西安市八校2023?2024學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)考試題

數(shù)學(xué)（理科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題紙上，認真核對條形碼上的姓

名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題紙上的指定位置上.

2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動.用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選擇

題答案用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.

3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.

4.保持紙面清潔，不折疊，不破損.

5.若做選考題時，考生應(yīng)按照題目要求作答，并在答題紙上對應(yīng)的題號后填寫.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

］已知全集U=R,集合加={x|y=Jl-x},N={-形,0,1,2,0},則（①加）N=（

A.{-72,0,1}B.{2,73}C.{1,2,73}D.N={2}

i62i

2.i，是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=」+^,則Z的共軌復(fù)數(shù)（）.

1+i

13.八13.c13.r31.

A.-------1B.—+—iC.-----F—1D.-------i

22222222

7T

3.將函數(shù)/'（x）=2sin（2x-§）的圖象向左平移機（m>0）個單位，所得圖象關(guān)于原點對稱，則相的值

可以是（）.

4.已知某隨機變量X的分布列如圖表，則隨機變量X的方差￡）（X）=（）

X02040

Pm2mm

A.120B.160C.200D.260

0<2x+y<4

5.已知尤，y滿足約束條件■x-y>-2則z=-3x+6y最大值為（)

x<2

A18B.14C.10D.-30

6.隨機取實數(shù)看,，￡（—1,8）,則關(guān)于元方程犬+2比+々—3=0有兩個負根的概率為（）.

7.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是某幾何體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該幾何體的體積為（）.

A.15兀B.20兀C.26兀D.30兀

8.已知二次函數(shù)丁=一/+。一。）》+。5的圖象與X軸交于A、3兩點，圖象在A、8兩點處的切線相交

于點尸.若。）=1,則1a的面積的最小值為（）.

A.1B.72C.2D.4

9.某三甲醫(yī)院選定A、B、C、。、E,5名醫(yī)生到3所鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院進行醫(yī)療扶持，每個醫(yī)院至少一人，其中，

A與2必須在同一醫(yī)院，3與C一定不在同一醫(yī)院.則不同的選派方案有（）

A48種B.42種C.36種D.30種

22

10.已知雙曲線三-方=1（?！?］〉0）的一條漸近線經(jīng)過點P（3,—9）,則該雙曲線的離心率為

).

A.MB.3C.2夜D.用

11.已知函數(shù)了(%)為偶函數(shù)，滿足/(x+2)=-了徐,

且一2＜九＜0時，/(%)=-2,若關(guān)于

x的方程/(x)—log.(x+l)=0至少有兩解，則”的取值范圍為().

A.[§,3]B.^0,—u[3,+00)C.I[3,+co)D.—,3

12.已知函數(shù)/(x)=1+lnx—2的零點為A,g(x)存在零點演，使|西一々|<3，則g(x)不能是

().

A.g(x)=3x3-2x2-3x+2B.g(x)=4x~i-2-x-l

C.,g(x)=cos(x+—)D.g(x)=lg(5x+l)

第n卷(非選擇題共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知單位向量q，4,向量。二九6一？々，b=2el+e2,若〃_[_/?,則實數(shù)丸=

14.已知工[卡—的展開式中，含x項的系數(shù)為左，(1一區(qū))°=%+〃1%+。2%2+,,+40%10.則

10(x)

%+++60=.

15.某校高三年級在一次模擬訓(xùn)練考試后，數(shù)學(xué)教研組為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和后期更有效的教學(xué)，從

參加考試的學(xué)生中抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，進行統(tǒng)計分析，制作了頻率分布直方圖(如圖).其

中，成績分組區(qū)間為[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),

[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].用樣本估計總體，這次考試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)的

16.已知橢圓二+丫2=1(。〉1)的上頂點為&,B、C在橢圓上，AABC為等腰直角三角形，A為直角，若

a

這樣的AABC有且只有一個，則該橢圓的離心率的取值范圍為.

三、解答題(共7小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為

必考題.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答)

(-)必考題：共60分.

17.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝,滿足24+16%=3,

(1)求數(shù)列｛4｝通項公式；

n]

(2)設(shè)d=￡log24,數(shù)列｛嘉｝的前"項和為小求證：-2<Tn<-l.

i=l

18.已知AABC為鈍角三角形，它的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為服b、c,且

JTJT

sin2C=sin2B+sin(—+B)cos(—+B),a<c,b<c.

36

(1)求tan(A+6)的值；

(2)若AABC的面積為12后，求c的最小值.

19.如圖所示多面體EF-ABCD中，四邊形A3CD和四邊形AC所均為正方形，棱AFLBD,G為EF

的中點.

(1)求證：CE_L平面ABCD；

(2)求二面角A—CG—3的余弦值.

20.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線S:x2=2py(p〉0),其焦點為R過點廠的直線/交拋物線S

于A和2兩點，14引=日，角夕=60°(如圖).

w

(I)求拋物線s的方程；

(2)在拋物線S上是否存在關(guān)于直線/對稱的相異兩點，若存在，求出該兩點所在直線的方程，若不存

在，請說明理由.

kx

21.2知函數(shù)=ln(x+l)T-------(左wR).

x+2

(1)若/(x)在其定義域上單調(diào)遞增，求上的取值范圍；

(2)證明：對V"$N+，-^―+—-—+——++—<In2.

n+1n+2幾+3In

(二)選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計分.并請考生務(wù)必將答題卡中對所選試題的題號進行涂寫.

［選修4-4：極坐標與參數(shù)方程］

-1后,

X-1------1

2

22.在平面直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為〈C為參數(shù)).以原點。為極點，》軸正

y=2+顯t

2

半軸為極軸建立極坐標系，曲線「的極坐標方程為夕=4cos氏

(1)求出直線/的普通方程和曲線廠的直角坐標方程；

(2)設(shè)直線/與曲線廠相交于A、B兩點，求|AB|的值.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=|2x+a|+2|Z-x|.

a

(1)求/(尤)的最小值；

(2)若。="(%)噓,求不等式穴Jl)V2x+5的解集.

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的)

]已知全集0=區(qū)，集合M={xly=Jl_x},N={-0,0』,2,6},貝|J(eAf)N-(

A{-72,0,1}B.{2,73}C.{1,2,73}D.N={2}

【答案】B

【解析】

【分析】先求集合M,然后由集合的運算可得.

【詳解】由1一%?0解得〃=(—"J],

所以e"=(1,+“)，所以@M)CN=[2,Q}.

故選：B

i62i

2.i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=」+^,則z共軌復(fù)數(shù)W=().

1+i

13.13.「13.31.

22222222

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)除法運算，結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的意義求解即得.

(-l+2i)(l-i)l+3i13.

【詳解】依題意，(l+i)(l-i)―221

—13.

所以z=7—i.

22

故選：A

jr

3.將函數(shù)/'(x)=2sin(2x—§)的圖象向左平移能(m>0)個單位，所得圖象關(guān)于原點對稱，則機的值

可以是().

兀4兀

A.—B.兀C.——

33

【答案】D

【解析】

【分析】先求平移后圖象的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可得.

TT

【詳解】將函數(shù)/（x）=2sin（2x-］）的圖象向左平移機個單位,

得y=2sin（2（%+〃/）一三=2sin12%+2加一三）的圖象,

因為y=2sin［2x+2m—gJ的圖象關(guān)于原點對稱，

JTJTKTr

所以2m=kit,keZ,即〃z=—H-----,keZ,

362

5兀

當左=3時，得加二忙，

3

,.TlkuTI71ku71ku4兀山.皿,

使加=一H-----二—,m---\---=兀，m---\----=——的整數(shù)人不存在.

62362623

故選：D

4.已知某隨機變量X的分布列如圖表，則隨機變量X的方差D（X）=（）

X02040

pm2mm

A.120B.160C.200D.260

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)概率和為1，求得加，再根據(jù)分布列求E（X）,再求￡>（X）即可.

【詳解】由題可知：機+27〃+加=1,解得機=：,則E（X）=0x機+40/〃+40機=80=20；

故￡>（X）=；（0—20）2+1（20-20）2+1（40-20）2=100+0+100=200.

故選：C.

0<2x+y<4

5.已知x,y滿足約束條件<%-丁2-2,貝?。輟=-3x+6y的最大值為（）

x<2

A.18B.14C.10D.-30

【答案】B

【解析】

【分析】作出可行域，由圖可以得到目標函數(shù)取最大值時的位置，求得點的坐標代入即可.

【詳解】由約束條件作出可行域如圖,

目標函數(shù)z=-3x+6y,即為y=Lx+」z,作出直線y=,

262

由圖可知，當直線y=gx平移至A處時，z取得最大值，

x-y=-29o

聯(lián)立《解得A（；,9,

2%+y=4

2Q

則目標函數(shù)Z的最大值為z=-3x—+6x—=14.

33

故選：B.

6.隨機取實數(shù)/e（-1,8）,則關(guān)于尤的方程*2+2a+4/-3=0有兩個負根的概率為（）.

2577

A.-B.一C.—D.—

39912

【答案】D

【解析】

【分析】利用韋達定理和判別式求出方程有兩個負根時才的范圍，然后由區(qū)間長度比可得.

【詳解】若方程式+2比+4，—3=0有兩個負根，

一/<0

3

則〈書—3〉0,解得一</<1或，>3,

4

4/2-4（4?-3）>0

3

又/e（—1,8）,所以當一（/<1或3<f<8時，方程犬+2笈+4，—3=0有兩個負根,

4

3

1--+|8-3|

故所求概率p=4??7

A（T）|12

故選：D

7.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是某幾何體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該幾何體的體積為（）.

A.15KB.20兀C.26KD.30兀

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體即可由圓錐體積公式得解.

【詳解】由三視圖可知，幾何體左邊為底面半徑為3,高為4的圓錐的一半，右邊為底面半徑為3,高為6

2323

故選：A

8.已知二次函數(shù)丁=一%2+3-。）1+。/?的圖象與x軸交于A、B兩點，圖象在A、8兩點處的切線相交

于點P.若H?=l,貝L的面積的最小值為（）.

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程及點尸坐標，結(jié)合韋達定理及面積公式可得面積的最值.

【詳解】設(shè)4（%,O）,B（X2,0）,

則A與巧是方程一丁+（/?—a）x+aZ?=0的兩根,

則再+々_a,X[X2=-ab,

-々，

|AB|=|xj-x2\=J-4xtx2=\a+b\

又y=-2x+b-a,

則函數(shù)y=-*+僅一0卜+"在點A&,o)處的切線方程為丁=(-2%+Z?-a)(x-x1),

同理函數(shù)y=--+(>-在點6(尤2，。)處切線方程為y=(-29+b—a)。;一％)，

%_玉+%2_b-a

y=(-2%+j)(x-xi)22

則，

y=(-2X+6-〃)(1一%)‘牛寸2西西》)2

2(-%1+X2)(%1+X,)--42(a+

y=

222

b-a

即點尸

22

7

則SABP=g|A8H%>|=；|a+b『之:-4ab-2痣=2,當且僅當a=b=l時等號成立,

故選：C.

9.某三甲醫(yī)院選定A、B、C、D、E,5名醫(yī)生到3所鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院進行醫(yī)療扶持，每個醫(yī)院至少一人，其中,

A與5必須在同一醫(yī)院，5與。一定不在同一醫(yī)院.則不同的選派方案有()

A.48種B.42種C.36種D.30種

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分三種分堆情況進行討論，先分類再分步，即可求得結(jié)果.

【詳解】先把5人分為3堆，根據(jù)題意，則有如下三種情況:

第一種：第一堆除了A3之外，還有一名醫(yī)生，第二堆是。，第三堆是1名醫(yī)生,

則此時選派方案有：C；?A；=12種;

第二種：第一堆為A3,第二堆是C,第三堆是剩余兩名醫(yī)生,

則此時選派方案有：C；?A；=6種;

第三種：第一堆為A3,第二堆是C以及另外一名醫(yī)生，第三堆是剩余的一名醫(yī)生,

則此時選派方案有：C；?A；=12種;

綜上所述，所有選派方案有：12+6+12=30種;

故選：D.

22

10.已知雙曲線二―4=l(a>Q,b>0)的一條漸近線經(jīng)過點P(3,-9),則該雙曲線的離心率為

?2b2

).

A.V10B.3C.2&D.幣

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)漸近線方程及離心率公式可得解.

22

【詳解】雙曲線當=1(〃>0/>0)的漸近線方程為y=±-x,

a2b2

又漸近線過點p(3,—9),即—9=—：x3,則3=3,

所以離心率e=￡=

a

故選：A.

11.已知函數(shù)”X)為偶函數(shù)，滿足〃x+2)=—7"，且—2WXW0時，=—2,若關(guān)于

X的方程/(x)—log“(x+1)=0至少有兩解，貝I］。的取值范圍為().

B.u[3,+coD.?3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性與周期性，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)交點情況，進而確定方程解的情況.

【詳解】由已知/(x+2)=—KJ,

則〃x)=一八：2)，則/(x+2)=/(x—2),

可知函數(shù)/(九)為周期函數(shù)，最小正周期T=4,

又當—2WxW0時，/(%)=—2,

可知函數(shù)/(尤)的圖象如圖所示，且/(X)的值域為[-1』，

關(guān)于X的方程/(力—log"(X+1)=0至少有兩解，

可得函數(shù)y=/(%)與函數(shù)y=log”(1+1)的圖象至少有兩個交點,

當a>l時，log〃(2+l)Wl=log“a,解得a23,即ae[3,+a),

綜上所述ae[o,gu[3,+(?),

故選：C.

12.已知函數(shù)/(x)=4"+lnx—2的零點為A,g(x)存在零點巧，使|王一々1<3，則g(x)不能是

().

A.g(x)=3x3-2x2-3x+2B.g(x)=甲一?…

5兀

c.g(x)=cos(x+—)D.g(x)=lg(5x+l)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用零點存在性定理求出/的范圍，再求出各選項中函數(shù)的零點即可判斷得解.

【詳解】函數(shù)/(%)=平+111》—2定義域為(0,+8),函數(shù)/*)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

而/(g)=4^+lng—2=—ln2<0,/(l)=2〉0,因此;<玉<1,

2

對于A,由g(x)=0,得(x+l)(x—1)(3%—2)=0,解得x=—1或x=§或x=l,

顯然I玉—耳|</或I%—11<5,A能；

對于B,由g(x)=。，得二?2?”—7?二=。，解得％=；,

422X3

3-3-1r-i31151

/(-)=22+ln——2>22+ln-=-2=2V2-2.5>0,即一<與v—,-<x——<—<-,B能；

44冊214613122

ST?ST?7T

對于C,由g(x)=。，得cos(%H----)=0,則%+—=ku—,keZ,

12122

jr兀111兀］

解得尤=航H----,keZ,取左=0,%=—G(一,一),—<玉----<一,C能；

1212436122

對于D,函數(shù)g(x)=lg(5x+l)在(―；,+8)上單調(diào)遞增，g(0)=0,而玉—0>；,D不能.

故選：D

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令/(%)=0,如果能求出解，則有幾

個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間句上是連續(xù)不斷的曲線，且

f(a)f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)利用

圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，

就有幾個不同的零點.

第n卷(非選擇題共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知單位向量q，4,向量。二幾6一？々，b=2el-^e2,若q_L/?,則實數(shù)7=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用向量垂直的性質(zhì)即可求解.

［詳解］因為〃_Lb，所以a,/?=(&i-2q),(2q+q)=2&］+—4),e2—2^2=24—2=0

故4=1.

故答案為：1

102

14.已知」-［九2一工］的展開式中，含1項的系數(shù)為左，(1-Ax)=a0+axx+a2x+十陽”則

q+a?++io—.

【答案】1023

【解析】

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，結(jié)合題意求得左，再通過賦值法先求弱，再求目標即可.

【詳解】—的展開式的通項公式為

101X)

5,

令廠=3,則可得含X項的系數(shù)左=jxc；x(—1)3=—1,則(1—丘)°=(1+力|°,

10

對(1+x),令％=0,解得/=1；對+令x=l,解得/+%++?10=2=1024,

故%+%++°io=1024—1=1023.

故答案為：1023.

15.某校高三年級在一次模擬訓(xùn)練考試后，數(shù)學(xué)教研組為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和后期更有效的教學(xué)，從

參加考試的學(xué)生中抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，進行統(tǒng)計分析，制作了頻率分布直方圖(如圖).其

中，成績分組區(qū)間為[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),

[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].用樣本估計總體，這次考試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)的

【解析】

【分析】利用頻率分布直方圖計算、估計數(shù)學(xué)成績的中位數(shù).

【詳解】觀察頻率分布直方圖，得數(shù)學(xué)成績在區(qū)間[60,110)的頻率為

(0.01+0.005+0.01+0.015)x10=0.4,

數(shù)學(xué)成績在區(qū)間[60,120)的頻率為64+0.025x10=0.65,

因此數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)me（110,120）,且0—110）x0.025=0.1,解得m=114,

所以這次考試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)的估計值為114.

故答案為：114

16.已知橢圓二+/=1（?！?）的上頂點為A,B、C在橢圓上，AABC為等腰直角三角形，A為直角，若

a'

這樣的AABC有且只有一個，則該橢圓的離心率的取值范圍為

【答案】0,

【解析】

【分析】設(shè)直線A3方程為y=Ax+l,直線AC方程為y=—：x+l,求出弦長|人耳,恒。|,根據(jù)

14耳=|AC|整理可得（左—1）［左2+（1—〃*=0,由方程有唯一實數(shù)解可得1<q<外，然后可得離心

率.

【詳解】由橢圓鼻+y2=1（。〉1）可知4（0,1）,

a

易知，直線與AC的斜率存在且不為0,

故可設(shè)直線A5方程為丁=區(qū)+1,直線AC方程為y=—4》+1,

k

聯(lián)立匕2消元得左2+1）尤2+2〃依=（）,

x~+ay-=a、'

2a2k

解得x=—

Ba2k2+1

1,,

y——x+12ak

同理，聯(lián)立《-k可解得%=半\

x2+a2y2=a2a~+k~

由題知，|的=|AC|,

所以J1+42|xB|=jl+-^-|xc|）即J1+42，2］」=

2

VKClK"T1cr+k

整理得（左一1）［k2+0_〃）左+i］=0,

因為％=1為上述方程的根,

所以，要使?jié)M足條件的△ABC有且只有一個，方程42+（1-左+i=o沒有實數(shù)解，或者有兩個相等的

根％=1.

當A=（l—/丫―4<0時，解得1<。<6，

當小二。—/1—4=0時，解得a=JL此時方程左2+（1一4）左+1=0的根為i.

綜上，l<a<6.

【點睛】求離心率的方法主要有：

（1）定義法：根據(jù)題意求出mc,然后由離心率公式直接求解;

（2）齊次式法：根據(jù)題意或結(jié)合圖形中的幾何關(guān)系，求得/力2,0?的關(guān)系式，利用尸=〃—02消去

b-，然后兩邊同時除以/轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式即可求解.

三、解答題（共7小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為

必考題.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）

（一）必考題：共60分.

17.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝,滿足2%+16%=3,2a3a6=說.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）設(shè)〃=￡log24,數(shù)列｛；｝的前〃項和為T”.求證：—2<qW—1.

z=l么

【答案】（1）

（2）證明見詳解.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知列方程組求出基本量，然后可得通項；

（2）先根據(jù)等差數(shù)列求和公式求，然后利用裂項相消法求備即可得證.

【小問1詳解】

記數(shù)列｛4｝的公比為4,

”2

2%+16〃I9=3解得q=q=：,

?%q5_

【小問2詳解】

由（）可得,—n，

1log2an=log2

1

所以么=Sog2=E(-0=———

i=li=l/

12_I22

所以廠=

b”n(n+l)I"n+1

:—卜,,+[:卜〔2-￡

所以（=—=-2+—

n+1

2

因為〃EN*,所以0<——<1,

n+1

2

所以—2<-------2<-l,即—2<7；K—1.

n+1

18.已知△ABC為鈍角三角形，它的三個內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為服b、c,且

sin2C=sin2B+sin(—+B)cos(—+B),a<c,b<c.

36

(1)求tan(A+i?)的值;

（2）若AABC的面積為12出，求。的最小值.

【答案】（1）73

⑵12

【解析】

【分析】(1)由三角恒等變換化簡可得sinC,再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式得解；

(2)由三角形面積公式、余弦定理及重要不等式即可求解.

【小問1詳解】

O.r兀兀ryXI7TI兀

因為sin?C=sin2B+sinl—+B)cos(—+5)=sin25+—sin—+2B+sin—

362^2)6

=sin2B+—\cos25+—|=sin2B+—(l-2sin2—,

2(2)2V744

因為sinC〉0,所以sinC=43,

2

由AABC為鈍角三角形且q<c,5<c知，。為鈍角，

所以cosC=—萬，即tanC=—\/3，

所以tan(A+3)=tan(兀一C)=_tanC=G.

【小問2詳解】

因為S^ABC=gabsinC=^-ab=12G,

所以ab=48,

由余弦定理，=a2+b~-labcosC=a2+b~+ab>3ab=144，

當且僅當a=〃=46時，等號成立，

此時02的最小值為144,所以c的最小值為12.

19.如圖所示多面體￡咒-45。0中，四邊形ABCD和四邊形ACEP均為正方形，棱AFLBD,G為EF

的中點.

(1)求證：CEJ■平面A8CZ)；

（2）求二面角A—CG—5的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直判定定理證明”，平面A2CD,再利用A尸〃CE即可證得結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算求解二面角A-CG-3的余弦值即可.

【小問1詳解】

證明：四邊形A2C。和四邊形ACEF均為正方形.

AF±AC,又且AC與瓦）是平面ABCD上的兩條相交直線.

平面ABCD

由ACEF為正方形，得A尸〃CE,

.?.CE，平面ABCD

【小問2詳解】

由題意知，直線A3、AD,AF兩兩互相垂直.分別以直線A3、AD.AF為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐

系A(chǔ)-孫z.

設(shè)AB=2,則AC=2啦,

于是，有A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,￡＞（0,2,0）,E（2,2,2吟,F（0,0,272）,

G（l,1,272）,

.?.BG=（-1,1,2V2）,BC=（0,2,0）,DB=（2,-2,0）.

設(shè)平面BCG的一個法向量為行=（玉,%,zj,

fi-BG=-X]+X+20Z]=0%=°,r

則〈ni—，令Z]=l,得X]=2j2,

n?BC-2M=0x[=272Z[

所以“=(2忘,0,11

AF±DB,DBLAC,AFAC=AAfACu平面ACEF,

.^.JDB，平面ACEF，即平面ACG

：.DB=(2,-2,0)是平面ACG的一個法向量.

設(shè)二面角A—CG—5的大小為a,結(jié)合圖形，知々為銳角,

?I|小。44也4A/22

cosa=cosn,DB\=~~~(——y=,———

\n\]DB\J(20+fx百+(—2)23x2e3

2

.1二面角A-CG-B的余弦值為］.

20.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線5：/=2勿(°〉0),其焦點為F,過點F的直線/交拋物線S

于A和B兩點，角夕=60°(如圖).

(1)求拋物線S的方程;

(2)在拋物線S上是否存在關(guān)于直線/對稱的相異兩點，若存在，求出該兩點所在直線的方程，若不存

在，請說明理由.

【答案】(1)Y=4〉；

(2)不存在，理由見解析.

【解析】

【分析】(1)求出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義及給定弦長求出。即得.

(2)假設(shè)存在符合要求的兩點，并設(shè)出兩點坐標，再利用對稱思想列式求解判斷即得.

【小問1詳解】

拋物線S:爐=2刀的焦點F(0,4)，直線/方程為y=1%+2，

■2732

設(shè)A（王，%）,5（%2，%），

由<32消去>得：3x?-26px-3P2=。,則西+%2=----P9

x2=2py3

yi+y2=^.（Xi+X2）-+p=lp,\AB\=\AF\+\BF\=yi+y2+p=^p,于是|p=?,解得

2=2,

所以拋物線S的方程為d=4y.

【小問2詳解】

由(1)知直線/：y=—x+1，

3

假設(shè)在拋物線S上存在關(guān)于直線/對稱的相異兩點，設(shè)這兩點坐標為M(X],予川仁,.)

22

%1x2

于是直線MN的斜率kMN=X2Z=%+%）=—6,解得為+%2=T,

x1-x24

線段MN的中點(—2退,為)在直線/上，則為=T，而(—24,為)應(yīng)在線段A3上，必有為>0與

為=T矛盾，

所以在拋物線S上不存在關(guān)于直線/對稱的相異兩點.

【點睛】思路點睛：有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點,

可直接使用公式|43|=為+%+。(或|AB|=%+%+0)，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.

kx

21.2知函數(shù)/(%)=ln(x+l)+----(左wR).

x+2

(1)若/(九)在其定義域上單調(diào)遞增，求上的取值范圍；

(2)證明：對D〃￡N+，-^―+—-—+——++—<In2.

〃+1n+2幾+32n

【答案】(1)[-2,+co)

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)考查已知帶參函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的問題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負與函數(shù)單調(diào)遞增的關(guān)系：函

數(shù)/(%)單調(diào)遞增=>/(％注0恒成立，令導(dǎo)數(shù)/'(x”0,過程中對參數(shù)上進行分離參數(shù)得左2—

2(x+l)

在(-1,+8)上恒成立，再將問題轉(zhuǎn)化成研究具體函數(shù)丸(力=—E±*(x〉—1)的最值問題即可.

2y

⑵由(1)知，當左=—2時，"％)在(一L+8)上單調(diào)遞增得ln(x+l)>「，再根據(jù)所需求證不等式

4I乙

。IO1-111

的特征令a=一匚不等式變成In—>a,再根據(jù)所需依次令a=——,——,——，-，一(九6乂)進

x+22-an+1n+2n+3In)

行研究即可得到.

小問1詳解】

由題"％)的定義域為(―1,小),

1人(x+2)—Ax(x+2)~+2左(x+1)

/'(x)=(x>

x+1(x+2)2(x+l)(x+2)2

f(x)(T+8)上單調(diào)遞增時，((x)20在(―1,T8)上恒成立,

(x+2『

得(1+2)2+2左(X+1)>0在(一L”)恒成立，即左2—在(-L+8)上恒成立,

2(x+l)

、n./\(x+2)-/、,,/、12(x+2)(x+l)_(x+2)x(x+2)

J2(x+l)\)-2(x+1)-2(x+l)2

由"(x)=0,得％=0,或％=-2(舍去),

當一1<%<0時，〃(x)>o,〃⑴在(—1,0)上單調(diào)道增；當x>0時，〃(x)<0,

力⑴在(o,+8)上單調(diào)遞增，

.?/(尤)在％=o處取得極大值也是最大值，即［〃(%)［■=〃(°)=一2,

kN—2,

\"X)在其定義域上單調(diào)遞增時，上的取值范圍為［-2,+8).

【小問2詳解】

由(1)知，當左=—2時，/(%)在(一1,”)上單調(diào)遞增.

???當左二一2,%>0時，/(x)=ln(x+l)----->/(0)=0,即In(%+1)>----.①

x+2x+2

令4=工，則X=工，代入①，整理得In”2>原②

x+22—a2—a

在②中‘依次令』

,^2〃+31]2〃+512n+7114n+l1

順次得ZF到(1In------->——，In-------->-------，I1n-------->------In------->一.

2n+l〃+12〃+3〃+22〃+5n+34n—12n

將以上各不等式兩邊分別相加并整理，得

1111?4n+l,(1「「一

----+-----+++一<In-------=ln2----------<ln2.證畢.

〃+1〃+2n+3-------In2M+112n+lJ

【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系:

(1)在函數(shù)定義域內(nèi)，不等式/(九)〉0的解即為函數(shù)>=/(%)的增區(qū)間；不等式/'(%)<0的解即為函數(shù)

>=/(%)的減區(qū)間.

(2)若函數(shù)丫=/(尤)在區(qū)間(。力)(區(qū)間端點也可閉)內(nèi)單調(diào)遞增，則f0)20對xe(a,Z?)恒成立；若

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)(區(qū)間端點也可閉)內(nèi)單調(diào)遞減，則/(x)<0對xe(a,〃)恒成立.

(二)選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計分.并請考生務(wù)必將答題卡中對所選試題的題號進行涂寫.

［選修4-4：極坐標與參數(shù)方程］