西藏拉薩那曲第二高級(jí)中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若三個(gè)球的半徑的比是1：2：3，則其中最大的一個(gè)球的體積是另兩個(gè)球的體積之和的（）倍．A．95 B．2 C．522．點(diǎn)，，直線(xiàn)與線(xiàn)段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C． D．或3．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么不等式的解集是（）A． B．C． D．4．若一個(gè)三角形，采用斜二測(cè)畫(huà)法作出其直觀(guān)圖，則其直觀(guān)圖的面積是原三角形面積的()A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍5．已知直線(xiàn)x+ay+4=0與直線(xiàn)ax+4y-3=0互相平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．±2 B．2 C．-2 D．06．已知一個(gè)幾何體是由半徑為2的球挖去一個(gè)三棱錐得到（三棱錐的頂點(diǎn)均在球面上）.若該幾何體的三視圖如圖所示（側(cè)視圖中的四邊形為菱形），則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．7．若a＜b＜0，則下列不等式關(guān)系中，不能成立的是（）A． B． C． D．8．直線(xiàn)mx＋4y－2＝0與直線(xiàn)2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則n的值為()A．－12 B．－14 C．10 D．89．若，則函數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．10．若變量滿(mǎn)足約束條件則的最小值等于（）A． B． C． D．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù),為的反函數(shù),則_______(用反三角形式表示).12．已知，若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則的最小值為_(kāi)____13．三棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，，平面，，，球的表面積為，則的表面積為_(kāi)______．14．若圓:與圓:相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，則公共弦的長(zhǎng)度是______.15．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，則的取值范圍是__________.16．已知圓及點(diǎn)，若滿(mǎn)足：存在圓C上的兩點(diǎn)P和Q，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.18．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)Q在棱AB上.（1）證明：平面.（2）若三棱錐的體積為，求點(diǎn)B到平面PDQ的距離.20．2019年4月23日“世界讀書(shū)日”來(lái)臨之際，某校為了了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，按閱讀時(shí)間分組：第一組[0,5),第二組[5,10)，第三組[10,15)，第四組[15,20)，第五組[20,25]，繪制了頻率分布直方圖如下圖所示．已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍．（1）求的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值；（2）現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加校“中華詩(shī)詞比賽”．經(jīng)過(guò)比賽后，從這6人中隨機(jī)挑選2人組成該校代表隊(duì)，求這2人來(lái)自不同組別的概率．21．設(shè)全集為，集合，集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

設(shè)最小球的半徑為R，根據(jù)比例關(guān)系即可得到另外兩個(gè)球的半徑，再利用球的體積公式表示出三個(gè)球的體積，即可得到結(jié)論?！驹斀狻吭O(shè)最小球的半徑為R，由三個(gè)球的半徑的比是1：2：3，可得另外兩個(gè)球的半徑分別為2R，3R；∴最小球的體積V1=43π∴V故答案選D【點(diǎn)睛】本題主要考查球體積的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題。2、B【解析】

根據(jù)，在直線(xiàn)異側(cè)或其中一點(diǎn)在直線(xiàn)上列不等式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與線(xiàn)段相交，所以，，在直線(xiàn)異側(cè)或其中一點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，解得或，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式，然后分類(lèi)討論求出不等式的解集.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以有，顯然是不等式的解集；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述：不等式的解集是，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用奇函數(shù)性質(zhì)求解不等式解集問(wèn)題，考查了分類(lèi)思想，正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.4、C【解析】

以三角形的一邊為x軸，高所在的直線(xiàn)為y軸，由斜二測(cè)畫(huà)法看三角形底邊長(zhǎng)和高的變化即可．【詳解】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線(xiàn)為y軸，由斜二測(cè)畫(huà)法知，三角形的底長(zhǎng)度不變，高所在的直線(xiàn)為y′軸，長(zhǎng)度減半，故三家性的高變?yōu)樵瓉?lái)的sin45°=，故直觀(guān)圖中三角形面積是原三角形面積的．故選C．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了斜二側(cè)畫(huà)法、平面圖形的面積的求解方法等知識(shí)，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解斜二側(cè)畫(huà)法的內(nèi)涵，與x軸平行的線(xiàn)段長(zhǎng)度保持不變，與y軸平行的線(xiàn)段的長(zhǎng)度減少為原來(lái)的一半．5、A【解析】

根據(jù)兩直線(xiàn)平性的必要條件可得4-a【詳解】∵直線(xiàn)x+ay+4=0與直線(xiàn)ax+4y-3=0互相平行；∴4×1-a?a=0，即4-a2=0當(dāng)a=2時(shí)，直線(xiàn)分別為x+2y+4=0和2x+4y-3=0，平行，滿(mǎn)足條件當(dāng)a=-2時(shí)，直線(xiàn)分別為x-2y+4=0和-2x+4y-3=0，平行，滿(mǎn)足條件；所以a=±2；故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查兩直線(xiàn)平行的性質(zhì)，解題時(shí)注意平行不包括重合的情況，屬于基礎(chǔ)題。6、C【解析】由三視圖可知，三棱錐的體積為7、B【解析】

根據(jù)的單調(diào)性，可知成立，不成立；根據(jù)和的單調(diào)性，可知成立.【詳解】在上單調(diào)遞減，成立又，不成立在上單調(diào)遞增，成立在上單調(diào)遞減，成立故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大小的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠建立起合適的函數(shù)模型，根據(jù)自變量的大小關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性得到結(jié)果.8、A【解析】

由直線(xiàn)mx+4y﹣2=0與直線(xiàn)2x﹣5y+n=0垂直，求出m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，求出p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，能求出n．【詳解】∵直線(xiàn)mx+4y﹣2=0與直線(xiàn)2x﹣5y+n=0垂直，垂足為（1，p），∴2m﹣4×5=0，解得m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，得10+4p﹣2=0，解得p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，得2+10+n=0，解得n=﹣1．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．9、B【解析】

直接用均值不等式求最小值.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，取等號(hào).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用均值不等式求函數(shù)最小值,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】解：由變量x，y滿(mǎn)足約束條件作出可行域如圖，由圖可知，最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得A（﹣1，）．∴z＝2x﹣y的最小值為2×（﹣1）．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先將轉(zhuǎn)化為，，然后求出即可【詳解】因?yàn)樗运运运园雅c互換可得即所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是反函數(shù)的求法，較簡(jiǎn)單12、8【解析】

兩直線(xiàn)斜率存在且互相垂直，由斜率乘積為-1求得等式，把目標(biāo)式子化成，運(yùn)用基本不等式求得最小值.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的斜率為，，直線(xiàn)的斜率為，，兩條直線(xiàn)垂直，，整理得：，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，的最小值為.【點(diǎn)睛】利用“1”的代換，轉(zhuǎn)化成可用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.13、【解析】

根據(jù)題意可證得，而，所以球心為的中點(diǎn)．由球的表面積為，即可求出，繼而得出的值，求出三棱錐的表面積．【詳解】如圖所示：∵，平面，∴，又，故球心為的中點(diǎn)．∵球的表面積為，∴，即有．∴，．∴，，，．故的表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的表面積的求法，球的表面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀(guān)想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

根據(jù)兩圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后兩圓相減求出公共弦的直線(xiàn)方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到公共弦的距離，進(jìn)而求出公共弦長(zhǎng).【詳解】由題意，圓圓心坐標(biāo)，半徑，圓圓心坐標(biāo),半徑，因?yàn)閮蓤A相交于點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，所以是直角三角形，，所以，由兩點(diǎn)間距離公式，，所以，解得，所以圓：，兩圓方程相減，得，即，所以公共弦：，圓心到公共弦的距離，故公共弦長(zhǎng)故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查兩圓公共弦的方程、圓弦長(zhǎng)的求法和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查學(xué)生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用數(shù)形結(jié)合，討論的范圍，比較斜率大小，可得結(jié)果.【詳解】如圖，當(dāng)時(shí)，，則在點(diǎn)處取最小值，符合當(dāng)時(shí)，令，要在點(diǎn)處取最小值，則當(dāng)時(shí)，要在點(diǎn)處取最小值，則綜上所述：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查目標(biāo)函數(shù)中含參數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，難點(diǎn)在于尋找斜率之間的關(guān)系，屬中檔題.16、【解析】

設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及兩圓相交的條件求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由得，由點(diǎn)在圓上，得，又在圓上，，與有交點(diǎn)，則，解得故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、利用圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；（2）根據(jù)第一問(wèn)得到，由裂項(xiàng)求和得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，解得，，則，.（2）由得∴.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見(jiàn)的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫(xiě)出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等。18、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)公差為，由，可得解得，，從而可得結(jié)果；（2）由（1），，則有，則，利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）設(shè)公差為d，由題解得，．所以．（2）由（1），，則有．則．所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）線(xiàn)面垂直只需證明PD和平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)垂直即可，易得，另外中已知三邊長(zhǎng)通過(guò)勾股定理易得,所以平面．（2）點(diǎn)B到平面PDQ的距離通過(guò)求得三棱錐的體積和面積即可，而,帶入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：在中，，，所以.所以是直角三角形，且，即.因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以.因?yàn)?，所以平面ABCD.（2）解：設(shè).因?yàn)?，所以的面積為.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以三棱錐的體積為，解得.因?yàn)?，所以，所以的面積為.則三棱錐的體積為.在中，，，，則.設(shè)點(diǎn)B到平面PDQ的距離為h，則，解得，即點(diǎn)B到平面PDQ的距離為.【點(diǎn)睛】此題考察立體幾何的證明，線(xiàn)面垂直只需證明線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別垂直即可，第二問(wèn)考察了三棱錐等體積法，通過(guò)變化頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題目．20、（1）a=0.06，平均值為12.25小時(shí)（2）【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和，第三組的頻率，由此能求出a和該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從而可估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值；（2）從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設(shè)為A，B，C，D，E，F(xiàn)，利用列舉法能求出從該6人中選拔2人，從而得到這2人來(lái)自不同組別的概率．【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為，第三組的頻率為∴該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)所以可估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值為小時(shí)．（2）易得從第3、4