江蘇省鎮(zhèn)江市2022-

2023學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題（含解析）2022?2023學(xué)年度

第二學(xué)期高一期末試卷

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必特自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本起共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)4=3+i,Z2=l+mi,若ZiZ?為實數(shù)，則實數(shù)m=（）

A.—3B.—C.—D.3

33

2.設(shè)e；與02是兩個不共線向量，向量A3=q+2e2，CB=e1+ke2,CD=2kei-3e[,若A，B,D

三點共線，則女=（）

c13

A.—3B.----C.-D.3

52

3.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為120。的扇形，則該圓錐的高為（）

A.2B.3C.20D.273

4.龍洗，是我國著名文物之一，因盆內(nèi)有龍線，故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作

一個圓臺.現(xiàn)有一龍洗盆高18cm,盆口直徑36cm,盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當水深為6cm時，則盆

內(nèi)水的體積為（）

A.655兀cn?B.6667tcm3C.67771cm3D.6887rcm3

5.己知若sin[a、J=j,則cosa=()

人4百-3D-4+36_4-36「4x/3+3

A.--------------D.-----------------C.-------------L).--------------

10101010

6.對于直線用和不重合平面。，/，下列命題中正確的是()

A若加a,m\p,則a〃/B.若mla,〃?_!_，，則a〃夕

C.若mB,c_L￡,則加_LaD.若aJ_￡,a/3=l,mVl,貝ijm_L，

7.已知向量a和A滿足W=2,卜，=1,卜+4=6,則向量a+匕在向量a上投影向量為（）

1133

A.---ClB.-ClC.---ciD.—a

4444

8.在正四棱臺ABC。一AgG，中,AB=2A4=4,側(cè)棱A4,=",若P為的中點，則過B,

D,P三點截面的面積為（）

A.—B.4"C.50D.6>/2

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.設(shè)I是z的共柜復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）

A.|z-z|=|z|2B.若z=L則|z|=l

C.若|2||=團，則Z；=Z；D.Z+Z是實數(shù)

10.在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,C,則下列說法中正確的是（）

A若A>B，則sinA>sin3

B.若為銳角三角形，則sinA>8sB

C.若。2+從<。2,則ABC為鈍角三角形

D.若sin2A=sin28,則為等腰三角形

11.兩個相交平面構(gòu)成四個二面角，其中較小的二面角稱為這兩個相交平面所成角；在正方體中，不在同

一表面上的兩條平行的棱所確定的平面稱為該正方體的對角面.則在某正方體中，兩個不重合的對角面所成

角的大小可能為（）

12.如圖，在梯形ABC。中，ADIIBC,AD1CD,AO=4,BC=2,CD=20，E為線段CD

的中點，尸為線段AB上一動點（包括端點），EF=ACD+^BA,則下列說法正確的是（）

A.AB=4B.若F為線段AB的中點，則2+〃=1

D.FC-F￡）的最小值為6

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.在.ABC中，點M為邊AC上的點，且AM=3MC，若BM=^BA+〃BC,則九一〃的值是

14.歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為eL'=cosx+isinx,i是虛數(shù)單位.將指數(shù)

止

函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第象限.

15.在.ABC中，尸在邊上且"平分NB4C,若NBAC=——,AB=2AC=2,則線段"的長

3

為.

16.棱長為遙的正四面體ABCO的四個頂點都在球。的球面上，則球。的表面積為；直線

AC與8。之間的距離為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的

文字說明，證明過程或演算步驟.

7

17.已知0＜。＜兀，sina+cosa=一,求下列各式的值：

13

⑴tana；

小、2sin2a+cos2a

（2）----------------.

sin2a

18.一副三角板（JSC為等腰直角三角形，NB4c=90。，△BCO為直角三角形,

/。8。=30。，/68=90。)按如圖所示的方式拼接，現(xiàn)將沿8c邊折起，使得平面A6C1平面

BCD.

⑴求證：A6上平面ACO；

(2)求直線BO與平面ACD所成角的余弦值.

19.為進一步落實國家鄉(xiāng)村振興政策，某網(wǎng)紅村計劃在村內(nèi)一圓形地塊中種植油菜花，助推鄉(xiāng)村旅游經(jīng)

濟.為了讓油菜花種植區(qū)與觀賞路線布局合理，設(shè)計者們首先規(guī)劃了一個平面圖，如圖所示，△BCD與

△A3。是油菜花種植區(qū)，其中A￡＞，(不計寬度)是觀賞路線.在四邊形AB8中，AB=2,

BC=4,ZADC=60°.

(1)若OC=4時，求路線AO的長；

⑵當NCBD=30°時，求路線BD的長.

20.已知異面直線ME，NF所成角為凡MEua,ME//[3,NFu。,NF//a,MNLME,

MNINF,B.MN=d,ME=m,NF=n.

(1)求證：a!Ip

(2)求證：EF—yjd2+nr+n2±2/mcos0-

21.在三棱柱ABC-Age；中，側(cè)面ACG4_L平面ABC,AC_LCB且C4=CB=CQ,E,F分別

為梭AB，AG的中點.

（1）證明：4七〃平面。"；

⑵若AC=2,ZACC,=60°,求點A到平面CBF之間的距離.

22,在①sinAsinBsinC=*卜in?A+sinZC-sin?B）；②tanA+tanB=Gs.nAcosB；③設(shè)

—ABC的面積為S,且4有S+3僅2一/）=3c2這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上.并加以解

答.

在_ABC中，角A，B,C的對邊分別為。，b,c,已知,且。=26.

(1)若a+c=6,求.ABC的面積;

a2+b2

（2）若ABC為銳角三角形，求的取值范圍.（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

2

2022?2023學(xué)年度第二學(xué)期高一期末試卷

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必特自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本起共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)4=3+i,Z2=l+mi,若Z1Z2為實數(shù)，則實數(shù)m=（）

A.—3B.—C.-D.3

33

【答案】B

【解析】

【分析】先化簡ZZ2,根據(jù)Z|Z2實數(shù)可得答案.

【詳解】因為z,=（3+i）（l+mi）=3-m+（3m+l）i,且ZR為實數(shù)；

所以3加+1=0，即機=—」.

3

故選：B.

2.設(shè)q與e2是兩個不共線向量，向量AB=d+2e2，CB=e,+ke2,CD-1kex—3e2>若A，B,D

三點共線，則4=（）

c13

A.—3B.—C.-D.3

52

【答案】B

【解析】

【分析】若A,B,。三點共線，則存在實數(shù)4,使=結(jié)合向量的線性運算可求解.

【詳解】若A,B,。三點共線，則存在實數(shù);I,使80=448，

BD=CD-CB=（2k-i）e]-（3+k）e^,

/.（2左一l）e[—（3+k）e2+2eJ,

：ei與e2是兩個不共線向量，

.?.24—1=%，且一（3+女）=22,解得％=—；，

故選：B.

3.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為120。的扇形，則該圓錐的高為（）

A.2B.3C.20D.2百

【答案】C

【解析】

【分析】求出扇形的弧長，進而求出圓錐的底面半徑，由勾股定理即可得到圓錐的高.

【詳解】因為圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為120。的扇形，

所以該扇形的弧長為*x3=」x3=2兀，圓錐的母線長為3,

1803

設(shè)圓錐的底面半徑為『，則271r=2兀，解得廠=1,

設(shè)圓錐的母線長為/,則/=3,

所以圓錐的高為〃=J/一/=J■開=20?

故選：C.

4.龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍線，故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作

一個圓臺.現(xiàn)有一龍洗盆高18cm,盆口直徑36cm,盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當水深為6cm時，則盆

內(nèi)水的體積為（）

A.6557tcm3B.666兀cm'，C.67771cm'D.688兀cm，

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)軸截面和相似關(guān)系，以及圓臺體積即可求解.

【詳解】如圖所示，畫出圓臺的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長EC與尸。交于點G

根據(jù)題意，AB=18cm,CD=9cm,AC=18cm,EC=6cm,

設(shè)CG=xcm,EF=ycm,

所以

18x+189x

解得x=18,y=12,

所以V=；(兀422+兀-92+7t-12?9^-6=6667t(cm3),

故選：B.

5.已知若sin(a-2)=g,則cosa=()

.4^33n—4+3\fi_4-3,^3_45/3+3

A.----------------D.----------------c.------------D.--------------

10101010

【答案】A

【解析】

【分析】由ae(0,"可得”看的范圍，可知cos(a—*j>0,再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和

的余弦公式求解即可得出答案.

/TT]兀，兀兀)\兀、

【詳解】因為aJ,所以0一7￡[-7，§J，所以cos1[-不J>0,

士」(兀兀、(兀、71.(兀、.兀

也以cosa=cosa---F—=cosa—cos-sina—sin—

I66jI6J6I6j6

4x/3314g-3

—X----------x—=------------

525210

故選：A.

6.對于直線相和不重合的平面a,0,下列命題中正確的是（）

A若加a,m（3,則a〃/?B.若m_La,m±/3,則

C.若加B,則加_LaD.若a_L￡,a/?=/,mil,則m

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意作出圖形可判斷ACD；由線面垂直的性質(zhì)可判斷B.

【詳解】對于A,若m；a,M?，則a,乃可能相交，如圖，故A錯誤；

對于B,若〃z_La,mL/3,由線面垂直的性質(zhì)可知a〃/，故B正確;

對于C,若根/3,,則租,a可能平行，如圖，故C錯誤；

對于D,若C尸，ap=l,mil,則可能加u尸，如圖，故D錯誤.

故選：B.

7.已知向量a和。滿足卜|=2,忖=1,卜+人|=百，則向量a+石在向量a上的投影向量為（）

11八3-3-

A.--aB.-aC.--uD.-a

4444

【答案】D

【解析】

【分析】先求出向量a，a+A夾角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.

【詳解】因為卜+“=百，所以斷=3,

又卜卜2,忖=1,所以4+2』+1=3,得到a為=—1,

所以（a+b）-a=|a『+=4-1=3,

八（〃+2）?〃3G

設(shè)j燈的夾角為。，則3*麻麗=m=萬,

所以a+Z?在a上的投影向量為：,+〃卜。$夕;,

故選：D.

8.在正四棱臺48。一4旦￡2中，AB=24BI=4,側(cè)棱A4,=",若P為的中點，則過B,

D,P三點截面的面積為（）

A.—B.4"C.50D.6>/2

【答案】A

【解析】

【分析】取G。的中點。，則PQ〃g又BD〃BQ、,則尸?！˙D,可得過8,D,P三點截面

為等腰梯形BDQP,利用題中數(shù)據(jù)及正四棱臺的性質(zhì)計算即可.

取GA的中點Q，連接尸。，用鼻，則PQ〃BQ「PQ=；BQi，

又BD〃BQ、,則PQ〃80,又根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)得OQ=BP,

則BDQP為等腰梯形，即過8,D,P三點截面為等腰梯形BOQP.

取BC的中點M,連接

在等腰梯形中，4G=2,BC=4,B、B=^,BM=2,

則PM=18避2_g（BC—B￡）=5DQ=BP=y/BM2+PM2=3>

在等腰梯形BOQ尸中，PQ=；B\D\=6.,80=40，

則梯形的高為尸二；（BD—PQj=2￡，

所以等腰梯形SQQP的面積s=gx（、反+4&）*竽=修.

故選：A.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.設(shè)I是z的共輛復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）

A.|z-z|=|z|2B,若z=L則[z[=]

C.若|4=㈤，則z；=z；D.z+W是實數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的模、共貌復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的定義加以計算判斷.

【詳解】對于A,令2=。+歷M,IGR,則]=a—歷，

于是2-2=（0+砌（。-或=/+〃=|z-z|=|z|2,所以A正確；

_-1

對于B,令2="+歷,a,/?eR,則2=。一歷，因為z=-,

Z

z-z=（a+bi）（a-bi）=a2+b2=l=|z|2,l=|z|,所以B正確；

對于C,令4=l,Z2=i,滿足㈤=區(qū)|,

而z；=l,z；=-l,z；/z；,所以C錯誤；

對于D,令2=。+例,。,》61^,則I=a-》i，

而z+z=（a+歷）+（a-/;i）=2a是實數(shù)，所以D正確.

故選：ABD.

10.在—ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法中正確的是（）

A.若4>B,則sinA>sin8

B.若_48。為銳角三角形，則sinA>8sB

C.若。2+從<。2,則43c為鈍角三角形

D.若sin2A=sin28,則二ABC為等腰三角形

【答案】ABC

【解析】

TT

【分析】由/>B,得到。>〃，結(jié)合正弦定理可判定A；由jWC為銳角三角形，得到A>一—B,結(jié)

2

合正弦函數(shù)的單調(diào)性可判定B；根據(jù)余弦定理可判斷C；由sin2A=sin2B,結(jié)合兩角和差的正弦公式求

解可判定D.

【詳解】對于A,因為/>6,得a>b,所以27?《114>27?4115（/?為二48。外接圓的半徑），

所以sinA>sin3,故A正確：

jrTT

對于B,由.ABC銳角三角形，可得A+3>—,則A>——B,

22

TTJi11

因為A,8e（0,一）,可得一一Be（0,-）,

222

7171

又函數(shù)y=sinx在XG（0,—）上單調(diào)遞增，所以sinA>sin（——8）=cos8,故B正確；

22

n2,2_2

對于C,若a?+b?</，則cosC=----------<0,而Ce（0,兀），

lab

所以角C為鈍角，即一ABC為鈍角三角形，故C正確；

對于D,由sin2A=sin23,得sin［（A+8）+（A-B）］=sin［（A+B）-（A-B）］,

展開整理得cos（A+B）sin（A-B）=0,

TT

因為A+8e（0,7r）,A-Be（-7r,7r）,可得4+3=-或A=B，

2

所以JU5c是直角三角形或等腰三角形，故D錯誤.

故選：ABC.

II.兩個相交平面構(gòu)成四個二面角，其中較小的二面角稱為這兩個相交平面所成角；在正方體中，不在同

一表面上的兩條平行的棱所確定的平面稱為該正方體的對角面.則在某正方體中，兩個不重合的對角面所成

角的大小可能為（）

6432

【答案】CD

【解析】

【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)兩個相交平面所成角的定義確定兩個不重合的對角面所成角的可能大小即可.

【詳解】如圖：

平面ABCtDt與平面CDAtBt的交線為EF，

因為AEUBF,AE=BF,AB±AE,

所以四邊形A6EE為矩形，故同理AELER,

所以NAEA為二面角A.-EF-A的平面角,

又NA,EF=9(),所以二面角4-EF-A的平面角為90,

由相交平面所成角的定義可得平面ABG2與平面CD4|B|所成的角的大小為90,

如圖(2)

平面BCRA與平面A5C,￡>,的交線為BD},

因為AOJ.A2，A}D1AB,4。1,48<=平面45。1，，A0cA8=A,

所以4。上平面ABG2,設(shè)A。ADi=N,

則AN_L平面ABCQi,過點N作NM工BD,,

則幺MN為二面角\-BD,-A的平面角,

設(shè)正方體的邊長為。，則AN=，至，

'2

因為NNRM=ZBZ),A,4NMD、=ABAD,=90,

MND.N

所以NMD、sBAD-所以二^二景高

AoL)}D

72

——a

所以MV=

2■a=——a

6a6

所以tanN4"N=^=6,又幺MNw(0,90),

MN、'

所以N4MN=6(),

所以平面與平面CD4,4所成的角的大小為60,

故選：CD.

12.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ADLCD,AD=4,BC=2,CD=273.E為線段CO

的中點，尸為線段AB上一動點（包括端點），EF=ACD+〃BA,則下列說法正確的是（）

B.若尸為線段46的中點，則幾+〃=1

D.FC/D的最小值為6

【答案】AC

【解析】

【分析】對于選項A,過8作AO的垂直，再根據(jù)條件即可求出|AB|,從而判斷出選項A的正誤;

對于選項BCD,通過建立平面直角從標系，求出各點坐標，逐一對BCD分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】選項A,過6作的垂直，交A。于G,所以BG//CD,又ADUBC,ADYCD,

AD=4,BC=2,CD=273.

所以I=J|GA「+忸G-=百+(2何=4,故選項A正確;

建立如圖所示平面直角坐標系，則A(4,0),8(2,26),C((),2j5),E((),S/3),

選項B,因為F為線段AB的中點，則尸(3,6)，EE=(3,0),CD=(0,-273)BA=(2,-273).

所以2CO+43A=(2〃,一2團一2百〃)，由=+〃區(qū)4,得到一26/1-26〃=(),所以

2+〃=0,故選項B錯誤;

設(shè)Af=rA3(04f41),則尸(4一2/,26。，EF=(4-2t,28-我,

4—2t=2/j3

選項C,由EF=/lCO+〃84,得到，廠，解得4=--,故選項C正確;

2回r-6r=-2檢r-2?2

選項D,FC=(2/-4,273-273/),ED=(21-4,一2后),所以

FCFD=(2r-4)*234-26(2百-2回=16/―28,+16,

77|S

令y=16尸—2g+16,對稱軸為/=—,又當/=—時，所以尸。ED的最小值為一，故選項

8L84

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.在中，點M為邊AC上的點，且AM=3MC，若BM=ABA+/，BC,則4一〃的值是

【答案】-4"

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理代入計算，即可得出答案.

【詳解】因為點〃為邊AC上的點，且AM=3MC，

33/\1-3-

所以6M=6A+AM=8A+二AC=84+-8C—8A)=-BA+-8C,

44、>44

13

-

又因為3M=XBA+〃3C,所以％4-4-

13]_

所以幾_〃=1_]=

2

故答案為：---.

2

14.歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為e“=cosx+isinx，i是虛數(shù)單位.將指數(shù)

.Jt

e3

函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對應(yīng)的點在第象限.

.2n

1——

e3

【答案】四##4

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)的幾何意義即可解決.

.2?tc

2兀..2九二+回,所以

【詳解】因為e"=cosx+isinx,ROe'^=cos—4-isin—=—+—es=cos—4-1sin—=

33223322

二一月、

,K1技

x7T

13—+—i”2J

e1?3i.復(fù)數(shù)1e3-對應(yīng)的點為工，

_22,在第四象

iy-1G(IV3.一,一2n(2

fi_V3?22l7

------1------1X「2一晝\!e3

2222

7

限.

故答案為：四

271

15.在.ABC中,尸在邊上且"平分/B4C,若/R4C=—,AB=2AC=2,則線段"的長

3

為,

2

【答案】

3

【解析】

【分析】由S^BC=S&CAP+S&BAP結(jié)合三角形面積公式求解.

71

【詳解】VZCAP=ZBAP=-AB=2AC=2,

3f

又S△人8c=S4C/tP+S^BAP'

-xlx2xsin—=-xlxAPxsin—+-x2xAPxsin—

232323

:①HLAP,

24

16.棱長為"的正四面體ABC。的四個頂點都在球。的球面上，則球。的表面積為；直線

AC與80之間的距離為.

【答案】①.971;②.6

【解析】

【分析】將正四面體補形為正方體，求正方體的外接球的半徑及其表面積可得球。的表面積，再確定直線

AC與8。的公垂線段，由此求兩直線之間的距離.

【詳解】如圖，將正四面體A3CD補形為正方體，

則正四面體的外接球。就是正方體的外接球，

由已知A3=、/，所以正方體的邊長為石，

3

所以正方體的對角線長為3,正方體的外接球的半徑為一，

2

(3Y

所以球。的表面積S=4JIX-=9兀，

取AC的中點E，8。的中點產(chǎn)，

因為DC=￡>A=C，BC=BA=m，AC=R

所以力ELAC,BE,AC,BE=-

DE=2

所以

因為CB=CD=瓜AD=AB=?BD=指,

所以CT=AF=逑，

2

所以石尸1AC,

所以直線AC與之間的距離為線段E尸的長，

又,.EDF中,EF上DF，=—,￡>￡=—.

22

所以EF='回工=6,

V44

所以直線AC與BD之間的距離為6,

故答案為：9兀，石.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的

文字說明，證明過程或演算步驟.

7

17.已知Ovav兀，sina+cosa=—,求下列各式的值:

13

⑴tana；

⑵2sin2tz+cos2a

sin2a

【答案】⑴-弓

169

(2)------

120

【解析】

7

【分析】(1)由sina+cosa=—平方后求得2sinacosa,從而可得sin。一cosa,聯(lián)立可得

13

sina,cosa的值，即可得解;

(2)利用二倍角公式及齊次式計算即可.

【小問1詳解】

7

因為sincosa=-0,

.249me.120

則nlsin2a+2smacoso+cos~a=----,得2smacosa=-------

169169

289

則(sina-cosa)2=l-2sinacosa=

因為()<a<兀,2sinacosa<0,則sina>O,cosa<O,sina-cos>0,

17

所以sina-cos。=石②，

125

由①②得sina=—,cosa=-----,

1313

廣…sina12

所以tana=-------=------.

cosa5

【小問2詳解】

2sin-a+cos2a2sin-a+cos-a-sin-asin-or+cos-a1+tan-a169

sin2a2sinacosa2sinacosa2tana120

18.一副三角板(_ABC為等腰直角三角形，ABAC=90°,△BCD為直角三角形，

NC80=30°,ZBCD=90°)按如圖所示的方式拼接，現(xiàn)將.A3C沿邊折起，使得平面ABC1平面

BCD.

⑴求證：431平面4。＞；

(2)求直線8。與平面ACD所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵當

【解析】

【分析】(1)由面48(7_1面8。。，CD1.BC,可得C。_L面ABC,從而AB_LC。，又ABJ_AC,由線面垂直

的判定定理可證得結(jié)論；

(2)因為48_1_面4。。，則為BQ與平面AC。所成角，設(shè)鉆=a,求出8C,8。，在Rt/XABD中求

出sin/ABO,從而得出結(jié)果.

【小問1詳解】

因為面48。_1_面BCD,面ABCQ^BCD=BC,CDIBC,CDu面BCD,

所以CC_L面ABC,又ABu面ABC,則AB_LC。，

又A8_LAC,ACQCD=C,AC,CDcffiACD,所以AB_L面AC。；

【小問2詳解】

因為ABJ_面ACC,AQ為8D在面ACQ內(nèi)的射影，則NAQ3為與平面ACC所成角,

設(shè)■=“，則8C=也“，因為生=cos30。，則BD=M及a=^a.

BDV33

因為A8L面ACQ,ADcffiACD,所以ABLA。，

a

,.sc-in^/.4ADBrD1=_-A--B=_—-=一—"

在□△ABD中，BD2瓜a4，

3

則cosNABD=Jl—sin2NABD=巫

4

所以8。與平面ACD所成角的余弦值為叵

4

19.為進一步落實國家鄉(xiāng)村振興政策，某網(wǎng)紅村計劃在村內(nèi)一圓形地塊中種植油菜花，助推鄉(xiāng)村旅游經(jīng)

濟.為了讓油菜花種植區(qū)與觀賞路線布局合理，設(shè)計者們首先規(guī)劃了一個平面圖，如圖所示，△8C。與

△A8D是油菜花種植區(qū)，其中A。，BD(不計寬度)是觀賞路線.在四邊形ABC。中，4?=2,

(1)若/^：=4時，求路線AO的長;

(2)當NCB￡>=30。時，求路線8。的長.

【答案】(1)4)=6

⑵如苧

【解析】

【分析】(1)在一ABC中，由余弦定理求得AC=2J7,在ACD中，由余弦定理求得A。；

(2)在RjACO中求出AD，在一ABC中，由正弦定理求得sinZBAC,進而得cos/BAC,利用兩角和

的余弦公式求得cosNA4O=cos(N8AC+*在△A8D中，由余弦定理可得3D

【小問1詳解】

因為四邊形ABCO內(nèi)接于圓，又NA0C=6O。，所以NABC=120。，

在「ABC中，由余弦定理得:

AC2=AB2+BC2-2ABxBCxcos120°=4+16-2x2x4x28,

所以AC=2g.

在，ACD中，由余弦定理得:

AC2=AD2+CD2-2xADxCDxcosZADC,

即28=AD2+\6-2ADx4x-,即AD2-4/AD-12=0.

2

所以AD=-2（舍）或4）=6.

【小問2詳解】

因為四邊形ABC。內(nèi)接于圓，ZCBD=30°,則NC4T>=30°,

因為ZADC=60°,故/ACD=9（）°.

由（1）知AC=2j7,

2“4774&I

在RfACD中,-----=cos30°,則AD=

AD忑AC=1r丁

4_2幣

BCAC

所以在_ABC中,由正弦定理得即$出/847一否,

sinABACsinZABC

T

2

,因為44C<60。，所以cosZBAC

所以sin/BAC乃五'

2V3V31G721

所以cosABAD=cosABAC+-_I—___\z______\z__________

6）一幣2幣2一25一14

在△ABO中，由余弦定理得:

BD2=AB2+AD2-2ABxADcosZBAD=4+i^--2x2x^^x-^==—,

3V32V73

所以8。=坦叵.

3

20.已知異面直線ME，NF所成角為。,MEua,ME//p,NFu/3,NF//a,MNLME,

MNINF,且MN=d,ME=m,NF=n.

(1)求證：a//￡；

⑵求證：EF-yJd2+n^+n2±2/mcos&-

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面平行得出線線平行，再由面面平行的判定定理得證.

(2)通過作輔助線得Rt一Eb,在aNC戶中，再根據(jù)余弦定理即可得證.

【小問1詳解】

由題知M,N,E三點可確定一個平面Ne平面MNE,Nw尸，MEu平面肱VE,可設(shè)平面

MNE與平面￡的交線為N4,因為ME〃4，所以ME〃NA.

又MEua,NA（^a,故NAa.

又同理M7〃2，NFu。,NAu。,NANF=N,所以a//尸.

【小問2詳解】

在直線N4取點C,使NC=ME=m,連接EC,FC,由（1）知NC〃聞E,得四邊形MECN為平行

四邊形，故MN"EC.

由"N_LME,可得MNLNC,又MNINF,NCNF=N,NCu/3,NFuB,所以MN上0,

則EC_L平面夕，又FCu/3,所以EC，F(xiàn)C.

在RtECF中EF?=EC2+FC?=1+FC?.

因為ME，N/所成角為8，NC//ME,所以NC,NF夾角也為。,

所以在△NCE中，NCNF=9NCNF=TI—6,根據(jù)余弦定理知

FC2=NC2+NF2±2NC?NF?cos，=川+±2mncos9.

所以EF=\ld2+nr+n2±2mncos0-

21.在三棱柱ABC-AgC；中，側(cè)面ACC|A_L平面ABC,AC_LCB且C4=CB=CQ，E，尸分別

為棱AB，AG的中點.

⑴證明：4七〃平面CBE；

（2）若AC=2,ZACC,=60°,求點A到平面C8R之間的距離.

【答案】（1）證明見解析；

⑵酒.

7

【解析】

【分析】（1）設(shè)點G為8c的中點，連接EG,證明AE//FG,根據(jù)線面平行判定定理證明結(jié)論;

(2)利用等體積法求點A到平面CBF之間的距離.

【小問1詳