北京市燕山2024學年中考聯考數學試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.已知點M、N在以AB為直徑的圓O上，ZMON=x°,ZMAN=j°,則點（x,y）一定在（）

A.拋物線上B.過原點的直線上C.雙曲線上D.以上說法都不對

2.下列方程中有實數解的是（）

A.x4+16=0B.x2-x+l=0

C.yfx+2--xD.2=2A

x-1x-1

3.關于X的一元二次方程x2+2x+k+l=0的兩個實根Xl,X2,滿足X1+X2-X1X2<-1,則k的取值范圍在數軸上表示為

()

'--3-2-1/,B.

>-101廠

c.Y/〃人〃〃,_____I______D.____________.///////>■

-aA-1Ml2"-a：5-1c1?*

4.春季是傳染病多發(fā)的季節(jié)，積極預防傳染病是學校高度重視的一項工作，為此，某校對學生宿舍采取噴灑藥物進行

消毒.在對某宿舍進行消毒的過程中，先經過5min的集中藥物噴灑，再封閉宿舍lOmin,然后打開門窗進行通風，室

內每立方米空氣中含藥量y（mg/m3）與藥物在空氣中的持續(xù)時間x（min）之間的函數關系，在打開門窗通風前分別滿

足兩個一次函數，在通風后又成反比例，如圖所示.下面四個選項中錯誤的是（）

A.經過5min集中噴灑藥物，室內空氣中的含藥量最高達到10根g/7，

B.室內空氣中的含藥量不低于的持續(xù)時間達到了11m

C.當室內空氣中的含藥量不低于5mg/加3且持續(xù)時間不低于35分鐘，才能有效殺滅某種傳染病毒.此次消毒完全有

效

D.當室內空氣中的含藥量低于2〃火/加3時，對人體才是安全的，所以從室內空氣中的含藥量達到開始，需

經過59min后，學生才能進入室內

5.下列幾何體中，主視圖和俯視圖都為矩形的是（）

B.

如圖，把一個直角三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若Nl=50。，則/2=（）

7.在平面直角坐標系中，點尸佃,2機-2J，則點P不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.一個不透明的袋中有四張完全相同的卡片，把它們分別標上數字1、2、3、1.隨機抽取一張卡片，然后放回，再

隨機抽取一張卡片，則兩次抽取的卡片上數字之積為偶數的概率是（）

1135

A.—B.—C.—D.一

4246

9.正方形ABCD在直角坐標系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞點A按順時針方向旋轉180。后，C點的坐標是

（）

A.(2,0)B.(3,0)C.(2,-1)D.(2,1)

10.如圖所示的兩個四邊形相似，則a的度數是（）

A.60°B.75°C.87°D.120°

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.一艘貨輪以18亞km/h的速度在海面上沿正東方向航行，當行駛至A處時，發(fā)現它的東南方向有一燈塔B,貨輪

繼續(xù)向東航行30分鐘后到達C處，發(fā)現燈塔B在它的南偏東15。方向，則此時貨輪與燈塔B的距離是km.

北

12.如圖，已知拋物線y=-必-2x+3與坐標軸分別交于A,B,C三點，在拋物線上找到一點D,使得NDCB=NACO,

則D點坐標為.

13.如圖，D,E分另（）是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE〃AC,AE、CD相交于點O,若SADOE：SACOA=1：16,

貝（ISABDE與SACDE的比是.

14.在函數y=\鼠口中，自變量x的取值范圍是.

_H〃一1R

15.已知n>1,M=——，N=——，P=——，則M、N、P的大小關系為____________.

n—1nn+1

16.從-2,-1,2,0這四個數中任取兩個不同的數作為點的坐標，該點不在第三象限的概率是.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）如圖，在一個平臺遠處有一座古塔，小明在平臺底部的點C處測得古塔頂部8的仰角為60。，在平臺上的

點E處測得古塔頂部的仰角為30。.已知平臺的縱截面為矩形OC尸E,OE=2米，。。=20米，求古塔43的高（結果

保留根號）

18.（8分）如圖，某校教學樓AB的后面有一建筑物CD,當光線與地面的夾角是22。時，

教學樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當光線與地面的夾角是45。時，教學樓頂A在地面上的影子F與墻

角C有13m的距離（B、F、C在一條直線上）.

求教學樓AB的高度；學校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之

間的距離（結果保留整數）.

19.（8分）如圖①，在正方形ABCD中，AAEF的頂點E,F分別在BC,CD邊上，高AG與正方形的邊長相等,

求NEAF的度數.如圖②，在RtAABD中，ZBAD=90°,AB=AD,點M,N是BD邊上的任意兩點，且NMAN=45。,

將^ABM繞點A逆時針旋轉90。至4ADH位置，連接NH,試判斷MN2,ND2,DM之間的數量關系，并說明理由.在

圖①中，若EG=4,GF=6,求正方形ABCD的邊長.

（圖黝（圖②）

20.（8分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,BC=4,AC=L點P是斜邊AB上一點，過點尸作交邊AC或

5c于點M.又過點尸作AC的平行線，與過點M的尸M的垂線交于點N.設邊AP=x,APMN與△ABC重合部分

圖形的周長為人

（1）AB=.

（2）當點N在邊3c上時，x=.

（1）求y與x之間的函數關系式.

（4）在點N位于5c上方的條件下，直接寫出過點N與AA3C一個頂點的直線平分△ABC面積時x的值.

21.（8分）已知關于,的方程mx2+（2m-l）x+m-l=0（m邦）.求證：方程總有兩個不相等的實數根；若方

程的兩個實數根都是整數，求整數小的值.

22.（10分）已知拋物線y=a/+（3*+1）x+b-3（?>0）,若存在實數處使得點尸（m,m）在該拋物線上，我們稱

點P（nt,nt）是這個拋物線上的一個“和諧點”.

(1)當a=2,>=1時，求該拋物線的“和諧點”；

(2)若對于任意實數兒拋物線上恒有兩個不同的“和諧點”4、B.

①求實數〃的取值范圍；

②若點A,5關于直線》=-*-(士+1)對稱，求實數萬的最小值.

a

23.(12分)“校園安全”受到全社會的廣泛關注，某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度，采用隨機抽樣調查

的方式，并根據收集到的信息進行統計，繪制了下面兩幅尚不完整的統計圖，請根據統計圖中所提供的信息解答下列

問題：

藏統福題統?十圖

(1)接受問卷調查的學生共有人，扇形統計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心角為度；

(2)請補全條形統計圖；

(3)若該中學共有學生900人，請根據上述調查結果，估計該中學學生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”

程度的總人數.

24.校園手機現象已經受到社會的廣泛關注.某校的一個興趣小組對“是否贊成中學生帶手機進校園”的問題在該校校

園內進行了隨機調查.并將調查數據作出如下不完整的整理；

看法頻數頻率

贊成5

無所謂0.1

反對400.8

(1)本次調查共調查了人；(直接填空)請把整理的不完整圖表補充完整；若該校有3000名學生，請您估計

該校持“反對”態(tài)度的學生人數.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、B

【解題分析】

由圓周角定理得出NMON與NM4N的關系，從而得出x與y的關系式，進而可得出答案.

【題目詳解】

,/ZMON與ZMAN分別是弧MN所對的圓心角與圓周角，

：.ZMAN=-ZMON,

2

1

Ay=-x,

-2

點(x,y)一定在過原點的直線上.

故選B.

【題目點撥】

本題考查了圓周角定理及正比例函數圖像的性質，熟練掌握圓周角定理是解答本題的關鍵.

2、C

【解題分析】

A、B是一元二次方程可以根據其判別式判斷其根的情況；C是無理方程，容易看出沒有實數根；D是分式方程，能使

得分子為零，分母不為零的就是方程的根.

【題目詳解】

人.中4=02-4x1x16=-64<0,方程無實數根；

8.中4=(-1)2-4x1x1=-3<0,方程無實數根；

C.x=-1是方程的根；

D.當x=l時，分母xM=O,無實數根.

故選：C.

【題目點撥】

本題考查了方程解得定義，能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解.解答本題的關鍵是針對不同的方程進行

分類討論.

3、D

【解題分析】

試題分析：根據根的判別式和根與系數的關系列出不等式，求出解集.

解：關于x的一元二次方程x2+2x+k+l=0有兩個實根，

二A>0,

A4-4(k+1)>0,

解得k<0,

VXl+X2=-2,Xl*X2=k+l,

???-2-(k+1)V-1,

解得k>-2,

不等式組的解集為-2VkW0,

點評：本題考查了根的判別式、根與系數的關系，在數軸上找到公共部分是解題的關鍵.

4、C

【解題分析】

利用圖中信息一一判斷即可.

【題目詳解】

解:A、正確.不符合題意.

B、由題意x=4時，y=8,.,.室內空氣中的含藥量不低于8mgzm3的持續(xù)時間達到了llmin,正確，不符合題意;

C、y=5時,x=2.5或24,24-2.5=21.505,故本選項錯誤，符合題意；

D、正確.不符合題意，

故選c.

【題目點撥】

本題考查反比例函數的應用、一次函數的應用等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型.

5、B

【解題分析】

A、主視圖為等腰三角形，俯視圖為圓以及圓心，故A選項錯誤；

B、主視圖為矩形，俯視圖為矩形，故B選項正確；

C、主視圖，俯視圖均為圓，故C選項錯誤；

D、主視圖為矩形，俯視圖為三角形，故D選項錯誤.

故選：B.

6、C

【解題分析】

由兩直線平行，同位角相等，可求得/3的度數，然后求得N2的度數.

【題目詳解】

VZ1=5O°,

.*.Z3=Z1=5O°,

Z2=90°-50°=40°.

故選C.

【題目點撥】

本題主要考查平行線的性質，熟悉掌握性質是關鍵.

7、B

【解題分析】

根據坐標平面內點的坐標特征逐項分析即可.

【題目詳解】

A.若點p例,2加-2J在第一象限，則有：

Im>09

(2m-2>0

解之得

m>l,

???點尸可能在第一象限；

B.若點,例,2加.2）在第二象限，則有：

Im<09

12nl-2>0

解之得

不等式組無解，

點尸不可能在第二象限；

C.若點P佃,2加-2）在第三象限，則有:

Im<09

12加-2V0

解之得

m<l9

???點尸可能在第三象限；

D.若點p例,2相_2）在第四象限，則有:

Im>09

12nl-2<0

解之得

0<m<l,

.?.點尸可能在第四象限；

故選B.

【題目點撥】

本題考查了不等式組的解法，坐標平面內點的坐標特征，第一象限內點的坐標特征為（+,+）,第二象限內點的坐標

特征為（-,+）,第三象限內點的坐標特征為第四象限內點的坐標特征為（+,-）,x軸上的點縱坐標為0,y

軸上的點橫坐標為0.

8、C

【解題分析】

【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果數，再找出兩次抽取的卡片上數字之積為偶數的結果數，然后根據概率

公式求解.

【題目詳解】畫樹狀圖為:

124

12341234

共有16種等可能的結果數，其中兩次抽取的卡片上數字之積為偶數的結果數為12,

123

所以兩次抽取的卡片上數字之積為偶數的概率=—=

164

故選C.

【題目點撥】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

9、B

【解題分析】

試題分析：正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉180。后，C點的對應點與C一定關于A對稱，A是對稱點連線的中

點，據此即可求解.

試題解析：AC=2,

則正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉180。后C的對應點設是C,則AC,=AC=2,

則00=3,

故C，的坐標是（3,0）.

故選B.

考點：坐標與圖形變化-旋轉.

10、C

【解題分析】

【分析】根據相似多邊形性質：對應角相等.

【題目詳解】由已知可得：a的度數是：360-60-75-138=87

故選C

【題目點撥】本題考核知識點：相似多邊形.解題關鍵點：理解相似多邊形性質.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11、1

【解題分析】

作CEJLAB于E,根據題意求出AC的長，根據正弦的定義求出CE,根據三角形的外角的性質求出NB的度數，根

據正弦的定義計算即可.

【題目詳解】

作CE±AB于E,

北

AC

1枚km/hx30分鐘=90km,

，AC=9亞m,

VZCAB=45°,

.,.CE=AC?sin45°=9km,

?.?燈塔B在它的南偏東15。方向，

.,.ZNCB=75°,ZCAB=45°,

,?.ZB=30°,

9

CE-

??BC=5=lkm,

故答案為：1.

【題目點撥】

本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，正確標注方向角、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

57

12、(-4,-5)

24

【解題分析】

求出點A、B、C的坐標，當D在x軸下方時，設直線CD與x軸交于點E,由于NDCB=NACO.所以

tanZDCB-tanZACO,從而可求出E的坐標，再求出CE的直線解析式，聯立拋物線即可求出D的坐標，再由對稱

性即可求出D在x軸上方時的坐標.

【題目詳解】

令y=0代入y=-x2-2x+3,

x=-3或x=l,

/.OA=1,OB=3,

令x=0代入y=-x2-2x+3,

；.y=3，

.*.OC=3,

當點D在x軸下方時，

二設直線CD與x軸交于點E,過點E作EGLCB于點G,

VOB=OC,

.\ZCBO=45°,

ABG=EG,OB=OC=3,

???由勾股定理可知：BC=3j^,

設EG=x,

:?CG=35-x,

VZDCB=ZACO.

//OA1

..tanZDCB=tanZACO==—，

OC3

.EG_1

??-------，

CG3

..372

??X----,

4

?r~3

??BE=y/2x=—,

.3

.\OE=OB-BE=-,

2

3

AE0),

2

設CE的解析式為y=mx+n,交拋物線于點D2,

3

把C(0,3)和E(-—,0)代入y=mx+n,

3=n

m=2

，解得：＜

0=----m+nn=3

2

???直線CE的解析式為：y=2x+3,

y=2x+3

聯立＜

—f—2x+3

解得：x=?4或x=0,

?'?Dz的坐標為（-4,-5）

設點E關于BC的對稱點為F,

連接FB,

.,.ZFBC=45°,

/.FB±OB,

.3

..FB=BE=—，

2

3

AF(-3,-)

2

設CF的解析式為y=ax+b,

3

把C(0,3)和(-3,-)代入y=ax+b

3=b

<3

-=-3a+b

12

一1

ci---

解得：\2,

b=3

直線CF的解析式為：y=；x+3,

■1c

y----x+3

聯立，2

y=-—2x+3

解得：x=0或x=?7

2

一57

.?.Di的坐標為(--，一)

24

57

故答案為7)或(-4,-5)

24

【題目點撥】

本題考查二次函數的綜合問題，解題的關鍵是根據對稱性求出相關點的坐標，利用直線解析式以及拋物線的解析式即

可求出點D的坐標.

13、1：3

【解題分析】

根據相似三角形的判定，由DE〃AC,WADOE^ACOA,ABDE^ABCA,然后根據相似三角形的面積比等于相

似比的平方，可由SSOE：SACOA=1：16,求得DE：AC=1:4,BPBE：BC=1:4,因此可得BE：EC=1:3,最后根據同

高不同底的三角形的面積可知S&BDE與S'CDE的比是1:3.

故答案為1:3.

14、x>4

【解題分析】

試題分析：二次根式有意義的條件：二次根號下的數為非負數，二次根式才有意義.

由題意得-］。,^4.

考點：二次根式有意義的條件

點評：本題屬于基礎應用題，只需學生熟練掌握二次根式有意義的條件，即可完成.

15、M>P>N

【解題分析】

/.n-l>09n>n-l9

.\M>19O<N<1,O<P<1,

.?.M最大；

「2nn-11八

P-N=----------------=-------->0,

n+1nnyn+lj?

:.P>N,

：.M>P>N.

點睛：本題考查了不等式的性質和利用作差法比較兩個代數式的大小.作差法比較大小的方法是:如果。/>0,那么a>b;

如果a/=0,那么a=b;如果a-Z><0,那么另外本題還用到了不等式的傳遞性，即如果那么a>b>c.

16、-

6

【解題分析】

列舉出所有情況，看在第四象限的情況數占總情況數的多少即可.

【題目詳解】

如圖：

開始

-1-1

共有12種情況，在第三象限的情況數有2種,

故不再第三象限的共10種，

不在第三象限的概率為w=9，

126

故答案為3.

6

【題目點撥】

本題考查了樹狀圖法的知識，解題的關鍵是列出樹狀圖求出概率.

三、解答題（共8題，共72分）

17、古塔AB的高為（10若+2）米.

【解題分析】

試題分析：延長EF交AB于點G.利用AB表示出EG,AC.讓EG-AC=1即可求得AB長.

試題解析：如圖，延長EF交AB于點G.

設AB=x米，貝!|BG=AB-2=(x-2)米.

貝!|EG=(AB-2)4-tanZBEG=V3(x-2),CA=ABvtanZACB=x

3

貝!ICD=EG-AC=0(x-2)

解可得：x=K）73+2.

答：古塔AB的高為（10出+2）米.

18、(1)2m(2)27m

【解題分析】

(1)首先構造直角三角形△AEM,利用3122°=AM,求出即可.

ME

(2)利用RtAAME中，COS220=—,求出AE即可.

AE

【題目詳解】

解：(1)過點E作EMLAB,垂足為M.

設AB為x.

在RtAABF中,ZAFB=45°,

BF=AB=x,

/.BC=BF+FC=x+l.

在RtAAEM中，ZAEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,

r”0AMx-22??

又；tan22°=——-----~—,解得：x~2.

MEx+135

教學樓的高2m.

(2)由(1)可得ME=BC=x+b2+l=3.

在RtAAME中，cos22u=——，

AE

/.AE=MEcos22°?25x—?27.

16

:.A、E之間的距離約為27m.

19、(1)45°.(1)MN^ND^DH1.理由見解析；(3)11.

【解題分析】

(1)先根據AG_LEF得出△ABE和△AGE是直角三角形，再根據HL定理得出△ABE^^AGE,故可得出

ZBAE=ZGAE,同理可得出NGAF=NDAF,由此可得出結論；

(1)由旋轉的性質得出NBAM=NDAH,再根據SAS定理得出AAMN四△AHN,故可得出MN=HN.再由NBAD=90。,

AB=AD可知NABD=NADB=45。，根據勾股定理即可得出結論；(3)設正方形ABCD的邊長為x,則CE=x-4,CF=x-2,

再根據勾股定理即可得出x的值.

【題目詳解】

解：（1）在正方形ABCD中，NB=ND=90。,

VAG±EF,

二AABE和小AGE是直角三角形.

在RtAABE和RtAAGE中，

AB=AG

AE=AE，

.'.△ABE絲△AGE(HL),

/.ZBAE=ZGAE.

同理，ZGAF=ZDAF.

ZEAF=ZEAG+ZFAG=-NBAD=45。.

2

(1)MN^ND^DH1.

由旋轉可知：ZBAM=ZDAH,

VZBAM+ZDAN=45°,

ZHAN=ZDAH+ZDAN=45°.

/.ZHAN=ZMAN.

在4AHN中，

AM=AH

<ZHAN=ZMAN,

AN=AN

.,.△AMN^AAHN(SAS),

,*.MN=HN.

VZBAD=90°,AB=AD,

.,.ZABD=ZADB=45°.

ZHDN=ZHDA+ZADB=90°.

.,.NH^ND^DH1.

AMN^ND^DH1.

(3)由(1)知，BE=EG=4,DF=FG=2.

設正方形ABCD的邊長為x,則CE=x-4,CF=x-2.

VCE'+CF^EF1,

(x-4)J+(x-2)i=10L

解這個方程，得xi=U,xi=-l(不合題意，舍去).

，正方形ABCD的邊長為11.

【題目點撥】

本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到三角形全等的判定與性質、勾股定理、正方形的性質等知識，難度適中.

454545

20、(1)2；(2)—；(1)詳見解析；(4)滿足條件的x的值為之或義.

345943

【解題分析】

(1)根據勾股定理可以直接求出(2)先證明四邊形是平行四邊形，再根據三角函數值求解(1)分情況根據t

的大小求出不同的函數關系式(4)不同條件下：當點G是AC中點時和當點。是A3中點時，根據相似三角形的性質

求解.

【題目詳解】

解：(1)在RtABC中，AB=VAC2+BC2=732+42=5-

故答案為2.

(2)如圖1中，PAMN,PNAM,

，四邊形PAMN是平行四邊形，

pAS

MN=PA=x,AM=PN=------=-%

cosA3

圖1

PN3

當點N在BC上時，sinA=—=-,

PB5

5

—x勺

3=3

5—x5

45

..x——.

34

4545

(1)①當ot}一時，如圖1,|PM=-X,AM=-x

3433

45

I.,,y=PN+MN+PM=x+—x+—x=4x.

-33

459

②當二＜/＜三時，如圖2,

345

y=4x-EN-NF+EF

544

=4x-EN——EN+-EN=4x——EN,

333

5334

EN=PN-PE=-X--(5-X)=—X-3

3515

44,

y=-x+4

Q

③當］效巾5時，如圖1,

圖3

3412

y=PM+PE+EM=PM+-PM+-PM=—PM,

555

3

PM=-(5-x)

y=-x+9

5

(4)如圖4中，當點G是AC中點時，滿足條件

C

圖4

PNIIAG

PNBP

AGBA

5

~x<

.3_5—x

"3"5

2

45

二.x——

59

如圖2中，當點D是AB中點時，滿足條件.

.MN_CM

,,布一石

.5

3—x

x

.,.-z~-_----3--

53

2

45

X——

43

綜上所述，滿足條件的x的值為4上5或上45.

5943

【題目點撥】

此題重點考查學生對一次函數的應用，勾股定理，平行四邊形的判定，相似三角形的性質和三角函數值的綜合應用能

力，熟練掌握勾股定理和三角函數值的解法是解題的關鍵.

21、（1）證明見解析（2）m=l或m=-l

【解題分析】

試題分析：（1）由于則計算判別式的值得到=1,從而可判斷方程總有兩個不相等的實數根;

（2）先利用求根公式得到石=-=工-1，然后利用有理數的整除性確定整數機的值.

m

試題解析：（1）證明：’??根60,

?,?方程為一元二次方程，

=(2m—I)2—4m(m—1)=1>0,

???此方程總有兩個不相等的實數根；

…丫="一1)±L

?.?方程的兩個實數根都是整數，且m是整數，

:?tn=l或m=-l.

22、(1)或(-1,-1)；(1)①2<aV17②》的最小值是！

223

【解題分析】

(1)把x=y=m,a=Lb=I代入函數解析式，列出方程，通過解方程求得m的值即可；

(1)拋物線上恒有兩個不同的“和諧點”A、B.則關于m的方程m=am1+(3b+l)m+b-3的根的判別式△=9b1-4ab+lla.

①令y=9b1.4ab+lla,對于任意實數b,均有y>2,所以根據二次函數y=9bL4ab+ll的圖象性質解答；

②利用二次函數圖象的對稱性質解答即可.

【題目詳解】

(1)當。=1,>=1時，-4,

解得機=,或m=-1.

2

所以點P的坐標是(一，一)或(-1,-1)；

22

(