專題16全等三角形（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1全等三角形的概念及其性質(zhì)】 1【考點2一次證明全等三角形】 3【考點3多次證明全等三角形】 4【考點4網(wǎng)格中的全等三角形】 6【考點5尺規(guī)作圖與全等三角形】 7【考點6利用倍長中線模型證明全等三角形】 9【考點7利用垂線模型證明全等三角形】 11【考點8利用旋轉(zhuǎn)模型證明全等三角形】 12【考點9連接兩點作輔助線證明全等三角形】 14【考點10全等三角形的實際應(yīng)用】 15【要點1全等圖形的概念】能完全重合的圖形叫做全等圖形.【要點2全等圖形的性質(zhì)】兩個圖形全等，它們的形狀相同，大小相同.【要點3全等三角形的性質(zhì)】全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相等，對應(yīng)邊上的中線、角平分線、高線均相等）【考點1全等三角形的概念及其性質(zhì)】【例1】（2022·廣東揭陽·?？既＃┤鐖D是小明用七巧板拼成的一個機器人，其中全等三角形有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【變式1-1】（2022·廣西·校聯(lián)考一模）下列說法正確的是（

）A．兩個面積相等的圖形一定是全等形 B．兩個等邊三角形是全等形C．若兩個圖形的周長相等，則它們一定是全等形 D．兩個全等圖形的面積一定相等【變式1-2】（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，小強利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ【變式1-3】（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C=______．【要點4全等圖形的判定】判定方法解釋圖形邊邊邊(SSS)三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等邊角邊(SAS)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等角邊角(ASA)兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等角角邊(AAS)兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等斜邊、直角邊(HL)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等【考點2一次證明全等三角形】【例2】（2022·浙江杭州·校考模擬預(yù)測）如圖，正五邊形ABCDE中，AF⊥CD，則∠BAF的度數(shù)是（

）A．50° B．54° C．60° D．72°【變式2-1】（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．【變式2-2】（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為(1)求證：△ABC≌(2)若AB=4，CD=3，求四邊形【變式2-3】（2022·江蘇連云港·校聯(lián)考中考模擬）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，點M在BA的延長線上，且CE=BF=AM，過點M，E分別作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，連接NF．（1）求證：DE⊥DM；（2）猜想并寫出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．【考點3多次證明全等三角形】【例3】（2022·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，以AE為一邊在AE的下方作正方形AEFG，連接ED，試判斷線段AH與DE的位置關(guān)系及線段EH與DH的數(shù)量關(guān)系．（1）圖1中線段AH與DE的位置關(guān)系是，線段EH與DH的數(shù)量關(guān)系是．（2）勤奮小組受到老師的啟發(fā)，在老師提出問題的基礎(chǔ)上將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，點D仍在正方形AEFG內(nèi)部，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）①創(chuàng)新小組在勤奮小組研究的基礎(chǔ)上延長線段ED交FG于點M，如圖3所示，發(fā)現(xiàn)DH=FM，請證明；②若圖3中線段GM是線段FM的2倍，請直接寫出線段ED與AH的長度的比值．【變式3-1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【變式3-2】（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，此時點A落在點F處，線段EF交CD于點M．過點F作FG⊥BC，交BC的延長線于點G．(1)求證：BE=FG；(2)如果AB?DM=EC?AE，連接AM、DE，求證：AM垂直平分DE．【變式3-3】（2022·河北·一模）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ．以下五個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的結(jié)論有（）A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④【考點4網(wǎng)格中的全等三角形】【例4】（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β=______度．【變式4-1】（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中△ABC為格點三角形．請按要求作圖，不需證明．(1)在圖1中，作出與△ABC全等的所有格點三角形，要求所作格點三角形與△ABC有一條公共邊，且不與△ABC重疊；(2)在圖2中，作出以BC為對角線的所有格點菱形．【變式4-2】（2022·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，△ABC是正方形網(wǎng)格圖中的格點三角形（頂點在格點上），請用無刻度直尺按要求分別作圖：(1)在圖1中，過點C作與AB平行的線段CE（點E在格點上）；(2)在圖2中，以BC為邊作一個△BCE（點E在格點上），使它與△ABC全等；(3)在圖3中，在AB，BC邊上分別取點G，H，將△ABC沿著GH折疊，使點B與點A重合，畫出線段AH．【變式4-3】（2022·江蘇蘇州·校聯(lián)考中考模擬）如圖，在方格紙中，△PQR的三個頂點及A,B,C,D,E五個點都在小方格的頂點上，現(xiàn)以A,B,C,D,E中的三個頂點為頂點畫三角形，（1）在圖甲中畫出一個三角形與△PQR全等；（2）在圖乙中畫出一個三角形與△PQR面積相等但不全等.【考點5尺規(guī)作圖與全等三角形】【例5】（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個問題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點E作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖?跡）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴__________________①∵AD∥∴__________________②又__________________③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得__________________④∴S△BCE【變式5-1】（2022·河南焦作·統(tǒng)考二模）已知銳角∠AOB，如圖，（1）在射線OA上取點C，E，分別以點O為圓心，OC，OE長為半徑作弧，交射線OB于點D，F(xiàn)；（2）連接CF，DE交于點P．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．CE=DF B．PE=PFC．若∠AOB=60°，則∠CPD=120° D．點P在∠AOB的平分線上【變式5-2】（2022·福建三明·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點．(1)在CD邊上求作一點F，使得∠CFB＝2∠ABE；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若AB＝BC＝4，求BF的長．【變式5-3】（2022·福建·統(tǒng)考一模）求證：全等三角形對應(yīng)中線相等.要求：①根據(jù)給出的△ABC及線段A′B′，已知A′B②若點D、D′分別是兩個三角形的邊AC、A【考點6利用倍長中線模型證明全等三角形】【例6】（2022·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=4，∠BAC=135°，D為邊BC的中點，若AD=1.5，則AC的長度為______．【變式6-1】（2022·全國·一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于點D，點E是AB的中點，連接CE．(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的長；(2)求證：BC2﹣AC2＝2DE?AB；(3)求證：CE＝12AB【變式6-2】（2022·山東煙臺·統(tǒng)考一模）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，【變式6-3】（2022·山東日照·?？家荒＃┪覀兌x：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°得到AB′，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′．當α+β=180°時，我們稱△A′B特例感知：（1）在圖2，圖3中，△A′B′C′是①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=________BC；②如圖3，當∠BAC=90°,猜想論證：（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【考點7利用垂線模型證明全等三角形】【例7】（2022·天津和平·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=3，點E在AC上，AE=23AC，D是BC延長線上一點，將線段DE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FE，當AF∥BD時，線段【變式7-1】（2022·廣西玉林·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在x軸正半軸上，頂點B，C在第一象限，頂點D的坐標(52,2)．反比例函數(shù)y=kx（常數(shù)k>0，x>0【變式7-2】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，BC交l2于D點．（1）求AB的長．（2）求sin∠BAD的值．【變式7-3】（2022·浙江杭州·校聯(lián)考一模）老師在上課時，在黑板上寫了一道題：“如圖，ABCD是正方形，點E在BC上，DF⊥AE于F，請問圖中是否存在一組全等三角形？”小杰同學(xué)經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)：△ADF≌△EAB．理由如下：因為ABCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC又因為DF⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意義）所以∠DFA＝∠B（等量代換）又AD∥BC所以∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在△ADF和△EAB中∠DFA=∠B所以△ADF≌△EAB（AAS）小胖卻說這題是錯誤的，這兩個三角形根本不全等．你知道小杰的錯誤原因是什么嗎？我們再添加一條線段，就能找到與△ADF全等的三角形，請能說出此線段的做法嗎？并說明理由．【考點8利用旋轉(zhuǎn)模型證明全等三角形】【例8】（2022·山東日照·?？级＃┤鐖D，O是正△ABC內(nèi)一點，OA=3，OB=4，OC=5．將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．點O與O′的距離為4 B．∠AOB=150°C．S四邊形AOBO′=6+43 D．【變式8-1】（2022·福建南平·一模）如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的動點，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接BE．（1）點C到AB的最短距離是_____；（2）BE的最小值是_____．【變式8-2】（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB與CD交于點P，若∠APC=45°，則A點坐標為______.【變式8-3】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°得到AC，連接BC，在線段BC上取一點D，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)12α得到AE(1)如圖1，若tanB=①當BD>CD，且∠CAE=20°時，求∠DAC的度數(shù)；②試探究線段AD與CE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若tanB=34，當CE⊥BC【考點9連接兩點作輔助線證明全等三角形】【例9】（2022·河北·模擬預(yù)測）已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點.(1)如圖,E、F分別是AB、AC上的點,且BE=AF,求證:△DEF為等腰直角三角形.(2)若E、F分別為AB,CA延長線上的點,仍有BE=AF,其他條件不變,那么,△DEF是否仍為等腰直角三角形?畫出圖形,寫出結(jié)論不證明.【變式9-1】（2022秋·西安·模擬預(yù)測）已知點P是線段MN上一動點，分別以PM，PN為一邊，在MN的同側(cè)作△APM，△BPN，并連接BM，AN．（Ⅰ）如圖1，當PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°時，試猜想BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想；（Ⅱ）如圖2，當△APM，△BPN都是等邊三角形時，（Ⅰ）中BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，試說明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，連接AB得到圖3，當PN＝2PM時，求∠PAB度數(shù)．【變式9-2】（2022秋·湖南長沙·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，點A是y軸負半軸上的一個動點，點B是x軸負半軸上的一個動點，連接AB，過點B作AB的垂線，使得BC＝AB，且點C在x軸的上方．（1）求證：∠CBD＝∠BAO；（2）如圖2，點A、點B在滑動過程中，把AB沿y軸翻折使得AB'剛好落在AC的邊上，此時BC交y軸于點H，過點C作CN垂直y軸于點N，求證AH＝2CN；（3）如圖3，點A、點B在滑動過程中，使得點C在第二象限內(nèi)，過點C作CF垂直y軸于點F，求證：OB＝AO+CF．【變式9-3】（2022·浙江臺州·三模）把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點H（如圖）．試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想．【考點10全等三角形的實際應(yīng)用】【例10】（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB=27厘米，則這個正六邊形的周長為_________厘米．【變式10-1】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖是廬豐笑笑幼兒園小朋友蕩秋千的示意圖，靜止時秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸到地面距離BD=3m．當秋千擺到最高點A時，AC=2m，且A到地面的距離AE=1.8m；當A擺動到A′(1)求A′到BD的距離；(2)求A′到地面的距離．【變式10-2】（2022·甘肅隴南·模擬預(yù)測）如圖所示，是瑞安部分街道示意圖，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為“公交汽車”?？奎c，甲公共汽車從A站出發(fā)，按照A，H，G，D，E，C，F(xiàn)的順序到達F站，乙公共汽車從B站出發(fā)，按照B，F(xiàn)，H，E，D，C，G的順序到達G站，如果甲、乙兩車分別從A、B兩站同時出發(fā)，各站耽誤的時間相同，兩輛車速度也一樣，則（）A．甲車先到達指定站 B．乙車先到達指定站C．同時到達指定站 D．無法確定【變式10-3】（2022·河南·模擬預(yù)測）如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標系，公園的入口位于坐標原點O，古塔位于點A（400，300），從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B，從盆景園B向左轉(zhuǎn)90°后直行400m到達梅花閣C，則點C的坐標是_________．專題16全等三角形（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1全等三角形的概念及其性質(zhì)】 1【考點2一次證明全等三角形】 4【考點3多次證明全等三角形】 8【考點4網(wǎng)格中的全等三角形】 14【考點5尺規(guī)作圖與全等三角形】 19【考點6利用倍長中線模型證明全等三角形】 26【考點7利用垂線模型證明全等三角形】 34【考點8利用旋轉(zhuǎn)模型證明全等三角形】 40【考點9連接兩點作輔助線證明全等三角形】 48【考點10全等三角形的實際應(yīng)用】 55【要點1全等圖形的概念】能完全重合的圖形叫做全等圖形.【要點2全等圖形的性質(zhì)】兩個圖形全等，它們的形狀相同，大小相同.【要點3全等三角形的性質(zhì)】全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相等，對應(yīng)邊上的中線、角平分線、高線均相等）【考點1全等三角形的概念及其性質(zhì)】【例1】（2022·廣東揭陽·校考三模）如圖是小明用七巧板拼成的一個機器人，其中全等三角形有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】B【詳解】分析：.首先觀察圖形，嘗試找出圖中所有的三角形，根據(jù)全等三角形的定義得出答案.詳解：如圖：對圖中的三角形進行標注,①②是全等三角形;④⑤是全等三角形,故共有2對全等三角形.點睛：此題考查了全等三角形的定義及有關(guān)概念和性質(zhì).(1)全等三角形是能夠完全重合的兩個三角形或形狀相同、大小相等的兩個三角形.(形狀相同但不能完全重合的兩個三角形不是全等三角形)(2)全等三角形對應(yīng)元素及性質(zhì):全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.(3)將兩個全等三角形中的一個三角形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可得到另一個三角形.此題就是根據(jù)全等三角形的定義得出答案的.【變式1-1】（2022·廣西·校聯(lián)考一模）下列說法正確的是（

）A．兩個面積相等的圖形一定是全等形 B．兩個等邊三角形是全等形C．若兩個圖形的周長相等，則它們一定是全等形 D．兩個全等圖形的面積一定相等【答案】D【分析】依據(jù)全等圖形的定義和性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】全等的兩個圖形的面積、周長均相等，但是周長、面積相等的兩個圖形不一定全等，則A、C選項錯誤；邊長相等的所有等邊三角形是全等，所以B選項錯誤；故選：D．【點睛】考查的是全等圖形的性質(zhì)，掌握全等圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式1-2】（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，小強利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ【答案】B【分析】要想利用求得MN的長，只需求得線段PQ的長．【詳解】解：∵△PQO≌△NMO，∴PQ=MN．故選：B【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C=______．【答案】30°##30度【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠C=∠DBC，∠BED=90°，進而推出∠A=∠BED=90°，∠ABD=∠DBC=∠C，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可．【詳解】解：∵△BED≌△CED，∴∠BED=∠CED，∠C=∠DBC，又∵∠BED+∠CED=180°，∴∠BED=90°，∵△ABD≌△EBD，∴∠A=∠BED=90°，∠ABD=∠DBC=∠C，∴∠C+∠ABC=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，故答案為：30°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟知全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【要點4全等圖形的判定】判定方法解釋圖形邊邊邊(SSS)三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等邊角邊(SAS)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等角邊角(ASA)兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等角角邊(AAS)兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等斜邊、直角邊(HL)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等【考點2一次證明全等三角形】【例2】（2022·浙江杭州·?？寄M預(yù)測）如圖，正五邊形ABCDE中，AF⊥CD，則∠BAF的度數(shù)是（

）A．50° B．54° C．60° D．72°【答案】B【分析】連接AC，AD，正五邊形ABCDE中，得到AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，證得△ABC≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠【詳解】解：連接AC，AD，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB=AE=BC=DE,∠B=∠E，∠BAE=108°，在△ABC和△AED中AB=AE∴△ABC≌△AED，∴∠BAC=∠EAD,AC=AD∵AF⊥CD∴∠CAF=∠DAF∴∠BAF=∠EAF=1故選B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．【答案】見解析【分析】由垂直的定義可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行線的性質(zhì)可得，∠A＝∠DCE，進而由ASA可得結(jié)論．【詳解】證明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，∠DCE=∠ACE=AB∴△CED≌△ABC（ASA）．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定、垂直的定義和平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解題基礎(chǔ)．【變式2-2】（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為(1)求證：△ABC≌(2)若AB=4，CD=3，求四邊形【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）由角平分線的定義和垂直的定義求出∠CAB=∠CAD,∠B=∠D，結(jié)合已知條件，利用“AAS”即可求證；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AB=AD=4,BC=CD=3，根據(jù)三角形的面積公式求出S△ABC，S△ACD，再根據(jù)四邊形【詳解】（1）∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠CAD,∠B=∠D，∵AC=AC，∴△ABC?△ADC(AAS（2）∵△ABC?△ADC，AB=4,CD=3，∴AB=AD=4,BC=CD=3，∵∠B=∠D=90°，∴S∴四邊形ABCD的面積=S【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·江蘇連云港·校聯(lián)考中考模擬）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，點M在BA的延長線上，且CE=BF=AM，過點M，E分別作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，連接NF．（1）求證：DE⊥DM；（2）猜想并寫出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形CENF是平行四邊形，理由見解析.【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，在△DCE和△MDA中，，∴△DCE≌△MDA（SAS），∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，∴∠ADE+∠MDA=90°，∴DE⊥DM；（2）解：四邊形CENF是平行四邊形，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD．∵BF=AM，∴MF=AF+AM=AF+BF=AB，即MF=CD，又∵F在AB上，點M在BA的延長線上，∴MF∥CD，∴四邊形CFMD是平行四邊形，∴DM=CF，DM∥CF，∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM，∴四邊形DENM都是矩形，∴EN=DM，EN∥DM，∴CF=EN，CF∥EN，∴四邊形CENF為平行四邊形．【考點3多次證明全等三角形】【例3】（2022·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，以AE為一邊在AE的下方作正方形AEFG，連接ED，試判斷線段AH與DE的位置關(guān)系及線段EH與DH的數(shù)量關(guān)系．（1）圖1中線段AH與DE的位置關(guān)系是，線段EH與DH的數(shù)量關(guān)系是．（2）勤奮小組受到老師的啟發(fā)，在老師提出問題的基礎(chǔ)上將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，點D仍在正方形AEFG內(nèi)部，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）①創(chuàng)新小組在勤奮小組研究的基礎(chǔ)上延長線段ED交FG于點M，如圖3所示，發(fā)現(xiàn)DH=FM，請證明；②若圖3中線段GM是線段FM的2倍，請直接寫出線段ED與AH的長度的比值．【答案】（1）AH⊥DE；EH=DH；（2）成立，見解析；（3）①見解析；②3【分析】（1）判定Rt△AEH≌Rt△ADH即可得答案；（2）判定Rt△AEH≌Rt△ADH得到EH=DH，∠DAP=∠EAP，進而判定△ADP≌△AEP，即可證明結(jié)論成立；（3）①判定△AEH≌△EFM，得出EH=FM，因為DH=EH，則DH=FM；②設(shè)FM為x，則GM=2x，AE=EF=3x，AH=EM=MF2+EF2=10x；【詳解】（1）∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形且AE=AB，∴AE=AD，∵∠AEH=∠ADH=90°，AH=AH∴Rt△AEH≌Rt△ADH∴AH⊥DE，EH=DH（2）仍成立，設(shè)AH與DE交于點P∵AD=AE，AH=AH，∠AEH=∠ADH=90°，∴Rt△AEH≌Rt△ADH∴EH=DH，∠DAP=∠EAP∵AE=AB=AD，∴∠ADP＝∠AEP，AP=AP,∴△ADP≌△AEP∴∠APD=∠APE∵D、P、E三點共線，∴∠APD=∠APE=90°，∴AH⊥DE（3）①AH⊥DE，AE⊥EF，則∠EAH+∠DEA=∠DEA+∠DEF=90°，∴∠EAH=∠FEM∵AE=EF∴△AEH≌△EFM∴EH=FM∵DH=EH∴DH=FM②設(shè)FM為x，則GM=2x，AE=EF=3x，AH=EM=M∵△AEH≌△ADH，AH⊥DE，∴S即3x×x=102x×求得：DE=610∴DE【點睛】本題考查了平面幾何問題，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，找到并證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）證明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到結(jié)論；（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：在△ABO與△DCO中，∠A=∠DOA=OD∴△ABO≌△DCO（ASA）∴AB＝DC；（2）證明：∵△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∵OA＝OD，∴OB＋OD＝OC＋OA，∴BD＝AC，在△ABC與△DCB中，AC=BD∠A=∠D∴△ABC≌△DCB（SAS）．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握并靈活選擇全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，此時點A落在點F處，線段EF交CD于點M．過點F作FG⊥BC，交BC的延長線于點G．(1)求證：BE=FG；(2)如果AB?DM=EC?AE，連接AM、DE，求證：AM垂直平分DE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE與△EFG全等，據(jù)此即可證明BE=FG；（2）證明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL證明△AEM≌△ADM即可解決問題．(1)證明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE與△EGF中，∠ABE=∠EGF∠BAE=∠GEF∴△ABE≌△EGF（AAS）；∴BE=FG；(2)證明：連接AM、DE，∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°，∴△ABE∽△ECM，∴ABEC=AEEM，即AB?EM=∵AB?DM=EC?AE，∴DM=EM，∵EF⊥AE，∴∠AEM=90°，∴∠AEM=∠ADM=90°，∵DM=EM，AM=AM，∴△AEM≌△ADM(HL)，∴AE=AD，∴AM垂直平分DE．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．【變式3-3】（2022·河北·一模）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ．以下五個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的結(jié)論有（）A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④【答案】C【分析】本題是三角形全等的綜合題，利用三角形全等逐個解決就可以.【詳解】解:①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點A，C，E在同一條直線上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本選項正確；②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ為等邊三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本選項正確；③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，AP=BQ，故本選項正確；④已知△ABC、△DCE為正三角形，故∠DCE=∠BCA=60°,∠DCB=60°，又因為∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°,∠DPC＞60°，故DP不等于DE，故本選項錯誤；⑤∵△ABC、△DCE為正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本選項正確．綜上所述，正確的結(jié)論是①②③⑤．故選C.【點睛】本題綜合考查了等邊三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點的運用．要求學(xué)生具備運用這些定理進行推理的能力，此題的難度較大．【考點4網(wǎng)格中的全等三角形】【例4】（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β=______度．【答案】45【分析】連接AB，根據(jù)正方形網(wǎng)格的特征即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接AB

∵圖中是4×4的正方形網(wǎng)格∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，DB=AE∴△ADB≌△CEA(SAS)∴∠EAC=∠ABD=α，AB=AC∵∠ABD+∠BAD=90°∴∠EAC+∠BAD=90°，即∠CAB=90°∴∠ACB=∠ABC=45°∵BD∴∠BCE=∠DBC=β∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=α+β∴α+β=45°故答案為：45．【點睛】本題考查了正方形網(wǎng)格中求角的度數(shù)，利用了平行線的性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是能夠掌握正方形網(wǎng)格的特征．【變式4-1】（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中△ABC為格點三角形．請按要求作圖，不需證明．(1)在圖1中，作出與△ABC全等的所有格點三角形，要求所作格點三角形與△ABC有一條公共邊，且不與△ABC重疊；(2)在圖2中，作出以BC為對角線的所有格點菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】對于（1），以AC為公共邊的有2個，以AB為公共邊的有2個，以BC為公共邊的有1個，一共有5個，作出圖形即可；對于（2），△ABC是等腰直角三角形，以BC為對角線的菱形只有1個，作出圖形即可．【詳解】（1）如圖所示．（2）如圖所示．【點睛】本題主要考查了作格點三角形和菱形，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，△ABC是正方形網(wǎng)格圖中的格點三角形（頂點在格點上），請用無刻度直尺按要求分別作圖：(1)在圖1中，過點C作與AB平行的線段CE（點E在格點上）；(2)在圖2中，以BC為邊作一個△BCE（點E在格點上），使它與△ABC全等；(3)在圖3中，在AB，BC邊上分別取點G，H，將△ABC沿著GH折疊，使點B與點A重合，畫出線段AH．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）構(gòu)造全等三角形解決問題即可；（3）構(gòu)造正方形，利用正方形的性質(zhì)作線段AB的垂直平分線交AB于點G，交CB于點H，連接AH即可．(1)解：如圖1中，線段CE即為所求；(2)解：在圖2中，△BCE即為所求；(3)解：在圖3中，點G，H，線段AH即為所求．∵PM=OA=RN=QB=1，PB=OM=AR=QN=3，∠P=∠O=∠R=∠Q=90°，∴△PMB≌△OAM≌△RNA≌△QBN，∴MB=AM=AN=NB，∠PBM=∠OMA，∵∠PBM+∠PMB=90°，∴∠OMA+∠PMB=90°，∴∠AMB=90°，∴四邊形AMBN是正方形，∴MN是AB的垂直平分線，MN與AB交于點G，與BC交于點H，連接AH即可．【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式4-3】（2022·江蘇蘇州·校聯(lián)考中考模擬）如圖，在方格紙中，△PQR的三個頂點及A,B,C,D,E五個點都在小方格的頂點上，現(xiàn)以A,B,C,D,E中的三個頂點為頂點畫三角形，（1）在圖甲中畫出一個三角形與△PQR全等；（2）在圖乙中畫出一個三角形與△PQR面積相等但不全等.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過A作AE//PQ，過E作EB//PR，再順次連接A、E、B．（答案不唯一）（2）作一個與△PQR面積相等但不全等的三角形即可．（答案不唯一）【詳解】解：（1）如圖所示：（2）如圖所示：【考點5尺規(guī)作圖與全等三角形】【例5】（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個問題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點E作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖?跡）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴__________________①∵AD∥∴__________________②又__________________③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得__________________④∴S△BCE【答案】∠A=∠EFB、∠AEB=∠FBE、BE=EB、△EDC≌△CFE【分析】過點E作BC的垂線EF，垂足為F，分別利用AAS證得△BAE≌△EFB，△EDC≌△CFE，利用全等三角形的面積相等即可求解．【詳解】證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖?跡）．如圖所示，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴∠EFB=∠A①∵AD∥∴∠AEB=∠FBE②又BE=EB③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得△EDC≌△CFEAAS∴S△BCE故答案為：∠A=∠EFB、∠AEB=∠FBE、BE=EB、△EDC≌△CFE【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·河南焦作·統(tǒng)考二模）已知銳角∠AOB，如圖，（1）在射線OA上取點C，E，分別以點O為圓心，OC，OE長為半徑作弧，交射線OB于點D，F(xiàn)；（2）連接CF，DE交于點P．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．CE=DF B．PE=PFC．若∠AOB=60°，則∠CPD=120° D．點P在∠AOB的平分線上【答案】C【分析】根據(jù)題意可知OE=OF，OC=OD，即可推斷結(jié)論A；先證明△ODE≌△OCF，再證明△CPE≌△DPF即可證明結(jié)論B；連接OP，可證明△COP≌△DOP可證明結(jié)論D；由此可知答案．【詳解】解：由題意可知OE=OF，OC=OD，∴OE?OC=OF?OD，∴CE=DF，故選項A正確，不符合題意；在△ODE和△OCF中，OE=OF∴△ODE≌△OCF(SAS)，∴∠OED=∠OFC，在△CPE和△DPF中，∠OED=∠OFC∠CPE=∠DPF∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，故選項B正確，不符合題意；連接OP，∵△CPE≌△DPF，∴CP=DP，在△COP和△DOP中，CP=DPOC=OD∴△COP≌△DOP(SSS)，∴∠COP=∠DOP，∴點P在∠AOB的平分線上，故選項D正確，不符合題意；若∠AOB=60°，∠CPD=120°，則∠OCP=∠ODP=90°，而根據(jù)題意不能證明∠OCP=∠ODP=90°，故不能證明∠CPD=120°，故選項C錯誤，符合題意；故選：C．【點睛】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，明確以某一半徑畫弧時，準確找到相等的線段是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·福建三明·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點．(1)在CD邊上求作一點F，使得∠CFB＝2∠ABE；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若AB＝BC＝4，求BF的長．【答案】(1)作圖見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角的方法，作出∠ABE的等角∠EBF即可；（2）連接EF，過點E作EH⊥BF，垂足為H，由角平分線的性質(zhì)可得AE=HE，由Rt△DEF≌Rt△HEF，Rt△ABE≌Rt△HBE可得DF=HF，BH=AB=4，設(shè)DF=x，則HF=x，CF=4?x，BF=4+x，Rt△BCF中由勾股定理建立方程求得x，再計算線段和即可；（1）解：如圖，①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA、BE于點G、N；②以點N為圓心，NG長為半徑畫弧，在∠EBC內(nèi)交前弧于點M；③作射線BM交CD于點F；根據(jù)作圖可得∠ABE=∠EBF，由AB∥CD，則∠CFB=∠ABF=2∠ABE；（2）解：如圖，連接EF，過點E作EH⊥BF，垂足為H，∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，∴AB=BC=CD=AD=4,∠A=∠C=∠D=90°，由作圖可知：∠EBF=∠ABE，∴AE=HE，∵E為AD的中點．∴AE=DE=2，∴HE=DE=2，在Rt△DEF和Rt△HEF中，EF=EFDE=HE∴Rt△DEF≌Rt△HEF（HL），∴DF=HF，∵AE=HE，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△HBE（HL），∴BH=AB=4，設(shè)DF=x，則HF=x，CF=4?x，BF=4+x，在Rt△BCF中，∠C=90°，∴BC42解得：x=1，即DF=HF=1，∴BF=HF+BH=1+4=5．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，作一個角等于二倍角，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·福建·統(tǒng)考一模）求證：全等三角形對應(yīng)中線相等.要求：①根據(jù)給出的△ABC及線段A′B′，已知A′B②若點D、D′分別是兩個三角形的邊AC、A【答案】①如解圖所示即為所求作圖形；見解析；②見解析.【分析】①用尺規(guī)作圖作∠A’=∠A，∠B’=∠B，根據(jù)ASA可判斷△A②題設(shè)即為已知，結(jié)論即為求證.【詳解】解:①如解圖所示即為所求作圖形:作法：以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點E、F；以點A′為圓心，AE長為半徑畫弧，交A′B′于點E′，以點E′為圓心，EF長為半徑畫弧，交前弧于點F′，連接A′F′，則②如解圖.已知：△ABC?△A′B′C′，求證：BD=B證明：∵△ABC?△A∴A∵D,D′分別為∴AD=A′D∴BD=B【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、三角形全等的判定和性質(zhì)，突破此類問題的關(guān)鍵是五種基本尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)及判定.錯因分析：1.對尺規(guī)作圖的方法運用不靈活；2.對三角形的全等的判定和性質(zhì)理解不透徹，難度屬于中等題.【考點6利用倍長中線模型證明全等三角形】【例6】（2022·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=4，∠BAC=135°，D為邊BC的中點，若AD=1.5，則AC的長度為______．【答案】2【分析】延長AD到E，使得AD=DE，證明△ADB≌△EDC，得CE=AB=4，過點E作EH⊥AC于H，分別求出CH和AH的長即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長AD到E，使得AD=DE，如圖，∵D為邊BC的中點，∴BD=CD在△ADB和△EDC中，AD=DE∠ADB=∠EDC∴△ADB≌△EDC∴∠B=∠DCE,CE=AB=4∴AB//CE∴∠BAC+∠ACE=∴∠ACE=過點E作EH⊥AC于H在RtΔEHC中，CE=4,∠HCE=∴CH=EH=2在RtΔAHE中，AE=2AD=3，HE=2∴AH=∴AC=AH+HC=2故答案為：22【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·全國·一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于點D，點E是AB的中點，連接CE．(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的長；(2)求證：BC2﹣AC2＝2DE?AB；(3)求證：CE＝12AB【答案】(1)12(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式計算，求出CD；（2）根據(jù)題意得到BD﹣AD＝2DE，根據(jù)勾股定理計算即可證明；（3）延長CE至點F，使EF＝CE，連結(jié)AF，證明△AEF≌△BEC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠EAF，AF＝BC，再證明△ACF≌△CAB，得到CF＝AB，證明結(jié)論．（1）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝AC2+B∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝12AC?BC＝12AB?DE，即12×3×4＝1解得：CD＝125（2）證明：∵點E是AB的中點，∴AE＝BE，∴BD﹣AD＝（BE+DE）﹣（AE﹣DE）＝BE﹣AE+2DE＝2DE，∵CD⊥AB，∴BC2＝BD2+CD2，AC2＝AD2+CD2，∴BC2﹣AC2＝（BD2+CD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣AD2＝（BD+AD）（BD﹣AD）＝AB?2DE＝2DE?AB；（3）證明：延長CE至點F，使EF＝CE，連結(jié)AF，在△AEF和△BEC中，AE=BE∠AEF=∠BEC∴△AEF≌△BEC（SAS），∴∠B＝∠EAF，AF＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝∠EAF+∠CAB＝90°，∴∠CAF＝∠ACB＝90°，∵AC＝CA，∴△ACF≌△CAB（SAS），∴CF＝AB，∵CF＝2CE，∴CE＝12AB【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算、勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·山東煙臺·統(tǒng)考一模）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，證明見解析；（3）AF+CF＝AB，證明見解析．【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據(jù)此可得答案；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據(jù)此知AB＝CG，繼而得出答案．【詳解】解：（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵BD=CD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；證明：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如圖③，延長AE，DF交于點G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·山東日照·?？家荒＃┪覀兌x：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°得到AB′，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′．當α+β=180°時，我們稱△A′B特例感知：（1）在圖2，圖3中，△A′B′C′是①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=________BC；②如圖3，當∠BAC=90°,猜想論證：（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】（1）①12BC；②4；（2）【分析】（1）①根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)解答；②證明△AB′C′≌△ABC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到B′C′=BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算；（2）證明四邊形AB′EC′是平行四邊形，得到B′E=AC′，∠BAC′+∠AB′E=180°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BC，得到答案．【詳解】（1）①∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，∵△AB′C′是△ABC的“旋補三角形”，∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，∴AB′=AC′，∴∠AB′D=30°，∴AD=12∴AD=12故答案為12②∵△AB′C′是△ABC的“旋補三角形”，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，在△AB′C′和△ABC中，AB=AB∠BAC=∠BAC∴△AB′C′≌△ABC（SAS）∴B′C′=BC=8，∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC的“旋補中線”，∴AD=12故答案為4；（2）猜想AD=1證明：如圖，延長AD至點E使得AD=DE∵AD是△AB′C’的中線，∴B′D=C′D，∵DE=AD，∴四邊形AB′EC′是平行四邊形，∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，∵α+β=180°，∴∠B′AC′+∠BAC=180°，∴∠EB′A=∠BAC，在△EB′A和△CAB中，

BA=AB∴△EB′A≌△CAB（SAS），∴AE=BC，∴AD=12【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、理解“旋補三角形”的定義是解題的關(guān)鍵．【考點7利用垂線模型證明全等三角形】【例7】（2022·天津和平·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=3，點E在AC上，AE=23AC，D是BC延長線上一點，將線段DE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FE，當AF∥BD時，線段【答案】1+3【分析】過點E作EM⊥AF于M，交BD于N，根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)求出AM=1，再根據(jù)∠60°的三角函數(shù)值求出EN的長，再依據(jù)△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN=32，據(jù)此可得，當AF∥BD時，線段AF的長為1【詳解】如圖過點E作EM⊥AF于M，交BD于N．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．∵AE=23∴AE=2，EC=1．∵AF∥BD，∴∠EAM=∠ACB=60°．∵EM⊥AF，∴∠AME=90°，∴∠AEM=30°，∴AM=12∵AF∥BD，EM⊥AF，∴EN⊥BC，∴EN=EC?sin60°=3∵∠EMF=∠END=∠FED=90°，∴∠MEF+∠MFE=90°，∠MEF+∠DEN=90°，∴∠EFM=∠DEN．∵ED=EF，∴△EMF≌△DNE（AAS），∴MF=EN=3∴AF=AM+MF=1+3故答案為：1+3【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值和全等三角形的判定的綜合運用，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形和全等三角形，熟記特殊角的三角函數(shù)值.【變式7-1】（2022·廣西玉林·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在x軸正半軸上，頂點B，C在第一象限，頂點D的坐標(52,2)．反比例函數(shù)y=kx（常數(shù)k>0，x>0【答案】5或22.5【分析】先設(shè)一個未知數(shù)用來表示出B、C兩點的坐標，再利用反比例函數(shù)圖像恰好經(jīng)過B、C、D的其中兩個點進行分類討論，建立方程求出未知數(shù)的值，符合題意時進一步求出k的值即可．【詳解】解：如圖所示，分別過B、D兩點向x軸作垂線，垂足分別為F、E點，并過C點向BF作垂線，垂足為點G；∵正方形ABCD，∴∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA，∴∠DAE+∠BAF=90°，又∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠DAE=∠ABF，∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAF，同理可證△ADE≌△BAF≌△CBG；∴DE=AF=BG，AE=BF=CG；設(shè)AE=m，∵點D的坐標(52∴OE=52，DE=AF=BG∴B（92+m，m），C（92∵52當92m+2=5當92+mm=5時，由m≥0解得m=當92+mm=92m+2時，由故答案為：5或22.5．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解一元二次方程等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能根據(jù)題意建立相等關(guān)系列出方程等，本題涉及到了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法等．【變式7-2】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，BC交l2于D點．（1）求AB的長．（2）求sin∠BAD的值．【答案】（1）34．（2）334【分析】（1）作AH⊥直線l3于H，CN⊥直線l3于N，由AAS可證：△ABH≌△BCN，結(jié)合勾股定理，即可求解；（2）根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】（1）作AH⊥直線l3于H，CN⊥直線l3于N，則AH＝3，CN＝5，∵∠AHB＝∠ABC＝∠CNB＝90°，∴∠ABH+∠CBN＝90°，∠CBN+∠BCN＝90°，∴∠ABH＝∠BCN，∵AB＝AC，∴△ABH≌△BCN（AAS），∴BH＝CN＝5，∴AB＝AH2+BH2（2）∵l2∥l3，∴∠BAD＝∠ABH，∴sin∠BAD＝sin∠ABH＝AHAB＝334＝【點睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·浙江杭州·校聯(lián)考一模）老師在上課時，在黑板上寫了一道題：“如圖，ABCD是正方形，點E在BC上，DF⊥AE于F，請問圖中是否存在一組全等三角形？”小杰同學(xué)經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)：△ADF≌△EAB．理由如下：因為ABCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC又因為DF⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意義）所以∠DFA＝∠B（等量代換）又AD∥BC所以∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在△ADF和△EAB中∠DFA=∠B所以△ADF≌△EAB（AAS）小胖卻說這題是錯誤的，這兩個三角形根本不全等．你知道小杰的錯誤原因是什么嗎？我們再添加一條線段，就能找到與△ADF全等的三角形，請能說出此線段的做法嗎？并說明理由．【答案】小杰錯誤的原因是AD和AB不是對應(yīng)邊，在證明兩個三角形全等時，誤以為對應(yīng)邊了；線段為作BH⊥AE于點H，證明見詳解；【分析】根據(jù)小杰的證明方法，可以發(fā)現(xiàn)，在證明兩個三角形全等時，出現(xiàn)了問題，然后說出出錯的原因即可，然后添加合適的輔助線段，說明與△ADF全等的三角形成立的理由即可解答本題；【詳解】小杰錯誤的原因是AD和AB不是對應(yīng)邊，在證明兩個三角形全等時，誤以為對應(yīng)邊了，作BH⊥AE于H，則△ADF≌△BAH；∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BA，∠DAB=90°，∴∠HAB+∠FAD=90°，∵DF⊥AE，BH⊥AE，∴∠DFA=∠AHB=90°，∴∠HAB+∠HBA=90°，∴∠FAD=∠HBA，在△ADF和△BAH中{∠DFA=∠AHB∴△ADF≌△BAH(AAS)；【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.【考點8利用旋轉(zhuǎn)模型證明全等三角形】【例8】（2022·山東日照·校考二模）如圖，O是正△ABC內(nèi)一點，OA=3，OB=4，OC=5．將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．點O與O′的距離為4 B．∠AOB=150°C．S四邊形AOBO′=6+43 D．【答案】D【分析】證明△BO′A≌△BOC，得△OBO′是等邊三角形，根據(jù)勾股定理逆定理可得【詳解】解：如圖1，連接OO′，由題意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO′A≌又∵∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等邊三角形，∴OO′＝OB＝4．故A正確；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故B正確；S四邊形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═12×3×4+34×42＝6+4故C正確；如圖2將△AOC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°到△ABO'位置，同理可得S△AOC故D錯誤；故選D．【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·福建南平·一模）如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的動點，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接BE．（1）點C到AB的最短距離是_____；（2）BE的最小值是_____．【答案】

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3?1##【分析】（1）過點C作CK⊥AB于K，根據(jù)Rt△CBK中BC＝2，∠ABC＝60°，得到CK＝BC?sin60°＝3，點C到AB的最短距離是3．（2）將線段CK繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CH，連接HE，延長HE交AB的延長線于J．根據(jù)∠DCE＝∠KCH＝90°，得到∠DCK＝∠ECH，結(jié)合CD＝CE，CK＝CH，推出△CKD≌△CHE（SAS），得到∠CKD＝∠H＝90°，得到∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，推出四邊形CKJH是矩形，結(jié)合CK＝CH，得到四邊形CKJH是正方形，根據(jù)BK＝BC?cos60°＝1，KJ＝CK＝3，得到BJ＝3﹣1，根據(jù)BE≥BJ，得到BE的最小值為3﹣1．【詳解】解：（1）過點C作CK⊥AB于K，在Rt△CBK中，∵BC＝2，∠ABC＝60°，∴CK＝BC?sin60°＝3，∴點C到AB的最短距離是3．故答案為：3．（2）如圖，將線段CK繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CH，連接HE，延長HE交AB的延長線于J．∵∠DCE＝∠KCH＝90°，∴∠DCK＝∠ECH，∵CD＝CE，CK＝CH，∴△CKD≌△CHE（SAS），∴∠CKD＝∠H＝90°，∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，∴四邊形CKJH是矩形，∵CK＝CH，∴四邊形CKJH是正方形，∴點E在直線HJ上運動，當點E與J重合時，BE的值最小，∵BK＝BC?cos60°＝1，∴KJ＝CK＝3，∴BJ＝KJ﹣BK＝3﹣1，∴BE的最小值為3﹣1，故答案為：3﹣1．【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形是判斷和性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系和旋轉(zhuǎn)圖形全等的性質(zhì)，判斷一對鄰邊相等的矩形正方形，正方形的四邊相等四角都相等是直角的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)．【變式8-2】（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB與CD交于點P，若∠APC=45°，則A點坐標為______.【答案】（1，0）【分析】將DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DQ，則Q（2，【詳解】解：如圖，將DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DQ，∵C（4，則Q（設(shè)直線CQ的解析式為y=kx+b，將C（4，0=4k+b6=2k+b解得k=?3b=12∴直線CQ的解析式為y=?3x+12．∵∠APC=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠APC=∠DCQ=45°，∴AB∥CQ．∵B（∴直線AB的解析式為y=?3x+3，∴?3x+3=0，∴x=1，∴點A（故答案為：（1【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°得到AC，連接BC，在線段BC上取一點D，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)12α得到AE(1)如圖1，若tanB=①當BD>CD，且∠CAE=20°時，求∠DAC的度數(shù)；②試探究線段AD與CE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若tanB=34，當CE⊥BC【答案】(1)①∠DAC=40°；②AD=CE，理由見解析(2)5【分析】（1）①由tanB=33得∠B=∠ACB=30°，所以∠BAC=α=120°，∠DAE=12α=60°，進而可求解；②過A作AF⊥BC交BC于F，過E作EG⊥AC于G，可證△AGE≌△ADF，得AG=AF，由tanB=AFBF=33，設(shè)AF=3a，則BF=3a，AC=AB=23（2）過點A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥AC于N，由tanB=34=AMBM，設(shè)AM=3b，則BM=CM=4b，AC=AB=5b，由（1）可知△AEN≌△ADM，AN=AM=3b，CN=AC-由CE⊥BC，AM⊥BC，得CE∥AM，所以∠ECN=∠CAM，根據(jù)tan∠CAM=CMAM可得DM=EN=CN?tan∠ECN=2b?43==83b，根據(jù)勾股定理求得CE【詳解】（1）解：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AB=AC，∵tanB=∴∠B=∠ACB=30°，∴∠BAC=α=120°，∴∠DAE=12又∵∠CAE=20°，∴∠CAD=40°；②AD=CE，理由是：如圖，過A作AF⊥BC交BC于F，過E作EG⊥AC于G，∵tanB=∴∠B=∠BCA=30°，∵AF⊥BC，AB=AC，∴∠CAF=12由題意得，旋轉(zhuǎn)角∠DAE=60°，AD=AE，∠DAF=∠CAF-∠CAD=60°-∠CAD，∠EAG=∠DAE-∠CAD=60°-∠CAD，∴∠DAF=∠EAG，∵∠AFD=∠AGE=90°，∴△AGE≌△ADF（AAS），∴AG=AF，設(shè)AF=3a，則AF∴BF=3a，∴AC=AB=AF∴CG=AC-AG=23∴G為AC的中點，又∵EG⊥AC，∴CE=AE=AD．（2）解：過點A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥AC于N，∵tanB=34設(shè)AM=3b，則BM=CM=4b，∴AC=AB=AM由（1）同理可證△AEN≌△ADM，∴AN=AM=3b，∴CN=AC-AN=2b，∵CE⊥BC，AM⊥BC，∴CE∥AM，∴∠ECN=∠CAM，∵tan∠CAM=CMAM∴DM=EN=CN?tan∠ECN=2b?43=8∴CE=CN又∵CD=CM-DM=4b-83∴CECD【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形．【考點9連接兩點作輔助線證明全等三角形】【例9】（2022·河北·模擬預(yù)測）已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點.(1)如圖,E、F分別是AB、AC上的點,且BE=AF,求證:△DEF為等腰直角三角形.(2)若E、F分別為AB,CA延長線上的點,仍有BE=AF,其他條件不變,那么,△DEF是否仍為等腰直角三角形?畫出圖形,寫出結(jié)論不證明.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】(1)先連接AD，構(gòu)造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可證出：△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根據(jù)題意畫出圖形,連接AD,構(gòu)造△DAF≌△DBE.得出FD=ED,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【詳解】解：（1）連結(jié)AD,∵AB=AC,∠BAC=90°

,D為BC中點,∴AD⊥BC,BD=AD,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF為等腰直角三角形.（2）連結(jié)AD

∵AB=AC,∠BAC=90°,D為BC中點,∴AD=BD,AD⊥BC,∴∠DAC=∠ABD=45°,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=