安徽省馬鞍山市2022屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

3(4、

1.若復(fù)數(shù)z=sinO—W+cosO—彳i(9wR)是純虛數(shù)，則cos。+icos20的共軌復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

由純虛數(shù)的定義和三角恒等式可求得COS。，根據(jù)二倍角公式求得COS29；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可求得結(jié)

果.

【詳解】

A3

sinO--=0sinu=—

55

z為純虛數(shù)，，，即

44f

COS0一一工0costQ)W—

55

—,cos20=2COS20-1=2X1^.-1=—

sin20+cos20=1,/.cos9=

52525

,、cose+icos2。對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-23位于第二象限.

則cos。+ZCOS20的共扼復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的問題的求解，涉及到同角三角函數(shù)值的求解、二倍角公式的應(yīng)用、復(fù)數(shù)的幾

何意義等知識(shí).

2.在第二屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)中，為了提高安保的級(jí)別同時(shí)又為了方便接待，現(xiàn)將其中的五個(gè)參會(huì)國的人

員安排酒店住宿，這五個(gè)參會(huì)國要在。、匕、。三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個(gè)參會(huì)國入住，

則這樣的安排方法共有

A.96種B.124種

C.130種D.150種

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①把5個(gè)個(gè)參會(huì)國的人員分成三:組，一種是按照1,1、3；另一種是I.2、

2；由組合數(shù)公式可得分組的方法數(shù)目，②，將分好的三組對(duì)應(yīng)三家酒店；由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、五個(gè)參會(huì)國要在a、b、c三家酒店選擇家，且這三家至少有個(gè)參會(huì)國入住，

???可以把5個(gè)國家人分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2

當(dāng)按照1、1、3來分時(shí)共有C53=10種分組方法：

C2c2?=

當(dāng)按照I、2、2來分時(shí)共有十"=15種分組方法；

A2

2

則一共有10+15=25種分組方法；

②、將分好的三組對(duì)應(yīng)三家酒店，有《3=6種對(duì)應(yīng)方法；

則安排方法共有25x6=150種；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)數(shù)問題，有時(shí)分類以后,

每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決.

3.在區(qū)間Li"上隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)九，則事件”2x—1<0”的概率為（）

【答案】B

【解析】

由題意得，事件“2工一1<0"，即XV],

13

所以事件“2工一1<0”滿足條件是1+5=3,

3

由幾何概型的概率公式可得概率為1_/_3,故選B.

1-（-1）4

4.在下列區(qū)間中，函數(shù)/G）=er+4x—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

<0

先判斷函數(shù)/G）在R上單調(diào)遞增，由，d)，利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.

佃>0

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/G）=ex+4x-3在R上連續(xù)單調(diào)遞增,

L11

=?4+4x——3=04—2<0

4

且1

(1_

/—=ei+4xx_—3=ez—1>0

IUJ22

所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間14內(nèi)，故選c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于簡單題.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：（1）函數(shù)是否

為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).

5.在回歸分析中，放的值越大，說明殘差平方和（）

A.越小B.越大C.可能大也可能小D.以上都不對(duì)

【答案】A

【解析】

分析：根據(jù)上的公式和性質(zhì)，并結(jié)合殘差平方和的意義可得結(jié)論.

詳解：用相關(guān)指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果時(shí)，當(dāng)R2的值越大時(shí)，模型的擬合效果越好，此時(shí)說明殘

差平方和越??；當(dāng)A的值越小時(shí)，模型的擬合效果越差，此時(shí)說明殘差平方和越大.

故選A.

點(diǎn)睛：主要考查對(duì)回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用等知識(shí)的理解，解題的關(guān)鍵是熟知有關(guān)的概念和性質(zhì),

并結(jié)合條件得到答案.

6.設(shè)XWR,貝lj“r2-5r<0w是“5一11<1”的(

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分^斤】

分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.

【詳解】

化簡不等式，可知。<不<5推不出上一1|<1；

由卜-1|<1能推出0<x<5,

故“4—5元<0”是的必要不充分條件，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件.

x+y-l<0

7.已知變量x,y滿足約束條件,3x-y+lN0則z=2x+y的最大值為（）

x-y-1<0

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

畫出二元一次不等式所示的可行域，目標(biāo)函數(shù)為截距型，y=-2x+z,可知截距越大z值越大，根據(jù)圖

象得出最優(yōu)解為（1，°）,則z=2x+y的最大值為2,選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，作圖時(shí)，可將不等式

Av+8），+CN0轉(zhuǎn)化為+b（或）之米+力），"V"取下方，"z”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的是封

閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間

距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.

8.下列命題中正確的個(gè)數(shù)（）①“">0,的否定是匕ZfSsinq"；②用相關(guān)

指數(shù)內(nèi)可以刻畫回歸的擬合效果，心值越小說明模型的擬合效果越好；③命題“若0>6》0,則

萬>0”的逆命題為真命題；④若正產(chǎn)-2（m+l）K+m+3之0的解集為曲則ma1

A.。B-1c2A3

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)含量詞命題的否定可知①錯(cuò)誤；根據(jù)相關(guān)指數(shù)的特點(diǎn)可知R：越接近0，模型擬合度越低，可知②錯(cuò)誤;

根據(jù)四種命題的關(guān)系首先得到逆命題，利用不等式性質(zhì)可知③正確；分別在m=0和mmO的情況下，根

據(jù)解集為R確定不等關(guān)系，從而解得m范圍，可知④正確.

【詳解】

①根據(jù)全稱量詞的否定可知’>丫>0,7x>dnrn的否定是匕0>0,2九$siiur；'，則①錯(cuò)誤;

②相關(guān)指數(shù)內(nèi)越接近1,模型擬合度越高，即擬合效果越好；”越接近力模型擬合度越低，即擬合效果

越差，則②錯(cuò)誤;

③若7>3>0,則>短>0”的逆命題為：若“若L0>既>0,則a>R>0"，根據(jù)不等式性質(zhì)

可知其為真命題，則③正確;

④當(dāng)m=0時(shí)，出入工-2Cm+l)x+m+3=—2無+3之0，此時(shí)解集不為R,不合題意;

當(dāng)時(shí)，若-2(m+l)K+m+3之0解集為R，只需:m>0

4(m+I)2-4m(m+3)￡0

解得：m21則④正確.

二正確的命題為：③④

本題正確選項(xiàng)：0

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假性的判斷，涉及到含量詞命題的否定、四種命題的關(guān)系及真假性的判斷、相關(guān)指數(shù)的應(yīng)

用、根據(jù)一元二次不等式解集為R求解參數(shù)范圍的知識(shí).

3(Ji兀

9.已知cos。tan。=一,則sin--20()

4(12

B+"11

A?乎c.--D--8

42

【答案】D

【解析】

【分析】

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值得解.

【詳解】

3

Vcos0*tan0=sinG=-，

4

/.sin(--20)=cos20=l-2sinz0=l-2X(—)2=——.

248

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)

用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

io.參數(shù)方程,2q為參數(shù))所表示的圖象是

匯=-J

，_:___

y—~>lt2+2/

【答案】D

【解析】

【分析】

由才得.，代入________，經(jīng)過化簡變形后得到曲線方程，但需注意曲線方程中變量、、

r="t=-y=-Vt2+2

符號(hào)，從而確定曲線的形狀。

【詳解】

由題意知TH0,將，代入________，得

y=尸京+2

解得/口?因?yàn)閞~,----?所以rv>o.故選：Do

一三=1J>2>0

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程化普通方程一般有以下幾種消參方法:①加減消元法;

②代人消元法；③平方消元法。消參時(shí)要注意參數(shù)本身的范圍，從而得出相關(guān)變量的取值范圍。

11.設(shè)x是實(shí)數(shù)，則“丘_11<2”是“l(fā)x211”的()

A.充分不必要條件B<必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

求解不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：設(shè)工是實(shí)數(shù)，若“丘_11<2"則：-2<x-l<2,

即：-3<x-2<l,不能推出“1元211”

―<

若：u\x211”則：-I<x-2<1,即：0<x-l<2,能推出“1工一11<2”

―<

由充要條件的定義可知：不是實(shí)數(shù)，則是“l(fā)x211”的必要不充分條件；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了充分條件和必要條件的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知。=0.3。.3,b=0.313,c=1.3o.3,則它們的大小關(guān)系是

A.c>a>bB.c>b>ac.b>c>aD.a>b>c

【答案】A

【解析】

由指數(shù)函數(shù)y=0.3、的性質(zhì)可得0<033<0.3。.3<1,而1.303>1,因此1.303>O.3O.3>O.3L3,即

c>a>bQ選A。

二、填空題：本題共4小題

13.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)」7的模為.

【答案】后

5

【解析】

【分析】

先由復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，再求得復(fù)數(shù)模。

【詳解】

由題意可得1胃=1-2/=1-2/所以1丁-2/1=+6,填J5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的模，屬于簡單題.

14.一個(gè)袋子中裝有8個(gè)球，其中2個(gè)紅球，6個(gè)黑球，若從袋中拿出兩個(gè)球，記下顏色，則兩個(gè)球中至

少有一個(gè)是紅球的概率是（用數(shù)字表示）

13

【答案】

【解析】

【分析】

根據(jù)^意，袋中有2個(gè)紅球和6個(gè)黑球，由組合數(shù)公式可得從中取出2個(gè)的情況數(shù)目，若兩個(gè)球中至少有

一個(gè)是紅球，即一紅一黑，或者兩紅，由分步計(jì)數(shù)原理可得其情況數(shù)目，由等可能事件的概率，計(jì)算可得

答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，袋中有2個(gè)紅球和6個(gè)黑球，共8個(gè)球，

從中取出2個(gè)，有。2=28種情況，

8

兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球，即一紅一黑，或者兩紅的情況有。。+。2=13種,

262

13

則兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率為P=—

2o

13

故答案為：—.

【點(diǎn)晴】

本題考查等可能事件的概率的計(jì)算，是簡單題，關(guān)鍵在于正確應(yīng)用排列、組合公式.

15.若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y使等式mx（Iny?Inx）?y=0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【答案】加￡（-<^,0）=L+Q0）

【解析】

【分析】

將原方程轉(zhuǎn)化為相In上一2=0,令/='換元后構(gòu)造函數(shù)gG）=」-,利用導(dǎo)數(shù)研究g。）的單調(diào)性，由

xxxInf

此求得gG）的值域，進(jìn)而求得力的取值范圍.

【詳解】

mxClny-hu)-y=0兩邊同時(shí)除以x可得mln：-21=0,令1

xx

題意即為存在f>o使得箱m=f成立，顯然，=1時(shí)等式不成立,

故當(dāng)］>0且，工1時(shí)，存在?使得機(jī)=二成立。

Inr

記g（f）=L（f>0,且/wl）

Inr

g'（0=S，■由g'（f）=。得f=e

g。）在（0,1）上為減函數(shù)，在（1,e）為減函數(shù)，在（6+8）為增函數(shù);

且g(e)=e,從而g))w(-oo,0)DL,加o),

故加w(-oo,0)u[e,”).

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、值域，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

16.拋物線y=2心的準(zhǔn)線方程為.

【答案】y=一；

O

【解析】

【分析】

先將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得出準(zhǔn)線方程.

【詳解】

因?yàn)閽佄锞€＞=2X2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：X2=Lyf

I

-

因此其準(zhǔn)線方程為：y=8

故答案為：y=-1

O

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的準(zhǔn)線，熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，屬于基礎(chǔ)題型.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知/(x)=(1+X)"+l+2(1+X)"+2++&(l+X)"+*++〃(1+X)2n,C?￡N*).

(1)當(dāng)〃=3時(shí)，求/(X)的展開式中含T3項(xiàng)的系數(shù)；

(2)證明：f(x)的展開式中含X”項(xiàng)的系教為5+1)0+2.…

2n+l

【答案】(1)84；(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(D當(dāng)〃=3時(shí)，根據(jù)二項(xiàng)展開式分別求出每個(gè)二項(xiàng)式中的X3項(xiàng)的系數(shù)相加即可；

(2)根據(jù)二項(xiàng)展開式，含X”項(xiàng)的系數(shù)為a+2C”+3C〃+...+nCn=C1+2C2+3C3+〃C”，

n+1n+2n+32nn+ln+2n+32n

又k。=(W+1)C-1,再結(jié)合O+CrI=Crl即可得到結(jié)論.

n+Anr+n++1

【詳解】

(1)當(dāng)，2=3時(shí)，

/(x)=(1+X)4+2(1+x)5+3(1+x)6,

???fM的展開式中含X3項(xiàng)的系數(shù)為C3+2c3+3c3=84.

456

(2)/(X)=(l+X)"+l+2(1+X)n+2+...+女(1+X)n+Jl+…+〃(1+X)2n,(〃€N*),

故/(2的展開式中含加項(xiàng)的系數(shù)為

C"+2C”+3C"++nCn=。+2。2+3C3++〃C”

n+1JI+2”+32nn+1〃+2w+32n

因?yàn)槭?=3L=(M)…！=(〃+1)C?+I

n\kV-〃!(k—l)!(n+1)!(A:-1*)!n+A

所以m項(xiàng)的系數(shù)為：

(〃+l)(C”+i+C”+i+C*+i++Cw+i)

n+1w+2n+32n

=(〃+l)(C〃+2+C〃*i+C?i++C〃+i)

n+2w+2n+32n

*aa

=(W+l)(C〃+2+C，r+1++CHl)

n+3〃+32n

=(W4-l)O+2.

2w+l

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)的求法、組合數(shù)的計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推

理能力、運(yùn)算求解能力.

18,數(shù)列｛。卜防足S+〃=2〃+

nnn

(D計(jì)算，，氣，巴，并由此猜想通項(xiàng)公式。；

41%234n

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.

【答案】(1)a=———GcN*人(2)見解析

n2〃

【解析】

分析：(1)根據(jù)題設(shè)條件，可求%，a2,a3,a,的值，猜想｛aj的通項(xiàng)公式.

(2)利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟對(duì)這個(gè)猜想加以證明.

詳解：(1)根據(jù)數(shù)列M｝滿足S+a=2〃+(cN"),

nnn

3

當(dāng)〃一1時(shí)，S=a=2—a+1,即a；

i??i2

7

當(dāng)〃=2時(shí)，S?=。+%=4—。2+1即。

24

1531

同理〃3=一,

8416

由此猜想a=——-C?e?/*）；

?2“

3

（2）當(dāng)〃=1時(shí)，q=］，結(jié)論成立;

.2*+i—1

假設(shè)〃二女（女f為大于等于1的正整數(shù)）時(shí)，結(jié)論成立，即。=——

k2k

那么當(dāng)〃=女+1(左大于等于1的正整數(shù))時(shí)

a=S-S=2(攵+1)+1-。-2k-\+a，:2a=2+a,

*flAfikAHkA+1k

2^41-1

「?2+a-^r~2A2-1,即〃=Z+l時(shí)，結(jié)論成立,

a=_b=--------------=----------

I222"i

2”+1—1(\

則a=--------》€(wěn)N*/.

n2n

點(diǎn)睛：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=l成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）

利用已知條件證明n=k+l也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法

19.已知函數(shù)/（x）=G2（?！??）

/、f（x）

（1）若g（x）=-7有三個(gè)極值點(diǎn),x求。的取值范圍；

X+1123

⑵若f（x）之一以3+1對(duì)任意xeb,1］都恒成立的。的最大值為口，證明：5<H<^.

【答案】（1）悖引⑵見解析

U

【解析】

試題分析：（1）若gG）=!?有三個(gè)極值點(diǎn)只需"G）=ex-ar-%=0應(yīng)有兩個(gè)既不等于

X+1123

。也不等于T的根；（2）/G）之一以3+1恒成立即ex-lZaQ-外）.變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

（1）gG）=—定義域?yàn)椋╕0，T）D（T，+8）,

-2<ixXx+l)-C*-arz)xQ-以-2a)

,G),?.?g'(o)=o,

G+i>(x+l>

只需"x）=e“—2a=0應(yīng)有兩個(gè)既不等于0也不等于_i的根，”（工）=以

①當(dāng)a?0時(shí)，〃G）>。，.??力G）單增，a（x）二O最多只有一個(gè)實(shí)根，不滿足;

②當(dāng)?！?時(shí)，〃'Q）=ex-a=0==a=>x=ln?,

0

當(dāng)方€（-00,%）時(shí),"（x）<0,力G）單減；當(dāng)XwQ,+00）時(shí),〃G）>0,/?（x）單增;

???力5）是力G）的極小值,

而x->+oo時(shí)，h{x}=ex-cue-2a—>w,xff時(shí)，h{x}=ex-ax-2a,

要/i（x）=0有兩根，只需〃（七）<0,由/2（10）=氣_"_勿<0^e\na-a\na-2a<0

=>—a\na-a<0=>-\na-1<0=>Ina>-1=>?>-,又由力（0）w0n1—2〃wOnawL,

e2

反之，若a>L且a。?時(shí)，ijiiJ/i（-l）-L-a<0,/式入）=。的兩根中，一個(gè)大于一1,另一個(gè)小于一1.

e2e

在定義域中，連同％=o,g'Q）=。共有三個(gè)相異實(shí)根，且在三根的左右，g'（x）正負(fù)異號(hào)，它們是gQ）

的三個(gè)極值點(diǎn)

綜上，a的取值范圍為

（2）f{x}>-ax3+\<^>ex-ax2>-g+1=⑥-12aQ-13）對(duì)Vxe[0,1]恒成立,

①當(dāng)尤=0或1時(shí)，awR均滿足;

一X3）對(duì)Vx￡（O』）恒成立=awgt

@ex-}>a\x2--對(duì)立￡（°，1）恒成立,

X2一13

記〃Q）=公-1,XG（0J）,a=|i=———,XG（0,1）,

X2-X3maxX2-%3）

min

.26<26

欲證*曰<7=5<<一

5

而4）=金口<〃（外■"Ji）

minIX2—%3'，———

'7min48

o（r26L113r331089「”一

只需證明8^?—yje—}<u-Je<e"400'~2,7225顯然成立.

ex-}-1（\A€（0,1）,

下證：------>5u------>5,xekOJJ,ex>5x2-5x3+1

IX2—X3JX2-X3

min

X￡（O,I）,

先證：ex>\+x+-X2+-X3f

2o

ue>--x3--x2-x>1,XG（O,1）.

62

令v（x）=ex-—X3-—X2-xXG（O,1）,

62

v"G）=et-lx2-x-l,vff（x）=ex-x-l,v"r（x）=ex-l,/G）在（0,1）上單增，

.,./（x）>y〃（0）=0,.?./（%）在（0,1）上單增，.?.M（x）>/（0）=0,.?.O在（0,1）上單增,

vG）>v（0）=l,即證.

要證：05x2-5x3+1,XG（0J）.

11/\31E?Qr2

只需證1+X+=X2+-X3>5X2-5X3+1,+X>0

2662

u31x3—27x2+6x20<=XG1^2-27X+6）>0<=31x2-27x+6>0.xG（0,1）

而A=272-4x31x6=-15<0,開口向上，上不等式恒成立，從而得證命題成立.

點(diǎn)睛：第一間函數(shù)有是三個(gè)極值點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性滿足函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).第

二問較為復(fù)雜，將恒成立求參的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，分離變量，求出a滿足的表達(dá)式，再求這個(gè)表

達(dá)式的范圍.

20.已知函數(shù)/G)=lnx+x2-2or.

(1)若〃=5,求/G)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵若"1,gG)=L+x2—24一三一1,證明：VXG(0,-B?),/G)-^G)>o.

exex

【答案】(1)1(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)將a的值代入f(x),再求導(dǎo)得/<x)=------------------,在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)的最

x

小值正負(fù)來判斷它的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)把a(bǔ)的值代入f(x),將/G)-gG)>°整理化簡為+

exe

即證明該不等式在xw(°，+8)上恒成立，構(gòu)造新的函數(shù)①G)=xlnx+xG>°),利用導(dǎo)數(shù)可知其在定

義域上的最小值，構(gòu)造函數(shù)“0=二一三G>0),由導(dǎo)數(shù)可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即

exe

得證c

【詳解】

3“I、2x2-3x+l(2x-l)(r-l)

(1)解：因?yàn)椤?不，所以/(無)二--------------------------

2XX

令f'Cv)>0,得x>l或0<x<；；令/'(x)<0,得;<x<l,

所以fQ)在(0，；,(1,+8)上單調(diào)遞增，在停1)上單調(diào)遞減，

而/-=-ln2-_<0,/(l)=-2<0,/(3)=ln3>0,

)4

所以/G)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為i.

(2)證明：因?yàn)?=1,從而/(x)=ln.E+X2-2x.

又因?yàn)?(x)=—+￡—2x——一］,

exex

所以要證Vx￡(O，”)，/G)-gG)>。恒成立，

即證Mx￡(0,+oo),Inx+%2—2x———x-+2x+—+1>0恒成立，

exex

即證Vx￡(0,y),xlnx+x>之一一恒成立.

exe

設(shè)(p(x)=xlnx+x(x>0),則(p'(x)=lnx+2,

當(dāng)x>e-2時(shí)，(P，G)>0,(pG)單調(diào)遞舉；

當(dāng)0<x<e-2時(shí)，(P'(v)<0,(pG)單調(diào)遞減.

所以(p(x)=(pC-2)=-J_.

min02

設(shè)3G>o),piij/?'G)=--

exeex

當(dāng)0<x<l時(shí)，〃'(x)>0,gG)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，h'(x)<0fgG)單調(diào)遞減.

所以力G)=/?(i)=-l,所以(p(x)=-->//(%),

maxgming2max€

所以Vxe(0,+o