2024年青海省西寧市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）

一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

I.已知集合A=(-2,0),集合B=[-1,2),則AUB=()

A.[—1,0]B.(-1,0)C.(-2,2)D.[-2,2]

2.已知復(fù)數(shù)z=2+1,其中i為虛數(shù)單位，則|z|=（）

A.<2B.2C.75D.5

3.已知向量五=(zn,-1),5=(1,7H-2),若則TH=()

A.-1B.1C.-1->f2

4.下列命題中，正確的是（）

A?若abK0且a<b，則B.若a>b,則a?>b2

C若a>b,c>d,則ac>bdD.若a>b,則a+c>b+c

5.已知直線m,n和平面a,nua,則"zn〃n"是"zn〃a"的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知cos（zr+8）=—9是第四象限角，則sin26=（）

A一平B考c--D?竽

7.已知實(shí)數(shù)a=52,b=sin；,c=，o,”5,則a,b,c這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）

A.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

8.甲、乙兩人玩一個(gè)傳紙牌的游戲，每個(gè)回合，兩人同時(shí)隨機(jī)從自己的紙牌中選一張給對(duì)方.游戲開始時(shí),

甲手中的兩張紙牌數(shù)字分別為1,3,乙手中的兩張紙牌數(shù)字分別為2,4.則一個(gè)回合之后，甲手中的紙牌

數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和的概率為（）

A]C4D-|

.已知雙曲線2過的直線與的兩條漸近線分別交于兩

9C：y-y1的左、右焦點(diǎn)分別為&,F2,0C4,6

點(diǎn).若△0A8為直舟三角形，則SA。.=（）

3/3「3V3號(hào)

A.>[3D

10.已知底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積為4門TT,則該圓錐的外接球的表面積為（）

A.207rB.217rC.247rD.25兀

【1.如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學(xué)從4點(diǎn)出發(fā)，沿花正外側(cè)的小路順時(shí)針方向

勻速走了一圈(路線為力B-8。-OA),則小明到。點(diǎn)的直線距離y與他從4點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)

動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)圖象大致是()

】2.北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題.現(xiàn)有一貨

物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè)，第三層比第二層多3個(gè)，以此類推，記第N

層貨物的個(gè)數(shù)為即，則使得>2n+2成立的n的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/'(x)的圖象在x=0處的切線方程為

14.已知拋物線C：必=位的隹點(diǎn)為尸，點(diǎn)4為拋物線c上一點(diǎn)，若|力廣|=3,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

15.設(shè)等比數(shù)列5｝的前n項(xiàng)和為S”,若5n=2"+】+九則實(shí)數(shù)1=

16.若函數(shù)/(x)=2s加⑷x+$3>0)在［0,兀］上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則出的取值范圍是____.

三、解答題：本題共7小題，共82分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題12分)

在4ABC'］',AB=3>/3,AC=5/3,BC=773.

(1)求4的大?。?/p>

(2)求AABC內(nèi)切圓的半徑.

18.(本小題12分)

如圖，多面體4BCDE尸中，四邊形ABC。為菱形，/.BAD=pBD=DE=2BF=2,DE1AC,

BF//DE.

(1)求證：平面力CF_L平面8CEF；

(2)當(dāng)BFICO時(shí)，求三棱錐。-ACF的體積.

E

19.(本小題12分)

已知橢圓C：胃+5=l(a>匕>0)的離心率為g,且點(diǎn)(L—今在橢圓上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如圖，若一條斜率不為。的直線過點(diǎn)(—1,0)與橢圓交于M,N兩點(diǎn)、,橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,

直線BN的斜率為儲(chǔ)，直線AM的斜率為心，求證：日退

為定值.

20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x[lnx-a)+Inx+a.

(1)若a=l,當(dāng)x>l時(shí),證明：f(x)>0.

(2)若a<2,證明：/(x)恰有，個(gè)零點(diǎn).

21.(本小題12分)

某廠近幾年陸續(xù)購買了幾臺(tái)A型機(jī)床，該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時(shí)間x(單位：年)與當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)

用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料?：

X234S6

y2.23.85.56.57.0

已知皆=iM=90,差=1資=140.78.羽=1%丫]=112.3,<7^9?8.9,72?1.4

(1)計(jì)算丫與工的樣本相關(guān)系數(shù)r(精確到0.001),并判斷該型機(jī)床的使用年限與所支出的維修費(fèi)用的相關(guān)性強(qiáng)

弱(若0.75《|r|V1,則認(rèn)為y與x相關(guān)性很強(qiáng)，否則不強(qiáng)).

(2)該廠購入一臺(tái)新的A型機(jī)床，工人們分別使用這臺(tái)機(jī)床(記為X)和一臺(tái)已經(jīng)使用多年的A型機(jī)床(記為丫)

各制造50個(gè)零件，統(tǒng)計(jì)?得出的數(shù)據(jù)如表：

零件

機(jī)床合計(jì)

合格不合格

X4

Y40

合計(jì)

請(qǐng)將上面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“零件合格情況是否與機(jī)床的使用情況有

關(guān)”.

附參考公式及數(shù)據(jù)r==------

芍一X)'邛)(第i*-”)

2

K2=('其中n=a+b+c+d.

(n+b)(c+d)(a+c)、(〃b+上d")、

P(K2>ko)0.100.050.0250.0100.0050.001

*02.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(本小題10分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓M：(x-a)2+(y-l)2=a2+l,以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立

極坐標(biāo)系，圓心河(a,1)在直線I：psind+pcosG=2_E.

(1)求圓河的極坐標(biāo)方程；

(2)過。作兩條互相垂直的直線匕，G，其中，1與圓例交于。，力兩點(diǎn)，%與圓例交于。，8兩點(diǎn)，求△。4B面

積的最大值.

23.(本小題12分)

已知/(x)=|x—2m\+|x+1|.

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求不等式f(久)<5的解集：

(2)若Vx￡R,f(x)>4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合A=(-2,0),集合8=[-1,2),

則AU8=(-2,2).

故選：C.

利用并集定義、不等式性質(zhì)求解.

本題考杳并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：?.?復(fù)數(shù)z=2+i,

...|z|=Vl2+

故選：C.

直接利用復(fù)數(shù)的模長公式求解.

本題主要考杳了復(fù)數(shù)的模長公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：向量五=(m,—1),&=(l,ni-2),a//b,

則—2)=-1,解得m=1.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：當(dāng)a<0,。>0時(shí)，A顯然錯(cuò)誤；

當(dāng)a=Lb=—1時(shí)，B顯然錯(cuò)誤；

當(dāng)a=l,b=—1.c=-1.d=—2時(shí)，C■顯然借誤；

若a>b,則a+c>b+c,。正確.

故選：D.

舉出反例檢驗(yàn)選項(xiàng)A,B,C,結(jié)合不等式性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)D.

本題主要考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)逖.

5.【答案】D

【解析】解：直線m,n和平面a,nua,則“m〃n”與“m〃a”相互推不出.

“m〃"”是“m〃a”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理可得：直線m,H和平面a,nua,則“m〃n”與“m〃a”相互推不

出.即可判斷出關(guān)系.

本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)定理、簡易邏輯判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)镃0S(7T+。)=-g=—COS。，

所以COS。=I，

又。是第四象限角，sind=—41—cos20=—

則sin2。=2sin6cos0=2X(―^^)x1

故選：A.

由已知利用誘導(dǎo)公式可求cos。=1,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin。的值，進(jìn)而利用二倍角的正弦

公式即可求解sin2。的值.

本題考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，a=5i>5°=1,c=logi5<log=0,

53

因?yàn)閥=sinx(0《)在單調(diào)遞增，且0<g所以0=stnO<sin^<sin^=^<1.

所以a>b>c.

故選:C.

由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性求出a,b,c的取值范圍即可求得.

本題考查指、對(duì)數(shù)值和三角函數(shù)值的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意,一個(gè)回合之后,甲乙手中的指牌為{(L2),(3,4)},{(2,3),(1,4)),{(1,4),

(3,2)},{(3,4),(1,2)},共4種情況，

則甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和有{(3,4),(1,2)},共一種情況，

則一個(gè)回合之后，卬手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和的概率為

4

故選：B.

根據(jù)題意可羅列出一個(gè)回合之后的所有情況，再根據(jù)古典概型可解.

本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：該雙曲線的漸近線方程為y=±苧x,則，4。8=60。，

若^。48為直角三角形，則只可能NO48=90?；蛘?。84=90°.

這兩種情況對(duì)稱，面積相同，只研究一種情況即可，

如圖所示，/.OAB=90°,

在Rt△04居中,有|08|=2,]4川=|OR|sin30。=1,\AO\=|04|cos30。=4,

在山△048中，AAOB=60°,|OB|=2/3,|48|=3,所以S6tM8=苧

故選：C.

由題意求出漸近線方程，△。48為直角三角形，則只可能=90。或者"84=90。，不妨取4。48=

90°,在RtAtMF]中，求出|0川，在Rt^OAB中，求出|48|,即可得解.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

10.【答案】D

【解析】解:如圖，設(shè)圓錐的母線長為S4=/,

由圓錐的側(cè)面積公式，得gxx2xZ=4v3兀,

解得/=2^/~虧，所以圓徘的高為SH=J(2-7~5)2—22=4,

設(shè)圓鏈的外接球半徑為R,則在RtAO/M中，由勾股定理，R2=22+(4—R)2,解得R=5,

所以該圓徘的外接球的表面積為4"R2=2S7T.

故選：D.

設(shè)圓鋪的母線長為5A=3由圓錐的側(cè)面積公式，得/=2門和圓錐的高Sb=4,設(shè)圓徘的外接球半徑為

R,在RtaOHA中，利用勾股定理求得R,即可求解.

本題考查了圓錨外接球的表面積計(jì)算，屬于中檔題.

11.【答案】D

【解析】解：小明沿觸走時(shí)，與。點(diǎn)的直線距離保持不變，沿B。走時(shí)，隨時(shí)間增加與點(diǎn)。的距離越來越

小，沿。4走時(shí)，隨時(shí)間增加與點(diǎn)。的距離越來越大，故選：

根據(jù)扇形的特點(diǎn)結(jié)合路程關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，結(jié)合小明的運(yùn)動(dòng)路線進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)遨.

12.【答案】C

匕2-4=2

【解析】解：由題意］?一。2=3,“工？，？2€V且%=1,

<an—an-l=n

累加可得a”—%=2+3+…+n,所以a”=1+2+…+九=

"3”>2n+2,得n>4,Wnm(n=5.

故選:C.

由題設(shè)及累加可得即-處=2+3+…應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及已知不等關(guān)系求n范圍，即可得

結(jié)果.

本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】x-y+1=0.

【解析】解：因?yàn)閒(x)=ex,所以r(x)=e\

則所求切線的斜率4=f(0)=1,

又/'(0)=1,即切點(diǎn)為(0,1),

所以函數(shù)/'(x)=ex的圖象在x=0處的切線方程為：x-y+l=0.

故答案為：x—y+1=0.

求導(dǎo)數(shù)得到斜率，根據(jù)"0)=1,即切點(diǎn)為(0,1),可求出結(jié)果一

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于中檔題.

14.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查了拋物線的方程以及定義，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)出點(diǎn)4的坐標(biāo)，利用拋物線的方程以及定義即可求解.

【解答】

解：設(shè)A(m,n),由拋物線的方程可知：p=2,

則由拋物線的定義可得：|4F|=?n+1=m+l=3,

所以m=2.

故答窠為:2.

15.【答案】-2

n

【解析】解：等比數(shù)列也工的前n項(xiàng)和為1，Sn=2^+A,

則a1=S]=4+4,

a2=S2-Si=(8+4)—(4+X)=4,

a3=S3—S2=(16+4)—(8+4)=8.

ay,a2>CI3成等比數(shù)列，.,.送=

42=(4+/1)x8,

解得實(shí)數(shù)4=-2.

故答案為：-

求出ai=S]=4+4,&2=52-51=4，a3=S3—S2=8,由%,a2，a3成等比數(shù)列,能求出實(shí)數(shù)工

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】年,[)

【解析】解：由于0WXW7T，故牌3X+m7T3+*,

由于函數(shù)/(X)在[0,河上有且僅有三個(gè)零點(diǎn),

故3兀3麗+：<4"，整理得\S3〈卷

ob0

故3的取值范圍是除小

故答案為：片片).

直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出3的取值范圍.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：（1）力8c中，AB=3/3,AC=5^3,BC=7/3,

由余弦定理可得d=彗痣*=箭藕=4

而A6（0,乃），所以4=手

（2）設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,

根據(jù)面積相等有3x(3/34-5/3+7門)?r=9?5>f3sinl20o,

則r=

2

【解析】（1）直接代入余弦定理即可得;

（2）利用面積相等可得△力8c內(nèi)切圓的半徑.

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解：（1）證明：?.?底面四邊形A8CD為菱形，

ACLBD.yCDELAC.BDCDE=D,且BD,DEu平面8DEF,

AC，平面BDEP,乂ACu平面AC7,

.??平面ACT，平面8D￡T：

（2）由（1）可知4c.L平面BDEP,乂BFu平面8DE/，

BFLAC.乂BFLCD,ACHCD=C.W.AC,CDu平面4BCD,

???BF1平面48M

丫四邊形48CD為菱形，/.BAD=BD=DE=2BF=2,

...BF=1.AC=2＜3,BD=2,

.?.三棱鏈。一ACT的體積為，J-ACF—Vp-ACD

=5XS&ACDXBF=|xix2/3x1x1=?.

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理，即可證明：

（2）先證明平面A8CD,再轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點(diǎn)，最后根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解.

本題考查面面垂直的證明，三棱鞋的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

19.【答案】解：⑴由橢圓C：務(wù)、=Ma＞匕＞°）的離心率為全且點(diǎn)。，―｝在橢圓上，

可得.夕所喏=14=1-（扔=?

又點(diǎn)(1,一|)在該橢圓上，所以今+云=1，所以。2=4,b2=3,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為最+<=1.

43

(2)證明：設(shè)M(xiJi)，N(X2j2)，由于該直線斜率不為0,可設(shè)AMN：x=my-l,

聯(lián)立方程x=my-1和寧+y=1?得(3療+4)y2—6my-9=0,

4>0恒成立，根據(jù)韋達(dá)定理可知，

%+力=品，%.必=品，2為=一|(%+力)，

b-Ak

”=巧('2-2)=〃。叼2-3)_也右31

正一Cq+WE―。01+1加2一〃昭2+，2，

.空=-至1+丫2)-3丫［=3,...吊+>=M+絲=型.

kl-泰”+丫2)+丫2'勺?&k2k13

【解析】(1)將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式，即可利用待定系數(shù)法求橢圓方程；

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示%,即可求解密的值.

本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓中定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)

用，屬中檔題.

20.【答案】證明：(1)因?yàn)閍=1,所以/(x)=x/nx—x+)x+l,/(x)=+；.

當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,則f(x)在『，+8)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>f(l)=0.

(2)/(x)=x(lnx-a)+Inx+a=x(/nx-。+"+：)?

人/、,n,Inx,aI,,..,,、1r1-lnxax+1-lnx-a

令g(x)=Inx-a+-+則g(x)=+-7T--豆=———.

令h(x)=x+1-Inx-a,則h'(x)=1-：=

當(dāng)xe(0,1)時(shí),h'(x)<0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(L+8)時(shí)，h'(x)>0.h(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以h(x)>h(l)=2-a>0,所以g'(x)=什:產(chǎn)1>0,

則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(l)=0,所以g(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則/(x)恰有一個(gè)零點(diǎn).

【解析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得r(x)>0,即可得到f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,再由/(X)>/(1)=0,

即可證明；

(2)根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=/nx-a+?+5求導(dǎo)可得g'(x)>0,即g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，再

結(jié)合g(l)=0,即可證明.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)和利用綜合法證明不等式，考查了函數(shù)思想，屬中檔

2+3+4+5+62.2+3.8+5.5+6.5+7.0

21.【答案】解:(1>==4,y=-------5-------=5r,

5

22

S?=1Xiyt-Sxy=12.3,?=1短-5r=10,羽7療-5y?15.8,

嘮=1，匕-5與12.312.312.3

?0.987,

J限:+就已聞-5a"“際

r接近L說明A型機(jī)床的使用年限與當(dāng)年所支出的維修費(fèi)用之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性.

(2)補(bǔ)充2x2列聯(lián)表如下：

零件

機(jī)床合計(jì)

合格不合格

X46450

Y401050

合計(jì)8614100

零假設(shè)為“：零件合格情況與機(jī)床的使用情況無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到K2=100X(46X10-4X40)^2990>2,706,

50x50x86x14

所以根據(jù)臨界值表，我們推斷也不成立，

即有99%的把握認(rèn)為“零件合格情況是否與機(jī)床的使用情況有關(guān)”.

【解析】(1)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r