湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)

考數(shù)學(xué)試卷

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟高二年級4月期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

命題學(xué)校：恩施高中命考試時間：2024年4月24日14:3076:30考試時

長：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小

題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知lim〃3+AY）-Ax）=2；則=（）

以foAx

A.-1B.1C.2D.4

2.已知數(shù)列｛4｝滿足%=2,an=2—--（M>2）,則%出的值為（）

,2023202420242025

A.----B.----C.----D.----

2024202320252024

3.已知圓。：/+/=25和點尸（2,26）,若過點夕的5條弦的長度構(gòu)成一個等差數(shù)列，則該數(shù)列公

差的最大值是（）

14

A.—B.—C.1D.2

25

4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行恩施高中2022級數(shù)學(xué)競賽決賽，決出第1名到第5名的名

次，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得冠軍.”對乙說：“你當(dāng)然不會是最

差的.”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有（）種不同的情況.

A.54B.72C.78D.84

5.如圖，在“楊輝三角”中從左往右第3斜行的數(shù)構(gòu)成一個數(shù)第0行

第第11

列：1,3,6,10,15,則該數(shù)列前10項的和為（)第2行121

第3行1331

A.66B.120C.165D.220第4行14641

第5行1510105

6.若不等式+（e"-In/?）?對任意aeR,b40,4w)恒第6行161520156

成立，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.(-8,萬]B.]C.(-叫行]D.(-oo,2]

Z7X-4X、〉3r

7.已知函數(shù)/（x）=L、二,數(shù)列｛%｝滿足%=/（〃）,〃eN*,則“｛4｝為遞增數(shù)列”是

（5-6Z）X-11?X<5

7

“§<。<5”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分又不必要

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟4月期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷（共4頁）第1頁

6-ln27lnl6p/

8.已知x=2y=In",z=y,貝ij(

eo

A.z<x<yB.x<z<yC.z<y<xD.y<z<x

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知數(shù)列｛%｝,其前〃項和記為乂，則下列說法不氐琥的是()

A.若｛4｝是等差數(shù)列，且4+/=4+4,貝l],+q=s+/

B.若｛4｝是等差數(shù)列，且S“=Z〃2+8〃+c(48,CeR),則C=0

C.若同｝是等比數(shù)列，且S〃=2〃+i+C(C為常數(shù))，貝UC=-1

D.若｛%｝是等比數(shù)列，則邑,S2/c-Sk,S3k-S2k，…也是等比數(shù)列

10.關(guān)于多項式[2(》-3+1]5的展開式，下列結(jié)論正確的是()

A.各項系數(shù)之和為1B.存在無理項C.常數(shù)項為400D./的系數(shù)為一80

H.已知函數(shù)/(x)=e',g(x)=lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)-eg(x)的極值點為(l,e)

B.曲線y=/(x)與y=g(x)有且僅有兩條公切線，并且斜率之積等于1

C若%2>0時/(xj=g(%2),則％2-%>2

2

D.若x>0時，/(后t)-2g(x)2x(x-左)恒成立，貝!J左2—

e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.今天是星期四，那么4849天后是星期.

13.一個乒乓球從1加高的桌面上落下，每次反彈的高度都是原來高度的工，則乒乓球至少在第

2

_________次著地時，它所經(jīng)過的總路程會超過1吧20加.

64

14.曲線/(x)=x+lnx在點(1,1)處的切線方程為；若當(dāng)時，?(/(x)+l)<eY-'+(2?-l)x

恒成立，則。的取值范圍為.

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟4月期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷(共4頁)第2頁

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（本小題滿分13分）

編號為1,2,3的三個除編號外完全相同的盒子里，分別裝有3個紅球，2個白球；3個黃球，3個

白球；4個黑球，5個白球.（所有球除顏色外完全相同）

（1）現(xiàn)隨機從某個盒子里摸2個球，則在選到2號盒子的條件下，摸出的兩個球都是白球的概率

是多少？

（2）現(xiàn)隨機從某個盒子里摸1個球，若摸出的球是白色，則這個球來自2號盒子的概率是多少？

16.（本小題滿分15分）

已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",且S4=4$2，4“=2%+l（〃eN*）

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)句求數(shù)列也/的前〃項和為7；.

17.（本小題滿分15分）

已知函數(shù)f（x）=e2x-（2a+l）ex+ax

（1）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（2）若過原點可以作兩條直線與函數(shù)/（x）的圖象相切，求。的取值范圍.

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟4月期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷（共4頁）第3頁

18.(本小題滿分17分)

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,且滿足S"2%-2.數(shù)列也｝的前〃項和為北，且滿足仇=1,

———I——-——F...H=1——(neN*).

他2b2b3bnbn+xbn+l

(1)求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式；

⑵若C"=a/”,設(shè)數(shù)列￡｝的前〃項和為區(qū),且對任意的“eN*,憶-[〃-(-1)"間%+i<0恒成

立，求加的取值范圍.

19.(本小題滿分17分)

18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒(BrookTaylor)發(fā)現(xiàn)的泰勒公式(又

稱麥克勞林公式)有如下特殊形式：當(dāng)/(x)在x=0處的〃(〃eN*)階導(dǎo)數(shù)都存在時，

/(x)=/(0)+/(O)-x+乙必-%2+「'⑼-x3+...+='⑼?x"+.…其中，/"(X)表示/(%)的二階導(dǎo)

2!3!n\

數(shù),即為了'(%)的導(dǎo)數(shù),/(")(%)(〃23)表示/(%)的〃階導(dǎo)數(shù).

(1)根據(jù)公式估計COS^的值；(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

2

5

/vi2n-\3

(2)由公式可得：sinx=x-—+^--^+...+(-1)"-'———+…，當(dāng)x〉0時，請比較sinx與X—土

3!5!7!(2〃—1)!6

的大小，并給出證明；

.，1、

nsm(--)

(3)已知〃eN*,證明：￥[--------2--------]>n——一.

￡ln(〃+左+1)—ln(〃+左)12〃+9

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟4月期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷(共4頁)第4頁

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟高二年級4月期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷B

考試時間：2024年4月24日14:3076:30考試時長：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知lim/D-/（3-Ax）=2,貝1J/，（3）=（）

以f0Ax

A.-1B.1C.2D.4

2.已知數(shù)列｛4｝滿足%=2,an=2—--（M>2）,則%出的值為（）

2023202420242025

A.----B.----C.----D.----

2024202320252024

3.已知圓。：/+/=25和點尸（2,26）,若過點夕的5條弦的長度構(gòu)成一個等差數(shù)列，則該數(shù)列公

差的最大值是（）

14

A.—B.—C.1D.2

25

4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行恩施高中2022級數(shù)學(xué)競賽決賽，決出第1名到第5名的名

次，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得冠軍.”對乙說：“你當(dāng)然不會是最

差的.”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有（）種不同的情況.

A.54B.72C.78D.84

5.如圖，在“楊輝三角”中從左往右第3斜行的數(shù)構(gòu)成一個數(shù)第0行

第第11

列：1,3,6,10,15,則該數(shù)列前10項的和為（)第2行121

第3行1331

A.66B.120C.165D.220第4行14641

第5行1510105

6.若不等式+（e"-In/??對任意aeR,b40,4w)恒第6行161520156

成立，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.(-8,萬]B.]C.(-叫行]D.(-oo,2]

Z7X-4X、〉3r

7.已知函數(shù)/（x）=,、’，數(shù)列｛%｝滿足%=/（〃）,〃eN*,則“｛4｝為遞增數(shù)列”是

（5-6Z）X-11?X<5

7

“§<。<5”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分又不必要

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟4月期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷B（共4頁）第1頁

6-ln27lnl6p/

8.已知x=2y=In",z=y,貝ij(

eo

A.z<x<yB.x<z<yC.z<y<xD.y<z<x

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知數(shù)列｛%｝,其前〃項和記為乂，則下列說法不氐琥的是()

A.若｛4｝是等差數(shù)列，且4+/=4+4,貝l],+q=s+/

B.若｛4｝是等差數(shù)列，且S“=Z〃2+8〃+c(48,CeR),則C=0

C.若同｝是等比數(shù)列，且S〃=2〃+i+C(C為常數(shù))，貝UC=-1

D.若｛%｝是等比數(shù)列，則邑,S2/c-Sk,S3k-S2k，…也是等比數(shù)列

10.關(guān)于多項式[2(》-3+1]5的展開式，下列結(jié)論正確的是()

A.各項系數(shù)之和為1B.存在無理項C.常數(shù)項為400D./的系數(shù)為一80

H.已知函數(shù)/(x)=e',g(x)=lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)-eg(x)的極值點為(l,e)

B.曲線y=/(x)與y=g(x)有且僅有兩條公切線，并且斜率之積等于1

C若%2>0時/(xj=g(%2),則％2-%>2

2

D.若x>0時，/(后t)-2g(x)2x(x-左)恒成立，貝!J左2—

e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.今天是星期四，那么4849天后是星期.

13.一個乒乓球從1加高的桌面上落下，每次反彈的高度都是原來高度的工，則乒乓球至少在第

2

_________次著地時，它所經(jīng)過的總路程會超過1吧20加.

64

14.曲線/(x)=x+lnx在點(1,1)處的切線方程為；若當(dāng)時，?(/(x)+l)<eY-'+(2?-l)x

恒成立，則。的取值范圍為.

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟4月期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷B(共4頁)第2頁

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（本小題滿分13分）

某高校從2023年開始每年計劃招收10名體育特長生，且將這10名學(xué)生分到5個實驗班中.

（1）若在分班前要確定名額分配方案，計劃每個班至少分配到一名學(xué)生，共有多少種分法？（最

后結(jié)果用數(shù)字表示）

（2）若最終采取名額平均分配方案，2023年招收的10名學(xué)生中，有包含甲的男生6人，包含乙

的女生4人，若考慮到同學(xué)之間的關(guān)系，女生不分在同一個班，且甲乙不在同一個班，則共有多少

種分法？（最后結(jié)果用數(shù)字表示）

16.（本小題滿分15分）

已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為J,且S'=4S2，%=2a,+1（〃WN*）

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)4=（-1）".烏包,求數(shù)列也｝的前〃項和為7；.

anan+l

17.（本小題滿分15分）

已知函數(shù)/（x）=elx-（2a+l）e'+ax

（1）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（2）若過原點可以作兩條直線與函數(shù)/（x）的圖象相切，求。的取值范圍.

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟4月期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷B（共4頁）第3頁

18.(本小題滿分17分)

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,且滿足S"2%-2.數(shù)列也｝的前〃項和為北，且滿足仇=1,

———I——-——F...H=1——(neN*).

他2b2b3bnbn+xbn+l

(1)求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式；

⑵若C"=a/”,設(shè)數(shù)列￡｝的前〃項和為區(qū),且對任意的“eN*,憶-[〃-(-1)"間%+i<0恒成

立，求加的取值范圍.

19.(本小題滿分17分)

18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒(BrookTaylor)發(fā)現(xiàn)的泰勒公式(又

稱麥克勞林公式)有如下特殊形式：當(dāng)/(x)在x=0處的〃(〃eN*)階導(dǎo)數(shù)都存在時，

/(x)=/(0)+/(O)-x+乙必-%2+「'⑼-x3+...+='⑼?x"+.…其中，/"(X)表示/(%)的二階導(dǎo)

2!3!n\

數(shù),即為了'(%)的導(dǎo)數(shù),/(")(%)(〃23)表示/(%)的〃階導(dǎo)數(shù).

(1)根據(jù)公式估計COS^的值；(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

2

5

/vi2n-\3

(2)由公式可得：sinx=x-—+^--^+...+(-1)"-'———+…，當(dāng)x〉0時，請比較sinx與X—土

3!5!7!(2〃—1)!6

的大小，并給出證明；

.，1、

nsm(--)

(3)已知〃eN*,證明：￥[--------2--------]>n——一.

￡ln(〃+左+1)—ln(〃+左)12〃+9

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟4月期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷B(共4頁)第4頁

2024年云學(xué)名校聯(lián)盟高二年級4月期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)評分細(xì)則

題號1234567891011

答案BDCCDcBAACDADBCD

/(3+Ax)-/(3-Ax)

1.B【解析】r(3)=lim=1,故選B.

2Ax

3452025…口

2.D【解析】4=2,出=5,。3=§，%),???，%()24=，故選D.

3.C【解析】半徑為5,\OP\=4,所以過P點的最短弦長為6,最長弦長為10,從而公差

號=1,故選C.

dmax

4.C【解析】甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)排名次，甲不是第一名，乙不是最后一名，總共的情況

有耳-也-閻+團(tuán)=78,故選C.

23

5.D【解析】前10項的和等于C；+C1+C；+...+G；=+C；+C；+...+C11=C>C：+...+G：=...=G*

=220,故選D.

6.C【解析】J(a-b)2+("-lnb)2可以理解成動點(a,e。)與動點(b,Inb)的距離，結(jié)合y=優(yōu)與

y=lnx的圖象，容易得到最短距離為后，故選C.

a>l

7.B【解析】由“{q}為遞增數(shù)列”可以得到5-a>Q,解得2<a<5,所以“{aj為遞

尸〉(5—0.5—11

7

增數(shù)列”是“產(chǎn)<5”的必要不充分條件，故選B.

^2

6-ln27lnT

,y=lnV3=^z=—告，構(gòu)造函數(shù)〃桿口利

8.A【解析】X==

e2e~3x

T

2

用函數(shù)單調(diào)性可得Z<x且z<y；再構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(—10<x<e,求導(dǎo)可得

x

,2

221-ln-

ee1-Inr222

ex_1-lnxlnx-1_(l-lnx)(^-x)

~2*~2一~2'~2-22>0所以

XXXx,e、2xxe

(—)

X

2,2,2

方(%)在xe(0,e)上單調(diào)遞增，因為0<—<e,所以F(?)<F(e)=0,即/■(9)一/(3)<0,所以

3

—,也即尤<y,綜上：z<x<y,故選A.

e3

T

9.ACD【解析】A選項中，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列｛%｝是常數(shù)列時，由%,+4=生+4不能得到P+4=s+t,所

以A錯；B正確；C選項中常數(shù)C應(yīng)該等于-2,所以C選項錯；D選項中，當(dāng)其=0時，

1,5品-',5北-S”,…不是等比數(shù)列，所以D選項錯，故選ACD.

10.AD【解析】：[2(x-工)+1『展開式的通項可以表示為

X

2

a.=C；(2x)k-Ci(—y-l5-k-\k,reN,k+r<5)

klkX

A.令x=l,則[2(x-工)+1]5=1即為各項系數(shù)之和，A正確；

X

B.展開式的通項公式中4,eN,所以不存在無理項，B錯誤；

C.常數(shù)項中x的次數(shù)為0,則左=r=0或左=r=1或左=廠=2,則%。++a22=1+(-80)+480=401,

C錯誤；

D.d的系數(shù)即％0+。4.1的系數(shù)之和，表示為C53?23+C5、24.(-2)=80-160=-80,D正確，故選AD.

H.BCD【解析】：A.y=ex-elnx,yr=ex--,顯然y'="—'在(0,+oo)單調(diào)遞增，而y[i=0,所

XX

以丁=--elnx在(0,1)遞減，在G,+oo)遞增，所以該函數(shù)有極小值點1,極小值e；所以A錯誤；

B.?.?/(x)=e，,g(x)=lnx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則兩條公切線關(guān)于直線y=x對稱，斜率之積

為1,B正確；

C.令/"(xj=g(無2)=/Q>0)，則再=1取,X2=e',令"⑺=々一七=￡—Inf,A")=e’一-在(0,+oo)單調(diào)

遞增，而/(g)=八—2<0,/⑴=e—1〉0,Bt.€(1,1)使得h(°)=0即*=：且Kt)在(O/o)遞減，

在(/o，+oo)遞增，「.力⑺2/z?o)=一In/。=—卜，o>2,故C正確；

^0

D.%>0,e"—21n%>M_履恒成立，貝lj區(qū)+>x2+Inx2=In—+*’恒成立，構(gòu)造函數(shù)/(%)=%+/,

顯然Wx)=x+/單調(diào)遞增，則依Nin/恒成立，即束221nx,?/x>0,.?.左2處二恒成立，可得

x

21n丫2

-.-x>0,-.k>(—-)=-,故D正確；所以選BCD.

xmaxe

494949484849

12.=【解析】48=(49-1)=C°949(-l)°+C'949(-1)*+---+C^49(-1)+C^(-1)=7^-1

(keZ),所以4849除以7余6,故答案為：三.

13.7【解析】由題意得第〃5〉1）次著地時經(jīng)過的總路程為

Sn=1+1+,+4+…工=1+—^-=3--

"242n~2112n~2

1----

2

1QQ1QH1QQ

56=署，57=彎，所以在第7次著地時它所經(jīng)過的總路程會超過三".所以答案為：7

646464

14.y=2x-l;?>-1【解析】/'（x）=l+±所以切線的斜率為2,切線方程為：y=2x-1.原不等

X

式可化簡為。lnx+xW+a(x-l),令g(x)=e*+ax,.;g(lnx)Wg(x-l),由第一問可知

x+\nx<2x-l恒成立，即InxKx-1（x21）恒成立，所以g（x）在（0,+s）上單調(diào)遞增.

.?.g'（x）=e，+aNO恒成立.解得：aN-1.答案為:a>-l.（第一空2分，第二空3分）

【評分細(xì)則】

填空題按原評分細(xì)則閱卷

15A.解析：（1）設(shè)4="選到2號盒子”，B="摸到的兩個球都是白球”

「2Q1

則。卻）=#百=二5分

（2）設(shè)&="先選到第，號盒子”《=1,2,3）,D=“摸出白球”,

則P(G)=P(C2)=尸(。3)=；................................................................................................................6分

2

P(D\C1)=-.............................................................................7分

31

P(D\C)=-=-........................................................................8分

2o2

Mc3)=1............................................................................9分

P(D)=P(C1D)+P(C2D)+P(C3D)=P(G)P(D|G)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)

冬36+45+5013111分

W35+2L9270270

1

P(CP)32_45

P(C|D)2

2P(D)J31131

270

即這個球來自2號盒子的概率為生13分

131

【評分細(xì)則】

15A.解析：（1）設(shè)人="選到2號盒子”，B="摸到的兩個球都是白球”

「2Q1

"*）=六=ITM................................5分

r23i

或者寫了在選到2號盒子的條件下摸出的兩個球都是白球的概率=得=—=-

4155

「231

得5分，只有V=±=_L,得3分。

Cl155

（3）設(shè)6="先選到第，號盒子”?=1,2,3）,D=“摸出白球”,

P（G）=PC）=P（C3）=；.........................6分

2

P(D\Cl)=-.....................................7分

31

P(D|C2)=-=-..................................8分

o2

MC3)=|

9分

二口切=尸（G。）+P（C2D）+P（C3D）=尸（G）P（”G）+P（C2）P（D|C2）+P（C3）P（D|C3）

i,215、36+45+50131...................11

3529270270

分

1j_

,PC⑼=s=若』

21P(D)J31131

270

45

即這個球來自2號盒子的概率為上13分

131

15B.解析：（1）利用隔板法，共有C；=126；................................................6分

（2）以甲同學(xué)共班情況分類：

當(dāng)甲和另一名男生在同一個班時，共有C；C；A：A：=14400種，..........................9分

當(dāng)甲和另一名女生在同一個班時，共有北川羯=21600種；.......................12分

所以分法總數(shù)為14400+21600=36000種.................................................13分

（其它做法可以酌情給分）

16.解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項為％,公差為d.

4〃]+6d=4(2。]+d)

因為S4=4s2,a2n=2a“+l(〃eN*),所以?...............2分

a.+(2n-1)J=2[^+(n-1)J]+1

d=2al

化簡得＜...........................................................................4分

d=4+1

所以〃i=l,d=2，............................................................................................................................................5分

所以數(shù)列｛凡｝的通項公式為%=2〃-1......................................................................................................6分

(2)bn=(—1)"?上=(—1)〃.弋..............................................................................................7分

冊冊+i(2〃-1)(2〃+1)

整理得勿=(-1)"?〈[7T+7Tl.......................................................................................................10分

2(2n-l)(2〃+1)

所以雹=4+4+???+”

=-[―(1H—)+(—?—)—(—?—)+...+(-1)"(--------1----------)]=—[—1+(-1)“-------]...............................14分

2335572?-12〃+122n+l

整理得7；=—工+±1121.................................................................................................................................15分

24/1+2

【評分細(xì)則】

本題也可以分奇偶討論，10分及之前部分評分標(biāo)準(zhǔn)相同，

結(jié)果是：「—上史，〃為奇數(shù)（對一種情況得2分，錯一種情況，扣3分）

T_J2zz+l

17.解析：(1)f\x)=2e-x-(2a+l)ex+a=(2ex-l)(eA-tz)....................................................................1分

當(dāng)a<0時，ex-a>0,f'M>0=>%>-In2;f\x)<0=i><-In2.

所以/(x)在(-oo,-In2)上單調(diào)遞減，在(-In2,+oo)上單調(diào)遞增..........................2分

當(dāng)0<a<g時，/'(x)>0=>x>-In255tx<Ina;f'(x)<0=>Ina<%<-In2.

所以/(x)在(-oo,Ina)和(-In2,+oo)上單調(diào)遞增，在(ln?,-ln2)上單調(diào)遞減................3分

當(dāng)a=g時，/'(X)20恒成立，所以;'(%)在區(qū)上單調(diào)遞增................................4分

當(dāng)a〉：時，f\x)>0=>%>In<-In2;f'(x)<0n-In2<x<Ina.

所以/(x)在(-oo,-In2)和(Ina,+oo)上單調(diào)遞增，在(-ln2,lna)上單調(diào)遞減................5分

綜上所述：

當(dāng)a<0時，/（%）在（-8,-In2）上單調(diào)遞減，在（-ln2,+8）上單調(diào)遞增

當(dāng)0<a<g時，/（X）在（-8,Ina）和（-In2,+8）上單調(diào)遞增，在（Ina,-ln2）上單調(diào)遞減

當(dāng)a=g時，/（X）在夫上單調(diào)遞增

當(dāng)a〉)時，/(無)在(-8,-In2)和(Ina,+8)上單調(diào)遞增，在(-ln2,lna)上單調(diào)遞減.........6分

(2)設(shè)切點為(%，為)，

貝憫線方程為y-e2&+(2a+l)e*°-%=廿-(2a+l)*+a](x-%)..........................................7分

2xx

代入原點可得_e?x°+(2a+l)e與-ax0=-2x0e°+(2a+l)xoe°-ax0,

整理可得(2%-l)eA'°-(2a+1)(%—1)=0,..........................................................................................8分

由題意可知方程有兩個根，并且％=1不是方程的根，..................................9分

2元—1

當(dāng)飛。1時，方程化簡為：2a+l=^-e^,................................................................................10分

%—1

令，)：Qx])

g(x)="e(xHl),gG=eXn分

x-1(x-1)

33

g,a)>°n尤<°或龍>5；g3<°n°c<5且方1......................................................................12分

所以

g(x)在(-8,0)和(Q,+8)上單調(diào)遞增，在(0,1)和(1,耳)上單調(diào)遞減...........................13分

3121

由圖象可知0<2a+l<l或2。+1〉4〉，解得：-5<。<°或a>2e?......................................15分

【評分細(xì)則】

17題按照原評分細(xì)則閱卷。

18.解析：(1)對于數(shù)列｛a",當(dāng)〃=1時,S]=2q—2,解得q=2；..................................................1分

當(dāng)〃22時，5“_1=2%-2,

與原式作差可得4=2a,T，(〃N2),....................................................................................................2分

所以｛凡｝是以囚=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以。〃=2〃....................................................3分

對于數(shù)列｛a｝,當(dāng)〃=1時，/=1一；,解得久=2.............................................................................4分

姑2b]

、皿111,1

n>2時，---1----------------1-...........H----------------=1-----.

貼2b力3%么么’

與原式作差可得〃+i-〃=1(〃22)......................................................................................................5分

因為d—4=1,所以，+「................................................6分

所以電｝是以4=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以〃=〃...........................7分

(2)由(1)可知%=加2",所以=2+2x2?+3x23+……+(n-l)-2"-'+n-2".......................8分

所以犯=2?+2x23+3x2,+……+(n-l)-2"+n-2n+1....................................................................9分

兩式作差可得=2+2?+2,+……+2"—=(1—2..............................................11分

所以"”=(〃—1>2用+2......................................................................................................................12分

所以(“一1)?2"1+2—[〃—(―1)"m]-2"<0恒成立.......................................13分

化簡得加?(一2)“<2"-1........................................................................................................................14分

13

當(dāng)2k,k€N卡時,m<1一9恒成立,:.m<—................................................................................15分

當(dāng)n=2k-l,keN*時,—m<1一，恒成立，/.m>.................................................