2024屆湖南省益陽市普通重點(diǎn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)五模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.對(duì)于有理數(shù)x、y定義一種運(yùn)算”7'：必曠=依+加+c，其中a、b、c為常數(shù)，等式右邊是通常的加法與乘法運(yùn)算,

已知3/5=15，4/7=28，貝（I//］的值為（）

A.-1B.-11C.1D.11

2.“單詞的記憶效率”是指復(fù)習(xí)一定量的單詞，一周后能正確默寫出的單詞個(gè)數(shù)與復(fù)習(xí)的單詞個(gè)數(shù)的比值.右圖描述了

某次單詞復(fù)習(xí)中M,N,S,T四位同學(xué)的單詞記憶效率V與復(fù)習(xí)的單詞個(gè)數(shù)x的情況，則這四位同學(xué)在這次單詞復(fù)習(xí)中

正確默寫出的單詞個(gè)數(shù)最多的是（）

A.MB.NC.SD.T

3.二次函數(shù)丁=以2+"+,（。彳0）的圖像如圖所示，下列結(jié)論正確是（）

A.abc>0B.2a+b<QC.3a+cv0D.ax2+Zzx+c—3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

3a3

4.計(jì)算：西『一為『的結(jié)果是‘)

a313

A.(1\2B.C.——D.------

(1)a—1CL—1a+1

5.-6的相反數(shù)是（)

V3R.73

A.----Jt).c.GD.—若

3

6.天氣越來越熱，為防止流行病傳播，學(xué)校決定用420元購買某種牌子的消毒液，經(jīng)過還價(jià)，每瓶便宜0.5元，結(jié)果

比用原價(jià)購買多買了20瓶，求原價(jià)每瓶多少元？設(shè)原價(jià)每瓶x元，則可列出方程為（）

420420420420

A.=20B.-----------=20

%+0.5XXx+0.5

420420420_420_

C.=20D.20

x-0.5XXx-0.5

7.上體育課時(shí)，小明5次投擲實(shí)心球的成績?nèi)缦卤硭荆瑒t這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別，是（）

A--3-2129B--3-24012

c-3-2-i012D.-3-2-i012

Ba

9.若a,p是一元二次方程3x?+2x—9=0的兩根，則上+下的值是().

ap

445858

A.—B.-------C.——D.—

27272727

10.圖1?圖4是四個(gè)基本作圖的痕跡，關(guān)于四條弧①、②、③、④有四種說法:

?、偈且設(shè)為圓心，任意長為半徑所

圖1圖2圖3圖4

畫的弧；?、谑且訮為圓心，任意長為半徑所畫的弧；弧③是以A為圓心，任意長為半徑所畫的弧；?、苁且訮為圓

心，任意長為半徑所畫的弧；

其中正確說法的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

11.如圖1,點(diǎn)O為正六邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，機(jī)器人置于該正六邊形的某頂點(diǎn)處，柱柱同學(xué)操控機(jī)器人以每秒1個(gè)單

位長度的速度在圖1中給出線段路徑上運(yùn)行，柱柱同學(xué)將機(jī)器人運(yùn)行時(shí)間設(shè)為t秒，機(jī)器人到點(diǎn)A的距離設(shè)為y,得

到函數(shù)圖象如圖2,通過觀察函數(shù)圖象，可以得到下列推斷：①該正六邊形的邊長為1;②當(dāng)t=3時(shí)，機(jī)器人一定位

于點(diǎn)O；③機(jī)器人一定經(jīng)過點(diǎn)D；④機(jī)器人一定經(jīng)過點(diǎn)E；其中正確的有（）

A.①④B.①③C.①②③D.②③④

12.1-72的相反數(shù)是（）

A.1-72B.72-1C.72D.-1

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13.如圖，一根直立于水平地面的木桿A5在燈光下形成影子AC（AOA3）,當(dāng)木桿繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，直

至到達(dá)地面時(shí)，影子的長度發(fā)生變化.已知AE=5m,在旋轉(zhuǎn)過程中，影長的最大值為5m,最小值3m,且影長最大

時(shí)，木桿與光線垂直，則路燈Eb的高度為

14.把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外,其截面如圖，已知EF=CD=80cm,則截面圓的半徑為,

15.如圖，在AABC中，ZACB=9d°,ZABC=60°,AB=6cm,將△ABC以點(diǎn)5為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到

A5邊延長線上的點(diǎn)。處，則AC邊掃過的圖形（陰影部分）的面積是cmL（結(jié)果保留兀）.

60

------------B~~

2

16.已知三個(gè)數(shù)據(jù)3,x+3,3-x的方差為1,則*=.

17.如圖，已知根//〃，Z1=1O5°,N2=140°則Na=.

18.廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn).如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-/2+〃，為

保護(hù)廊橋的安全,在該拋物線上距水面AB高為8米的點(diǎn)E,F處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是

米，精確到1米)

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題,共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.(6分)如圖，在口ABCD中，以點(diǎn)4為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F；再分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于,BF

的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并廷長交BC于點(diǎn)E,連接EF

(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形;

(2)若AB=2,AE=2招，求/BAD的大小.

20.(6分)如圖，在RtAABC中，ZC=90°,以5C為直徑的。。交AB于點(diǎn)O,DE交AC于點(diǎn)E,且NA=NAOE.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)若AO=16,Z)E=10,求8C的長.

A

21.（6分）如圖，分別延長口ABCD的邊CD,AB到E,F,使DE=BF,連接EF,分別交AD,BC于G,H,

連結(jié)CG,AH.求證：CG//AH.

23.（8分）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作。O,。。與BC邊的交點(diǎn)D恰好為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作。O的

切線交AC邊于點(diǎn)E.

（1）求證：DE±AC；

,3OF

⑵連結(jié)OC交DE于點(diǎn)F,若sinZABC=—,求的值.

4FC

2

24.（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC±,DE〃BC,且DE=-BC.如果AC=6,求AE的長;

3

設(shè)=AC=b>求向量￡>E（用向量人表示）.

25.（10分）如圖，在菱形ABCD中，ZBAD^a,點(diǎn)E在對(duì)角線BD上.將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到CF,

連接DF.

（1）求證：BE=DF；

（2）連接AC,若EB=EC,求證：ACLCF.

26.（12分）對(duì)于平面上兩點(diǎn)A,B,給出如下定義：以點(diǎn)A或3為圓心，A3長為半徑的圓稱為點(diǎn)4,5的“確定圓”.如

圖為點(diǎn)A,3的“確定圓”的示意圖.

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)3的坐標(biāo)為（3,3）,則點(diǎn)4,3的“確定圓”的面積為；

（2）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,0）,若直線y=x+Z?上只存在一個(gè)點(diǎn)3,使得點(diǎn)A,5的“確定圓”的面積為9兀，求點(diǎn)3

的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)A在以P（機(jī)，0）為圓心，以1為半徑的圓上，點(diǎn)3在直線y=-走x+G上，若要使所有點(diǎn)A,5的

3

“確定圓”的面積都不小于9n,直接寫出m的取值范圍.

27.（12分）先化簡，再選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)（要合適哦!）代入求值：

參考答案

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、B

【解題分析】

先由運(yùn)算的定義，寫出345=25,447=28,得到關(guān)于a、b、c的方程組，用含c的代數(shù)式表示出a、b.代入242求

出值.

【題目詳解】

由規(guī)定的運(yùn)算，3A5=3a+5b+c=25,4a+7b+c=28

所以|3a+5b+c=I5

Wa+7b+c=28

解這個(gè)方程組，得Ja=-35-2c

Ib=24+c

所以2A2=a+b+c=-35-2c+24+c+c=-2.

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了新運(yùn)算、三元一次方程組的解法.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)新運(yùn)算的意義，正確的寫出3A5=25,4A7=28,

2A2.

2、C

【解題分析】

分析:在四位同學(xué)中，M同學(xué)單詞記憶效率最高，但是復(fù)習(xí)的單詞最少，7同學(xué)復(fù)習(xí)的單詞最多，但是他的單詞記憶效

率最低，N,S兩位同學(xué)的單詞記憶效率基本相同，但是S同學(xué)復(fù)習(xí)的單詞最多，這四位同學(xué)在這次單詞復(fù)習(xí)中正確默

寫出的單詞個(gè)數(shù)最多的應(yīng)該是S.

詳解：在四位同學(xué)中，M同學(xué)單詞記憶效率最高，但是復(fù)習(xí)的單詞最少，T同學(xué)復(fù)習(xí)的單詞最多，但是他的單詞記憶

效率最低，N,S兩位同學(xué)的單詞記憶效率基本相同，但是S同學(xué)復(fù)習(xí)的單詞最多，這四位同學(xué)在這次單詞復(fù)習(xí)中正確

默寫出的單詞個(gè)數(shù)最多的應(yīng)該是￡

故選C.

點(diǎn)睛：考查函數(shù)的圖象，正確理解題目的意思是解題的關(guān)鍵.

3、C

【解題分析】

【分析】觀察圖象：開口向下得到a<0；對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)得到a、b異號(hào)，則b>0；拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸

b

的上方得到c>0,所以abcVO；由對(duì)稱軸為x=-丁=1,可得2a+b=0；當(dāng)x=-l時(shí)圖象在x軸下方得到y(tǒng)=a-b+cVO,

2a

結(jié)合b=-2a可得3a+c<0；觀察圖象可知拋物線的頂點(diǎn)為（1,3）,可得方程女2+陵十^一3=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

據(jù)此對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【題目詳解】觀察圖象：開口向下得到a<0；對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)得到a、b異號(hào)，則b>0；拋物線與y軸的交點(diǎn)在

x軸的上方得到c>0,所以abcVO,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

b

,對(duì)稱軸x=------=1,b=-2a,即2a+b=0,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2a

當(dāng)x=-l時(shí)，y=a-b+c<0,又3a+c<0,故C選項(xiàng)正確；

???拋物線的頂點(diǎn)為(1,3),

??.℃2+陵+。—3=。的解為X1=X2=1,即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選C.

【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a邦)的圖象，當(dāng)a>0,開口向上,

b

函數(shù)有最小值，a<0,開口向下，函數(shù)有最大值；對(duì)稱軸為直線x=-k，a與b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，a與b

2a

異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)；當(dāng)c>0,拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方；當(dāng)△=b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個(gè)交

點(diǎn).

4、B

【解題分析】

根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案.

【題目詳解】

3a-3

解：原式=7~C2

1)

3(a-l)

(a-

3

a—1

故選；B

【題目點(diǎn)撥】

本題考查分式的運(yùn)算法則，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

5、C

【解題分析】

根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可.

【題目詳解】

一指與6只有符號(hào)不同，

所以-有的相反數(shù)是出，

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6、C

【解題分析】

關(guān)鍵描述語是：“結(jié)果比用原價(jià)多買了1瓶”；等量關(guān)系為：原價(jià)買的瓶數(shù)-實(shí)際價(jià)格買的瓶數(shù)=1.

【題目詳解】

原價(jià)買可買420,瓶，經(jīng)過還價(jià)，可買一42匕0瓶.方程可表示為：4-2-0------4-2--0-=1.

xx-0.5%-0.5x

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟在于找相等關(guān)系.本題要注意討價(jià)前后商品的單價(jià)的

變化.

7、D

【解題分析】

解：按從小到大的順序排列小明5次投球的成績：7.5,7.8,8.2,8.1,8.1.

其中8.1出現(xiàn)1次，出現(xiàn)次數(shù)最多，8.2排在第三，

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是：8.1,8.2.

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查眾數(shù)；中位數(shù).

8、B

【解題分析】

分析：本題可根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)畫出數(shù)軸：實(shí)心圓點(diǎn)包括該點(diǎn)用“N”，%”表示，空心圓點(diǎn)不包括該點(diǎn)用表示，

大于向右小于向左.

點(diǎn)睛：不等式組的解集為在數(shù)軸表示-1和3以及兩者之間的部分：

----11?I二—>

-1-101234

故選B.

點(diǎn)睛:本題考查在數(shù)軸上表示不等式解集:把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（>之向右畫尸W向左畫）,數(shù)軸上的點(diǎn)把

數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾

個(gè)就要幾個(gè).在表示解集時(shí)“N”,“W”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示;要用空心圓點(diǎn)表示.

9、C

【解題分析】

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+0=-4、ap=-3,將其代入、+\=(a+夕)一？初中即可求出結(jié)論.

3aB部

詳解：Ya、p是一元二次方程3x2+2x-9=0的兩根，

2

/.a+p=-—,?p=-3,

?2+0_-+M_(。+尸丫-2aB_(-彳了-2X(-3)53

"?a"/石=一萬.

故選C.

hr

點(diǎn)睛：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于--、兩根之積等于一是解題的關(guān)鍵.

aa

10、C

【解題分析】

根據(jù)基本作圖的方法即可得到結(jié)論.

【題目詳解】

解：(1)弧①是以O(shè)為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確；

(2)弧②是以P為圓心，大于點(diǎn)P到直線的距離為半徑所畫的弧，錯(cuò)誤；

(3)弧③是以A為圓心，大于，AB的長為半徑所畫的弧，錯(cuò)誤；

2

(4)?、苁且訮為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了基本作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握基本作圖的方法.

11、C

【解題分析】

根據(jù)圖象起始位置猜想點(diǎn)B或F為起點(diǎn)，則可以判斷①正確，④錯(cuò)誤.結(jié)合圖象判斷3W“圖象的對(duì)稱性可以判斷②

正確.結(jié)合圖象易得③正確.

【題目詳解】

解：由圖象可知，機(jī)器人距離點(diǎn)A1個(gè)單位長度，可能在F或B點(diǎn)，則正六邊形邊長為1.故①正確；

觀察圖象t在3—4之間時(shí)，圖象具有對(duì)稱性則可知，機(jī)器人在OB或OF上，

則當(dāng)t=3時(shí)，機(jī)器人距離點(diǎn)A距離為1個(gè)單位長度，機(jī)器人一定位于點(diǎn)O,故②正確；

所有點(diǎn)中，只有點(diǎn)D到A距離為2個(gè)單位，故③正確；

因?yàn)闄C(jī)器人可能在F點(diǎn)或B點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)從B出發(fā)時(shí)，不經(jīng)過點(diǎn)E,故④錯(cuò)誤.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題為動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象探究題，解答時(shí)要注意動(dòng)點(diǎn)到達(dá)臨界前后時(shí)圖象的變化趨勢.

12、B

【解題分析】

根據(jù)相反數(shù)的的定義解答即可.

【題目詳解】

根據(jù)a的相反數(shù)為-a即可得，1-6的相反數(shù)是血-1.

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了相反數(shù)的定義，熟知相反數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13、7.5

【解題分析】

試題解析：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到達(dá)地面時(shí)，為最短影長，等于A5,

???最小值3m,

.e.AB=3m,

??,影長最大時(shí)，木桿與光線垂直，

即AC=5mf

：.BC=4f

又可得△CABs^CFE,

.BCAB

------,

ECEF

\*AE=5m,

.4_3

??---------,

10EF

解得：EF=7.5m.

故答案為7.5.

點(diǎn)睛：相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.

14、1

【解題分析】

過點(diǎn)O作OMLEF于點(diǎn)M,反向延長OM交BC于點(diǎn)N,連接OF,設(shè)OF=r,則OM=80-r,MF=40,然后在RtAMOF

中利用勾股定理求得OF的長即可.

【題目詳解】

過點(diǎn)O作OMLEF于點(diǎn)M,反向延長OM交BC于點(diǎn)N,連接OF,

BNC

設(shè)OF=x,貝!|OM=80-r,MF=40,在R3OMF中，

VOM2+MF2=OF2,即(80-r)2+402=r2,解得：r=lcm.

故答案為1.

15、9n

【解題分析】

根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出NBAC=30。，再根據(jù)直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得BC==AB,

2

然后求出陰影部分的面積=S扇形ABE-S扇形BCD,列計(jì)算即可得解.

【題目詳解】

TNC是直角，ZABC=60°,

.\ZBAC=90o-60o=30°,

BC=—AB=—x6=3(cm),

22

:△ABC以點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到^BDE,

Z.SABDE=SAABC,ZABE=ZCBD=180°-60°=110°,

陰影部分的面積=3扇形ABE+SABDE-S扇形BCD-SAABC

=S扇形ABE-3扇形BCD

120萬治_120^-.32

360360

=11九-3九

=9TT(cml).

故答案為97r.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積計(jì)算，直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，求出陰影部分的

面積等于兩個(gè)扇形的面積的差是解題的關(guān)鍵.

16、±1

【解題分析】

先由平均數(shù)的計(jì)算公式求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再代入方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可求出x的值.

【題目詳解】

解：這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是：(3+x+3+3-x)+3=3,

1?

則方差是：-[(3-3)2+(x+3-3)2+(3-x-3)2]=~,

33

解得：x=±l；

故答案為：士1.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查方差的定義：一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，XI,X2,…Xn的平均數(shù)為元，則方差

n

結(jié)它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立.

17、65°

【解題分析】

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出N3,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

【題目詳解】

■:m〃n,N1=105°,

/.Z3=180o-Zl=180°-105o=75°

:.Za=Z2-Z3=140°-75°=65°

故答案為：65。.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出N3.

18、8由

【解題分析】

由于兩盞E、F距離水面都是8m,因而兩盞景觀燈之間的水平距離就

是直線y=8與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值.

故有_+10=8,

即x?=8。，xi=4亞X2=-4亞

所以兩盞警示燈之間的水平距離為：⑼-刈=|4V5-(-445)\=845^18(m)

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)見解析;⑵60°.

【解題分析】

(1)先證明△AEB也aAEF,推出NEAB=NEAF,由AD〃BC,推出NEAF=NAEB=NEAB,得至(JBE=AB=AF,

由此即可證明；

(2)連結(jié)BF,交AE于G.根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=2,AG='AE=力，ZBAF=2ZBAE,AE±BF.然后解直角AABG,

求出NBAG=30。，那么NBAF=2NBAE=60。.

【題目詳解】

解：(1)在AAEB和AAEF中，

'AB=AF

,BE=FE，

AE=AE

/.△AEB^AAEF,

/.ZEAB=ZEAF,

；AD〃BC,

:.ZEAF=ZAEB=ZEAB,

；.BE=AB=AF.

；AF〃BE,

二四邊形ABEF是平行四邊形，

VAB=BE,

二四邊形ABEF是菱形；

(2)連結(jié)BF,交AE于G.

VAB=AF=2,

AGA=[AE=]X2?=?,

在RtAAGB中，cosNBAE=2^=返,

AB2

...NBAG=30°,

ZBAF=2ZBAG=60°,

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行四邊形的性質(zhì)與菱形的判定與性質(zhì).

20、(1)證明見解析；(2)15.

【解題分析】

(1)先連接OD,根據(jù)圓周角定理求出NADB=90。,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DE=BE,推出NEDB=NEBD,

ZODB=ZOBD,即可求出NODE=90。，根據(jù)切線的判定推出即可.

(2)首先證明AC=2DE=20,在RtAADC中，DC=12,設(shè)BD=x,在RtABDC中，BC2=x2+122,在R3ABC中，

BC2=(x+16)2-202,可得X?+122=(X+16)2-202,解方程即可解決問題.

【題目詳解】

(1)證明：連結(jié)OD,VZACB=90°,

，NA+/B=90。，

XVOD=OB,

:.ZB=ZBDO,

VZADE=ZA,

...NADE+NBDO=90。，

.\ZODE=90°.

.??DE是。O的切線；

(2)連結(jié)CD,VZADE=ZA,

A

：BC是。O的直徑，ZACB=90°.

，EC是。O的切線.

.,.DE=EC.

/.AE=EC,

XVDE=10,

/.AC=2DE=20,

在RtAADC中，DC=7202-162=12

設(shè)BD=x,在RtABDC中,BC2=x2+122,

在RtAABC中，BC2=(x+16)2-202,

x2+122=(x+16)2-202,解得x=9,

二BC=J12?+92=15-

【題目點(diǎn)撥】

考查切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

21、證明見解析

【解題分析】

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知的條件得出AEGD和AFHB全等，從而得出DG=BH,從而說明AG和CH平

行且相等，得出四邊形AHCG為平行四邊形，從而得出答案.

詳解：證明：在QABCD中，AB//CD,AD//CB,AD=CB,

.?./E=NF,NEDG=/DCH=/FBH,又DE=BF,.hEGDgFHB(AAS),

.-.DG=BH,..AG=HC,又AD//CB,

??四邊形AGCH為平行四邊形，.?.AH//CG.

點(diǎn)睛：本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)以及判定定理，屬于基礎(chǔ)題型.解決這個(gè)問題的關(guān)鍵就是根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)得出四邊形AHCG為平行四邊形.

22、(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解題分析】

(D根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊互相平行可得AD〃BC,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NAEB=NEAD,根據(jù)等邊

對(duì)等角可得NABE=NAEB,即可得證.

(2)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NADB=NDBE,然后求出NABD=NADB,再根據(jù)等角對(duì)等邊求出AB=AD,

然后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

【題目詳解】

證明：(1)?.?在平行四邊形ABCD中，AD〃BC,

/.ZAEB=ZEAD.

VAE=AB,

/.ZABE=ZAEB.

/.ZABE=ZEAD.

(2)；AD〃BC,

/.ZADB=ZDBE.

VZABE=ZAEB,NAEB=2NADB,

.\ZABE=2ZADB.

ZABD=ZABE-ZDBE=2ZADB-ZADB=ZADB.

.\AB=AD.

又；四邊形ABCD是平行四邊形，

二四邊形ABCD是菱形.

Q

23、(1)證明見解析(2)-

7

【解題分析】

(1)連接OD,根據(jù)三角形的中位線定理可求出OD〃AC,根據(jù)切線的性質(zhì)可證明DELOD,進(jìn)而得證.

(2)連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義用OB表示出OF、CF的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.

【題目詳解】

解：(1)連接OD.；DE是。O的切線，

.\DE±OD,即NODE=90°.

TAB是。O的直徑，

.,.O是AB的中點(diǎn).

又是BC的中點(diǎn)，.

；.OD〃AC.

:.ZDEC=ZODE=90°.

，DE_LAC.

(2)連接AD.VOD/7AC,

.OFOP

''~FC~~EC'

VAB為。O的直徑，ZADB=ZADC=90°.

又為BC的中點(diǎn)，

.\AB=AC.

AD3

.sinZABC=-----=—,

AB4

設(shè)AD=3x,貝!]AB=AC=4x,OD=2x.

VDE±AC,，ZADC=ZAED=90°.

■:ZDAC=ZEAD,:.AADC^AAED.

.AD_AC

AE~AD'

???AD2=AEAC.

97

:.AE=—x./.EC=—x.

44

uum2rr

24、(1)1；(2)DE=々(b-a).

【解題分析】

(I)由平行線截線段成比例求得AE的長度;

(2)利用平面向量的三角形法則解答.

【題目詳解】

(1)如圖，

3

*AE_DE_2

*'AC-'

又AC=6,

/.AE=1.

(2)VAB=a>AC=b>

ULIUUUlULlUU1L

BC=AC—AB=b—a-

又DE〃BC,DE=-BC,

3

uum21012rr

二DE=-BC=-(b-a)

【題目點(diǎn)撥】

考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法則和平行向量的定義.

25、證明見解析

【解題分析】

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BC=DC,NBAD=/BCD=a,再根據(jù)NECF=a，從而可得/BCD=/ECF,

繼而得/BCE=/DCF,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=CF,證明BEC之一DFC,即可證得BE=DF；

(2)根據(jù)菱形的對(duì)角線的性質(zhì)可得ZACB=/ACD,AC±BD,從而得ZACB+/EBC=90°,由EB=EC,

可得NEBC=/BCE,由(1)可知，可推得NDCF+/ACD=/EBC+/ACB=90°,即可得NACF=90°,

問題得證.

【題目詳解】(1)???四邊形ABCD是菱形，

...BC=DC,^BAD=^BCD=a,

,:1Z"ECF=a,

,4CD=4CF,

:.^BCE=^DCF,

?線段CF由線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

.,.CE=CF,

在BEC和DFC中,

BC=DC,

<ZBCE=ZDCF,

CE=CF,

—BE"DFC(SAS),

:.BE=DF；

(2)I?四邊形ABCD是菱形，

.,./ACB=/ACD,AC±BD,

.../ACB+4BC=90°,

,:EB=EC,

/.4BC=4CE,

由(1)可知，NEBC=/DCF,

^DCF+^AC