}共計(jì)1個(gè),

故N=97+94+91++4+1

二到旦⑹7,

2

所以=16*245°=a7+1600廣5°

2450244912450

=C°45017xl600°+C245017X1600+C^17°xl6OO

所以1617g。的后兩位與17245。的后兩位一致,

172450=2891225=(-1+290)3,

因?yàn)?—1+290)3=黑25(-1)3x290°+C：(―1)儂x2901+C；225(-1)1223X2902

++喧(-1)°*290四,

因?yàn)镃葭(-1)口義29。2++C；^(-l)°x2901225的后兩位一定是00,

12251

故17245。的后兩位數(shù)與C°225(-1)X290°+42s(—I)的x290的后兩位一致,

12251224

因?yàn)閏?225(-1)x290°+C；225(-1)X290'=-l+1225x290=355249,

故17期。的后兩位數(shù)為49,即NM的后兩位數(shù)為49.

故選:C

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:該題考查數(shù)列和二項(xiàng)式定理綜合問(wèn)題，屬于難題，關(guān)于數(shù)列問(wèn)題的思路點(diǎn)睛有：

⑴數(shù)列新定義問(wèn)題，先寫(xiě)出幾項(xiàng)找到規(guī)律；

(2)根據(jù)規(guī)律,寫(xiě)出相對(duì)應(yīng)的式子；

(3)利用累加，累乘，公式法等進(jìn)行解決問(wèn)題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知。=(3,-1),6=(2,1),則下列結(jié)論正確的是()

A.(a-b^Lb

B.L+2Z>|=5710

C.a與b的夾角為:

D.a在b方向上的投影向量是揚(yáng)

【答案】AC

【分析】已知向量的坐標(biāo)，證明向量垂直，求向量的模長(zhǎng)、夾角、投影等都比較簡(jiǎn)單，根據(jù)公式求解即可.

【詳解】因?yàn)椤?(3,-1),6=(2,1),所以a-6=(l,-2),

則(a-b>b=lx2+(-2)xl=0,所以?-4故A正確；

因?yàn)閍+2b=(7,l),所以|°+?|=J72+儼=50，故B錯(cuò)誤；

cos<a,b>=ab,因?yàn)?lt;a,b>e[0,兀],所以〈￡,b〉=二，故C正確；

⑷?網(wǎng)24

a在b方向上的投影向量是同cos(a,6)|=同?諭=療美=6,故D錯(cuò)誤.

故選:AC.

10.已知函數(shù)〃尤)，g(x)的定義域均為R,/(x+1)是奇函數(shù)，且〃lT)+g(x)=2,/(x)+g(x-3)=2,

則()

A./(尤)為奇函數(shù)B.g(O)=2

2020

C.￡/(左)=。D.2g團(tuán)=80

k=lk=\

【答案】BC

【分析】根據(jù)已知等式關(guān)系結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性即可求得函數(shù)/(x),g(x)均是周期為4的周期函數(shù),

利用周期性與對(duì)稱(chēng)性計(jì)算，逐項(xiàng)判斷即可得答案.

【詳解】因?yàn)榻鈞)+g(x-3)=2,所以/(x+3)+g(x)=2,又“l(fā)-x)+g(x)=2,則有/(x+3)=/(l-x)；

因?yàn)?(x+1)是奇函數(shù)，所以/(-x+l)=-f(元+1),

可得〃尤+3)=-/(x+1),即有/(x+2)=-〃x),

所以/(無(wú)+4)=-/(x+2)=/(x),

所以AM是周期為4的周期函數(shù)，

故g(x)也是周期為4的周期函數(shù)，

對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?(一x+l)=-/(x+1),所以—x)=/(x+2),則/(r)=1/(x),

所以/(x)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)槿巳f(wàn)+1)是奇函數(shù)，將x=0代入得：/⑴=0，

且/(I—x)+g(x)=2,將x=0代入得g(0)=2,所以B選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由g(0)=2,且〃x)+g(x-3)=2,

將x=3代入得：〃3)+g(O)=2,

所以“3)=0,

由于/(元+2)=-〃x),即/(x+2)+/(x)=0,

得/⑵+/(4)=/(2)+/(0)=0,

因?yàn)锳x)是周期為4的周期函數(shù)，

20

所以￡f(k)=5[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=0,所以C選項(xiàng)正確；

k=l

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)間(2)=2—/(5)=2—7\1)=2,

86+8閉=[2-〃4)]+[2-/(6)]=4-[八4)+八2)]=4,

所以g(0)+g(D+g(2)+g(3)=8,

因?yàn)間(x)是周期為4的周期函數(shù)，

20

所以￡g伏)=5[g(o)+g⑴+g(2)+g(3)]=5x8=40,所以D選項(xiàng)不正確.

k=\

故選：BC.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問(wèn)題，常見(jiàn)結(jié)論：

(1)關(guān)于對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)/(X)關(guān)于直線龍=。軸對(duì)稱(chēng)，則/(x)=/(2a-x),若函數(shù)/(X)關(guān)于點(diǎn)(“㈤中心對(duì)稱(chēng),

則f(x)=2b-/(2a-x),反之也成立；

11

(2)關(guān)于周期：若f(x+a)=-f(x),B￡/(X+?)=-或/(x+a)=-K，可知函數(shù)的周期為2“.

/(x)/(%)

11.在邊長(zhǎng)為2的正方體A88-ABC5中，E為線段AA中點(diǎn)，歹為線段上的動(dòng)點(diǎn)，貝|()

A.點(diǎn)尸到平面BDE的距離為定值

B.直線與直線正所成角的最小值為:

0

C.三棱錐F-3CZ)的外接球的表面積最小值為8兀

D.若用一張正方形的紙把此正方體完全包住，不將紙撕開(kāi)，則所需紙面積的最小值是32

【答案】ACD

【分析】選項(xiàng)A,應(yīng)用線面平行的判定定理，證明〃平面即可；選項(xiàng)B,將異面直線與直線所

所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，在三角形內(nèi)求角的正弦值即可；選項(xiàng)C,考慮到/BCD是直角，線段50

為外接球截面圓的直徑，顯然截面圓的直徑8。為球的直徑時(shí)，球的半徑最小表面積最??；選項(xiàng)D,只需考

慮該正方體展開(kāi)圖的形態(tài)即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,如圖所示，EG//AC,EGu平面AC。平面由組，

故AC〃平面5DE,且點(diǎn)尸eA。，

所以點(diǎn)尸到平面出汨的距離為定值，A正確；

取CG的中點(diǎn)為"，連接BE,MB,在正方體內(nèi)四邊形瓦?2"是平行四邊形，

所以〃D.E,則直線DXE與直線M所成角即為直線BM與直線BF的夾角，

因?yàn)镸u平面A8C2，

由線面角的最小性可知直線BM與直線BF的夾角的最小時(shí)為BM與平面ABCR所成線面角，

點(diǎn)M在平面A3◎內(nèi)的射影恰為線段C2的靠近C的四等分點(diǎn)H,

在中，HM=；乂母=*BM=乒/=#，

旦

/WHM3回，

sin/HBM=------==-----

BM7510

易求得該角的正弦值為?wsin^=工，B錯(cuò)誤；

1062

因?yàn)?BCD=90。，

所以線段80恰為三棱錐R-BCD外接球被平面BCD所截形成的截面圓的直徑,

顯然外接球直徑2R>BD=2BG=2收，

當(dāng)R最小為V2即線段8。恰好為該外接球的直徑時(shí)，

三棱錐尸-BCD外接球的表面積最小，

此時(shí)R=FG=2G=CG=Z)G=&，

三棱錐尸-38表面積的最小值為4兀代=8無(wú)，C正確；

如下圖所示，可知外包裝正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為3x2+2xl=8,

該正方形面積的最小值為:x82=32,D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正方體作為立體幾何中最基本的空間圖形，一直以來(lái)是高考考查學(xué)生空間想象能力的

載體；譬如本題中學(xué)生需要思考動(dòng)點(diǎn)變化帶來(lái)的空間位置關(guān)系和截面形狀的變化，思考夾角、長(zhǎng)度、面積

等度量值的變化.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某家大型超市統(tǒng)計(jì)了八次節(jié)假日的客流量(單位：百人)分別為29,30,39,25,37,41,42,32,

那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為.

【答案】40

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，計(jì)算這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)應(yīng)是第6個(gè)和第7個(gè)的平均數(shù)即得.

【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?5,29,30,32,37,39,41,42

因8x75%=6,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為三一=40.

故答案為：40.

13.已知函數(shù)/(x)=sin"+?)(④>0),對(duì)任意的x?R,都有/(x+l)=/(-x),且“X)在區(qū)間,

上單調(diào)，則。的值為.

【答案】:或I

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)和題目給出的條件，運(yùn)用最小正周期與。的關(guān)系，對(duì)稱(chēng)軸及單調(diào)性的特點(diǎn)

求解.

【詳解】因?yàn)?（X+7T）=/（T）,所以函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線X對(duì)稱(chēng),

所以sin['o+[口口兀兀兀7

=±1,即一①+—=—+EkeZ,

262

解得0=1+2左，k￡Z,

69>0,,\k>0,kwZ,

因?yàn)?（X）在區(qū)間上單調(diào)，

所以］解得

OQ

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)％=0時(shí)，當(dāng)左=1時(shí)，均滿足題意.

故答案為：g或|.

22

14.已知耳鳥(niǎo)分別為雙曲線，-斗=1（。>0*>0）的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)工的直線/與雙曲線的右支交于

ab

A,B兩點(diǎn)（其中A在第一象限），△從耳工的內(nèi)切圓半徑為弓，△8月8的內(nèi)切圓半徑為弓，若a=3芍，則直

線/的斜率為.

【答案】6

【分析】如圖，由切線性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義可得兩內(nèi)切圓都與x軸相切于A，后設(shè)直線傾斜角為。，由幾何

知識(shí)可得=0,后由兩圓外切相關(guān)條件可得答案.

【詳解】設(shè)工的內(nèi)切圓的圓心為。一△3耳鳥(niǎo)的內(nèi)切圓的圓心為

記邊月居上的切點(diǎn)分別為P,M，A,

由切線的性質(zhì)可得：|蝴=|,|,|耳何=忸4|,內(nèi)心|=/可.

由雙曲線定義可得：\AF\-\AF^=2a,即|AP|+田尸］一（|9/|+隹必）=2a,

則用“一|用圖=|耳AH&4=2。，又閨A|+EA=2C（C=V^

貝比耳H=a+c，ER=c_a,又網(wǎng)=c,貝U|Q41ba,即A（a,0）.

同理可得，42月匕的內(nèi)切圓也與x軸相切于A點(diǎn).

連接。1。2，則。。2與X軸垂直，設(shè)與/相切于點(diǎn)M連接QM，O2N,

過(guò)點(diǎn)。2作RR工。陽(yáng)，記垂足為R,則QN1AB,O2M1AB.

設(shè)直線傾斜角為巴則乙4且4=兀-/

JI

在四邊形。出工加中，注意到NgMQ=NQAg='，又四邊形內(nèi)角和為2兀,

則NMO4=3,在Rt.OiRR中，|OiQ|TaA|+|QA|=4+U=4"

|Q1?|=

\O,M\-\RM\=\OXM\-\O2N\=rx-r2=lr2.

則\O2R\=他。2「-|0國(guó)2=J(4幻2_(2G2=2島2.

則直線斜率，即tane=tanNMa4=R5=￥&=有.

|QR|2r2

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)形成的三角形的內(nèi)切圓與x軸相切于雙曲線頂點(diǎn)處.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(尤)=4111(%+1)-xsinx.

⑴若a=o,求曲線y=〃x）在點(diǎn)罰處的切線方程;

⑵若°=1,研究函數(shù)〃x）在x?T0］上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】⑴y=-x

⑵/⑺在xe（-l,0］上單調(diào)遞增；1

【分析】(1)當(dāng)4=0時(shí)，求出/從而可求出切線方程.

(2)當(dāng)0=1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出/(X)在xe(-1,0］上單調(diào)遞增.又"0)=0,從而可求解.

【詳解】(1)當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=-xsinxf

則/'(x)=_sin%_xcosx,則/=

所以曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線方程為》=一九

(2)當(dāng)。=1時(shí)，/(j;)=ln(x+l)-xsinx,則尸。)=^^-5m工一無(wú)?0$》,

當(dāng)xe(-l,0］時(shí)，一>0,-sinx>0,-xcosx>0,則/''(x)>0,

故〃x)在x?T,0］上單調(diào)遞增.

又因?yàn)椤?)=0,所以〃x)在x?-l,0］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

16.在長(zhǎng)方體ABC。-中，E是G。上的點(diǎn),，且GE，AA，A8的長(zhǎng)成等比數(shù)列，又M是2瓦所在的

直線/上的動(dòng)點(diǎn).

A/；

⑴求證：平面BCE

⑵若AB=AD=3,BE=而,求BE與平面ARM所成的角的正弦值的最大值.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析

(62岳

13

【分析】(1)連接G。交CE于點(diǎn)八利用平面幾何知識(shí)結(jié)合GE，AVAB的長(zhǎng)成等比數(shù)列證明ECJ_DG，

由長(zhǎng)方體性質(zhì)得BC_LDG，結(jié)合線面垂直判定定理得。GJ_平面3CE,所以只需證明DCJ/AM即可；

(2)首先根據(jù)平面幾何知識(shí)求得￡E=L￡C=6,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，表示出出BE方向向量與

平面AR"法向量(含參)，從而所求角的正弦值也可以表示成參數(shù)機(jī)的函數(shù)，進(jìn)一步即可通過(guò)換元法求解.

【詳解】(1)如圖,

連接CQ交CE于點(diǎn)尸，在長(zhǎng)方體4BCD-AB1G。中，有3C4面8口￡,

因?yàn)椤u面COAG,所以BC_L￡)G，

又因?yàn)镚E,朋,AB的長(zhǎng)成等比數(shù)列，

所以GE,CG，。的長(zhǎng)成等比數(shù)列，即第=￡1，

注意到/EC|C=/Gcr>=90,

所以ECXC~CXCD,從而NQEC=NDQC,

又因?yàn)?DGC+/EG￡>=90,

所以ZC,EF+ZEQF=90,從而EC，DQ,

又因?yàn)锽C_L￡)C],3CcEC=C,8C,ECu平面BCE,

所以。G，平面BCE,

因?yàn)槎?。平行且等?C,2C平行且等于AD,

所以8G平行且等于AD,即四邊形片GOA是平行四邊形，

所以DC"/A瓦，

又因?yàn)镈C；，平面3CE,

所以A笈L平面BCE.

(2)因?yàn)槊鍯ODG，且CEu面CQ2G，所以5C_LCE,

因?yàn)锳B=4。=3,2￡=屈，所以BC=3,CE=J13-9=2,

設(shè)GE=P，C]C=q,而CD=3,

一方面由勾股定理有"+才=4,

另一方面由CECG，C￡＞成等比數(shù)列得q2=3p,

聯(lián)立得p?+3p-4=0,并解得p=1道=仃滿足題意,

以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

而2（3,0,0）,石（2,3,道），4（0,0,6），2（。,3,相），設(shè)河（3,0,相）,

所以BE=（T,3,6），AM=（3,0,機(jī)_道），=（3,-3，加-班），

設(shè)平面42加的法向量為力=（x,y,z）,

3x+（m-y/3}z=0

所以/仁、，令z=3,解得％=石一耽y=0,

3九一3y+（機(jī)-J3）z=0

所以取平面ARM的一個(gè)法向量為〃=（出-”],0,3）

設(shè)8E與平面4RA/所成的角

?.\BE-H\\m+2^\洞m+2圍

'\BE[\n\Jl+9+3x,9+（石一13’療一2鬲+12

令f=m+2^3,貝!Jm=I-，

炯4炳4

所以

小卜一2國(guó)一2道,一2@+1213而一6"+36，

$1口0一響力

若要。最大，首先，此時(shí),

sinw0,13〃-6揚(yáng)+36

而岳

Isin6=

令一，所以

13.id'

所以當(dāng)且僅當(dāng)八卷,即行-2曲卜癢*2癢2代時(shí),四嘰=誓

綜上，跳與平面42版所成的角的正弦值的最大值獨(dú)1.

13

17.已知過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與拋物線E：V=2px(p>0)交于A8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于x軸

時(shí)，AO3的面積為近.

(1)求拋物線E的方程；

(2)若。為43c的重心，直線AC,BC分別交y軸于點(diǎn)V,N,記MCN,.AO8的面積分別為工,邑，求3的

取值范圍.

【答案】⑴E的方程為y2=2x

43

⑵及

【分析】(1)根據(jù)三角形面積求出P,得出拋物線方程；

(2)利用重心的性質(zhì)可得要，再由直線與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，由均值不等式及不等

式的性質(zhì)求值域即可.

【詳解】(1)當(dāng)x=l時(shí)，y2=2p,y=±y[2p,

所以|的=2后，

由題意可知，SAOB=^xlx2^/2/?=A/2,

所以。=1,

所以拋物線E的方程為V=2x

設(shè)4(%,%),3(尤2，%),。(七,％),

因?yàn)?。為，ASC的重心,

所以±+3+忍=0,5；

AOB=S.AOC=SBOC

qMC_*3SNOCNC

因?yàn)?MOC

u.AOCAC玉一%3SBOCBC

且SMOC+SNOC=S、,SAOC=SBOC=S2；

所以1=二+1-X|+Z+占+z=3（芯+尤2丫=3（孑+.馬）2

?2*^32%+々玉+2%（2玉+%）（工1+2%）2（%+%）~+西尤2

設(shè)AB:x="+l,與y?=2x聯(lián)立得：y2-2ty-2=0,所以％%=-2,

所以芯％=1，則為+%22衣兀'=2；

A=_3_/43]

所以$2?!1,13'2人

(公+尤2『

所以1k的取值范圍為

18.若J,〃是樣本空間。上的兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，則稱(chēng)(。,〃)是。上的二維離散型隨機(jī)變量或二維隨機(jī)

向量.設(shè)C，〃)的一切可能取值為(4也)，i,j=L2,…，記P,".表示(%%)在。中出現(xiàn)的概率，其中

Pij=P化==bj）=P［（A=a,）|（7=%）］.

(1)將三個(gè)相同的小球等可能地放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中，記1號(hào)盒子中的小球個(gè)數(shù)為2號(hào)盒子

中的小球個(gè)數(shù)為〃，貝是一個(gè)二維隨機(jī)變量.

①寫(xiě)出該二維離散型隨機(jī)變量《,〃)的所有可能取值；

②若Q",w)是①中的值，求P(g=m,"=n)(結(jié)果用加，”表示)；

,8,

(2)PC=4)稱(chēng)為二維離散型隨機(jī)變量4力)關(guān)于J的邊緣分布律或邊際分布律，求證：尸C==.

>1

2

【答案】⑴①(0,0),(。，1)，(。，2),(。,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②「…-------；

9'm'.nl(3-m-n)l

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)①根據(jù)題意直接寫(xiě)出所有可能取值；②利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、條件概率公式及獨(dú)立事件

的概率公式列式化簡(jiǎn)即得.

(2)利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.

【詳解】(1)①該二維離散型隨機(jī)變量C,〃)的所有可能取值為:

(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).

②依題意，0<m+n<3,Pq=m,"=n)=P(J==n)?P(〃=n),

顯然尸①=〃)=G(5"(|)3f,則尸c=根I〃=")=c&,g)'"(；)3-i,

所以PC=相,〃=〃)=CL(])3-",q(l)"(|)3--=^-qc-?=——1-------.

233279-m'.nl(3-m-n)l

(2)由定義及全概率公式知，

尸?=《)=尸{(J=《)[(〃=4)-(〃=仇)J(〃=%)]}

=P{[C=a,)](〃=4)]U[K=q)①=%)]UKi)n(f)]I]

=尸K=4)(〃=4)]+尸[《=《)_(〃=%)]+