2024年初中學(xué)業(yè)水平模擬考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試題分第I卷和第n卷兩部分，共6頁(yè).滿分120分,考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等信息填寫在答題卡規(guī)定位置上.考試結(jié)束，本試卷和答

題卡一并收回.

3.第I卷每小題選出答案后，必須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改

動(dòng)，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其他答案。不涂在答題卡上，答在試卷上無效.

4.第n卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案須寫在答題卡各題目指定的區(qū)域內(nèi)，在試卷

上答題不得分：如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案.

第I卷（選擇題30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.在-2,3,60中，是無理數(shù)的是（）

1L

A.-2B.-C.J3D.0

3

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的的定義即可判定選擇項(xiàng)即可.

【詳解】解：A.-2是整數(shù)，不是無理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.g是分?jǐn)?shù)，不是無理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.6是無理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

D.0是整數(shù)，不是無理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C

2.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)是第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉

行.下面2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，熟練掌握掌握中心對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義即可得出答案.

【詳解】A.不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B.是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

C.不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

D.不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

故選B.

3.鋰離子電池是一種二次電池（充電電池），它主要依靠鋰離子在正極和負(fù)極之間移動(dòng)來工作，一個(gè)鋰離子

在某種環(huán)境下大小為0.076nm,即0.000000000076m，數(shù)字0.000000000076用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.076xlO-8B.7.6x10'"C.76xlO-10D.0.76xlO-12

【答案】B

【解析】

【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中

1￡忖＜1°，〃為整數(shù)即用求解，解題的關(guān)鍵要止確確定。的值以及〃的值.

【詳解】解：0.000000000076=7,6x10",

故選：B.

4.下列計(jì)算正確的是（）

A.a3+a2=a5B.a3-a2=a6

C.2"+2"T=2D.（a+b）2=a2+h2

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)幕乘法、同底數(shù)嘉除法、完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用

相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵.

運(yùn)用合并同類項(xiàng)、同底數(shù)基乘法、同底數(shù)基除法、完全平方公式逐項(xiàng)判斷即可解答.

【詳解】解：A./與/不是同類項(xiàng)，不能合并，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.。3.〃2=。5,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.2"+2〃T=2〃-（"T）=2,故C選項(xiàng)正確,符合題意；

D.（a+b）2=a2+2ab+b\故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選C.

5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)注》中記載：“邪解立方，得兩塹堵.”意即把一長(zhǎng)方體沿對(duì)角面一分為

二，這相同的兩塊叫做“塹堵”.如圖是?'塹堵”的立體圖形，它的俯視圖為（）

嚏面

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，注意主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面

看，所得到的圖形.

找到從幾何體的上看所得到的圖形即可.

【詳解】解；這個(gè)“里堵”的俯視圖是A圖，

故選：A.

6.如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)。在/7）的延長(zhǎng)線上，且4=60。,

C.25°D.30°

【發(fā)】A

【解析】

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)

得出NBCD=/ABC=30°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出NCBD=NEDF-4BCD=45°-30°=15°.

【詳解】解：???//=60。，

=90°-60°=30°,

VAB//CF,

:.NBCD=NABC=30。,

???NBDF是△3CO的外角，

???2CBD=ZEDF-ZBCD=45°-30°=15°.

故選：A.

7.下列命題中真命題是（）

A,各邊相等的多邊形是正多邊形

B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.在可圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓周角相等

D.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正多邊形的定義，菱形的判定，同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓周角的關(guān)系，三角形的內(nèi)心，

真命題對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，A不是真命題，故不符合要求；

對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，B不是真命題，故不符合要求；

在同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，C不是真命題，故不符合要求；

三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，D是真命題，故符合要求；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的定義，菱形的判定，同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓周角的關(guān)系，三角形的

內(nèi)心，真命題等知識(shí).熟練掌握正多邊形的定義，菱形的判定，同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓周角的關(guān)系,

三角形的內(nèi)心，真命題是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在邊長(zhǎng)是4的菱形4BCO中，/B=120。，點(diǎn)P從B出發(fā),沿折線CQ-D4運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)路程為x,△AP8的面積為n則能反映》與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

D

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意可■以分別得到各段y與％的函數(shù)解析式，從而可以解答本

題，解題的關(guān)鍵是明確題意，寫出各段的函數(shù)解析式，明確函數(shù)的圖象，利月數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【詳解】解：在點(diǎn)尸從點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過程中，如圖，過點(diǎn)尸作尸MJ.48交力3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，則

/尸朋8=90。，BP=x、

I)

4H"

?.?乙48p=120。，

：2PBM=180°-NABP=60°，

/BPM=90°-NPBM=30°,

:.BM=-BP=-x,

22

:.PM=-x,

2

.?.SAJJ8P=1J5PA/=1X4X^X=V3X(O<X<4)?

在點(diǎn)尸從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過程中，如圖，過點(diǎn)8作于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作PG_L/8于點(diǎn)G,

則尸6=。尸,/。尸4=90。,

p

4FGB

???在菱形48CO中，//8c=120。，

??.ZDAF=60°,

NADF=30°,

?.AF=-AD=2,

2

DF=2?

：.PG=DF=2V3,

?'?S"8P=g/8QG=gx4x2VJ=4?(4<xV8),

在點(diǎn)尸從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過程中，如圖，過點(diǎn)P作PEJ.4B于點(diǎn)E,則/PE4=90。，%。=12-x,

)—7c

/

AE~a

N4=60°,

ZJPE=30°,

AE=-AP=6--x,

22

：.PE=6y[3-—X,

2

)

.\S&ABP=-ABPE=-X4X673-—x=1273-73x(8<x<12,

\/

綜上所述，能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是C選項(xiàng)，

故選：C.

9.如圖，48是OO的直徑，半徑0c_L/13,0為。O上一動(dòng)點(diǎn)，M為4P的中點(diǎn)，連接CM.若。。

的半徑為2,則CAf的最大值為()

p

A.2石+1B.V5+1DT+1

【答案】B

【解析】

【分析】連接OM,根據(jù)垂徑定理得到OM_L4P,可得點(diǎn)M在以/。為直徑的OE上，結(jié)合的。。半

徑為2,易得。E的半徑為1,當(dāng)點(diǎn)C、E、/三點(diǎn)共線時(shí)，CA/最長(zhǎng)，利用勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：連接,如下圖，

???45是。。的直徑，M為加5的中點(diǎn)，

???OM±AP,

???點(diǎn)M在以4。為直徑的0E上，

???。。的半徑為2,

???O￡的半徑為1,

當(dāng)點(diǎn)C、E、〃三點(diǎn)共線時(shí)，CW最長(zhǎng),

連接CE并延長(zhǎng)，交OE于點(diǎn)N,

故當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，CM最長(zhǎng)，

VOC1AB,

：?EC=>IOE2+OC2=V5，

：.CM=CN=CE+EN=45+\-

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理、圓的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握套徑定理和圓的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

10.已知二次函數(shù)丁=。/+—+。（。工。）與工軸的一個(gè)交點(diǎn)為（4,0）,其對(duì)稱軸為直線x=l,其部分圖

象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：?abc<0,②從一4〃c<0;③8。+。=0：④若關(guān)于x的方程

62+瓜+。=一1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根再，x2,且滿足玉</，則玉<-2,x2>4：⑤直線y=Ax—4左（左。0）

經(jīng)過點(diǎn)（0,c），則關(guān)于x的不等式a?+（/）一外x+。+4%>0的解集是0<%<4.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式等知識(shí).數(shù)

形結(jié)合足解題的美鍵.

由題意知，圖象開口向下，即a<0,對(duì)稱軸為直線工二-2=1,則b=—2a>0,y=ax2-2ax+c,當(dāng)

2a

x=0時(shí)，y=c>0,可得abc〈0,可判斷①的正誤；圖象與1軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則of+區(qū)+c=0有兩個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根，即△=〃—4改>0,可判斷②的正誤；將（4,0）代入y=2G：得，

8a+e=0,可判斷③的正誤；由題意知，（4,0）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,則關(guān)于x的方程

2

如2+法+。=一1的兩個(gè)實(shí)數(shù)根芭，/，^Jy=ax+bx+cfy=圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖1,由圖象

可知，石<一2,x2>4；可判斷④的正誤；由^=去一4左=無卜一4）,可知》=收-4人過點(diǎn)（4,0）,如

圖2,由圖象可知，關(guān)于工的不等式”2+3一％沖+。+4%>0,即0?+歷+°>丘一44的解集為

0<x<4,可判斷⑤的正誤.

【詳解】解：由題意知，圖象開口向下，即4<0,

對(duì)稱軸為直線工二一二=1,則6=-2。>0,

y=ax2-lax+c,

當(dāng)x=0時(shí)，y=c>0,

Aabc<0,①正確，故符合要求：

圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則QV+bx+c=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即△=62一4々°>0,②錯(cuò)誤，故不

符合要求；

將(4,0)代入y=or?-2以+。得，16。一8a+c=8a+c=0,③正確，故符合要求：

由題意知，(4,0)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),

???關(guān)于x的方程內(nèi)2+云+°=_1的兩個(gè)實(shí)數(shù)根不x”為》=0?+8+。，?=-1圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

由圖象可知，為<-2,x2>4：④正確，故符合要求:

*：y=kx-4k=k(^x-4)t

???y=b-4左過點(diǎn)(4,0),如圖2,

r=jfcr-li

???關(guān)于X的不等式以2+(6一左口+。+4攵〉0,即紈2+隊(duì)+0公；一4%的解集為0<%<4,⑤正確，故

符合要求；

???正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為4個(gè)，

故選：B.

第II卷(非選擇題90分)

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分.不需寫出解答過程，請(qǐng)將答案直接寫

在答題卡相應(yīng)位置上)

II.已知。與△互為補(bǔ)角，。=33。27',則6的度數(shù)是.

【答案】146。33'

【解析】

【分析】本題考查了補(bǔ)角.熟練掌握互為補(bǔ)角的兩角之和為180。是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)夕=180。一二，計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意知,/?=180°-?=146°33\

故答案為：146。33'.

12.因式分解：x2y-9y=

【答案】y(x+3)(x-3)

【解析】

【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式

法，完全平方公式法，十字相乘法等.先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可：

【詳解】x2y-9y

=y(r-9)

=y(x+3)(x-3).

故答案為：y(x+3)(x-3).

13.根據(jù)(屋)"二心"，可以推出±/=4，由此得出±/=±近，即要使代數(shù)式

\/

('-3)2-(5-x)°有意義，則X的取值范圍是.

【答案】XW3且XW5

【解析】

【分析】本題主要考查了幕、零次幕的條件，掌握幕的底數(shù)不等于零、零次哥的底數(shù)不等于零成為解題的

關(guān)鍵.

由基的底數(shù)不等于零、零次基的底數(shù)不等于零列不等式計(jì)算即可.

【詳解】解：???(x-3)2—(5-x)°有意義，

???工一3/0且5-xwO,即xw3且xw5.

故答案為：x/3且x/5.

14.如圖，用若干個(gè)正方形拼成一個(gè)大矩形，然后在每個(gè)正方形中以邊長(zhǎng)為半徑繪制,圓弧，這些圓弧連起

4

來得到一段螺旋形的曲線，我們稱之為“斐波那契螺旋線”.若圖中最大的矩形的周長(zhǎng)為42,則這段“斐

波那契螺旋線”的長(zhǎng)度為.

【答案】10乃

【解析】

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)等知識(shí)，正確表示各正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.如圖，設(shè)

AB=2r，則力/=2r,CD=3r,DE=5r,FG=8r,矩形的長(zhǎng)為13廠，寬為8/，依題意得

2(13/*+8廠)=42,可求〃=1,根據(jù)凝+而+俞+瑟+曲=幺°+生匚+也口+陽2+幺通,

求解作答即可.

【詳解】解：如圖,

設(shè)45=2〃，則//=2〃，CD=3r,DE=5r,FG=8r,矩形的長(zhǎng)為13,寬為8尸，

.\2（13r+8r）=42,

解得，r=l,

???挪布+俞+55+?=即。+次漢幺Y=io4,

24444

故答案為：10萬.

15.如圖，矩形4BC。的邊43平行于x軸，反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)民。，對(duì)角線C力的

延長(zhǎng)線經(jīng)過原點(diǎn)0,且4C=2/。，若矩形48co的面積是16,則％=.

【Y】12

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，其中相似三角形的判定

與性質(zhì)是關(guān)鍵.延長(zhǎng)C。交x軸于點(diǎn)凡設(shè)。(凡：

,利用相似三角形的判定與性質(zhì)可求得矩形的長(zhǎng)與

寬，再由矩形的面積即可求和2的值.

【詳解】解：延長(zhǎng)CO交X軸于點(diǎn)R如圖所示,

???矩形48co的邊平行于“軸，AB//CD,ADLCD,

???CQJ_y軸，AD//OF,

k

則OF=4,OF=-t

?：AD//OF,

???ACDAsACFO,

.CDADAC

t'~CF~~OF~~OC1

?：AC=2A0,

AC2

■?=19

OC3

277k

：.CD=-CF=2DF=2aAD=-OF=—

33f3af

2k

VADCD=\6,即2〃x—=16,

3a

?，?攵=12,

故答案為：12.

16.如圖，正方形紙片點(diǎn)P為40邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)4點(diǎn)。重合)，將正方形紙片沿EF折疊,

使點(diǎn)8落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,連結(jié)3尸，下列結(jié)論：?BP=EFx

②NAPB=NBPH；③當(dāng)4￡:48=1:3時(shí)，PH=45PE;④△尸的周長(zhǎng)是個(gè)定值.其中所有正確

【答案】①②④

【解析】

【分析】如圖1,過尸作于〃，證明“3P也△WE(ASA),則8尸=針，可判斷①的正

誤；由NAPB+NABP=90。=NEPB+4BPH,/EPB=NABP，可得乙4PB=NBPH,可判斷②

的正誤，設(shè)4E=。，則/￡)=48=3。，PE=BE=2a,由勾股定理得，AP=>/PE2-AE2=>/3a?

lPEAEPEa

則0Q=3a—W，證明△力EPs/V)p“，則==、，即,=———可得

PHPDPH3a->]3a

PH弋-也)PE,可判斷③的正誤：如圖2,作8N1PG于N,證明"PB知NPB(AAS),則

PN=PA,BN=AB=BC,證明RtABN"絲RtA8C”(HL),則CH=NH,由的周長(zhǎng)為

PN+PD+DH+NH=PA+PD+DH+CH=2AD,可判斷④的正誤.

【詳解】解：如圖1,過戶作于"，

圖1

???正方形45C。，

:.AB=BC=AD=CD,Z.A=ZABC=ZC=ZZ)=90°,

???四邊形8CFM是矩形，

：?MF=BC=AB,

由折段的性質(zhì)可知，BP工EF,NEPG=ZABC=90。,NEPB=NABP，BE=PE,

???NBEF+乙4BP=90°=4BEF+4MFE,即/ABP=4MFE，

Y4ABP=4MFE,AB=MF,NA=NFME=9/,

:?"BP知MFE(ASA),

:?BP=EF,①正確，故符合要求；

???ZAPB+ZABP=90°=4EPB+4BPH,4EPB=ZABP，

：?APB=4BPH,②正確，故符合要求；

AE:AB=1:3?

設(shè)AE=a>則AD—AB—3a?PE—BE-2a?

由勾股定理得，AP=\IPE2-AE2=V3a?

?，?PD=3a-y/5a，

???ZAPE+NAEP=90°=NAPE+ZDPH,

：?4AEP=NDPH,

又??,〃=",

???XAEPsXDPH,

.PEAEPEa

:.-=--,BMPn--=----r=~,

PHPDPH3a-y[3a

:.PH=13-m)PE,③錯(cuò)誤，故不符合要求；

如圖2,作.BN工PG于N,

圖2

?：ZA=NBNP=90。,/APB=NNPB,BP=BP,

.?.△"的ANPB（AAS）,

:,PN=PA,BN=AB=BC,

?/BH=BH,BN=BC,

???R3BNH烏RaBCH（HL）,

???CH=NH,

：.4PDH的周長(zhǎng)為PN+PD+DH+NH=PA+PD+DH+CH=2AD,即4PDH的周長(zhǎng)是個(gè)定

值，④正確，故符合要求；

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與折疊，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，

勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).熟練掌握正方形與折疊，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的

判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共8小題，滿分72分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要

的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.

g)+2024°；

（1）計(jì)算:-I2-|-cos60°|+-

（2）先化簡(jiǎn)再求值:其中x=-\.

7

【答案】（1）-

2

(2)1

x+2

【解析】

【分析】（1）先分別計(jì)算有理數(shù)的乘方，余弦，負(fù)整數(shù)指數(shù)第，零指數(shù)塞，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可;

（2）先通分，然后進(jìn)行除法運(yùn)算可得化簡(jiǎn)結(jié)果，最后代值求解即可.

【小問1詳解】

解：-12-|-COS60°|+^-1^+2024°

=-1--+4+1

2

7

=-?

2.

【小問2詳解】

x-1-1

______x_____x__-_\____

x-\(x-2)(x+2)

=，

x+2

將工=一1代入得，原式=—；--=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，零指數(shù)塞，分式的化簡(jiǎn)求值.熟練掌握余弦，負(fù)整數(shù)指數(shù)基，

零指數(shù)基，分式的化簡(jiǎn)求值是解題的關(guān)鍵.

18.端午節(jié)吃粽子是中國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，某超市計(jì)劃在端午節(jié)前購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種粽子進(jìn)行銷售.經(jīng)了解，每個(gè)

乙種粽子的進(jìn)價(jià)比每個(gè)甲種粽子的進(jìn)價(jià)多2元，若購(gòu)進(jìn)甲種粽子500個(gè)和乙種粽子400個(gè)共需6200元.

（1）甲、乙兩種粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）甲、乙兩種粽子的原售價(jià)分別為8元/個(gè)和11元/個(gè)，為減少庫(kù)存，超市將這兩種粽子搭配成“粽情

端T”禮包（每個(gè)禮包含甲、乙共20個(gè)粽子），并且按原價(jià)八折促銷，若使每個(gè)禮包利潤(rùn)不低于14元，

則每個(gè)禮包中至少含乙種粽子多少個(gè)？

【答案】（1）甲、乙兩種粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)分別是6元、8元；

（2）每個(gè)禮包中至少含乙種粽子15個(gè).

【解析】

【分析】本題考查了一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)甲種粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)是x元，則乙種粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)是（%+2）元，列出方程求解即可；

（2）設(shè)每個(gè)禮包中至少含乙種粽子V個(gè)，則甲種粽子（20-y）個(gè)，列出不等式求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)甲種粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)是X元，則乙種粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)是（X+2）元，依題意得：

500x+400（x+2）=6200,

解得：x=6,

x+2=8（元），

???甲、乙兩種粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)分別是6元、8元.

【小問2詳解】

解：設(shè)每個(gè)禮包中至少含乙種粽子N個(gè)，則甲種粽子（20-丁）個(gè)，依題意得：

80%[8（20-y）+ll^]-[6（20-^）+8y]>14,

整理得：0.4y+8N14,

解得：y>15,

，每個(gè)禮包中至少含乙種粽子15個(gè)，使每個(gè)禮包利潤(rùn)不低于14元，

19.隨著快遞行業(yè)的深入發(fā)展，全國(guó)各地的特色農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間.為調(diào)研快遞公司服務(wù)質(zhì)量,

更好地服務(wù)于農(nóng)產(chǎn)品種植戶，某部門隨機(jī)抽取50家有快遞業(yè)務(wù)的農(nóng)產(chǎn)品種植戶對(duì)甲乙兩家快遞公司的服務(wù)

進(jìn)行評(píng)分（百分制），并整理、描述、分析，將得分（單位：分）分為五組：一組：0<x<60：二組：

60Kx<70；三組：70Kx<80：四組：80<x<90；五組：90<x<100,部分信息如下：

①甲公司得分在二組的戶數(shù)占參賽戶數(shù)的24%；乙公司得分在三組中最低的10個(gè)得分分別為：70,70,

71,71,71,72,72,74,74,75.

②甲、乙公司得分統(tǒng)計(jì)圖如下：

戶數(shù)

6

44

2

0

88

6

4

2

一組二組三組四組五組組別

甲快遞公司得分條形統(tǒng)計(jì)圖乙快遞公司得分扇形統(tǒng)計(jì)圖

③甲、乙公司得分平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

平均中位眾

數(shù)數(shù)數(shù)

甲快遞公

697178

司

乙快遞公

70b77

司

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）填空：a=,b=.

（2）請(qǐng)補(bǔ)全甲快遞公司得分條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）在這次調(diào)查中，有一家種植戶給甲、乙兩個(gè)快遞公司的打分成績(jī)均為72分，這個(gè)成績(jī)?cè)?/p>

（填“甲，，或，，乙，，）快遞公司排名（從高到低）更靠前：

（4）甲、乙兩個(gè)快遞公司計(jì)劃推出惠農(nóng)杳扶活動(dòng)，現(xiàn)分別從4B,。三家農(nóng)產(chǎn)品種植戶中任選一戶合

作，求兩個(gè)快遞公司選擇同一家種植戶的概率.

【答案】（1）34,73

（2）見解析（3）甲

（4）-

3

【解析】

【分析】本題主要考查求眾數(shù)，中位數(shù)以及畫樹狀圖或列表法求概率：

（1）在乙快遞公司得分扇形統(tǒng)計(jì)圖中用1減去一、二、四、五組的百分比即可求出根據(jù)中位數(shù)的定義

可求出b；

（2）用50乘以24%可得甲公司二組的戶數(shù)，然后用總數(shù)減去一、二、三、四組人數(shù)可得五組人數(shù)，然后

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；

（3）根據(jù)中位數(shù)進(jìn)行判斷即可；

（4）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩個(gè)快遞公司選擇同一家種植戶的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算即

可

【小問1詳解】

解：^%=1-（14%+22%+24%+6%）=34%,

即。二34；

一、二組人數(shù)和為50x（14%+22%）=18（人），

72+74

???第25,26個(gè)數(shù)據(jù)為72,74,則其中位數(shù)6二=73,

2

故答案為：34,73；

【小問2詳解】

解：甲公司二組人數(shù)為：50x24%=12（人）,

則五組人數(shù)為：50-（10+12+14+8）=6（人）

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

6

4

2

0

8

6

【小問3詳解】

4

2

一組二組三組四組五組組別

甲快遞公司得分條形統(tǒng)計(jì)圖

甲公司得分的中位數(shù)是71,乙公司的中位數(shù)是73,

72分在甲公司得分中，更靠前，

故答案為：甲；

【小問4詳解】

解：畫樹狀圖如下：

從樹狀圖可得，共有9種，其中兩個(gè)快遞公司選擇同一家種植戶的共有3種，

31

所以，兩個(gè)快遞公司選擇同一家種植戶的概率為入二不

20.風(fēng)景秀麗的阿掖山位于日照市嵐山區(qū)內(nèi)，是市民旅游休閑的打卡地，從阿掖山東側(cè)的嵐山驛站乘坐纜車

只需要187s即可上山，為游客上下山提供了方便.如圖，是阿掖山纜車索道平面圖，/是山腳驛站，整個(gè)

索道分為AB、BC兩段，索道AB長(zhǎng)500米，且與水平面的夾角Zl=16°,纜車在該段上行駛速度為5m/s,

索道8C與水平面的夾角N2=30。，纜車在該段上行駛速度為4m/s（4、B、C、O在同一平面內(nèi)）.求阿

掖山OC的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin16°?0.28,cos16°?0.96,tan16°?0.29）

【答案】314m

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì).熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

如圖，作出）_LO4于。，BE工OC于E,則四邊形BOOE是矩形，0E=BD,由題意知，索道力5

段的時(shí)間為型=100s,則索道8。段的時(shí)間為187—100=87s,可求8C=4x87=348m,

CE=-5C=174m,OE=BD={BsinN1,根據(jù)OC=OE+CE,求解作答即可.

2

【詳解】解：如圖，作于0,BE上OC于E,則四邊形8Q0E是矩形，

/.0E=BD,

由題意知，索道力6段的時(shí)間為平=100s,

???索道5c段的時(shí)間為187-100=87s,

???5C=4x87=348m,

：.CE=-BC=\74m,

2

???OE=BD=AB,sinZ1?500x0.28=140m,

???OC=OE+CE=314m,

???阿掖山。。的高度為314m.

21.如圖，在△力5c中，NC=90。，點(diǎn)E是邊NC上的點(diǎn)，點(diǎn)。是邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作0。與邊

BC,48分別相交于點(diǎn)。，F(xiàn),DE=EF-

（1）求證：力。為。。的切線；

3

（2）當(dāng)5c=6,tan/=一時(shí)，求力尸的長(zhǎng).

4

【答案】（1）見解析；

（2）4尸的長(zhǎng)為：.

【解析】

【分析】此題考查垂徑定理、圓周角定理、切線的判定定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，正確地作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

（1）連接OR,由8/是。。的直徑，得NBDF=90。,由族=前，得0E垂直平分?？?，再證明

0E/!BC,則NOE/=NC=90。，即可證明力。為。O的切線；

31

（2）由勾股定理求出48=10,設(shè)?！?。3=09=3廠，則8/二6人由1@114=1,進(jìn)一步求得廣=—4￡

42

即可求得力尸=2.

2

【小問1詳解】

證明：如圖，連接。/，

V8尸是OO的直徑,

???ZBDF=90°,

???BC上DF,

':DE=EF

???0￡垂直平分。尸，

OEA.DF,BC1.DF,

???OE//BC,

又?.?NC=90。，

???ZOFJ=ZC=90°,

???QE是OO的直徑，

???力。為OO的切線.

【小問2詳解】

3

解：VZC=90°,tanJ=-,BC=6,

/.tanA=

4

：.AC=-BC=8,

3

,,AB=ylAC2+BC2—Vs2+62=10-

設(shè)0￡=。8=09=3〃，則8/二6r,

???NO"=90。，

4八

???AE=-OE=4r

3

，OA=dOE?+3=(4).J=5r

：.OA=AF+OF=AF+3r=5r,

VJ5=10,

AF+BF=AF+6r=10,

22.我們知道，對(duì)于關(guān)于x的一元二次方程a/+bx+c=0（。w0）,如果該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X1和占，那

bc

么這兩個(gè)根與方程的系數(shù)之間滿足以下關(guān)系：①%+毛=-一；②演F=￡.此外，根與方程的系數(shù)的關(guān)

aQ

系還可以推廣到一元?次方程：對(duì)于方程%x"+4Tx〃T+…+.X+%-0,其中玉,乙,…戶〃T,玉是方程

的〃個(gè)實(shí)數(shù)根，其中所有根的和為芭+々+…+5-|+居二一&±;所有根的積為

%

%$……匕_/％=(_1)”&,請(qǐng)結(jié)合上述材料，解答下列問題：

%

(1)方程/一3%+加=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根是一2,則加=：方程d一6工2+1氏一6=0的兩個(gè)根

凡=1,X2=3,則第三個(gè)根匕=.

(2)若m,〃是關(guān)于彳的一元二次方程"2+2工一3=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且〃，，丹滿足+〃2+加〃=1,求

〃的值.

(3)在平面直角坐標(biāo)系xQy內(nèi)，一次函數(shù)y=x+f與反比例函數(shù)y(-2</<-,//0)圖

x2

象的兩個(gè)交點(diǎn)/、4的橫坐標(biāo)分別是％、X?，設(shè)A/BO的面積是S.當(dāng)/取何值時(shí)，S有最大值.

【答案】(1)-10,2

(2)-1或4

(3)t=-2

【解析】

【分析】(1)由3x+〃z=0,可得演一2二3,玉?(-2)=①，計(jì)算求解即可；由

x3—6,r2+1lx—6=0*可得1+3+&=——=6.計(jì)算求解即可：

23(2Y3

(2)由題意知，m-￥n——"；,mn=一■-,則〃7?+二+機(jī)〃=(〃?+〃)“一〃?〃=—+—=1?整理

kkv7\k)k

得,尸一3左一4=o,計(jì)算求解，然后作答即可；

(3)由一可知1一/>0,則反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，如圖，設(shè)一次函數(shù)與V軸的交點(diǎn)

2

2

為C,則C(0，，)，聯(lián)立得x+/=---,整理得，x+tx+t—l=0>則玉+工2=一，，xt-x2=t—1,

X

玉―Z=2—f,由=S“co+S48CO,可得5=5，卜(2—1),當(dāng)—2口<0時(shí)，

S=-1r(2-/)=1(r-l)2-1,求最大值；當(dāng)時(shí)，5=1/(2-/)=-1(/-1)2+1,求最大

值，然后判斷作答即可.

【小問1詳解】

解：：工2-3x+/n=0，

/.X)-2=3,%1,(-2)=m,

解得，玉=5,w=-10,

,?*x3-6x2+1lx-6=0?

；?1+3+&=-----=6,

解得，X3=2,

故答案為：-10,2；

【小問2詳解】

23

解：由題意知，m+n=--,mn=--t

??.(％+1)("4)=0,

解得，左=一1或〃=4,且符合要求：

:.k的值為-1或4；

【小問3詳解】

解：???-2WL

2

：.\-t>0,反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，

如圖，設(shè)一次函數(shù)與歹軸的交點(diǎn)為c,則。(0,，),

y=x+t

聯(lián)立，1—/?得x+f=,整理得，x2+Zx+/—1=0,

y=----x

x

Xj+x2=-r,x1-x2=/-1,

）2）2）（2

（X]-x2=（XI+x2--4X（X2=r-4（Z-l=Z-2）,

x,-x2=2-r,

?**S.wo=S/co+S68co=；OCx&-々）二夕?。?—）,即S=gw?（2—）,

當(dāng)_2?,<0時(shí)，5=-1/-（2-r）=|（^-l）2-1,

當(dāng)”-2時(shí),S最大=；（一2—仔一;=4；

當(dāng)0</J時(shí)，5=-/（2-/）=--（/-1）2+-,

22v72V72

綜上所述，當(dāng)￡=-2時(shí)，S有最大值4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜

合，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí).熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形，反

比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.給出一個(gè)新定義有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形

的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,連接CE,則CEBD(填“〈”或“=”或

“>”)，NBCE=°；

(2)如圖②，△力BC和V4OE互為“友好三角形”，點(diǎn)。是5c邊上一點(diǎn)，AB=AC,AD=AE,

NB4C=ND4E=120。,M、N分別是底邊5C、DE的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄縈N與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由；

(3)如圖③，/8C和V4OE互為“友好三角形”，點(diǎn)。是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AB=AC,AD=AE,

/BAC=/DAE=a,M、N分別是底邊8C、OE的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出MN與CE的數(shù)量關(guān)系(用含。

的式子表示)

【答案】(1)=：120

(2)MN==CE；理由見解析

2

(3)W=CFsin^90°-1a^

【解析】

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理和等腰三角形的性質(zhì)：

(1)先判斷出ZBAD=ZCAE,進(jìn)而判斷出“BOgUCElSAS),得出BD=CE,

NABD=NACE,即可得出答案；

(2)在CM，截取CH,使CH=3D,連接笈〃，先判斷出CH=CE="E,進(jìn)而判斷出

MNJEH,最后利用等邊三角形性質(zhì)求解，即可得出答案；

2

(3)方法同(2)可得解

【小問1詳解】

解：?；N8/C=NO4E=60。，

???NBAD+/CAD=NCAE+/CAD.

???/BAD=Z.CAE,

,:AB=AC,AD=AE,

：.AACE(SAS),

BD=CE,NABD=NACE,

VAB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=60°,

???4ABC和V4OE是等邊三角形，

???ZABD=NACB=60°=NACE

：.Z.BCE=ZACB+/ACE=600+60°=120°；

故答案為：=;120；

【小問2詳解】

解：MNJCE；理由如下：如圖，

2

A

BDMHC

在CM上截取C〃，使CH=BD,連接￡〃，

???點(diǎn)M是8c的中點(diǎn)，

???BM=CM,

:.DM=HM，

???點(diǎn)N是OE的中點(diǎn)，

???DN=EN,

???MN是的中位線，

:,MN=>HE,

2

CE=BD

:.CH=CE,

VAB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=\20°,

：.ZABC=ZACB=-^(180°-120°)=30°

由(1)知，N4BD=/ACE=30°,

???NBCE=60。,

?...CHE是等邊三角形,

:,HE=CE,

：.MN=-CE,

2

【小問3詳解】

解：MN=CFsin(90°-；a；理由如下：如圖，

在CM上截取C",使CH=BD,連接叩交力C于K,

???點(diǎn)”是8c的中點(diǎn)，

???BM=CM,

:.DM=HM,

???點(diǎn)”是。上的中點(diǎn)，

???DN=EN,

???””是△OE”的中位線，

：.MN=-HE,

2

?：CE=BD

:?CH=CE,

VAB=AC