2025屆甘肅省靜寧縣一中數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，，則的值為（）A．15 B．16 C．17 D．182．在三棱錐中，已知所有棱長(zhǎng)均為，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．3．某校有高一學(xué)生450人，高二學(xué)生480人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校高一高二學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高一學(xué)生中抽取15人，則n為（）A．15 B．16 C．30 D．314．已知函數(shù)的部分圖象如圖，則的值為()A． B． C． D．5．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是()A． B． C． D．6．已知函數(shù)，且此函數(shù)的圖象如圖所示，由點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．7．若a=(3,2)，bA．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4）8．已知，，則（）A． B． C． D．9．式子的值為（）A． B．0 C．1 D．10．已知函數(shù)，則（）A．2 B．-2 C．1 D．-1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列滿足，則等于______.12．如圖，矩形中，，，是的中點(diǎn)，將沿折起，使折起后平面平面，則異面直線和所成的角的余弦值為_(kāi)_________．13．下列五個(gè)正方體圖形中，是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(hào)(寫出所有符合要求的圖形序號(hào))______14．的值為_(kāi)__________．15．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究，則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取_____人．16．設(shè)點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則=____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知,函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)若對(duì),不等式恒成立,求a的取值范圍.18．已知為常數(shù)且均不為零，數(shù)列的通項(xiàng)公式為并且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）設(shè)是數(shù)列前項(xiàng)的和，求使得不等式成立的最小正整數(shù).19．定理：若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且方程有個(gè)根，則這個(gè)根之和為.利用上述定理，求解下列問(wèn)題：（1）已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求的值及方程的所有根之和；（2）若關(guān)于的方程在實(shí)數(shù)集上有唯一的解，求的值.20．如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái)，已知射線，為兩邊夾角為的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)，，從觀景臺(tái)到，建造兩條觀光線路，，測(cè)得千米，千米．（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）若，求兩條觀光線路與之和的最大值．21．扇形AOB中心角為，所在圓半徑為，它按如圖(Ⅰ)(Ⅱ)兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．(1)矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上，頂點(diǎn)E在圓弧AB上，頂點(diǎn)F在半徑OA上，設(shè)；(2)點(diǎn)M是圓弧AB的中點(diǎn)，矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對(duì)稱，頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)；試研究(1)(2)兩種方式下矩形面積的最大值，并說(shuō)明兩種方式下哪一種矩形面積最大？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列，由解得，由此利用能求出的值.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列是等差數(shù)列解得解得故選：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的判定和基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計(jì)算出的三條邊長(zhǎng)，并利用余弦定理計(jì)算出，即可得出答案．【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，由于、分別為、的中點(diǎn)，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，三棱錐是邊長(zhǎng)為的正四面體，則、均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對(duì)異面直線所成的角進(jìn)行說(shuō)明；（3）三計(jì)算：選擇合適的三角形，并計(jì)算出三角形的邊長(zhǎng)，利用余弦定理計(jì)算所求的角．3、D【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】根據(jù)分層抽樣原理，列方程如下，n450+480解得n＝1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的部分圖象求出、、和的值，寫出的解析式，再計(jì)算的值．【詳解】根據(jù)函數(shù)，，的部分圖象知，，，，解得；由五點(diǎn)法畫圖知，，解得；，．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式以及利用兩角和的正弦公式求三角函數(shù)的值．5、A【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的值域即可.【詳解】偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故函數(shù)的值域?yàn)?本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值域的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6、B【解析】

先由函數(shù)圖象與軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)確定該函數(shù)的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，并結(jié)合函數(shù)在該點(diǎn)附近的單調(diào)性求出的值，即可得出答案?！驹斀狻拷猓河蓤D象可得函數(shù)的周期∴，得，將代入可得，∴（注意此點(diǎn)位于函數(shù)減區(qū)間上）∴由可得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)的解析式，其步驟如下：①求、：，；②求：利用一些關(guān)鍵點(diǎn)求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入關(guān)鍵點(diǎn)求出初相，如果代對(duì)稱中心點(diǎn)要注意附近的單調(diào)性。7、D【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】解：向量a=（3，2），b則向量2b-故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力．8、A【解析】

由，代入運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的正切公式，屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)兩角和的余弦公式，得到原式，即可求解，得到答案.【詳解】由兩角和的余弦公式，可得，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的余弦公式的化簡(jiǎn)求值，其中解答中熟記兩角和的余弦公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，直接代入即可得到結(jié)論．【詳解】由分段函數(shù)的表達(dá)式可知，則，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式求解是解決本題的關(guān)鍵，屬于容易題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、15【解析】

先由，可求出，然后由，代入已知遞推公式即可求解?！驹斀狻抗蚀鸢笧?5.【點(diǎn)睛】本題考查是遞推公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題。12、【解析】

取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，則異面直線和所成角為.在中，利用邊長(zhǎng)關(guān)系得到余弦值.【詳解】由題意，取中點(diǎn)，連接，則，可得直線和所成角的平面角為，（如圖）過(guò)作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，結(jié)合平面圖形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線的夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.13、①④⑤【解析】為了得到本題答案，必須對(duì)5個(gè)圖形逐一進(jìn)行判別．對(duì)于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動(dòng)，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進(jìn)行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l(wèi)的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方體ABCD－A1B1C1D1如附圖，與題設(shè)圖形對(duì)比討論．在附圖中，三個(gè)截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是對(duì)角線l(即AC1)的垂面．對(duì)比圖①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．對(duì)比圖②，由MN與面CB1D1相交，而過(guò)交點(diǎn)且與l垂直的直線都應(yīng)在面CBlDl內(nèi)，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．對(duì)比圖③，由MP與面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．對(duì)比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．對(duì)比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．綜合得本題的答案為①④⑤．解法2如果記正方體對(duì)角線l所在的對(duì)角截面為．各圖可討論如下：在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故l⊥面MNP．事實(shí)上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側(cè)面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面MNP．在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．在圖③中，點(diǎn)M在上的射影是l的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上的射影是上底面的內(nèi)點(diǎn)，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面MNP．在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又l在左側(cè)面的射影(即側(cè)面正方形的一條對(duì)角線)與MP垂直，從而l⊥MP，故l⊥面MNP．在圖⑤中，點(diǎn)N在平面上的射影是對(duì)角線l的中點(diǎn)，點(diǎn)M、P在平面上的射影分別是上、下底面對(duì)角線的4分點(diǎn)，三個(gè)射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直．從而l⊥面MNP．至此，得①④⑤為本題答案．14、【解析】

=15、1．【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，列方程求出m的值．【詳解】P（m，）是角終邊上的一點(diǎn)，∴r＝；又，∴＝，解得m＝，，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了任意角三角函數(shù)的定義與應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)或;(2)或.【解析】

（1）代入，把項(xiàng)都移到左邊，合并同類項(xiàng)再因式分解，即可得到本題答案；（2）等價(jià)于，考慮的圖象不在圖象的上方，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可得到本題答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),由得，即,解得,或，所以,所求不等式的解集為或；(2)等價(jià)于,所以當(dāng)時(shí)，的圖象在圖象的下方，所以或所以,,或.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式以及利用數(shù)形結(jié)合的方法解決不等式的恒成立問(wèn)題.18、(1);(2)【解析】

（1）由，可得，，，．根據(jù)、、成等差數(shù)列，、、成等比數(shù)列．可得，，代入解出即可得出．（2）由（1）可得：，可得，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】（1），，，，．，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．，，，，，．聯(lián)立解得：，．（2）由（1）可得：，，由，解得．．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)、分類討論方法、不等式的解法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1），；（2）.【解析】

（1）根據(jù)定義域和對(duì)稱性即可得出的值，求出的解的個(gè)數(shù)，利用定理得出所有根的和；（2）令，則為偶函數(shù)，于是的唯一零點(diǎn)為，于是，即可解出的值．【詳解】解：（1）在上的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，令得，，即，．在上有7個(gè)零點(diǎn)，方程的所以根之和為．（2）令，則，是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即關(guān)于直線對(duì)稱，只有1解，的唯一解為，即，，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象對(duì)稱性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）3；（2）1.【解析】

（1），．用余弦定理，即可求出；（2）設(shè)，，用正弦定理求出，，展開(kāi)，結(jié)合輔助角公式可化為，由的取值范圍，即可求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，所以線段的長(zhǎng)度為3千米．（2）設(shè)，因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得，．所以，，因此，因?yàn)椋裕援?dāng)，即時(shí)，取到最大值1．答：兩條觀光線路距離之和的最大值為1千米．【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，尤其是輔助角公式要熟練應(yīng)用，屬于中檔題.21、方式一最大值【解析】

試題分析