1．3兩條直線的平行與垂直課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能說明兩條直線平行或垂直（幾何關(guān)系）與兩條直線斜率的關(guān)系（代數(shù)關(guān)系）的內(nèi)在統(tǒng)一性，能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．（2）能利用兩條直線平行或垂直的條件解決問題，體會(huì)坐標(biāo)法思想，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．（1）理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件．（2）會(huì)運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直．（3）運(yùn)用兩直線平行或垂直時(shí)的斜率關(guān)系求直線方程，解決相應(yīng)的幾何問題．知識(shí)點(diǎn)01兩條直線相交、平行與重合1、代數(shù)方法判斷兩條直線的位置關(guān)系，可以用方程組的解進(jìn)行判斷（如下表所示）方程組的解位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)代數(shù)條件無解平行無交點(diǎn)而或或有唯一解相交有一個(gè)交點(diǎn)或有無數(shù)個(gè)解重合無數(shù)個(gè)交點(diǎn)或2、幾何方法判斷（1）若兩直線的斜率均不存在，則兩條直線平行．（2）若兩直線的斜率均存在，我們可以利用斜率和在軸上的截距判斷兩直線的位置關(guān)系，其方法如下：設(shè)，（1）與相交；（2）且；（3）與重合且．簡記表：類型斜率存在斜率不存在條件對應(yīng)關(guān)系兩直線斜率都不存在圖示【即學(xué)即練1】根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行．(1)經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，；(2)平行于y軸，經(jīng)過點(diǎn)，；(3)經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，．知識(shí)點(diǎn)02兩條直線的垂直1、兩條直線垂直的幾何方法判斷對應(yīng)關(guān)系與的斜率都存在，分別為，則與中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則與的位置關(guān)系是圖示2、兩條直線垂直的代數(shù)方法判斷已知直線的方程分別是（不同時(shí)為0），（不同時(shí)為0）（1）若（2）若【即學(xué)即練2】判斷下列各題中與是否垂直．(1)經(jīng)過點(diǎn)；經(jīng)過點(diǎn)；(2)的斜率為；經(jīng)過點(diǎn)；(3)經(jīng)過點(diǎn)；經(jīng)過點(diǎn)．題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行例1．（2023·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）下列與直線平行的直線的方程是（

）.A． B．C． D．例2．（2023·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)校考階段練習(xí)）直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合例3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要變式1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各題中直線與是否平行．(1)經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，；(2)經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，．變式2．（2023·全國·高二假期作業(yè)）判斷下列各組直線是否平行，并說明理由．(1)經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)；(2)的斜率為，經(jīng)過點(diǎn).【方法技巧與總結(jié)】判斷兩條不重合直線是否平行的步驟題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定例4．（2023·高二單元測試）已知直線與直線．當(dāng)t為何值時(shí)，(1)與相交？(2)與平行？(3)與重合？(4)與垂直．例5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．不能確定例6．（2023·全國·高二假期作業(yè)）過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不對變式3．（2023·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則直線與直線相交的充要條件是（

）A． B． C． D．且變式4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，直線，求：當(dāng)m為何值時(shí)，直線與分別有如下位置關(guān)系：相交、平行、重合．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)，（1）與相交；（2）且；（3）與重合且．題型三：兩條直線垂直的判定例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合例8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．重合例9．（2023·江西九江·高二校考階段練習(xí)）與直線的垂直的直線是（）A． B． C． D．變式5．（2023·全國·高二課堂例題）判斷直線與是否垂直．(1)的斜率為，經(jīng)過點(diǎn)，；(2)經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，；(3)經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，．變式6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）判斷下列各組直線是否平行或垂直，并說明理由．(1)，；(2)，．變式7．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知四邊形的頂點(diǎn).(1)求斜率與斜率；(2)求證：四邊形為矩形.變式8．（2023·青海海南·高二海南藏族自治州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下列給定的條件，判斷兩直線的位置關(guān)系.(1)l1經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)，B(－3，5)，l2經(jīng)過點(diǎn)C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點(diǎn)A(10，2)，B(20，3).【方法技巧與總結(jié)】使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟（1）一看，就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第一步．（2）二用：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式．（3）求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進(jìn)行討論．總之，與一個(gè)斜率為0，另一個(gè)斜率不存在時(shí)，；與斜率都存在時(shí)，滿足．題型四：直線平行與垂直的綜合應(yīng)用例10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形的頂點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)，若，求證：.

例11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).例12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，，.（1）若，，，可以構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，判斷，，，構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.變式9．（2023·全國·高一假期作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，其中且.試判斷四邊形的形狀.變式10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三點(diǎn)，求點(diǎn)D，使直線CD⊥AB，且CB∥AD．變式11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，，，問是否存在正實(shí)數(shù)m，使為直角三角形?【方法技巧與總結(jié)】已知直線的方程分別是（不同時(shí)為0），（不同時(shí)為0）（1）若（2）若題型五：兩直線的夾角例13．（2023·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）直線與直線的夾角為；例14．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谀┲本€與直線的夾角記為，則.例15．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）直線與直線的夾角為變式12．（2023·上海黃浦·高二格致中學(xué)校考期中）直線與直線的夾角大小為.變式13．（2023·湖北襄陽·高二襄陽五中?？茧A段練習(xí)）若直線與直線的夾角為，則實(shí)數(shù)的值為.變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知邊長為的正三角形，分別在邊上，滿足，連接，則和的夾角為.【方法技巧與總結(jié)】夾角公式題型六：已知直線平行求參數(shù)例16．（2023·全國·高二課堂例題）若直線與直線平行，則.例17．（2023·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知直線，若，則的值為．例18．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）直線l經(jīng)過點(diǎn)，，若直線l與直線平行，則．變式15．（2023·陜西延安·高一?？计谀┮阎獌芍本€方程分別為，若，則．變式16．（2023·浙江臺(tái)州·高一溫嶺中學(xué)?？计谀┮阎本€和直線，若，則變式17．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線互相平行，則．題型七：已知直線垂直求參數(shù)例19．（2023·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為．例20．（2023·上?！じ叨谀┲本€，若，則.例21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線的斜率分別為，且，則．變式18．（2023·陜西漢中·高一統(tǒng)考期末）若直線與垂直，則.變式19．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)共圓，那么的值是．變式20．（2023·上海虹口·高二統(tǒng)考期末）若直線：.與直線：互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為.一、單選題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）“”是“直線和直線平行”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知過點(diǎn)和點(diǎn)的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．83．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，，若直線l：與的歐拉線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－2 B．－1 C．－1或3 D．34．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（

）A． B．2 C． D．5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)為，，，且歐拉線方程為，則的重心到垂心的距離為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，是的垂心．則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2023·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谥校┮阎本€，動(dòng)直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．存在，使得的傾斜角為；B．對任意的，與都有公共點(diǎn)；C．對任意的，與都不重合；D．對任意的，與都不垂直；二、多選題9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若，且直線AB與CD平行，則m的值為（

）A． B．0C．1 D．210．（2023·全國·高三專題練習(xí)）以下四個(gè)命題表述錯(cuò)誤的是（

）A．恒過定點(diǎn)B．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)C．已知直線與平行，則或D．設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是11．（2023·黑龍江牡丹江·高三統(tǒng)考期中）已知直線，，則（

）A．恒過點(diǎn) B．若，則C．若，則 D．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第三象限12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知直線，，則（

）A．當(dāng)變化時(shí)，的傾斜角不變 B．當(dāng)變化時(shí)，過定點(diǎn)C．與可能平行 D．與不可能垂直三、填空題13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線：，則與已知直線l平行且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線方程為．14．（2023·江蘇連云港·高二期末）已知直線l與直線平行，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，則直線l的方程是．15．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知直線，，若，則的值是.16．（2023·北京大興·高二統(tǒng)考期中）已知直線和直線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得的傾斜角為；②不存在，使得與重合；③對任意的，與都有公共點(diǎn)；④對任意的，與都不垂直.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是