內(nèi)蒙古名校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期聯(lián)合質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若集合4={-3,-1,1,3},8={X卜242-X42},則/口8=（）

A.{-3,-1}B.{153}

C.{-1/}D.{-1,1,3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足匕=l+4i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知橢圓+==1的離心率為且，則m=（）

m+2m3

A.±V2B.±2C.±2也D.±4

4.設(shè)c,6是兩個不同的平面，m,/是兩條不同的直線，且an￡=/貝上加///”是“m/R

且機〃a”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

x+3y-1>0,

5.若x，>滿足約束條件2x-y-lV0則目標(biāo)函數(shù)z=y-4x的最小值為（）

y-2<0,

A.-8B.-6C.-4D.2

6.三人被邀請參加一個晚會，若晚會必須有人去，去幾人自行決定，則恰有一人參加晚會

的概率為（）

A.gB.|C.|D-|

7.記等差數(shù)列{%}的前〃項和為%若%=2,?14=8,貝36=（）

A.140B.70C.160D.80

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為7,則〃的取值范圍是（）

試卷第1頁，共4頁

A.(4,9]B.[4,9)C.(4,9)D.[4,9]

9.已知函數(shù)〃無）=2卜碎°",現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②〃x）是周期為兀的

周期函數(shù)；③/（力在卜「，彳5兀］1上單調(diào)遞減；④/（力的最小值為拳6.其中所有正確結(jié)論的編

號是（）

A.①③B.③④C.①②④D.①③④

10.若過點（。,2）可以作曲線y=lnx的兩條切線，則。的取值范圍為（）

A.（-℃,e2）B.（-oo,ln2）

C.（0,e2）D.（O,ln2）

22

11.設(shè)4,4是雙曲線C：5一方=1（°°，°片6）的兩條漸近線，若直線4與直線y=x

關(guān)于直線4對稱，則雙曲線C的離心率的平方為（）

A.5±273B.5±2A/2C.8±4A/3D.8±4也

12.已知奇函數(shù)〃x）的定義域為Rj（x+3）=-/（r）,且"2）=0,則〃x）在［0,6］上的

零點個數(shù)的最小值為（）

A.7B.9C.10D.12

二、填空題

13.若log23，=l,貝|9-，=.

試卷第2頁，共4頁

14.已知單位向量的夾角為］，卜-砌=百，貝!］加=.

15.在平行四邊形/BCD中，AB=l,AD=y/2,ZA=-,沿AD將△48。折起，則三棱錐

4

A-BCD的體積最大時，三棱錐A-BCD外接球的表面積為.

16.假設(shè)在某種細菌培養(yǎng)過程中，正常細菌每小時分裂1次(1個正常細菌分裂成2個正常

細菌和1個非正常細菌)，非正常細菌每小時分裂1次(1個非正常細菌分裂成2個非正常

細菌).若1個正常細菌經(jīng)過14小時的培養(yǎng)，則可分裂成的細菌的個數(shù)為.

三、解答題

17.現(xiàn)統(tǒng)計了甲12次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)和乙8次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù):

甲777377818581778593737781

乙7181737371738573

己知甲12次投籃次數(shù)的平均數(shù)7=80,乙8次投籃次數(shù)的平均數(shù)兀=75.

(1)求這20次投籃次數(shù)的中位數(shù)相，估計甲每次訓(xùn)練投籃次數(shù)超過用的概率；

(2)求這20次投籃次數(shù)的平均數(shù)最與方差52.

18.在“8C中，內(nèi)角4民C的對邊分別為a,6,c,且(a-V^6)cosC=c(V^cosB-coM).

⑴求2的值；

a

(2)若B=2C,證明：為直角三角形.

7T

19.如圖，在三棱柱/3C-44C］中，CA=CB=2,四邊形為菱形，NABB苫.

(1)證明：ABlBtC.

⑵已知平面N3C1平面,AC,1BXC,求四棱錐&-8CC4的體積.

試卷第3頁，共4頁

20.已知O為坐標(biāo)原點，廠是拋物線Uy?=2〃x(p>0)的焦點，M是。上一點，且

3

\MF\=\MO\=~.

(1)求C的方程；

⑵42是C上兩點(48異于點O),以48為直徑的圓過點0,0為的中點，求直線。。

斜率的最大值.

21.已知函數(shù)f(x)=V-◎+21nx.

⑴討論/(無)的單調(diào)性；

⑵若。>0J(x)〈e”恒成立，求。的取值范圍.

X=t+12

22.已知直線/：ta為參數(shù))，曲線C：—+/=1.

['-14

(1)求/的普通方程和曲線C的參數(shù)方程；

⑵將直線/向下平移a(a>0)個單位長度得到直線4，尸是曲線c上的一個動點，若點尸到

直線4的距離的最小值為手，求。的值.

23.已知函數(shù)/(x)=|x+2]+|x+a

(1)當(dāng)。=-1時，解不等式x+8；

⑵當(dāng)了4-4,-2]時，/(x)V7+x恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】首先求解集合5,再求交集.

【詳解】依題意得八{力242-x<2}=[0,4],且4={-3,-1,1,3},則45={1,3}.

故選：B

2.D

【分析】設(shè)2=a+6i(q,b￡R),代入利用相等復(fù)數(shù)的概念可求z,進而可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)z=a+6i(q,b￡R),因為iz=l+4i,所以i(a+bi)=—b+ai=l+4i,

[a=4

所以即z=4-i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(4,-1),位于第四象限.

[匕=

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)橢圓的方程，結(jié)合離心率的定義和求法，列出方程，即可求解.

22

【詳解】由橢圓+\=可得/=加+2,b-=m2,則c2=a2_〃=2,

m+2m

29<6丫

所以e2===^巨，解得加=±2.

a-m-+2I3J

故選：B.

4.C

【分析】根據(jù)題意，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件的判定

方法，即可求解.

【詳解】當(dāng)加/〃時，加可能在a內(nèi)或者尸內(nèi)，故不能推出加〃￡且加//a,所以充分性不成

立；

當(dāng)m//。且加〃a時，設(shè)存在直線“ua,〃<z〃，且

因為〃?//〃，所以〃//力，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知〃〃/,

所以用/〃，即必要性成立，故“加///”是“機〃/且機//a”的必要不充分條件.

故選：C.

5.C

【分析】畫出可行域，利用>=4x+z的幾何意義，即可求出結(jié)果.

答案第1頁，共12頁

\y-2=03

【詳解】畫出可行域如圖所示，由:1八，解得、=：/=2,

[2x-y-l=02

如圖，當(dāng)/：y-4x=0過點C（|,2]時，，取得最小值，且最小值為z=2-4xg=-4.

、產(chǎn)2=01J

y=^xlAI

2x-y-\=^|/

故選：C.

6.B

【分析】列舉基本事件空間，可得概率.

【詳解】設(shè)三人為A,B,C,則參加晚會的情況有A,B,C,AB,AC,BC,ABC,

共7種情況，

其中恰有一人參加晚會的情況有3種，

故所求的概率為彳3，

故選：B.

7.D

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前〃項和公式求解即可.

【詳解】因為｛與｝是等差數(shù)列，所以6+%6=%+%4=10，

故兒=16（%;%6）=80.

故選：D.

8.A

【分析】根據(jù)給定的程序框圖，運行程序并分別求出〃=5,〃=7時的〃值即可.

【詳解】依題意，當(dāng)S<P時，執(zhí)行循環(huán)體，當(dāng)時，結(jié)束循環(huán)，輸出〃=7,

運行程序框圖，”=l,S=0；S=l,〃=3；S=l+3=4,〃=5；S=4+5=9,〃=7,結(jié)束循環(huán),

所以P的取值范圍為（4,9].

故選：A

9.D

答案第2頁，共12頁

【分析】利用偶函數(shù)和周期函數(shù)的定義，就可以判斷①②，利用分段函數(shù)思想去掉絕對值,

就可以得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而可以判斷③④.

【詳解】因為〃r）=/（x）,/（x）的定義域為全體實數(shù)，所以/'（x）是偶函數(shù)，①正確；

/（x+7t）==2-|sinx|cosx/（x）,②錯誤;

57r1

當(dāng)XW7：,-^-時,/（X）=2同間cosx=2—sinxcosx=1n2”,

5元157r

因為2xe2K,--,所以＞=-穴由21在TT,--上單調(diào)遞減，

_2J214_

5JT

又＞=2、單調(diào)遞增，所以/（X）在71,—上單調(diào)遞減，③正確；

因為/（x+2無）=/（x）,所以/'（X）是周期為2兀的周期函數(shù)，

；sin2x

當(dāng)xe[0,2可時，〃月=2何加=尸：”[。，兀]，

——sin2x,..

22,XG（7l,27r],

則/（X）的最小值為2-=[,④正確.

故選：D.

10.C

【分析】設(shè)出切點，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，代入（。,2）,得至1露=況-/1皿,

構(gòu)造/⑺=3”“皿八（0,+8）,求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到/⑺1mx=/"）=62,結(jié)

合當(dāng)，?0,巧時，/（0＞0,當(dāng)代6,+8）時，/（0＜0,從而得到答案.

【詳解】在曲線＞=liw上任取一點尸&1皿），對函數(shù)y=lnx求導(dǎo)，得"L

X

所以曲線》=lnx在點尸處的切線方程為y-1W=；（XT）.

由題意可知，點（。,2）在直線＞-1皿=；（工-。上，可得。=3，-〃m.

令=ZlnZ,/G（0,+oo）,則/（）=3-ln/-1=2-In/.

當(dāng)女工+8）時,/'⑺＜0J⑺單調(diào)遞減，

當(dāng)?。?4）時，/'⑺＞0J⑺單調(diào)遞增，

所以“）2=/伊）=屋，且當(dāng)，?0,匐時，/（/）＞0,當(dāng)以"收）時,/（?）＜0,

答案第3頁，共12頁

又直線夕=。與曲線了=/（。的圖象有兩個交點，

所以0的取值范圍為（0,e2）.

故選：C

11.C

【分析】設(shè)4的傾斜角為。，分為和由兩角差與和的正切公式由求出

tan。，即可求出2,進而求出雙曲線C的離心率的平方.

a

【詳解】由題可知4經(jīng)過第二、四象限，4經(jīng)過第一、三象限，設(shè)4的傾斜角為。.

當(dāng)時，則36?=四,即。tan6?=tan|---|=2-V3,

I412146J

L.272

即—=2—所以e2=J"=ln——=8-4-\^~.

aa/

當(dāng)時，28+6—：=兀，即6=1|，tane=tan[[+；）=e+2,

即—=2+V3,所以/==1+=8+4.

aaa

綜上，雙曲線。的離心率的平方為8±4百.

故選：C.

12.B

【分析】由已知可得“X）的圖象關(guān)于點[，0｝寸稱，周期為3,據(jù)此計算可得/（X）在[0,6]

上的零點個數(shù)的最小值為9.

【詳解】由〃x+3）=-/（r）,可得"X）的圖象關(guān)于點（1,0:寸稱，

又“X）是奇函數(shù)，所以/（x+3）=-/（一力=/（尤）,則〃x）的周期為3,

所以/（0）=〃3）=〃6）=0，/（2）=〃5）=/（-2）=〃1）=/（4）=0,〃1.5）=-/（1.5）,

答案第4頁，共12頁

則〃1.5)=f(4.5)=0.故/(x)在［0,6］上的零點個數(shù)的最小值為9.

m/(x)=sin^l+2cos^L顯然滿足題意，且恰好在［0,6］上有9個零點.

故選：B.

13.-/0.25

4

【分析】根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化可得3、=2,利用指數(shù)幕的運算可得結(jié)果.

【詳解】由log23'=l,可得3,=2,則9T=3-2，=(3'『2=2-2=；.

故答案為：~.

4

14.-1或2

【分析】首先求出鼠幾再將口-機4=6兩邊平方，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到方程，解得

即可.

【詳解】因為單位向量小的夾角為g,所以￡/=琲際5=1義卜91

又因為卜-機4=6,所以.回-a-2ma-b+mib'-3,

所以l-〃z+/=3,解得"z=T或=2.

故答案為：-1或2

15.3兀

【分析】根據(jù)條件，利用余弦定理得,由題知431平面BCD時，三棱錐N-3CD

的體積最大，再將三棱錐”-3。補全為正方體，將問題轉(zhuǎn)化成求正方體的外接球半徑，即

可解決問題.

【詳解】在△/助中，AB=l,AD=y/2,ZA=~,

4

由余弦定理得BO?=402+2?/及os/=1+2—2x1歷史=1,

2

得到8。=1,所以,則A8L5。，

由題可知，當(dāng)481平面8co時，三棱錐/-BCD的體積最大，

如下圖，可將三棱錐/-BCD補全為正方體，

則三棱錐/-3。外接球的半徑即為正方體外接球的半徑，易知2R=AC=@,

所以&=3，故三棱錐A-BCD外接球的表面積為S=4成2=3Tl,

2

答案第5頁，共12頁

故答案為：37c.

16.217/131072

【分析】設(shè)經(jīng)過〃小時，有與個正常細菌，。個非正常細菌，貝|。用=2%,bn+l=an+2b?,

由等比數(shù)列的性質(zhì)求出｛%｝的通項公式，再證得是與首相和公差均為g的等差數(shù)列,

即可求出｛“｝的通項公式，進而求出答案.

【詳解】設(shè)經(jīng)過〃小時，有對個正常細菌，。個非正常細菌,

則%+i=2%,bn+l=an+2bn.

又%=2,4=1,所以%=2",bn+l=2bn+2",

“2向2"2""2向2"2

所以1/，是首項和公差均為g的等差數(shù)列，

所以與=!+!（"一1）=巴，

所以“=小2"7,所以％4+44=214+14X213=16X213=2。

故答案為：2".

17.⑴加=77,g

（2）平均數(shù)為78,方差為33

【分析】利用中位數(shù)、平均數(shù)和方差的公式直接計算即可.

【詳解】（1）將這20個數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個數(shù)和第11個數(shù)都是77,所以

因為甲的12次投籃訓(xùn)練中，投籃次數(shù)超過77次的有6次,

答案第6頁，共12頁

估計甲每次訓(xùn)練投籃次數(shù)超過m的概率為尸=三=2

122

(2)這20次投籃次數(shù)的平均數(shù)1=葛1+=3X8°；X75=78,

方差

2I2+52+12+32+72+32+12+72+152+52+12+32+72+32+52+52+72+52+72+52

52=-------------------------------------------------------------------------------------------------------------=33

20

18.(1)72

(2)證明見解析

【分析】(1)由正弦定理和逆用正弦和角公式得到6=缶，求出答案；

(2)由(1)得到sinS=V2sirL4，結(jié)合B=2C,得到sin2C=V2sin2CcosC+V2cos2CsinC>

化簡得到cosC=變，C=r，2=W，得到答案.

242

【詳解】(1)由(〃一行3cosc=c(J^cosH—cos/),

可得acosC+ccosA=V2(bcosC+ccosB),

所以siib4cosc+sinCcosZ=>/2(sin^cosC+sinCcos5),

所以sinB=V2sin/，

貝Ub=0a，即2=板.

a

(2)證明：由(1)可得sia8=V^siiL4.

又B=2C,所以sin2C=A/Isin(8+C)=Ssin3C,

即sin2C=后sin(2C+C)=^sin2CcosC+出cos2CsinC,

故2sinCcosC=2^2sinCcos2C+V2COS2CsinC>

所以2cosc=2及cos2c+2夜cos2c-夜，

即4任os2c-2cosC-V2=0.

因為3=2C,所以C為銳角，

解得cosC=，^(負值舍去)，即C=；，B=；，

所以為直角三角形.

19.(1)證明見解析

(2)2

答案第7頁，共12頁

【分析】（1）利用線面垂直證明線線垂直;

（2）證明線面垂直，根據(jù)Q-BCC畫=2囁「CBB,=2七一4兩可得解.

【詳解】（1）設(shè)。為月8的中點，連接CO,BQ,AB],BJ,

因為C4=C5,所以48_L0C,

jr

因為四邊形/8月4為菱形，^ABBt=1,所以A/3片為等邊三角形,

貝I]AB1OB,,

又ocno4=o,所以N8/平面oqc,

因為ACu平面020,所以48，可。；

（2）因為AC^AB=A,所以及。，平面A8G，

因為BQu平面4BC「所以8C]，4C,

所以四邊形8CG4為菱形，即2C=A8]=2,

因為平面48CJ■平面48耳4,且平面45Cc平面4844=N8,ABVOC,

所以O(shè)C_L平面，且。。=百，

Jr27r

又因為N/AB|=W，則=

/圈=BB]=2

故

〃-BCC百=2叱「C3=204鳴=2x；xSMB|BX℃=2x卜,邛加ysinUB邛x°C=2x；*；-2x2x1-xXT2

答案第8頁，共12頁

20.(1)/=4x

(2)手

4

【分析】（1）首先由條件求得點”的橫坐標(biāo)，再根據(jù)焦半徑公式，即可求解；

（2）首先聯(lián)立直線與拋物線方程，利用結(jié)合坐標(biāo)運算，求得點。的坐標(biāo)，再表

示直線。。的斜率，即可求解.

【詳解】（1）由拋物線的定義可知尸（5,oj

因為|KF|=|MO|,所以XM=￡.

因為|叫=：,所以卜勺解得°=2,故C的方程為產(chǎn)=4x.

（2）由題意知48斜率不為0,設(shè)/區(qū),燈）,8（與,力）,/:尤=叩+乙

x=my+t,c

聯(lián)"方程<2A得y---4/=0,A>0,

[y=4x,

則外+為=4%為力=-4?

因為以43為直徑的圓過點。，所以CM_LO8,則/乙+為為=0,

22

即學(xué)卷+?力=0,

解得"%=T6=-4t,所以f=4.

又貓+馬=俄（力+%）+8=4療+8,所以0（2加2+4,2加）

當(dāng)m=0時，k0Q=0,

\

2mm1V2

當(dāng)加w0時，koQe--,0u0,—

2m2+4m2+224，4

m-\——7\

m

故直線。。斜率的最大值為字

答案第9頁，共12頁

y/

21.(1)答案見解析

,+oo

【分析】(1)求導(dǎo)得/'3=2/丁+2,分類討論可求單調(diào)區(qū)間；

(2)由已知可得*2+lnYVe^+ax，令g(x)=e*+x,可得8加/)Vg(ax),進而由g(x)

單調(diào)性可得則V：,求得函數(shù)期的最大值即可.

x2x

【詳解】(1)7?(X)的定義域為(o,+⑹/(x)=2x-a+：=2dr+2.

關(guān)于x的方程2--ax+2=0,A=a2-16,

當(dāng)Q?4時，A<0,<(x)>0,所以/(%)在(0,+。)上單調(diào)遞增.

當(dāng)?！?時，則再="'〃T6="+2T6是方程_◎+2=0的兩根.

1424

又再入2=1，再+X2=m>°'所以0<%<%2，

令/(x)>o,解得x<nii或》>"四三1,

44

令r(x)<0,解得"揚2T6

44

所以“X)在0,1：T6和a+Jf16,+F］上單調(diào)遞增,在

7\/

紇丁,”丁)上單調(diào)遞減.

,nx22

(2)由〃x)?e“x,可得/+21nx?,BPe+lnx<e^+ax-

令g(x)=e*+x,易知g(x)單調(diào)遞增.

答案第10頁，共12頁

由6晟+lny2Ves+辦，可得g（ln/）（"），則Inx?Vax,即?V^|.

設(shè)內(nèi)口）=?，貝小“卜三"，當(dāng)X>e時，〃（x）<O,4x）單調(diào)遞減，

當(dāng)0<x<e時，”（無）>0,〃3單調(diào)遞增，所以/x）1rax=魴=1,

ee

所以旌L則0的取值范圍為12,+/.

2eLe；

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2小問的解決關(guān)鍵是，轉(zhuǎn)化/⑺口"得e"+lnx24y+辦，

從而利用同構(gòu)法即可得解.

x3fx=2cos。

22.