2024年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一'單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.已知集合{力=久|久>—2},B-{x\x2+2%—15>0},則下列結(jié)論中正確的是（）

A.AQBB.4nB=0

C.AQBD-ACBH0

2.現(xiàn)有一球形氣球，在吹氣球時，氣球的體積V（單位：L）與直徑d（單位：dm）的關(guān)系式為

3

V="，當(dāng)d=2dm時，氣球體積的瞬時變化率為（）

6

7T71

A.271B.兀C.多D.微

3.在AABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=W，且c-2b+28cosc=0,則該三

角形外接圓的半徑為（）

A.1B.V3C.2D.2V3

4.在△ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90。.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=2,若次=

ACA+fiCB，則給出下面四個結(jié)論：

①4+〃的最小值為一點

②麗?麗的最小值為-6；

③■+〃的最大值為*

④而■麗的最大值為8.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共12小題，共54分。

5.復(fù)數(shù)學(xué)的虛部是.

6.雙曲線1的焦距是.

7.若拋物線久2=my的焦點到它的準(zhǔn)線距離為1,則實數(shù)血=.

8.（久+的二項展開式的各項系數(shù)之和為256,則該二項展開式中的常數(shù)項為.

9.已知兩個單位向量乙石滿足|43+引=VI?，則向量濟(jì)B的夾角為.

10.設(shè)函數(shù)〃%）的定義域為R,滿足1）=2/（%）,當(dāng)工€[0,1]時，/（%）=%（1-%）,則

11.設(shè)圓錐的底面中心為。，PB、PC是它的兩條母線，且|BC|=2,若棱錐。-PBC是正三棱錐，則

該圓錐的體積為.

12.已知函數(shù)/■(久)=2/''(3)?久—?/+仇久，則/'(1)=.

13.已知數(shù)列｛%J,｛%｝是公差相等的等差數(shù)列，且斯+勾=2兀+5,若"為正整數(shù)，設(shè)cn=

abn(neN*),則數(shù)列｛4｝的通項公式為cn=.

14.如圖ABCDEF-4BO0V為正六棱柱，若從該正六棱柱的6個側(cè)面的12條面對角線中，隨機(jī)

選取兩條，則它們共面的概率是

處+*l(a>b>0)的左、右焦點，過B的直線與C交于P,Q兩

15.已知％,&分別為橢圓C；

點，若IP&I=2\PF2\=3|&Q|,貝Ue的離心率是

16.已知nCN*,集合4=｛sin等|keN,0WkWn｝,若集合4恰有8個子集，則n的可能值的集合

為________

三'解答題：本題共5小題，共76分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(1)已知tan(竽+a)=3,求siYa+cos(兀+a)sing-a)+sin2a+日黑的值.

(2)已知△4BC中，tcmA+tanB+g=,且sinBcosB=,，判斷△4BC的形

4

狀，并說明理由.

18.如圖，在圓柱中，底面直徑ZB等于母線20,點E在底面的圓周上，且4F1DE,F是垂足.

(1)求證：AF1DB；

(2)若圓柱與三棱錐0-4BE的體積的比等于3兀，求直線DE與平面4B0所成角的大小.

19.某校舉行“強(qiáng)基計劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評，要求以班級為單位參賽，最終高三一班(45人)和高三二

班(30人)進(jìn)入決賽.決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4個選擇題和2個填空題，乙箱中

有3個選擇題和3個填空題，決賽由兩個環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級每位同學(xué)在甲或乙兩個紙箱

中隨機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱，并分別統(tǒng)計兩班級學(xué)生測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由

一班班長王剛和二班班長李明進(jìn)行比賽，并分別統(tǒng)計兩人的測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩個環(huán)節(jié)按照相

關(guān)比賽規(guī)則分別累計得分，以累計得分的高低決定班級的名次.

(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，按照分層抽樣的方法從兩個班級抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計每位同學(xué)答對題目

的數(shù)量，統(tǒng)計數(shù)據(jù)為：一班抽取同學(xué)答對題目的平均數(shù)為1,方差為1;二班抽取同學(xué)答對題目的平

均數(shù)為1.5,方差為0.25,求這20人答對題目的均值與方差；

(2)環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽出兩道題目，答題結(jié)束后將所答題目放入乙箱，然后李明在

乙箱中再依次抽取兩道題目，求李明抽取的兩題均為選擇題的概率.

2

20.已知點尸0尸2分別為雙曲線八號-y2=i的左、右焦點，直線by=-+1與廠有兩個不同的

交點A,B.

(1)當(dāng)時，求尸2到/的距離；

(2)若。為原點，直線/與r的兩條漸近線在一、二象限的交點分別為C,D,證明；當(dāng)小。。。的面

積最小時，直線CD平行于x軸；

(3)設(shè)P為久軸上一點，是否存在實數(shù)k(k>0),使得APAB是以點P為直角頂點的等腰直角三角

形？若存在，求出k的值及點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

21.已知函數(shù)g(x)=-g+2)尢,/i(x)=inx,令/'(x)=g(x)+%(%).

(1)當(dāng)a=l時，求函數(shù)y=g(x)在％=1處的切線方程；

(2)當(dāng)a為正數(shù)且1W久We時，=-2,求a的最小值；

(3)若告三警^>—2對一切0<勺<牝都成立，求a的取值范圍.

答案解析

L【答案】D

【解析】【解答】A、B=[x\x2+2%—15>0}=(x\x>3或x<—5},集合A、B不具備包含關(guān)

系，A錯誤；

B、ACB=(x\x>3},B錯誤；

C、A={x\x<-2}>B={x\-5<x<3}>則4、B不具備包含關(guān)系，C錯誤；

D、AnB={x\-5<x<-2]>D正確；

故答案為：D.

【分析】先求解集合B,再根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義結(jié)合集合間的關(guān)系逐一判斷即可.

2.【答案】A

32

【解析】【解答】解：設(shè)u=f(d)=嚓，所以/包)=哆，所以〃2)=2兀.

故答案為：A

【分析】首先對函數(shù)求導(dǎo)，再把數(shù)值代入到導(dǎo)函數(shù)的解析式，計算出結(jié)果即可

3.【答案】A

【解析】【解答】=B,/.c-2b+2acosC=0,

sinC-2sinB+2sinAcosC=0.

sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0,

sinC-2sinAcosC-2sinCeosA+2sinAcosC=0,

sinC-2sinC'cosA=0,

VsinOO,；.cosA=|,AG(0,兀)，

設(shè)該三角形外接圓的半徑為r,

由正弦定理得急=普=2=2七.」=1.

故答案為：A.

【分析】先應(yīng)用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡求出角A,再根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】如圖，以C為原點，CA,CB所在的直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

則C(0,0),A(3,0),B(0,4),因為PC=2,所以設(shè)PQcosO,2sin0),

則C^=bcose,2sin。)，CA=(3,0)，&=(0,4)，

所以］+=(32,4/z)，

所噫需_當(dāng)22即IoL-COS00—A(9為任意角)，

1sin"=〃

所以2+〃=、cos0+義sin0=，信cos0+fsin6)=慨sin(0+cp)

O\OtJ/u

(其中sinR=3COSR=|),所以九+u的最大值為I，最小值為—I，所以①③錯誤,

因為反=(3—2cosd-2sin0)，PB=(-2cos6?,4—2sin。)，

所以PA-PB=-2cos0(3—2cos0)—2sin0(4—2sin0)—4—(8sin0+6cos0)=4—lOsin(0+a)(其

中sina=高，cosa=耳)，

0^J-10<-10sin(0+a)<10,所以-6斗10sin(0+a閆4,所以易.而e[-6,14],所以易.法的最小值

為-6,最大值為14,所以②正確，④錯誤.

故答案為：A.

【分析】以C為原點，CA,CB所在的直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(2cos0,2

(2Q1

TTT{5cose=A

sin0),然后表示出CP，CA>CB的坐標(biāo)，由題意可得行，再逐個分析判斷即可.

(々sine二〃

5.【答案】||

2

【解析】【解答】3+42_(3+4y_724.所以其虛部為祟.

^41~(3—4i)(3+4i)--25+251>

故答案為：|4

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算以及虛部的定義求解即可.

6.【答案】2A/5

【解析】【解答】雙曲線/—1,可得a=l,b=2,貝人=/中=代，所以雙曲線的焦距是

4

2V5.

故答案為：2小.

【分析】通過雙曲線方程，求解c,即可得到焦距.

7.【答案】±2

【解析】【解答】???/=磔=2號%”=修|,又拋物線的焦點到它的準(zhǔn)線距離為1,所以p=

|y|=1,所以m=±2.

故答案為：±2.

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求解即可.

8.【答案】54

k2k

【解析】【解答】令x=l,則4n=256,解得n=4,所以展開式通項為：Tk+1=3C^-,k<

4且kGN,

令4-2k=0得，k=2,故常數(shù)項為：或x3?=54.

故答案為：54.

【分析】先利用賦值法求出n的值，然后利用展開式通項求常數(shù)項.

9.【答案】120°

【解析】【解答】根據(jù)題意，設(shè)向量優(yōu)3的夾角為仇若|4日+如=m，則1602+力2+8-匕=

17+8cos0=13,解得cos。=—熱

又由0°戌W120。，故。=120。.

故答案為：120°.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量市用勺夾角為仇由數(shù)量積的運算性質(zhì)可得16a2+b2+8a-b=17+

8cos6=13,求解cos。的值，分析可得答案.

10.【答案】1

【解析】【解答】因為/(x+1)=2f(X),所以渴)=/(I+1)=2/(1)=2xIx(i-1)=f-

故答案為：J.

【分析】令x鳥代入已知關(guān)系即可求解.

11.【答案】竽兀

【解析】【解答】已知如圖所示：

.棱錐O-PBC為正三棱錐，；.PB=PC=BC=2,OB=OC=OP,

VPOXBO,POXOC,由勾股定理得OB=OC=OP=VL即圓錐的底面圓半徑r=/，高為我，

則該圓錐的體積為U=*x(V2)2xV2=孥任

故答案為：孥兀.

【分析】由已知求出圓錐的底面圓的半徑和圓錐的高，從而得到圓錐的體積.

12.【答案】竽

【解析】【解答】因為/'(久)=2/⑶.久一梟2+仇％,所以((無)=2/⑶一1+1,則/''(3)=

2/(3)-1+y解得/'(3)=1,

所以/(%)=2x—1x2+lnx>則/'(1)=2-1+Ini=等.

故答案為：竽.

【分析】對f(x)求導(dǎo)，再代入x=3,從而求得廣(3)=1,進(jìn)而得到〃久)=2比一5％2+伍久，計算

f⑴即可.

13.【答案】5+n

【解析】【解答】設(shè)數(shù)列{an},{bn}的公差為d,由an+bn=ai+bi+2(n-l)d=ai+bi-2d+2nd=2n

+5,

可得L+籌方=5,解得［a//=7,則a--l,b-1,

即。冊="bi+zi—l=+31+71—1)-17—2+71=5+n，所以cn=5+n.

故答案為：5+n.

【分析】設(shè)數(shù)列{%},{"}的公差為d,由an+bn=2n+5可得ai+bi,d,代入a為即可求解.

14.【答案】A

【解析】【解答】由題意知，若兩個對角線在同一個側(cè)面，因為有6個側(cè)面，所以共有6組，若相交

且交點在正六棱柱的頂點上，因為有12個頂點，所以共有12組，若相交且交點在對角線延長線上

時，如圖所示,

連接AD,CD,E'D,AB',AF',先考慮下底面，根據(jù)正六邊形性質(zhì)可知EF//AD〃BC,所以EF〃

AD//B'C,且B，C=EF力AD,故ADCE共面，且ADEF共面，故AF,DE相交，且CD,AB，相

交，故共面有2組，則正六邊形對角線AD所對應(yīng)的有2組共面的面對角線，同理可知正六邊形對

角線BE,CF所對的分別有兩組，共6組，故對于上底面對角線AD，，BE,CF同樣各對兩組，共

6組，若對面平行，一組對面中有2組對角線平行，三組對面共有6組，所以共面的概率是

6+12+12+6_6

故答案為:蔡.

【分析】共面分為平行和相交，平行時，只需要考慮對面平行中的直線即可，相交時分為：在側(cè)面

內(nèi)相交，兩個相鄰面相交于一個點，相隔一個面中相交于對角線延長線上，分別分析幾種情況下對

角線共面的個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式，計算結(jié)果即可.

15.【答案】字

【解析】【解答】已知如圖所示：

依題得|PF1|+|PF2|=2a,|QFI|+|QF2|=2a,又|PFi|=2叫=3|FiQ|,則|PFi|=ga,|QFi|=1a,|PF2|

_2id7i-14

-WCl，IQF2I-g-CL，

則COSZQFIF2=-COSNPF1F2,則至t(虹幽=_(21+&)一停a),即⑵2+老小_

2.2耍2-2c-|az/

1967A2162142

27a=14c—g-u+gci，

則16c2=嶗。2,則e2=\即e咚

故答案為：字

【分析】根據(jù)橢圓定義，IPFil，|PF2|,|QFI|,IQF2I都用a表示，由COS/QFF2=COSNPFIF2,構(gòu)造齊

次式即可求解.

16?【答案】{4,5}

【解析】【解答】因為4={0,sin^,sin空sin吧卜

卜nnnJ

因為集合A恰有8個子集，所以A中含有3個元素且sin0=sin兀，結(jié)合誘導(dǎo)公式可知，n=4或n=

5,則n的可能值的集合為{4,5}.

故答案為：{4,5}.

【分析】由已知結(jié)合集合元素個數(shù)與集合子集個數(shù)的關(guān)系即可求解.

、2tan-377-r+tana

17.【答案】(1)tan(7Hr+a)=----紇井----=3=tana=-2,

sin2(z—cos2cr+2smcrcoscr

原式=51

22T

sin(z+cosacos%

lanZ+taTiB_乃(taziAtaziB—1)

(2)因為tanQ4+B)==-V3>

1—tanAtanB—1—tanAtanB

所以tan(兀一C)=—y/3=tanC-V3=>C=^,

sin2B=2sinBcosB=享，且2B6(0,2兀)，

所以2B=S或竽即B屋或多

當(dāng)B則A=￡,此時tcmA無意義,矛盾.

當(dāng)B=*則A=*滿足題意，此時△ABC是正三角形.

【解析】【分析】(1)由已知結(jié)合兩角和的正切公式可求tana,然后結(jié)合同角基本關(guān)系可求；

(2)由兩角和的正切公式先求tan(A+B),進(jìn)而可求tanC,C,再由二倍角公式及特殊角三角函數(shù)值求

出B,即可判斷.

18.【答案】（1）根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面力BE.

???EBu平面ABE,

DALEB.

??,4B是圓柱底面的直徑，點E在圓周上，

AE1EB,XAEnAD=A,

故得EB1平面

AFu平面DAE,

EB1AF.

又力F1DE,且EBCDE=E,

故得AF1平面。EB.

???DBu平面OEB,

???AF1DB.

（2）過點E作EHL力B,"是垂足，連接OH如圖所示:

根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面ABD1平面ZBE,4B是交線.且EHu平面4BE,所以EH1平面4B0.

又DHu平面ABD,所以是ED在平面ABD上的射影，從而NEDH是DE與平面力BD所成的角.

設(shè)圓柱的底面半徑為R,貝1」口4=AB=2R,

2

于是V圓柱=2兀Vd_abe=1AD?S&ABE=$,EH-

由^凝：VD_ABE=3TT,得EH=R,可知H是圓柱底面的圓心，AH=R,

DH=yjDA2+AH2=V5/?

，口nu.EH+花

???Z-EDH=arctan=arctan-g--

【解析】【分析】（1）欲證AFLDB,先證AF,平面DEB,根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證

EB±AF,AFJ_DE,且EBADE=E,即可證得線面垂直；

（2）點E作EHLAB,H是垂足，連接DH,易證/EDH是DE與平面ABD所成的角，在三角形

EDH中求出此角即可.

19.【答案】（1）一班抽取等x20=12人，二班抽取梨X20=8人，

一班樣本平均數(shù)為1,樣本方差為1,

二班樣本的平均數(shù)為1.5,樣本方差為0.25,

總樣本的平均數(shù)為12X1搐L5=I.2,

1ZH-O

22

記篇■樣本的樣本方差為12x[l+(l—L2)]+*[0.25+(1.5-1.2)]_Q76；

所以，這20人答對題目的樣本均值為1.2,樣本方差為076.

(2)設(shè)事件A為“李明同學(xué)從乙箱中抽出的第1個題是選擇題”，

事件以為“王剛同學(xué)從甲箱中取出2個題都是選擇題”，

事件B2為“王剛同學(xué)從甲箱中取出1個選擇題1個填空題“，

事件當(dāng)為“王剛同學(xué)從甲箱中取出2個題都是填空題”，

則Bi、B2,B3,彼此互斥，且BIUB2UB3=。，

PB)點=|'P@2)=*=云,P0)=^=2'

roo

P(A|BD=I，P(A[B2)=言,P(A[B3)=言

25511313

+X+X

P(A)=P(BDXP(A|B。+P(B2)XP(A|B2)+P(B3)XP(A]B3)8182158

25

所求概率即是a發(fā)生的條件下Bl發(fā)生的概率：P(B1|A)=%3=P-1第/)=5^6

1⑴卜式=13

【解析】【分析】(1)首先求分層抽取的兩個班的人數(shù)，再根據(jù)兩個班抽取人數(shù)的平均數(shù)和方差，結(jié)合

總體平均數(shù)和方差公式，代入求值；

(2)根據(jù)全概率公式和條件概率公式，即可求解.

2

20.【答案】⑴由雙曲線「號—y2=1的左焦點/(—遮，0),右焦點尸2(百，0),

■■■0e/時，0=-V3fc+1,...k=*，

二直線I：y=^-x+1>尸2至”的星巨離d=V3；

(2)由雙曲線「經(jīng)—y2=i得兩漸近線的方程為y=±孝久,

???直線/與r的兩條漸近線在一、二象限的交點分別為c,D,：,一號<k<0.

_V21

由y=得交點。的橫坐標(biāo)為五

y=kx+1-2~

y二一三"得交點。的橫坐標(biāo)為互

y=kx+1~2

]1_]J?

?1?S&CDO=2X1X||=|廣花|>2加，當(dāng)k=。時取等號，

-2~kT+k2~K

所以當(dāng)△C。。的面積最小時，直線CD平行于x軸；

(3)假設(shè)存在實數(shù)k(k>0),使得APZB是以點P為直角頂點的等腰直角三角形,

設(shè)P(7H,0),4(”丫1),B(X2,為)，

,(y=kx+1“,,口o°

由_2y2_2，消去丫得(1-2k2)/-4kx-4=0,

4=16k2-4(1-2k2)(—4)>0且1-2k2。0,解得一1<k<1且九彳土孝，

久1+久2=-----2，K1%2=-----:

l-2/cl-2/c,

的中點

l-2fc2'l-2k

所以4B的垂直平分線方程為y——^^=一久一一%),令y=0,則血

l—2k兒l—2kl—2k

TA-1PB-0,貝!J(%i-m,yQ?(第2一根，丫2)二°，

??.(/c2+1)%1%2+(fc-771)(%1+%2)+1+租2=0,

???(k2+1)x----\+(k—Tn)—+1+m2=0,

1-2/1-2/

—4-4km+(1+m2)(l—2k2)—0,

2

??.-4-4/cx-----------5+(1+(-----------7)(1-2k2)=0,

1-2/c1-2/c

4fc4+/c2-3=0,解得k=±苧，又k>0,故k=字，點P(-3V5,0),

存在實數(shù)々=字，使得APAB是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，此時P(-3g,0).

【解析】【分析】(1)易求焦點坐標(biāo)，可得F2到1的距離；

11—1

(2)求得兩漸近線方程，聯(lián)立方程可得SACD。=，x1x1力一9/,可證結(jié)論；

⑶假設(shè)存在實數(shù)k(k>0),使得4PAB是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，設(shè)