2024屆四川省成都市高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)(理)模擬試卷

(二模)

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的，請(qǐng)將答案涂在答題卡上。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(2T)-z=5i,則z?萬=

A.避B.3C.在D.5

2.已知集合4=｛用/_2久一3<0｝,B=｛0,a],若人。B中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為

A.(T,3)B.(-00,-1]U[3,+oo)c.(-3,1)D.(-<?-3]U[1,+oo)

3.記與為等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，已知％=-14,。2+。4=—20,則取最小值時(shí)，幾的取值為

A.6B.7C.7或8D.8或9

4.一組數(shù)據(jù)乙，尤2，“”10滿足々—々_1=2(2三,工10),若去掉打,"io后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)

與原數(shù)據(jù)相比，下列說法正確的是

A.極差變大B.平均數(shù)變大C.方差變小D,中位數(shù)變小

5.《九章算術(shù)》是一本綜合性的歷史著作，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，標(biāo)志著中

國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。在書中的《商功》一章里記錄了“方亭”的概念，如圖所示是一個(gè)

“方亭”的三視圖，則它的側(cè)面積為

A.8皿B.64C.16嚴(yán)D.16715

6.已知點(diǎn)”(4,4)在拋物線C:/=2Px(p>0)上，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，直線MF與C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則

\MN\=

25201525

A.至B.9C.HD.彳

7.如圖，高速服務(wù)區(qū)停車場(chǎng)某片區(qū)有4至口共8個(gè)停車位（每個(gè)車位只停一輛車），有2輛黑色車

和2輛白色車要在該停車場(chǎng)停車，則兩輛黑色車停在同一列的條件下，兩輛白色車也停在同一列的

概率為

ABCD

EFGH

1111

A.5B.4C.2D.io

8.已知函數(shù)八%）=5譏（?JX-y）（a）>0）在［0,初有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則3的取值范圍是

A.［碧］B.既C.寸D.我）

1

9.已知函數(shù)/(%)(%ER)滿足/(%)+/(4-%)=0,若函數(shù)/（X）與yx-2圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為

E&=

…，%n，貝(Ji=］

A.4nB.2nC.九D.0

10.過雙曲線勺==19>°力>°）的左焦點(diǎn)尸作圓/+/=￡12的切線，切點(diǎn)為a,直線凡4與c的

漸近線在第一象限交于點(diǎn)B,若麗=3而，則C的離心率為

A."B.依C.2D.3

11.已知正方體”8以1-4避1（:1￡>1的棱長(zhǎng)為2,p為D%的中點(diǎn)，過a,B,P三點(diǎn)作平面a,則該正

方體的外接球被平面a截得的截面圓的面積為

137r16TF14TT

A.rB.-5-c.3兀D.-5-

12.已知x>。，ex+lny=l,給出下列不等式

（1）x+Iny<0.（2）ex+y>2.（3）Inx+ey<0.

（4）x+y>l

其中一定成立的個(gè)數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題紙上）.

13.已知函數(shù)""）=（"T卜血"是偶函數(shù)，貝炫數(shù)a=.

14.已知非零向量2至滿足向=2間,且&司不=0,則之與石夾角的大小為__.

15.動(dòng)直線+y-2m-l=。被圓+y2+2%-25=°截得弦長(zhǎng)的最小值為.

16.公比為q的等比數(shù)列｛4｝滿足：a9=lnaw>0t記Tn=%a2a3…4，則當(dāng)q最小時(shí)，使七21成

立的最小幾值是

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面2BCD是矩形，AB=2,BC=2鄧,4C與BD交于點(diǎn)。，OP1底

面4BCD,OP=2p,點(diǎn)E,尸分別是棱P4,PB的中點(diǎn)，連接。E,OF,EF.

(1)求證：平面OEF〃平面PCD；

(2)求二面角A-EF-。的余弦值.

18.(本小題滿分12分)

△力BC的內(nèi)角4B,c的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a?=必+?2-48,且△4BC的面積為6避.

(1)求土加力的值；

(2)若0是4C邊的中點(diǎn)，cosC—正，求的長(zhǎng).

19.(本小題滿分12分)

隨著全國新能源汽車推廣力度的加大，新能源汽車消費(fèi)迎來了前所未有的新機(jī)遇。某公司生產(chǎn)了

4B兩種不同型號(hào)的新能源汽車，為了解大眾對(duì)生產(chǎn)的新能源汽車的接受程度，公司在某地區(qū)采

用隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行調(diào)查，對(duì)力、B兩種不同型號(hào)的新能源汽車進(jìn)行綜合評(píng)估，綜合得分按照

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組,繪制成評(píng)估綜合得分的頻率分布直方圖(如圖)：

4型號(hào)評(píng)估綜合得分頻率分布直方圖B型號(hào)評(píng)估綜合得分頻率分布直方圖

(1)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從4B兩種不同型號(hào)的新能源汽車中各隨機(jī)抽取一輛，以X表

示這兩輛中綜合得分不低于80分的輛數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)為進(jìn)一步了解該地區(qū)新能源汽車銷售情況，某機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到該地區(qū)

新能源汽車銷量y(單位：萬臺(tái))關(guān)于年份X的線性回歸方程為3=4.7%-9495.2,且銷量的方差

s」=50,年份的方差為sj=2.求y與％的相關(guān)系數(shù)乙并據(jù)此判斷該地區(qū)新能源汽車銷量y與年份

%的相關(guān)性強(qiáng)弱.

參考公式：

?5,（%-乃（匕-丹

b=E--------

n2a

（i）線性回歸方程：y=bx+a,其中，a=y-bx.

,如向（“）

丁=In—1n=

（ii）相關(guān)系數(shù)叫E（y「"（若re[0,0.25],則相關(guān)性較弱；若re[0.30,0.75],則相關(guān)性

較強(qiáng);若re[075,1],則相關(guān)性很強(qiáng)）.

20.（本小題滿分12分）

已知48分別是橢圓12房I，的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，橢圓中心°到直線的距離為虧,

且橢圓E過點(diǎn)（跖9.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若過點(diǎn)。（。力）的直線與橢圓E相交于“，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的平行線分別與直線4B,NB交

于點(diǎn)伉。試探究M,C,°三點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否成等差數(shù)列，并說明理由.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/CO=axex-l（a>0）,

（1）討論函數(shù)/O）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若，Q）l>尤+%伉萬恒成立，求函數(shù)/（%）的零點(diǎn)%的取值范圍.

（-）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中選一題作答.如果多選，則按所做的第一題記分.

22.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）

（x=1+cosd

已知曲線Cl的參數(shù)方程為Iy=Sind（。為參數(shù)），曲線02的直角坐標(biāo)方程為久+道y-l=0.以

原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線g和02的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線=（其中避]）與曲線C1,的交點(diǎn)分別為a,B（4B異于原點(diǎn)），求

1

|°川+兩的取值范圍.

23.【選修4-5：不等式選】（本小題滿分10分）

設(shè)函數(shù)f（x）=|2%-2|+|x+2|.

（1）解不等式f（久）W6—x；

（2）設(shè)函數(shù)/Q）的最小值為T,正數(shù)見b,c滿足a+6+c=T,證明：[+3十至.

【答案】

數(shù)學(xué)試題(理科)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的，請(qǐng)將答案涂在答題卡上。

1.D

由(2T).z=5i,得z_k一(2_E)(2+i)-1+2i,

所以萬所以2-萬=(_1+2。(_1_2。=5,故選：D.

2.B

由不等式/-2%-3<0,即(無一3)(x+l)<0,解得一l<x<3,

即a={加一1<x<3},

因?yàn)锽={0,a},要使得anB中有且僅有一個(gè)元素，則。工一1或。23,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一0°,—1]U[3,+8).故選：B.

3.C

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a3=。2+=-20,

所以&3=-1。，所以八丁=2,所以冊(cè)=2X6,c^。，

當(dāng)九48時(shí)，an-0,當(dāng)九>9時(shí)，an>°,

所以當(dāng)幾的取值為7或8時(shí)，S?取最小值.故選：C

4.A

由于%廠々_i=2(2WiW10),

故第2=久1+2,%3=+4%9=汽1+16%io=汽1+18

々10x1+90

對(duì)當(dāng)原來的平均數(shù)為w=r^=叼+9,

汽2+%3+,,,+%98%1+72

去掉“1,%10后的平均數(shù)為§=—-=乙+9,平均數(shù)不變，故B錯(cuò)誤；

X-X-92X-X-922

(11)+(21)+…+(x10-xx-9)_”

對(duì)4原來的方差為=出，

(%2一%―9)2+(%3-叼―9)2+...+(?！?]—9)2

去掉"1,"10后的方差為8=21,方差變小，故4正確；

對(duì)C：原來的極差為右。一"1=18,去掉叼，“10后，極差為叼-%2=14,極差變小，故C錯(cuò)誤；

x5+x62xr+18

對(duì)口：原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為==/+9,

故中位數(shù)不變，故O錯(cuò)誤.故選：4

5.A

顯然“方亭”就是正四棱臺(tái)，由四個(gè)相同的梯形側(cè)面和兩個(gè)正方形底面組成

如圖正視圖中，

40,BC即為側(cè)面的高，由勾股定理，可得側(cè)高A=J12+42=g,

所以每個(gè)側(cè)面的面積$=》??+5)=4a所以側(cè)面積為4s=16".

故選：4

6.A

將點(diǎn)M(4,4)代入拋物線方程y2=2p%可得16=2px4,解得p=2,

所以拋物線C的方程為y2=4x,.??F(l,0),準(zhǔn)線方程為％=—1,

44

所以直線MN的斜率k=所以直線MN的方程為：丫=式%-1),

令x=-1,解得y=T,

所以1MN|=J(4+l)2+(4+|)225

7.A

設(shè)事件力="兩輛黑色車停在同一列，，，事件B="兩輛白色車停在同一列，，，則所求概率為P(B|4),

2c/x4/

PQ4)=JPQ4B)=

因?yàn)閠J&4

P(B⑶=^-以x吊x星x吊6X2X2X2

所以？⑷2C\xAj2x4x6x5果故選：a

8.B

27r27r27r

因?yàn)?WXW7T,所以一?〈3萬一至三口兀一彳，

因?yàn)楹瘮?shù)"切=S譏("A縱”＞"在［0川有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，

々_27T811

結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知［9"一37r一石＜3",解得§&3＜至，故選：B.

9.B

因?yàn)閒(%)+/(4-x)=0,所以/(2+%)+/(2-x)=0,

_1

所以函數(shù)的圖象關(guān)于(2,0)對(duì)稱，又函數(shù)y=”關(guān)于(2,0)對(duì)稱,

_1

則y=f(X)與y=嬴的交點(diǎn)應(yīng)為偶數(shù)個(gè)，且關(guān)于(2,0)對(duì)稱，

7nx..=4x=2n

所以i=l2.故選:B.

10.B

如圖，取右焦點(diǎn)尸2,連接4°、BF2,作&”必8于點(diǎn)出

由凡4為圓/+y2=a2的切線，故。人！6/!,又力B,。為F&的中點(diǎn)，所以4是MF的中點(diǎn),

又麗=3瓦5,所以點(diǎn)M為力B的中點(diǎn)，M=J|OF|2一|042=/2—a2=b,

則|4B|=2瓦\(yùn)MB\=b,\F2M\=2a,

22

所以怛尸2|=/BM\+\MF2\=鄧2+&)2=亞+4。2,

\OB\=^\OA\2+\AB\2=亞+療,

由雙曲線的漸近線為V=￡所以則cos/BOG=

222

_a_\OB\+\OF2\-\BF2\_a2+4(,2+c2_b2_4a2

在△BOF2中，由余弦定理可得C°S"2―丁—2|OB||OF2|——2XCX1+4b2,

化簡(jiǎn)得M=2a2,

‘e=1+/=1+2=3,“二后所以雙曲線的離心率為避.故選：B.

11.D

正方體“BCD-4/也1。1的外接球球心是的中點(diǎn)0,而8%Ca=B,則點(diǎn)。到平面。的距離八等于

點(diǎn)名到平面a的距離的一半，又平面a過線段的中點(diǎn)P,因此點(diǎn)馬與點(diǎn)0到平面a的距離相等，由

481平面ABca,得al平面41,在平面內(nèi)過。作DE14P于E,而aC平

^ADD1A1=AP,于是。E，a,

,------71卜「1AD-DP1

又北=聲可=@從而％==E

又球。的半徑R=：8°1=W,

2_2_L2_Q_1_

則正方體的外接球被平面a截得的截面圓半徑r,有「二”P一九=§一5=豆，

_2_14^

所以正方體的外接球被平面a截得的截面圓的面積3=兀「=甘，故選：D

12.C

由x>0,ex+lny^l,可得："曠=1一/,

因?yàn)椋?gt;0,所以/>1,所以1—,<0,所以"y<0,解得：。<丫<1,

由e'+biy=l可得：lnex=Zn(l—Zny),所以尤="(1—biy),

對(duì)于命題①，x+lny=Zn(l-Zny)+Iny=ln[y(l-lny')],令尸(y)=Zn[y(l-Zny)],

=(i)+y(T=Fy

>0

-y(l-Zny)—y(l-/ny)

所以F(y)在(o，i)上單調(diào)遞增,因%F(y)<F(l)=0,

所以x+"y<0,故命題①正確；

對(duì)于命題②，由二+伍y=l可得：e%=1-lny,

所以g(y)=1一伍y+y,■9(-^=-y+1=^2<0,

所以g(y)在(o，i)上單調(diào)遞減，

所以g(y)>g(D=2,所以/+y>2,故命題②正確；

對(duì)于命題③，由/+)y=l,取刀=1,所以y=e】-ee(o,i),

所以"刀+/=/>0,所以③錯(cuò)誤.

對(duì)于命題④，因?yàn)閤=ln(lTny),所以rv+y="(l-)y)+y,0<y<lo

_1

令h(y)=Zn(l-Zny)+y,九(')=1-lny+1=y(gl)+1=y(Zny-l),

令/(y)=1+ylny-y,/(y)=lny<0,

所以/(y)=i+y仇y—y在GW)上單調(diào)遞減，

/(y)>/(i)=o,所以九'(y)<0,所以攸y)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以%。)>僅1)=1,所以x+y>i,故命題④正確.故選：G

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題紙上).

13.2

因?yàn)楹瘮?shù)/(")=(E-I卜"X的定義域?yàn)镽,

函數(shù)/(久)是偶函數(shù)，所以/(—1)=/(1),

則八一1)=(六一1卜譏(T)=一仔—小譏1,

禺:3:黑瞧成意tF

71

14.3

因?yàn)?a—b)1b,所以(a—b)?b=a?b—b2=|a||h|cos<a,b>—1/?|2=0,

所以2歷I間cos<a$>-歷F=°,所以cos<a,b>=-

因?yàn)?lt;菊>e[0,7T],?,-<a]>=i故W

15.8

直線+y—2m—1=0,即y-l=m(2—x),

所以直線?過定點(diǎn)4(2,1),又圓C：Q+l)2+y2=26,且(2+1)2+1<26,

所以點(diǎn)”在圓C內(nèi)部，MO=J(2+1)2+1=5,

當(dāng)C4垂直于直線2時(shí)，C到直線/的距離最大，此時(shí)弦長(zhǎng)最小，

所以直線?被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為2j(M)2-(MT=8.故g.

16.17

{4}是等比數(shù)列，???。9=伉內(nèi)0>0,■-a9>0t

又。9=Zna10=Zn(a9?q)=Ina^+InqInq=a9—Zna9

設(shè)函數(shù)/(x)=x-"X,/(無)=丁，當(dāng)久>1時(shí)，/W>0,

。<%<1時(shí)，f(x)<0,?,.在工=1時(shí)，/(%)取極小值1,

?—8—8Ti—1n—9

■■lnq>l,q>e,由題意即9=e,a<)=i,ai=e,an=e-e=e,

n(n-17)

8-76n92

Tn-a1cz2a3---an=e~-e-e~---e~=e>1n>17

???幾的最小值是17.故17.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.(1)因?yàn)榈酌?8CD是矩形，4C與交于點(diǎn)0,所以。為4C中點(diǎn)，

點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱P8的中點(diǎn)，

所以。E為△ACP的中位線，OFZiBDP的中位線，

^OE//CP,OF//DP,

因?yàn)?。EC平面DCP,PCc面DCP,所以。E〃平面DCP,

因?yàn)?。FC平面DCP,DPu面DCP,所以O(shè)F〃平面DCP,

而。EC\OF=O,OEu面OEF,OFu面。EF,

所以平面。EF〃平面PCD.

(2)解法一：分別取中點(diǎn)G、H,因?yàn)?BCD為矩形，OP_L平面4BCD,所以。G,OH,OP兩

兩互相垂直，

以。G,O”,OP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(",1,0)/(逆,一1,0)/(0,0,24),

暗,-!洞尸聯(lián)網(wǎng)

所以朝=(祟泗麗=(券4

設(shè)平面OEF的法向量為爪=(/，為*1),則：

，日久1—1為+道Zi=0

11

『i+/i+Wzi=0,取zi=—l,得乙=2,%=0,所以為=(2,0,—1),

PA=(73-1,-273),PB=(73,1-273),設(shè)平面P4B的法向量為￡=(叼以㈤，則：

病2-乃-2避Z2=0

4叼+%―2/^2=0,取Z2=1,得叼=2必=°,所以i=(2,0,1),

.-*-m-n

cos(m,n)==-2x2-1=x-13

所以lmllnl衽,衽5,

3

所以二面角/一￡/一°的余弦值為司

解法二：如圖，取A3中點(diǎn)G,連接PG交EF于點(diǎn)"，連接°H,OG,

因?yàn)镻4=PB,所以PG148,又點(diǎn)E是棱P4的中點(diǎn)，尸是棱P8的中點(diǎn),

所以E/7/48,所以PH1町

又△P04AP0B均為直角三角形，所以。石=才4。尸=#%所以="

所以O(shè)H1EF,

所以N°"G是二面角4一EF-。的平面角,

因?yàn)?P=24,OG=4，所以PG=J正，所以0口一丁,

償)2+(空戶33

cos乙OHG=

J15J155

在△OHG中，由余弦定理可得ZX-X-

3

所以二面角4一或7—。的余弦值為匚.

18.(1)由題意，5研改=如5譏4=6丑所以As譏A=12避,

△力BC中，由余弦定理，有：

b2+c2-a2_(M+c1-^sinA_48sinA

cosA=>0

2bc2bcsinA

因?yàn)閏osARO,所以山八人二二.

._邪_sinA

(2)在△ABC中，由(i)知S九4=2=頡，sin2A+COS2A=1,

則sirM=孚,cosA=孚

因?yàn)閏os。=4,所以s/C=鬻，

在asinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=卑x"x=烏

所以714714L,

b

cb

由正弦定理，赤一漏即嚕T,所以1一百

又be?章=12避，所以6c=12々，解得：b=2j,c=6,

22

Dn_6+(V7)-2x6x77x^=719

在中，由余弦定理得一

19.(1)由頻率分布直方圖可知，

4種型號(hào)的新能源汽車評(píng)估綜合得分不低于80分的概率為：0.010X20=0.2,

B種型號(hào)的新能源汽車評(píng)估綜合得分不低于80分的概率為：0-005X20=0.1,

所以X的所有可能值為0,1,2

所以p(x=0)=0.8X0,9=0.72,P(X=1)=0.2x0.9+0.8x0,1=0.26,

尸(X=2)=0.2x0,1=0.02,

所以X的分布列為:

X012

P0.720.260.02

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x0.72+1x0.26+2X0.02=0.3

I=1I=1

T—?=--------------------

X(x-5)2X(y-y)2￡白刃

（2）相關(guān)系數(shù)為:Ajl=1yjl=ll=1

所以T=4.7X聒=4.7X?=0.94>0.75,故y與％線性相關(guān)很強(qiáng).

x.y_

20.(1)依據(jù)題意，有4(a,0),B(0,b),直線的方程為￡+石一1匕即bx+ay—ab=0,

X2_1

所以橢圓E的方程為了+丫=1；

（2）解法1：M，C,C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，理由如下:

由題意知，直線MN的斜率存在且不為0,直線過點(diǎn)P（2,l）,

[y-l=fc(x—2)

所以設(shè)直線MN：y-l=kQ—2),聯(lián)立方程組(/+4y2=4可得:

(1+4k2片+8fc(l-2fc)x+16k276k=0,

A=[8fc(l-2/c)]2-4(l+4/c2)(16/c2-16fc)」64k>0,

設(shè)“01必加(%2必),

16k2-8k_16k2-16k

x+x=TTR1X2

則:12~1+4/,

因?yàn)椤：x+2y-2=0,所以式2-2丫1，乃），

當(dāng)?shù)?。時(shí)，％N：x=0,此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為（G@,點(diǎn)C坐標(biāo)為G3,

滿足+XD=2xc.

當(dāng)?shù)鹆?。時(shí)，因?yàn)?，BN：”,

Xd

令丫=力可得：~y2-i,

_空1_（yi-i）」

Xd

因?yàn)椋：了一虧％,令了=%可得：~y2-i,

下面證明“I+%D=2XC,即證："I+RL4-4%,

即證：久1。2-1)+仇-1)%2=(4—4乃)(乃—1),

整理可得即證：

222

(8k+2fc)(x1+x2)-(4fc+2/C)X1X2=16fc,(*)

由于

22

(8廿+2k)(%i+x2)-(4fc+Zk)*=(8y+2k)若常卜(4/+2k).某患=咪爐=16fc

所以上式（*）成立，原式得證.

解法2：MC。三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，理由如下：

設(shè)直線MN:x=mq+凡因?yàn)橹本€過點(diǎn)P（2,l）,所以m+n=2,

（x=my+n

聯(lián)立方程組+4y2=4可得：（/+4）y2+2mny+n2-4=0,

△=4m2n2—4（m2+4）（n2—4）=16（m2—n2+4）＞0,

—2mnn2—4

設(shè)“的月）網(wǎng)（犯，乃），則：為+為=不'為乃=許，

因?yàn)閁B：x+2y-2=0,所以。（2-2為/），

_七1_仇-1）-

Xd

因?yàn)镺N：y一石刀,令曠=力可得：~y2-i,

當(dāng)久2=。時(shí)，％v：x=0,此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為（苑），點(diǎn)C坐標(biāo)為（匹），

滿足久1+和=2xc；

y?一1

當(dāng)巧不。時(shí)，因?yàn)?叫，=丁+1（叼7°）,

_仇一1）%2

令丫=%可得：和=下］，

”,（yi-i）^2_A心，

下面證明：％1+和=2左，即證：%下［="%,

即證：（7n%+幾）（、2-1）+01-1卜2=（4-4%）。2-1）,

整理可得即證：（27n+4）丫1丫2+（n-m-4）（yi+丫2）_2九+4=0,

（2m+4）-n~4+（n-m-4）^mn-2n+4=0

即證：m'+4m2+4,

整理可得即證：4m2+8mn+4n2-8（m+n）=0,即證：（?n+n）2_2（?n+?i）=0,

因?yàn)閦n+n=2,所以上式成立，原式得證

解法3：“，&。三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，理由如下：

設(shè)”（久1必）川（町必）仇中1必。1）,因?yàn)镸D〃x軸，所以。（和，乃），。（知為），

設(shè)直線"MN：mx+n（y-l）=l,因?yàn)橹本€，MN過點(diǎn)P（2,l）,

所以27n=Vn=：,

(mx+n(q—1)=0

由方程組I/+4/=4可得：

當(dāng)yHl時(shí)，ky-Vy-i,

X-,X

H---2=-8m=—4

所以——y「i7y2Tr,

X2_XD

又因?yàn)锽,D,N三點(diǎn)共線，所以汨=出，

X1,XD_.

所以尹.,即久1+和二一4以一1),

因?yàn)辄c(diǎn)式孫力)在直線4B：l+y=1±,

所以為T=T,

XI+XD=-4X(~\即州+和=2%

所以M,C,D三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

解法4：M,C,D三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，理由如下：

設(shè)直線MN：x=my+n,因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(2,l),所以m+n=2,

(x=my+n

聯(lián)立方程組+4y2=4可得⑺2+4)y2+2mny+n2-4=0,

設(shè)M(叼,月),可(％2，%)心力1，為豐1),

—2mnn2—4

則：巧+巧=六"*2=右，

+%2__-8(m+九)—_4

所以廣汨―一(yi-i)(y2-i)——S+m_,

又B,9N三點(diǎn)共線，

XXX

-%-2----D--1-,J---D4A=-2乙?n----%-c

所以y2T為一1,即y「iy「i%yi-1,

所以叼+和=2代,所以M,C,D三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

21.(1)函數(shù)/(無)=5/一1的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/'(%)=a/。+1),而a>0,

由/。)<0得x<-l,由/(x)>0得久>-1,因此函數(shù)f(%)在(―8,-1)上遞減，在(一1,+8)遞增,