8要點(diǎn)歸納

圓的基礎(chǔ)類題型，要對圓的幾個(gè)基本定理（垂徑定理、圓周角定理等）有

非常深刻的了解，能夠靈活運(yùn)用.同時(shí)記住圓問題的本質(zhì)其實(shí)是等腰三角形，圓

的所有半徑都相等，所以任何問題都可以利用半徑相等轉(zhuǎn)化為三角形問題來求

解，所以要能夠靈活轉(zhuǎn)化，對三角形的知識能夠靈活化用，就可以做出圓的問

題.

模塊一垂徑定理復(fù)習(xí)

垂徑定理

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2.推論1：（1）平分弦（下是耳彳至）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；

⑵弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；

⑶平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

CB=DB

3.推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

【例題1】（2022?上海黃浦?格致中學(xué)校考二模）如果一個(gè)正九邊形的邊長為a,那么這個(gè)正九邊形的半

徑是（）

A.——B.---------C.---D.----------

sin20°cos20°2sin20°2cos20°

【例題2】

（2022春?上海?九年級校考階段練習(xí)）下列命題中，假命題是（）

A.如果一條直線平分弦和弦所對的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦；

B.如果一條直線平分弦所對的兩條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦；

C.如果一條直線經(jīng)過圓心，并且平分弦，那么該直線平分這條弦所對的弧，并且垂直于這條弦；

D.如果一條直線經(jīng)過圓心，并且垂直弦，那么該直線平分這條弦和弦所對的弧.

【例題3］（2022?上海黃浦?統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為2的回。中，弦AB與弦C￡＞相交于點(diǎn)如果

=CD=20,0AMC=120°,那么。W的長為.

1.（2022春?上海?九年級上海市西南模范中學(xué)校考期中）如圖，43是半圓的直徑,C為半圓的中點(diǎn)，4（2,0）,

mo,反比例函數(shù)好與》＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,則左的值為.

X

2.（2022.上海崇明?統(tǒng)考二模）如圖，＞O是RtABC的外接圓，小，河交（。于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)，AE,CB

的延長線交于點(diǎn)孔如果OD=3,AB=8,那么FC的長是.

3.（2022春?上海徐匯?九年級統(tǒng)考期中）已知正三角形ABC的弦心距為〃，那么ABC的周長是.

（用含〃的式子表示）.

模塊二直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑為廣，圓心O到直線/的距離為d,則直線和圓的位置關(guān)系如下表:

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

相離直線與圓沒有公共點(diǎn).d>r=直線/與相離

______E2

直線與圓有唯一公共點(diǎn),直線叫做

相切d=ro直線/與。。相切

上圓的切線，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn),直線叫做

相交OVdcro直線/與。。相交

圓的割線.

★★☆☆☆

【例題4】如圖，在R/A4BC中，ZACB=90°,AB=10,sinA--,CD為AB邊上的中線，以點(diǎn)3為

圓心，廠為半徑作3.如果3與中線CD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么8的半徑廠的取值范

圍

B

D

★★★★☆

【例題5】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線丫=辦2+2尤+。與工軸交于點(diǎn)4（-1,0）和點(diǎn)5,

與y軸相交于點(diǎn)C（0,3）,拋物線的對稱軸為直線/.

⑴求這條拋物線的關(guān)系式，并寫出其對稱軸和頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

⑵如果直線y=fcc+6經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)。關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為N.試

證明四邊形SW是平行四邊形；

⑶點(diǎn)P在直線/上，且以點(diǎn)尸為圓心的圓經(jīng)過A、3兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，求點(diǎn)P的坐

標(biāo).

本講鞏固

1.如圖，直線AB,相交于點(diǎn)。，/AOC=30。，圓P的半徑為1c%,動點(diǎn)P在直線AB上從點(diǎn)。左側(cè)

且距離。點(diǎn)6c相處，以lcm/s的速度向右運(yùn)動，當(dāng)圓P與直線CD相切時(shí)，圓心尸的運(yùn)動時(shí)間為s.

C

2.如圖，已知A8是半圓。的直徑，AC是弦，將圖形A8C沿直線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)。的位置，過點(diǎn)

。作。如果。E與圓。相切，那么NA4C的度數(shù)等于.

ED

AoB

3.Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,以C為圓心所作的圓與邊AB僅一個(gè)交點(diǎn)，則半徑r為.

4.已知在,ASC中，ZC=90°,AC=BC=2,如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那

么。C的半徑是

5.如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,E是AD上一定點(diǎn)，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2.

尸是BC上一個(gè)動點(diǎn)，以尸為圓心，PC為半徑作。P.若。P與以E為圓心，1為半徑的。E有公共點(diǎn)，且

。產(chǎn)與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，則PC長度的取值范圍是

6.已知/[〃4，4、4之間的距離是5cm,圓心。到直線4的距離是2cm,如果圓。與直線4、4有三個(gè)

公共點(diǎn)，那么圓。的半徑為cm.

4

7.如圖，在RtABC中，44。3=90。,（：054=丁?！辏?8邊上的中線，CD=5,以點(diǎn)B為圓心，廠為半徑

作（B.如果3與中線8有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么8的半徑r的取值范圍為.

8.已知點(diǎn)P是直線＞=2上一點(diǎn)，P與y軸相切，且與x軸負(fù)半軸交于A、8兩點(diǎn)，如果AB=2,那么點(diǎn)

尸的坐標(biāo)是—.

9.對于平面直角坐標(biāo)系xOv中的任意一點(diǎn)P,給出如下定義：經(jīng)過點(diǎn)尸且平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的

直線，叫做點(diǎn)尸的“特征線

例如：點(diǎn)M（L3）的特征線是y=x+2和y=-x+4；

yk

5

4

3

2

1

?????i?J_|_!_>

-5-4-3-2-\O12345x

-1

-2

-3

-4

(1)若點(diǎn)。的其中一條特征線是y=x+l,則在4(2,2)、4(-1,0)、2(-3,4)三個(gè)點(diǎn)中，可能是點(diǎn)。的點(diǎn)

有______

(2)已知點(diǎn)P(T,2)的平行于第二、四象限夾角平分線的特征線與x軸相交于點(diǎn)4直線、=履+。化/0)經(jīng)

過點(diǎn)P,且與x軸交于點(diǎn)既若使的面積不小于6,求左的取值范圍；

(3)已知點(diǎn)C(2,0),T&0),且eT的半徑為1.當(dāng)eT與點(diǎn)C的特征線存在交點(diǎn)時(shí)，直接寫出/的取值范圍.

10.如圖，將兩個(gè)等腰直角三角形紙片。4B和OCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)A(0,0+1),

點(diǎn)可0+1,0),點(diǎn)C(0,l),點(diǎn)。(1,0).

(I)求證：AC=BD；

(II)如圖，現(xiàn)將OCD繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180。)，連接AC,BD,這一過程

中AC和3。是否仍然保持相等？說明理由；當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為時(shí)，AC所在直線能夠垂直平

分3。；

(III)在(II)的情況下，將旋轉(zhuǎn)角a的范圍擴(kuò)大為0。<a<360。，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，求，54。的面積

的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù).(直接寫出結(jié)果即可).

11.如圖，已知半徑為5的。M經(jīng)過x軸上一點(diǎn)C,與y軸交于A、8兩點(diǎn)，連接AM、AC,AC平分NOAM,

AO