專題38圓錐曲線常規(guī)解答題【考點預測】一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，通常將直線的方程代入圓錐曲線的方程，消去（也可以消去）得到關(guān)系一個變量的一元二次方程，，即，消去后得（1）當時，即得到一個一元一次方程，則與相交，且只有一個交點，此時，若為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線平行；若為拋物線，則直線與拋物線的對稱軸平行（2）當時，，直線與曲線有兩個不同的交點；，直線與曲線相切，即有唯一的公共點（切點）；，直線與曲線二、圓錐曲線的弦連接圓錐曲線上兩點的線段稱為圓錐曲線的弦直線，曲線為與的兩個不同的交點，坐標分別為，則是方程組的兩組解，方程組消元后化為關(guān)于的一元二次方程（），判別式，應有，所以是方程的根，由根與系數(shù)關(guān)系（韋達定理）求出，所以兩點間的距離為，即弦長公式，弦長公式也可以寫成關(guān)于的形式三、定值問題解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．四、求最值問題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．五、求定值、最值等圓錐曲線綜合問題的“三重視”（1）重視定義在解題中的作用（把定義作為解題的著眼點）．（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用．（3）重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用（涉及弦長、中點要用根與系數(shù)的關(guān)系）．【典例例題】例1．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校?？计谀┮阎p曲線的左、右焦點分別為，，點到一條漸近線的距離為1，點，且.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點（異于點），且直線的斜率之和為，求直線的方程.【解析】（1）由雙曲線的方程得漸近線方程為：，取其中一條，則由點到一條漸近線的距離為1及有：，又，所以，又，在中，，由余弦定理得：，即解得，所以，所以雙曲線的方程為：.（2）設(shè)，聯(lián)立消去整理得：，則或，則，又所以，整理得：，解得（舍去）或，所以直線的方程為：.例2．（2023·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級中學?？计谀┮阎獧E圓的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為，離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過橢圓C右焦點且傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點，求的值．【解析】（1）由題得，解得，∴橢圓C的標準方程為．（2）由（1）知橢圓C的右焦點坐標為，則直線l的方程為，設(shè)，聯(lián)立，化簡得，，．．例3．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，點在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的標準方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，求的面積.【解析】（1）由拋物線的定義可得，因為，所以，解得，故拋物線的標準方程為.（2）設(shè)，由（1）知.由，得，,則，，所以,所以,因為點到直線的距離,所以的面積為.例4．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為.(1)求；(2)斜率為的直線過點，且與拋物線交于兩點，求線段的長.【解析】（1）為拋物線的焦點，，解得：.（2）由（1）知：拋物線；直線，由得：，設(shè)，，則，，.例5．（2023·全國·高三專題練習）已知中心為坐標原點，焦點在坐標軸上的橢圓經(jīng)過點，．(1)求的方程；(2)已知點，直線與交于兩點，且直線的斜率之和為，證明：點在一條定拋物線上．【解析】（1）依題意設(shè)的方程為，因為經(jīng)過點，，所以，解得，故的方程為．（2）證明：設(shè)直線的斜率分別為，，，．將代入，得．由題設(shè)可知，，，所以，所以，所以．因為，所以，所以，故點在拋物線上，即點在一條定拋物線上．例6．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點，為坐標原點，、是拋物線上異于的兩點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點．【解析】（1）根據(jù)題意，，則，故拋物線方程為：.（2）顯然直線的斜率不為零，且不過原點，故設(shè)其方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，時，設(shè)兩點的坐標分別為，則，，由題可知，，即，解得，此時滿足，故直線恒過軸上的定點.例7．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知點A，B在拋物線：上，拋物線C在A，B處的切線分別為，，且，交于點P.(1)若點，求的長；(2)從下面①②中選取一個作為條件，證明另外一個成立.①直線AB過拋物線C的焦點；②點P在拋物線C的準線上.【解析】（1）拋物線：的焦點，準線，設(shè)，，∵，即，所以，∴拋物線C在A處的切線斜率，切線方程是，即.同理可得：拋物線在B處的切線方程是.聯(lián)立方程，解得，即，又∵，則，即，可得，∴.（2）①→②：∵，，∴，，因為，則，可得：，由于，即，所以，即，由（1）可得：，故點P在拋物線C的準線上.②→①：，，因為點P在拋物線C的準線上，則，即，所以，則，又因為F是公共點，所以A，B，F(xiàn)三點共線，所以直線AB過拋物線C的焦點.例8．（2023·陜西西安·高三西北工業(yè)大學附屬中學?？计谀┮阎獟佄锞€，點，為拋物線上的動點，直線為拋物線的準線，點到直線的距離為，的最小值為5．(1)求拋物線的方程；(2)直線與拋物線相交于，兩點，與軸相交于點，當直線，的斜率存在，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出；若不存在，說明理由．【解析】（1）設(shè)拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義得，，由于，解得，則拋物線的方程為（2）設(shè)，將代入拋物線的方程，整理得所以，同理，則,所以，例9．（2023春·廣東揭陽·高三校考開學考試）已知拋物線C：與直線相切．(1)求C的方程；(2)過C的焦點F的直線l與C交于A，B兩點，AB的中垂線與C的準線交于點P，若，求l的方程．【解析】（1）聯(lián)立方程，消去x得，∵拋物線C與直線相切，則，解得或（舍去）故拋物線的方程C：.（2）設(shè)l的方程為，則線段AB的中點，過作拋物線的準線的垂線，垂足為N，則，即，∵，則，即，∴，聯(lián)立方程，消去x得，，則，AB的中垂線的方程為，∴，則，即，解得，故l的方程為或.例10．（2023·全國·高三專題練習）已知動點M到兩定點的距離之和為4()，且動點M的軌跡曲線C過點.(1)求m的值；(2)若直線與曲線C有兩個不同的交點A，B，求k的取值范圍.【解析】（1）由，得，又動點M到兩定點的距離之和為4，所以曲線C是以兩定點為焦點，長半軸長為2的橢圓，設(shè)曲線C的方程為，則得，解得，由，解得，所以；（2）由題可知曲線C的方程為，由，可得，則有，解得或，所以k的取值范圍為.例11．（2023·陜西西安·高三西北工業(yè)大學附屬中學?？计谀┮阎獟佄锞€：的焦點為，點在拋物線上，且.(1)求拋物線的標準方程；(2)直線與拋物線交于，兩點，若線段的中點為，求直線的方程．【解析】（1）因為點在拋物線上，所以又因為，解得，故拋物線的標準方程為；（2）設(shè)，則，所以，化為又因為的中點為，所以，則，故直線的斜率為，所以直線的方程為整理得．【技能提升訓練】1．（2023·全國·高三專題練習）橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且長軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，求弦長.【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的方程為，因為橢圓經(jīng)過點且長軸長為，所以，所以橢圓方程為，（2）因為直線過點且斜率為1，所以直線的方程為，設(shè)，將代入，得，整理得，所以，所以2．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：的焦點與橢圓：的一個焦點重合．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l：交拋物線C于，兩點，O為原點，求證：．【解析】（1）∵橢圓：的焦點坐標為，∴，即．∴拋物線C的方程為：．（2）聯(lián)立方程組消去x，整理得．∴．∴，即,∴,∴．3．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.(1)雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點，求.【解析】（1）拋物線的焦點為，所以，即，，又點，，是等腰直角三角形的三個頂點，所以，即，又，所以，所以雙曲線方程為.（2）依題意設(shè)，，由消去整理得，由，所以，，所以.4．（2023·全國·高三專題練習）已知點在拋物線上.(1)求拋物線C的方程；(2)過點的直線l交拋物線C于A，B兩點，設(shè)直線，的斜率分別為，，O為坐標原點，求證：為定值.【解析】（1）∵點在拋物線C上，∴，解得，∴拋物線C的方程為.（2）證明：設(shè)直線，，，聯(lián)立，消去y可得，，由韋達定理有，，∴，即得證.5．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的左右頂點分別為，，右焦點為，點在橢圓上.(1)求橢圓C的標準方程；(2)為橢圓上不與重合的任意一點，直線分別與直線相交于點，求證：.【解析】（1）由題知：，將點代入方程得：，解得，橢圓C的標準方程為.（2）由(1)知，.設(shè)，則，直線的方程為，令，則，即，直線的方程為，令，則，即，即.6．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左焦點，右頂點．(1)求的方程(2)設(shè)為上一點（異于左、右頂點），為線段的中點，為坐標原點，直線與直線交于點，求證：．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．因為橢圓的左焦點，右頂點，所以，．所以，故C的方程為：；（2）設(shè)點，且，因為為線段的中點，所以，所以直線的方程為：，令，得，所以點，此時，，，所以，所以，所以．7．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程及其離心率；(2)若為橢圓上第一象限的點，直線交軸于點，直線交軸于點，且有，求點的坐標.【解析】（1）依題知：，所以.所以橢圓方程為，離心率.（2）如圖：設(shè)，第一象限有，①；由得：，又，，因此②，聯(lián)立①②解得，故.8．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，當時，為坐標原點）是等邊三角形.(1)求拋物線的方程.(2)延長交拋物線于點，試問直線是否恒過點？若是，求出點的坐標；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意可得，則，解得.故拋物線的方程為.（2）由（1）可知，設(shè).因為三點共線，所以，即，即，整理得.因為，所以.由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因為關(guān)于軸對稱，所以，則，解得.故直線的方程為，即直線恒過點.9．（2023·全國·高三專題練習）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標．【解析】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設(shè)，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡整理得因此直線經(jīng)過一個定點．10．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，A為雙曲線在第一象限的點，的內(nèi)切圓與x軸交于點．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)圓上任意一點Q處的切線l，若l與雙曲線C左、右兩支分別交于點M、N，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．【解析】（1）如圖，設(shè)，與的內(nèi)切圓分別交于G，H兩點，則，所以，則，則雙曲線C的方程為．（2）由題意得，切線l的斜率存在．設(shè)切線l的方程為，，．因為l與圓相切，所以，即．聯(lián)立消去y并整理得，所以，．又．又，將代入上式得．綜上所述，為定值，且．11．（2023·全國·高三專題練習）已知點與點的距離比它到直線的距離小，若記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若直線與曲線相交于兩點，且．求證直線過定點，并求出該定點的坐標．【解析】（1）點與點的距離比它到直線的距離小，點與點的距離和點到直線的距離相等，由拋物線定義知：點軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，即曲線的方程為：.（2）設(shè)，，，由得：，則，即；，，，；，，即；當時，，恒過定點.12．（2023·全國·高三專題練習）已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．(1)求拋物線C的方程；(2)A，B是拋物線C上的兩個動點，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點．【解析】（1）P點坐標代入拋物線方程得4＝2p，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x．（2）證明：設(shè)AB：x＝my+t，將AB的方程與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4t＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0?16m2+16t＞0?m2+t＞0，，同理：，由題意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直線AB恒過定點(﹣1，0)．13．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，M為直線y＝x－2上一動點，過點M作拋物線C：x2＝y(tǒng)的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B，N為AB的中點．(1)證明：MN⊥x軸．(2)直線AB是否恒過定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．【解析】（1）設(shè)，由，所以切線MA的斜率為，因此切線MA的方程為：，M為直線y＝x－2上一動點，設(shè)，因此有，同理可得：，因此是方程的兩個根，所以，因為N為AB的中點，所以，因此MN⊥x軸；（2）因為，所以，所以直線AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)，即y－2＝2t，所以直線AB過定點．14．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，若的面積為（為坐標原點），求直線的方程．【解析】（1）由題意可得，解得：故橢圓C的標準方程為.（2）由題意可知直線的斜率不為0，則設(shè)直線的方程為聯(lián)立，整理得,則，故,因為的面積為,所以，設(shè)，則整理得，解得或（舍去），即.故直線的方程為，即.15．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的其中一個焦點為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求直線的方程.【解析】（1）由焦點可知，又一條漸近線方程為所以，由可得,解得，，故雙曲線的標準方程為（2）設(shè)，AB中點的坐標為則①，②，②①得：，即，又，所以，所以直線的方程為，即16．（2023秋·天津北辰·高三校考期末）已知橢圓的短半軸長為1，離心率為.（1）求的方程；（2）設(shè)的上?下頂點分別為?，動點(橫坐標不為0)在直線上，直線交于點，記直線，的斜率分別為，，求的值.【解析】（1）依題意可知，，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意可知，，設(shè)，則，直線：，令，得，即，，，所以.17．（2023秋·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線的焦點，點在上，且．(1)求的方程；(2)若是坐標原點，直線與交于，兩點，求的面積．【解析】（1）由題可知，，．因為，，所以，解得，故的方程為；（2）根據(jù)對稱性，不妨令，即，直線的方程為，設(shè)，．聯(lián)立方程組，整理得，則，，則．點到直線的距離，故的面積為．18．（2023秋·河南·高三期末）已知點P在橢圓C：上.(1)P與橢圓的頂點不重合，過P作圓的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，直線EF與x軸、y軸分別交于點M，N.求證：為定值；(2)若，過P的兩條直線交C于A，B兩點，兩直線PA，PB的斜率之和為0，求直線AB的斜率.【解析】（1）設(shè)，，，設(shè)切線上任意一點，因為,所以,且，所以整理得，所以切線PE的方程為，同理PF的方程為：，因為P在切線PE，PF上，所以，，所以直線EF的方程為：.于是得，，所以.因為P在橢圓上，所以，故.（2）據(jù)題意可知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：，，.，化簡整理得，于是：，，.，.據(jù)題意：.即，即，即，即，于是有：或.當，直線AB：，恒過，不合要求，舍去.所以直線AB的斜率為.19．（2023秋·北京·高三北理工附中校考階段練習）已知橢圓C的兩個焦點分別為，，短軸長為2.(1)求橢圓C的標準方程及離心率；(2)M，D分別為橢圓C的左?右頂點，過M點作兩條互相垂直的直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，直線AB是否過定點？并求出面積的最大值.【解析】（1）由題意得：，故可知橢圓方程為：，離心率為：（2）M，D分別為橢圓C的左?右頂點又由（1）可知：設(shè)直線AB的方程為：，，聯(lián)立方程可得：有韋達定理可知：，又又展開后整理得：，解得：或（舍去）直線恒過定點令則由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：所以，當且僅當，即時取等號此時的最大值為：20．（2023秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點在拋物線上，圓(1)若，為圓上的動點，求線段長度的最小值；(2)若點的縱坐標為4，過的直線與圓相切，分別交拋物線于（異于點），求證：直線過定點．【解析】（1）設(shè)，則，當，Q為線段與圓的交點時，（2）題意可知，過P點直線與圓相切，則，即，①設(shè)直線為：，則與拋物線C的交點方程可化為：，令，則：，②題意有，①②方程同解，故有，即：，所以直線為：，即，由，解得，直線恒過．21．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考模擬預測）已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標為.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，求面積的最小值.【解析】（1）由題意，得，拋物線的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，消去得，，，易知，直線恒過定點，故△的面積，故△面積的最小值為.22．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學?？茧A段練習）已知橢圓C的焦點在x軸上，且短軸長為4，離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)若過橢圓C的右焦點且斜率為2的直線交橢圓C于A、B兩點，求弦AB的長．【解析】（1）由題意設(shè)橢圓方程為，由短軸長為4，得，得，因為，，所以解得，，所以橢圓方程為；（2）橢圓的右焦點，故直線的方程為由解得：或，故、所以23．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的頂點是坐標原點，而焦點是雙曲線的右頂點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于、兩點，求直線與的斜率之積．【解析】（1）雙曲線化為標準形式：，所以，，右頂點.設(shè)拋物線的方程為，焦點坐標為，由于拋物線的焦點是雙曲線的右頂點，所以，，所以拋物線的方程.（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程有，整理得，.設(shè)，，則，.又，，所以..所以，直線與的斜率之積為-1.24．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學校考階段練習）已知雙曲線的漸近線為，焦點到漸近線的距離是．(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點A、B，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值．【解析】（1）由題知，，設(shè)右焦點，取一條漸近線，則焦點到漸近線的距離，，從而，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，由，得，則，，所以，則中點坐標為，代入圓，得，所以．25．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過的直線與雙曲線的一支交于、兩點，求的取值范圍.【解析】（1）由離心率又,所以，又右頂點為，所以，所以，故雙曲線的標準方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，則由得，因為直線與雙