專題9導(dǎo)數(shù)之極值點偏移

導(dǎo)數(shù)之極值點偏移極值點偏移幾種常考類型

極值點偏移的解題方法

【極值點偏移基本定義】

眾所周知，函數(shù)/'（X）滿足定義域內(nèi)任意自變量X都有/（x）=/（27〃-X）,則函數(shù)/（X）關(guān)于直線

%=相對稱；可以理解為函數(shù)/（X）在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值.變化快慢相同，且若/（X）為單峰函數(shù)，則x=/〃

必為了（X）的極值點.如二次函數(shù)/（X）的頂點就是極值點看,若，口）=。的兩根的中點為五產(chǎn)，則剛

好有比衛(wèi)=即極值，點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.

2

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若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點偏移：若單峰函數(shù)/(x)的極值點為相，且函數(shù)了(%)滿足定義域內(nèi)X=m

左側(cè)的任意自變量.%都有/(%)>/(2加一無)或/(%)</(2初一x),則函數(shù)/(x)極值點m左右側(cè)變化快慢

不同.故單峰函數(shù)/(x)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)為,超滿足/(xJ=/(X2),則七三與極值點機必有確

定的，大小關(guān)系：

①若加(土土強，則稱為極值點左偏；②若〃?〉土土逗，則稱為極值點右偏.

22

【極值點偏移幾種?？碱愋汀?/p>

L.若函數(shù)/(%)存在兩個零點七,％2且占7%,求證：%1+x2>2x0(%0為函數(shù)/(x)的極值點)；

2.若函數(shù)/(x)中存在芭,％2且MW9滿足/(為)=/(%),求證：Xj+x2>2x0(X。為函數(shù)了(無)的極

值點)；

3.若函數(shù)/(x)存在兩一個零點七,％2且天力》2,令飛=與逗，求證：/'(xo)>o；

4.若函數(shù)/'(X)中存在占,％2且玉滿足/(%)=/(工2)，令X。=%；々,求證：/(x())〉0.

【極值點偏移的解題方法】

1、極值點偏移的判定定理

對于可導(dǎo)函數(shù)y=/(%)，在區(qū)間(a,b)上只有一個極大.(小)值點x0,方程于(x)=0的解分別為國,馬,

且4<玉<%2<人，

(1)若/(苞)</(2%—%)，則土產(chǎn)<(〉)叫)，即函數(shù)y=/。)在區(qū)間(者,々)上極(小)大值點

%0右(左)偏；

(2.)若/(X1)〉/(2x?！?，則七三〉(<)玉)，即函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(西,々)上極(小)大值點

無。右(左)偏.

2、運用判定定理判定極值點偏移的方法

1、極值點偏移處理方法：

(1)求出函數(shù)/'(%)的極值點與；

(2)構(gòu)造一元差函數(shù)P(x)=f(x0+x)—/(x0-x)；

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(3)確.定函數(shù)尸(x)的單調(diào)性;

(4)結(jié)合尸(0)=0,判斷/(無)的符號，從而確定了(/+x)、/(毛-x)的大小關(guān)系.

口訣：極值偏離對稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.

2、答題模板

若已知函數(shù)/(x)滿足/(七)=/(%2)，%為函數(shù)/(X)的極值點，求證：天+々<2%.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性并求出/(%)的極值點與；

假設(shè)此處/(X)在(YO,Xo)上單調(diào)遞減，在(%0，+8)上單調(diào)遞增.

(2)構(gòu)造F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

注：此處根.據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成E(x)=/(x)-/(2xo-x)的形式.

(3)通過求導(dǎo)廣(x)討論尸(x)的單調(diào)性，判斷出尸(x)在某段區(qū)間上的正負，并得出了(七+?與-x)

的大小關(guān)系；

假設(shè)此處F(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,那么我們便可得出F(x)>F(x0)=/(x0)-/(x0)=0,從而得

到：x>x0時,f(x0+x)〉f(x0-x).

(4)不妨設(shè)X[</<々，通過/(X)的單調(diào)性，/(%1)=/(x2))/(/+》)與/(%-幻的大小關(guān)系得出

結(jié)論；

接上述情況，由于X>X()時，/Oo+X)>/(玉)-X)且不<工0<工2,/(%1)=/(%2),故

x

/(斗)=/(%2)=f\-o+。2-％0)]>/[與一區(qū)一X。)]=/(2X0-%2),又因為玉<X。，2%-X2</且

/"(X)在(-8,%)上單調(diào)遞減，從而得到X]<2%-％2，從而再+%<2%得證.

(5)若.要證明了'(七迤)<0,還需進一步討論七逗與飛的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從

而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負，從而結(jié)論得證.

此處只需繼續(xù)證明：因為王+々<2%,故已上<七,由于/(X)在(-8,%)上單調(diào)遞減，故

【說明】

(1)此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計算時須細心；

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(2)此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求/(x)的單調(diào)性、極值點，證明/(%+x)與

f(x0-x)(或/(x)與/(2x0-X))的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如毛+々<2/或

(七強)<0的結(jié)論，讓你給予證明，此時自己應(yīng)主動把該小問分解為三問逐步解題.

.提升?必考題型歸納

例1.(2021?四川達州?二模)已知定義在［0,+動上的函數(shù)“尤)=；x2+ox+cos尤.

(1)若了(無)為定義域上的增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若a=-l,%)=/(%2)=0,王力馬，〃%)為“尤)的極小值，求證：xl+x2<2x0.

【答案】(1)［0,+e);(2)證明見解析.

【分析】(1)由單調(diào)性可知/'(x)'。在［0,+e)上恒成立，分離變量可得aNsinx-x；利用導(dǎo)數(shù)可求得

g(x)=sinx-x(x20)的最大值，由此可得。的范圍;

(2)利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點存在定理可確定3Aoe(0,萬)，/(x)在(O,x。)上單調(diào)遞減，在國,收)上單調(diào)遞增;

構(gòu)造函數(shù)尸(x)=f(%+x)-〃$-x)(O<x<%),利用導(dǎo)數(shù)可求得網(wǎng)X)單調(diào)性，得到"x)>"0)=0,從

而得到“與)>-％),根據(jù)自變量的范圍，結(jié)合，(無)在(0,不)上的單調(diào)性可證得結(jié)論.

【詳解】(1)由“X)=(無2+GV+COS尤得:/'(x)=x+<7-sinx.

/(x)為［。,+句上的增函數(shù)，(X)=x+l-sinx2。在［0,+司上恒成立,

即a之sinx—x,

令g(%)=sinx-x(無>。)，貝Ug'(%)—cosx-l<0,

，g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，，g(x)vg(o)=o,即g(x)1mx=0,

：.a>0,即實數(shù)。的取值范圍為［0,+e).

(2)當a=-l時，/(無)=g尤②-尤+cos尤，貝I］/'(x)=x—1—sinx,

.-./,,(x)=l-cos%>0,.,.;(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

Xr(0)=-l<0,/(萬)=萬一1>0,

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.?.現(xiàn)使得尸(9)=0,且當xw(O,Xo)時，r(x)<0；當xe(如+O0)時,>0；

在(0,飛)上單調(diào)遞減，在[，+<?)上單調(diào)遞增，則為f(X)的極小值.

2

X1<%,f(°)=1>0,于(7)=----71—1>0,..0<占<X。<X[<久,

設(shè)歹(x)=/(Xo+x)-/(七一x)(O<x<萬)，

F\x)-2XQ-2—2sin尤。cosx,r._F"(x)=2sin/sinx.

而?0㈤,sinx0＞0,又sin尤＞0,.,.尸"（x）＞0,

.?.尸（x）在（0,乃）上單調(diào)遞增，

,

尸'(0)=2彳0-2-2sin%cos0=2x()-2-2sinx0=2(x0-l-sin%0)=2/(%0)=0,

F(x)>F(O)=O,F(x)在(CU)上單調(diào)遞增,

.-.F(%)>F(O)=/(xo)-/(xo)=O,

/(%2)=/(x0+(x,-x0))>/(x0-(x2-^))=/(2x0-x2)

71冗.冗冗冗

二萬一1—sin]=萬一2<。，<x0<x2<,/.0<2/o—%<%,

又“X）在（0,5）上單調(diào)遞減，，玉＜2%-%，即%+尤2＜2%.

【點睛】方法點睛：處理極值點偏移問題中的類似于匹+%＞。（4%為/（可=0的兩根）的問題的基本步

驟如下：

①求導(dǎo)確定/（X）的單調(diào)性，得到占應(yīng)的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)尸（x）=〃x）-〃a-x）,求導(dǎo)后可得網(wǎng)x）恒正或恒負；

③得到/a）與〃的大小關(guān)系后，將〃石）置換為"吃）;

④根據(jù)々與。-西所處的范圍，結(jié)合/（X）的單調(diào)性，可得到了2與。-玉的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

例2.（20-21高三下?全國?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=（l+x）ln（l+x）—加―（2a+l）x,?eR.

（1）若/（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求。的最小值；

（2）若/（無）有兩個極值點分別是X],巧，證明：\+x2＞--2.

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【答案】(1)，(2)證明見解析.

2e

【分析】(1)利用函數(shù)/(X)在定義域內(nèi)是減函數(shù)等價于ra)vo在(-1,內(nèi))上恒成立，參變分離后，即可

求”的最小值；

(2)令/z(x)=_f(x),利用導(dǎo)數(shù)可求得網(wǎng)力的單調(diào)性；令制x)=/i(x)j］-2-可求得

m(x)>0,得到根(%)單調(diào)遞增，可得〃(馬)>,置換為〃(%)>〃\-2-X2),由/z(x)在

［1'［一1］上的單調(diào)性可得自變量的大小關(guān)系，從而證得結(jié)論.

【詳解】(D“X)定義域為(T"),/'(x)=ln(l+x)-2a(x+l),

在定義域內(nèi)是減函數(shù)，.."'(HWO在(-1,內(nèi))上恒成立,

ln1+%

即ln(l+x)-2a(x+l)<0,2fl>(),

1+x

令g(x)JO+x),則g'(x)=l[n(l；x),令g，(x)=0,解得：x=e-l,

\/1+xU+x)

當X￡(-—時，gr(x)>0；當％￡(e—1,+8)時，g'(x)<0；

r.g(尤)在1)上單調(diào)遞增，在(e-l,+o>)上單調(diào)遞減,

二g(x)max=g(eT)=：，?.?2a*(彳心=：，解得：此，,

，。的最小值為!.

2e

(2)由(1)知：若外力有兩個極值點，則〃<］；

令h^x)=/'(%)=In(1+%)—2a(x+1),貝|//(%)=----2a=2ax--2a型

x+1x+1

令〃(x)=0,解得：x=^--l,

2a

.,.當1,^—1］時，/z'(x)>0；當工￡—1,+°°］時‘，

??/(%)在11，2一1)上單調(diào)遞增，在［(T+8)上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)工1<x2，貝”一1<再<---1<%2；

2a

令制x)=--2-

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m!v(x\7=---------7-----------—4〃〉-----------------—4〃=0

flA/i\2

(2(1+X)I—-1-XI1+X+——1-X

則

mx

???加(*)在(：T+8)上單調(diào)遞增，?二()>加=0，

「.m(x2)=/z(x2)-/z^—-2-x2^j>0,即%(入2)>"(工一？一%1,

又/l(石)=九(%2)=0，^(^)>/if--2-x2j,

%2〉」一，/.-1<--1-X2<--1,

2〃一1a2〃

又見,/z(x)在11,(-1)上單調(diào)遞增,

二.玉〉--2—%2，艮|3%+w>-----2.

aa

【點睛】方法點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題，處理類似于玉+%>。(玉心為了(同=0的兩根)

的問題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定/(X)的單調(diào)性，得到占，%的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-/(a-x),求導(dǎo)后可得尸(x)恒正或恒負;

③得到〃石)與)的大小關(guān)系后，將〃西)置換為了伍)；

④根據(jù)巧與。-再所處的范圍，結(jié)合/(x)的單調(diào)性，可得到巧與占的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

例3.(20-21高二下,江蘇蘇州?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=21nxT/+l.

(1)當/(尤)有極值時，若存在％,使得/(%)>m-1成立，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)當“7=1時，若在〃x)定義域內(nèi)存在兩實數(shù)不，％滿足占且/(%)=/(%)，證明：玉+%>2.

【答案】⑴(0,1)；(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)/'(x)有極值可確定機>0,利用導(dǎo)數(shù)可求得由能成立的思想可知

1mx,得到7〃+ln〃z-l<0,令=,利用導(dǎo)數(shù)可知人(根)單調(diào)遞增，結(jié)合〃(加)零點

可確定加的范圍；

(2)利用導(dǎo)數(shù)可求得〃x)單調(diào)性，由此確定。令尸(x)=〃x)—“2—x),xe(O,l),利用導(dǎo)數(shù)

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可求得尸（力＜0,即〃x）＜〃2—X）,代入x=%后，置換成〃%）＜〃2-占），結(jié)合〃x）單調(diào)性可確定自

變量的大小關(guān)系，由此證得不等式.

【詳解】（1）〃X）定義域為（0,+⑹，r（x）=|-2mr=1.（-mx2+l）,

當機40時，r（x）＞0,即/（x）在（0,+e）上單調(diào)遞增，不合題意，.?.%＞0；

令—〃4+1=0,解得：x=/—,

Vm

當xqO，C時，/^）＞0；當

r（x）＜。；

上單調(diào)遞減,

存在％,使得〃飛）＞根-1成立，貝U〃zT＜/（x）1mx即加一1＜/

BPm+lnm—1<0,

1-I-1

令/z（m）=z7?+ln機一1,則hf（m\=l-\——=---->0,

mm

「/（m）在（0,+“）上單調(diào)遞增，又/z（l）=l+lnl—l=0,「.Ovm<1,

即實數(shù)加的取值范圍為（0,1）.

（2）當“7=1時，/（x）=21nx-x2+l,則r⑺=2_2x=22x?=2（j）

XXX

.,.當尤€（0,1）時，＞0；當xe（l,+?0時，r（x）＜0；

\/（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減,

由玉＜%且/（西）=/（當）知：。＜玉＜1＜%；

令/（x）=/（x）—/（2—x）,X6（0,l）,

22（1-（2-咪）2

nl2（l-x）4（x-l）

則/力=」——L,（2-x）'=0,

2-xx（2—x）

.?.方⑺在（0,1）上單調(diào)遞增，.?.尸⑺〈尸⑴=0,BP/（x）＜/（2-x）；

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，/(石)</(2—%)又/(％)=/(%),.?.〃/)</(2-氧)；

1.?%,G(O,1),:.2-^G(1,2),又%>1且f(x)在。，+8)上單調(diào)遞減,

x2>2-x1,即再+%>2.

【點睛】方法點睛：本題第二問考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題的變形，處理極值點偏移問題中的類似于

玉+%>。的問題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定“X)的單調(diào)性，得到外,吃的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)-x)=〃x)-/(a-x),求導(dǎo)后可得尸(X)恒正或恒負；

③得到"％)與〃。-西)的大小關(guān)系后，將〃石)置換為〃％);

④根據(jù)々與再所處的范圍，結(jié)合/(x)的單調(diào)性，可得到X?與玉的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

例4.(2017?山東淄博?一模)T^/(x)=xlnx-ax2+(2a-l)x,aGR.

⑴令g(x)=7'(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當時，直線y=f(T<f<0)與/(X)的圖像有兩個交點人(占,0,2(%，。,且石〈尤2，求證：X1+X2<2.

【答案】⑴當aWO時，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(。,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間；當a>0時，函數(shù)g(x)的單

調(diào)遞增區(qū)間為[。，()，單調(diào)遞減區(qū)間為，+00]

⑵證明見解析

【分析】(1)先求得g(x)的表達式，對g(x)求導(dǎo)，討論。與0的大小關(guān)系，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)知，尸⑴=0,根據(jù)單調(diào)性可知函數(shù)〃x)在x=l處取得極小值也是最小值.構(gòu)造函數(shù)

〃&)=4%)-"2-為)，利用導(dǎo)數(shù)求得〃(占)>0,即有—%)，根據(jù)單調(diào)性有%>2-玉，即有

石+12>2.

【詳解】(1)由/'(x)=lnx—2冰+2”，

可得g(%)=lnx-2ar+2a,%￡(0,+oo),

l?\1-1—lax

貝ijg(尤)=——2a=-----.

XX

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當aWO時，xw(O,+8)時，g?x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當a>0時，時，>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；xegp+[時，<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞

減；

所以，當QWO時，函數(shù)g(%)單調(diào)遞增區(qū)間為(O,y),無單調(diào)遞減區(qū)間；當a>0時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)

間為(0,(),單調(diào)遞減區(qū)間為

(2)由(1)知，-。)=0.

當a?0時，第x)是增函數(shù)，

所以當xe(O,l)時，/^%)<0,故“X)單調(diào)遞減；

當xe(l,+?)時，f\x)>0,故〃x)單調(diào)遞增.

所以/(X)在龍=1處取得極小值,且晶=〃l)=a-iv—l,

所以0<%<1<%.

/(X2)-〃2—石)=/(%)—“2—%)

=xjnxj-axy+(2〃-1)玉一[(2-%Jln(2-xJ-Q(2—再『+(2Q-1)(2-XJ]

=x11nxi一(2-x,)ln(2-尤])一2(公一1).

令〃(公)=卻叫-(2-x1)ln(2-x1)-2(x1-1),則//(為)=ln%]+ln(2-xj=In(%(2=In[-(X]-+1]<0,

于是在(o,i)上單調(diào)遞減，故〃(匕)>可1)=0,

由此得〃馬)一/(2—網(wǎng))>0即〃9)>〃2—%).

因為2-玉>1,%>1,f(x)在。,+8)單調(diào)遞增,

所以尤2>2一再，

即玉+尤2>2.

【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.解答此類問題，應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易

出錯.解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個轉(zhuǎn)化：(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化

為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.(2)將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判

定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理.

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例5.(2017?四川涼山,一模)設(shè)左eR,函數(shù)/(尤)=lnx-Ax.

(1)若芋=2,求曲線y=/(x)在尸(1,-2)處的切線方程；

(2)若/(x)無零點，求實數(shù)上的取值范圍；

(3)若/(無)有兩個相異零點為，三，求證：hiX]+lnx2>2.

【答案】(1)》+>+1=0；(2)(1,+⑹；(3)見解析.

e

【分析】(1)求函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，當上=2時/⑴=-1,點斜式寫出切線方程即可；

(2)當左<0時，由/⑴?/({)<()可知函數(shù)有零點，不符合題意；當左=0時，函數(shù)〃x)=lnx有唯一零點x=l

有唯一零點，不符合題意；當人>0時，由單調(diào)性可知函數(shù)有最大值，由函數(shù)的最大值小于零列出不等式，

解之即可；

(3)設(shè)/(%)的兩個相異零點為毛，巧，設(shè)玉>％2>0，則In石-飆=0,lnx2-Ax2=0,兩式作差可得，

1叫-lnx2=左(七-x2)即Inxj+lnx2=k5+x2),由xxx2>e?可得1叫+lnx2>2即k(x1+x2)>2,

西上>^oln五〉也二應(yīng)，設(shè),=%>1上式轉(zhuǎn)化為3>也U(/>i),構(gòu)造函數(shù)g(,)=im-證

X

西一九2%+%2々玉+%221+1/+1

g?)>g(1)=0即可.

11—kx

【詳解】解：(1)函數(shù)的定義域為(0,+8),f'3=——k=」^,

XX

當上=2時，r(l)=l-2=-l,則切線方程為y-(-2)=-(x-l),即x+y+l=0.

(2)①若左<0時，則尸(幻>0,f(x)是區(qū)間(0,+8)上的增函數(shù),

0/(1)=-^>0,f(ek)=k-kea=k(l-ek)<Q,

0/(l)-/(e*)<O,函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)有唯一零點；

②若左=0,/a)=lnx有唯一零點x=l；

③若左>0,令尸(x)=0,得x=J,

k

在區(qū)間(。，3上，廣(無)>0，函數(shù)是增函數(shù)；

K

在區(qū)間上，f'M<0,函數(shù)/(X)是減函數(shù)；

k

故在區(qū)間(0,―)上，/(X)的極大值為/(1)=ln1-l=-lnfc-l,

由于AM無零點，須使/(；)=Tn"l<0,解得%>L

ke

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故所求實數(shù)上的取值范圍是d,+8).

e

(3)證明：設(shè)/(x)的兩個相異零點為A，巧，設(shè)玉>%>0,

團/(玉)=0,/(x2)=0,回111%1一點1=0,In々一區(qū)2=。，

團In項一Inx2=左(玉-x2),Inxx+Inx2=k(x1+x2),

回毛/>/,故In玉+In%>2,故%(國+%2)>2,

即！nX|Tn%>」,即1白>2(玉-々),

玉-x2玉+x2x2%+x2

設(shè)f=%>l上式轉(zhuǎn)化為lnr>也?(f>l),

X2t+1

設(shè)g(/)=hw-絲U，

t+1

,,、(z-l)2

回g(f)=y^>。,

團g⑺在(1,y)上單調(diào)遞增，

國gQ)>g(D=0,Ellnf>2””,

r+1

回1nxi+In%>2.

【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論思想方法和構(gòu)造函

數(shù)法，以及轉(zhuǎn)化思想的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于難題.

例6.(16-17高三下?安徽合肥?階段練習(xí))已知/(x)=lnx-x+m(加為常數(shù)).

⑴求外力的極值;

(2)設(shè)勿>1,記/(x+〃?)=g(x),已知為為函數(shù)g(x)的兩個零點，求證：x1+x2<0.

【答案】⑴”力的極大值為f(l)=^T,無極小值

⑵證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性得極值即可；

(2)用導(dǎo)數(shù)判斷出g(