江蘇省東臺市第一中學2025屆高一下數(shù)學期末調研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，則A． B．C． D．3．已知圓x2+y2+2x-6y+5a=0關于直線y=x+b成軸對稱圖形，則A．(0,8) B．(-∞,8) C．(-∞,16)4．已知，則的垂直平分線所在直線方程為（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，則（）A．2 B．-2 C．1 D．-16．如圖，B是AC上一點，分別以AB,BC,AC為直徑作半圓，從B作BD⊥AC，與半圓相交于D，AC=6，BD=22A．29 B．13 C．47．已知函數(shù)，在中，內角的對邊分別是，內角滿足，若，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．8．設a，b，c為的內角所對的邊，若，且，那么外接圓的半徑為A．1 B． C．2 D．49．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線上存在滿足以下條件的點:過點作圓的兩條切線(切點分別為),四邊形的面積等于，則實數(shù)的取值范圍是_______12．某海域中有一個小島（如圖所示），其周圍3.8海里內布滿暗礁（3.8海里及以外無暗礁），一大型漁船從該海域的處出發(fā)由西向東直線航行，在處望見小島位于北偏東75°，漁船繼續(xù)航行8海里到達處，此時望見小島位于北偏東60°，若漁船不改變航向繼續(xù)前進，試問漁船有沒有觸礁的危險？答：______.（填寫“有”、“無”、“無法判斷”三者之一）13．已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為_____．14．設向量，且，則__________．15．若正四棱錐的所有棱長都相等，則該棱錐的側棱與底面所成的角的大小為____.16．已知圓的圓心在直線，與y軸相切，且被直線截得的弦長為，則圓C的標準方程為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.18．在中，角，，所對的邊分別為，，，．（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求及的值．19．已知圓圓心坐標為點為坐標原點，軸、軸被圓截得的弦分別為、.（1）證明：的面積為定值；（2）設直線與圓交于兩點，若，求圓的方程.20．已知圓（1）求圓關于直線對稱的圓的標準方程；（2）過點的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程；（3）當取何值時，直線與圓相交的弦長最短，并求出最短弦長．21．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點為中點，且.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

首先求得集合，根據(jù)交集定義求得結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，屬于基礎題.2、D【解析】

由平面向量基本定理和向量運算求解即可【詳解】根據(jù)題意得：，又，，所以.故選D.【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理的簡單應用，屬于基礎題.3、D【解析】

根據(jù)圓關于直線成軸對稱圖形得b=4，根據(jù)二元二次方程表示圓得a<2，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性得4a【詳解】解：∵圓x2+y∴圓心(-1,3)在直線∴3=-1+b，解得b=4又圓的半徑r=4+36-20a2>0b故選：D．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，屬中檔題．4、A【解析】

首先根據(jù)題中所給的兩個點的坐標，應用中點坐標公式求得線段的中點坐標，利用兩點斜率坐標公式求得，利用兩直線垂直時斜率的關系，求得其垂直平分線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，化簡求得結果.【詳解】因為，所以其中點坐標是，又，所以的垂直平分線所在直線方程為，即，故選A.【點睛】該題考查的是有關線段的垂直平分線的方程的問題，在解題的過程中，需要明確線段的垂直平分線的關鍵點一是垂直，二是平分，利用相關公式求得結果.5、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的表達式，直接代入即可得到結論．【詳解】由分段函數(shù)的表達式可知，則，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)分段函數(shù)的表達式求解是解決本題的關鍵，屬于容易題．6、C【解析】

求得陰影部分的面積和最大的半圓的面積，再根據(jù)面積型幾何概型的概率計算公式求解.【詳解】連接AD,CD，可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，所以BDAB=x(0<x<6)，則有8=x(6-x)，得x=2，所以AB=2,?BC=4，由此可得圖中陰影部分的面積等于π×3【點睛】本題考查了與面積有關的幾何概型的概率的求法，當試驗結果所構成的區(qū)域可用面積表示，用面積比計算概率.涉及了初中學習的射影定理，也可通過證明相似，求解各線段的長.7、B【解析】

通過將利用合一公式變?yōu)?，代入A求得A角，從而利用余弦定理得到b,c,的關系，從而利用均值不等式即可得到面積最大值.【詳解】，為三角形內角，則，，當且僅當時取等號【點睛】本題主要考查三角函數(shù)恒等變換，余弦定理，面積公式及均值不等式，綜合性較強，意在考查學生的轉化能力，對學生的基礎知識掌握要求較高.8、A【解析】

由得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A=．再利用正弦定理可得2R=，可得R.【詳解】∵,∴,整理得b2+c2-a2=bc，根據(jù)余弦定理cosA=，可得cosA=∵A∈（0，π），∴A=由正弦定理可得2R==,解得R=1，故選A【點睛】已知三邊關系，可轉化為接近余弦定理的形式，直接運用余弦定理理解三角形，注意整體代入思想.9、C【解析】

由得到an=n，任意的，恒成立等價于，利用作差法求出的最小值即可.【詳解】當n=1時，，又∴∵an+12=2Sn+n+1，∴當n≥2時，an2=2Sn﹣1+n，兩式相減可得：an+12﹣an2=2an+1，∴an+12=（an+1）2，∵數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的數(shù)列，∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，顯然n=1時，適合上式∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1．∴an=1+（n﹣1）=n．任意的，恒成立，即恒成立記，，∴為單調增數(shù)列，即的最小值為∴，即故選C【點睛】已知求的一般步驟：（1）當時，由求的值；（2）當時，由，求得的表達式；（3）檢驗的值是否滿足（2）中的表達式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達式.10、C【解析】

由，得，則，利用基本不等式，即可求解．【詳解】由題意，因為，則，所以，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值為5，故選C．【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理構造是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

通過畫出圖形，可計算出圓心到直線的最短距離，建立不等式即可得到的取值范圍.【詳解】作出圖形，由題意可知，，此時，四邊形即為,而，故，勾股定理可知，而要是得存在點P滿足該條件，只需O到直線的距離不大于即可，即，所以，故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，意在考查學生的轉化能力，計算能力，分析能力，難度中等.12、無【解析】

可過作的延長線的垂線，垂足為，結合角度關系可判斷為等腰三角形，再通過的邊角關系即可求解，判斷與3.8的大小關系即可【詳解】如圖，過作的延長線的垂線，垂足為，在中，，，則，所以為等腰三角形。，又，所以，，所以漁船沒有觸礁的危險故答案為：無【點睛】本題考查三角函數(shù)在生活中的實際應用，屬于基礎題13、【解析】

根據(jù)對數(shù)的真數(shù)對于0，再結合不等式即可解決．【詳解】函數(shù)的定義域為等價于對于任意的實數(shù)，恒成立當時成立當時，等價于綜上可得【點睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域以及不等式恒成立的問題，函數(shù)的定義域?？嫉挠?、，2、，3、．屬于基礎題．14、【解析】因為，所以，故答案為.15、【解析】

先作出線面角，再利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】如圖，設正四棱錐的棱長為1，作在底面的射影，則為與底面所成角，為正方形的中心，，，，故答案為．【點睛】本題考查線面角，考查學生的計算能力，作出線面角是關鍵．屬于基礎題.16、或【解析】

由圓心在直線x﹣3y＝0上，設出圓心坐標，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，距離d，由圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．【詳解】設圓心為（3t，t），半徑為r＝|3t|，則圓心到直線y＝x的距離d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圓心是（3，1）或（-3，-1）故答案為或．【點睛】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式．根據(jù)題意設出圓心坐標，找出圓的半徑是解本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

分析：（1）由，利用正弦定理可得，結合兩角和的正弦公式以及誘導公式可得；從而可得結果；（2）由余弦定理可得可得，所以.詳解：(1)∵∴∴（2）∵∴∴點睛：解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．18、（1）（2），【解析】

（1）化簡等式，即可求出角．（2）利用角C的余弦公式，求出c與a的關系式，再由正弦定理求出角A的正弦值，再結合面積公式求出c的值．【詳解】（1）∵，∴，即，∴.又，∴.（2）∵，∴，即，∴.∵，且，∴，∴，由正弦定理得，解得.【點睛】本題考查利用解三角形，屬于基礎題．19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用幾何條件可知，為直角三角形，且圓過原點，所以得知三角形兩直角邊邊長，求得面積；（2）由及原點O在圓上，知OCMN，所以,求出的值，再利用直線與圓的位置關系判斷檢驗，符合題意的解，最后寫出圓的方程．【詳解】（1）因為軸、軸被圓截得的弦分別為、，所以經過，又為中點，所以，所以，所以的面積為定值.（2）因為直線與圓交于兩點，，所以的中垂線經過，且過，所以的方程，所以，所以當時，有圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓交于點兩點，故成立；當時，有圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相交，故（舍去），綜上所述，圓的方程為.【點睛】本題通過直線與圓的有關知識，考查學生直觀想象和邏輯推理能力．解題注意幾何條件的運用可以簡化運算．20、（1）；（2）或；（3）【解析】

（1）設，根據(jù)圓心與關于直線對稱，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由圓的弦長公式，求得，根據(jù)斜率分類討論，求得直線的斜率，即可求解；（3）由直線，得直線過定點,根據(jù)時，弦長最短，即可求解．【詳解】（1）由題意，圓的圓心，半徑為，設，因為圓心與關于直線對稱，所以，解得，則，半徑，所以圓標準方程為：（2）設點到直線距離為，圓的弦長公式，得，解得，①當斜率不存在時，直線方程為，滿足題意②當斜率存在時，設直線方程為，則，解得，所以直線的方程為，綜上，直線方程為或（3）由直線，可化為，可得直線過定點,當時，弦長最短，又由，可得，此時最短弦長為．【點睛】本題主要考查了圓的對稱圓的求解，以及直線與圓的位置關系的應用，其中解答中熟記直線與圓的弦長公式，合理、準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．21、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】

(1)連接交于點，連接，可證，從而可證平面.(2)可證平面，從而得到平面平面.【詳解】(1)連接交于點，連接，因為底