安徽省蚌埠市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量

監(jiān)測(cè)模擬試題

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字

跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上

均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本大題共10小題,每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.設(shè)數(shù)列M｝是公差不為零的等差數(shù)列，它的前〃項(xiàng)和為S,且SS、S成等比

nn124

數(shù)列，則｝等于（）

I

A.5B.4C.3D.2

2.若A（l,3）,B（-2,-3）,C（x,7）,設(shè)通=2,配=萬(wàn)，且同/，則工的值為（）

A.0B.3C.15D.18

3.下列關(guān)于函數(shù)f（x）=sinx-l（xE［0,2n］）的敘述，正確的是（）

A.在［。，冗］上單調(diào)遞增，在［九，2可上單調(diào)遞減

B.值域?yàn)椋?2,2］

C.圖像關(guān)于點(diǎn)伏兀，。）伏eZ）中心對(duì)稱

D.不等式〃外>盤的解集為［工金兀。<4兀］

2166J

4.化簡(jiǎn)AB+BZ5—C25的結(jié)果是（）

A.ACB.ADC.Z5XD.CA

5.已知y=/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X<。時(shí)，/（x）=x+2,那么不等式

2/。）一1<0的解集是（）

5］3.5

A<xl0<x<—>B《xlx<一一或0Vx<—'

2j22j

?xlx<--或Ovxv?■

C.-

22

6.圓心坐標(biāo)為（1，一1）,半徑長(zhǎng)為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.G-l>+(y+l>=2B.G+l>+(y-l>=2

C.G-l>+G+l>=4D.G+l?+(y-l)二4

7.設(shè)等差數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S,若S=-2,5=0,5=3,則加=(

nnm-lmzn+1

A.3B.4C.5D.6

8.已知向量1=〃..〃，，則=()

A.B.C.D.

9.在AABC中，角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且。=3,A=—,sinC=2sinB,

3''

則4腦。的周長(zhǎng)為（）

A.3+2/B.3+3C.3+3#D.3+376

10.一枚骰子連續(xù)投兩次，則兩次向上點(diǎn)數(shù)均為1的概率是（）

1111

A.—B.—■C.-T-D.—

6122436

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

.際）3〃

11.已知smk+a=三，貝qcosa的值為.

12.函數(shù)》二豕口^X在xw(_i,g］的值域是.

13.設(shè)數(shù)列｛〃｝滿足〃=L4=4,々=9,a=a+a-aG?>4),

nIx3nw-1〃-2〃一3

2019

14.中，A8=5,AC=8,A=y,則BC=.

15.半徑為2的圓上，弧長(zhǎng)為。的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為.

16.已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為4,則扇形面積的最大值為.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟。

17.李克強(qiáng)總理在2018年政府工作報(bào)告指出，要加快建設(shè)創(chuàng)新型國(guó)家，把握世界新一

輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革大勢(shì)，深入實(shí)施創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，不斷增強(qiáng)經(jīng)濟(jì)創(chuàng)新力和競(jìng)爭(zhēng)

力.某手機(jī)生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)政府號(hào)召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，爭(zhēng)創(chuàng)世界名牌.為了對(duì)研發(fā)的

一批最新款手機(jī)進(jìn)行合理定價(jià)，將該款手機(jī)按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售

數(shù)據(jù)G,y）（i=l,2,…,6）,

如表所示：

//

單價(jià)X（千元）345678

銷量y（百件）7065625956t

已知y=:乙y=60.

6，

/=1

（1）若變量蒼，具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y（百件）關(guān)于試銷單價(jià)%（千元）

的線性回歸方程勺二溫+力；

（2）用（1）中所求的線性回歸方程得到與x對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值5\

i

Zxy-nxy

（參考公式：線性回歸方程中b.a的估計(jì)值分別為6=十二----->a=y-bx）

2-m

i

i=1

18.已知直線（：mx_2（m+l）y+2=0,/,:x_2），+3=0,/J工一y+l=0是三條

不同的直線，其中機(jī)￡尺.

（1）求證：直線4恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若以4的交點(diǎn)為圓心，2。為半徑的圓C與直線（相交于4,8兩點(diǎn)，求卜回

的最小值.

19.（I）已知直線/過(guò)點(diǎn)（2,3）且與直線工+3〉+2=0垂直，求直線/的方程；

（II）求與直線y=2x+i的距離為"的直線方程.

20.如圖，已知PA_L平面A5CO,A8CO為矩形，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn),

PA=AD,AB=2,AD=y/2.

（1）求證：MN“平面PAD-

（2）求證：面MFCJ■平面PC。；

（3）求點(diǎn)8到平面M/VC的距離.

21.已知函數(shù)/（太）=>/1+2*—21-21.

（1）證明函數(shù)/G）在定義域上單調(diào)遞增；

（2）求函數(shù)/G）的值域；

（3）令gG）=2m，l-4r+￡尺）,討論函魏?Q）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1、A

【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列M｝的公差為d（d。。），根據(jù)，=SS得出氣與d的等量關(guān)系，即可計(jì)

n2141

算出子的值.

1

【題目詳解】

設(shè)等差數(shù)列M｝的公差為d（dw°）,由于SrS、S成等比數(shù)列，則有S2=SS,

n1242I4

所以，（2。+d>=a（4〃+6d）,化簡(jiǎn)得d=2a,因此，&=幺土衛(wèi)=工=5.

1111aaa

iii

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和中基本量的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意得出首項(xiàng)與公差

的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解題分析】

首先分別求出向量G,.,然后再用兩向量平行的坐標(biāo)表示，最后求值.

【題目詳解】

AB=i7=(-3,-6),BC=5=G+2,10),

當(dāng)4〃萬(wàn)時(shí)，(-3)X10-(-6)XQ+2)=0,

解得x=3.

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題型.

3、D

【解題分析】

運(yùn)用正弦函數(shù)的一個(gè)周期的圖象，結(jié)合單調(diào)性、值域和對(duì)稱中心，以及不等式的解集,

可得所求結(jié)論.

【題目詳解】

函數(shù)/(x)=sinx+l(X€[0,2T:]),

在°，三)，(費(fèi)，2兀)單調(diào)遞增，<亍,=)上單調(diào)遞減；

值域?yàn)锧2]；

圖象關(guān)于點(diǎn)(兀』)對(duì)稱；

由/(x)>k可得smx>k，解得：-Tt<x<-n,

2266

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

4、A

【解題分析】

根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，即可求解，得到答案.

【題目詳解】

根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，可得

AB+BD-Cb=Ab-Cb=AD+DC=ACf

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了平面向量的加法法則的應(yīng)用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解

答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出>=/?的解析式，然后分類討論求出不等式

2/*)—1<0的解集.

【題目詳解】

因?yàn)閥=是定義在R上的奇函數(shù)，所以有/(。)=。，顯然工=0是不等式的解集;

3

當(dāng)x<0時(shí)，2f(x)-1<0=2(x+2)-1<0=%<-彳；

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)==x-2,2/(x)-l<0=>2(x-2)-1<0=>0<x<1.,

f35'

綜上所述：不等式2/(幻一IvO的解集是|xlx<一,或1故本題選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了利用奇函數(shù)性質(zhì)求解不等式解集問(wèn)題，考查了分類思想，正確求出函數(shù)的解

析式是解題的關(guān)鍵.

6、C

【解題分析】

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫.

【題目詳解】

圓心為(1,一1),半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是G-l?+(y+l>=4.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故選C.

7、C

【解題分析】

由S=0=>a=-a=-(5-S)=-2又。=S-S=3,可得公差

m1mmm-1m+1m+lm

d=a-a=1,從而可得結(jié)果.

m+lm

【題目詳解】

???{〃}是等差數(shù)列

c+a）八

S=-----1----—=0

-2

=>a=-a=-（5-S）=-2

Immm-I

又。=S-S=3,

m+1m+1m

:?公差d=a-a=1

m+lmf

3=a=a+m=-2+m=>m=5故選C.

M+l1t

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答

問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

8、C

【解題分析】

由向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示五十小再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.

【題目詳解】

解：因?yàn)椋瑒t；

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題目.

9、C

【解題分析】

根據(jù)sinC=2sinB,得到c=2b,利用余弦定理，得到關(guān)于b的方程，從而得到b,c

的值，得到△ABC的周長(zhǎng).

【題目詳解】

b

在A"。中'由正弦定理蔡—=2R

sinBsinC

因?yàn)閟inC=2sinB,所以c=2b

71

因?yàn)椤?3,A4=y,所以由余弦定理得〃2=從+C2-2bccosA

即9=。2+4枕一解得b=JT,

所以c=2b=2jJ

所以.ABC的周長(zhǎng)為3+3/?

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查正弦定理的角化邊，余弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.

10、D

【解題分析】

連續(xù)投兩次骰子共有36種，求出滿足情況的個(gè)數(shù)，即可求解.

【題目詳解】

一枚骰子投一次，向上的點(diǎn)數(shù)有6種，則連續(xù)投兩次骰子共有36種,

兩次向上點(diǎn)數(shù)均為1的有1種情況，概率為9.

故選:D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

3

5

【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式將等式sin[1+Q）=|化簡(jiǎn)，可求出cosa的值.

【題目詳解】

.（71）33

由誘導(dǎo)公式可得sm-+a=cosa=_,故答案為

【題目點(diǎn)撥】

本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，在利用誘導(dǎo)公式處理化簡(jiǎn)求值的詞題時(shí)，要充分理解

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”這個(gè)規(guī)律，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、[1,兀）

【解題分析】

利用反三角函數(shù)的性質(zhì)及工可得答案.

【題目詳解】

.,l1兀1

解：???X￡（-L—n],且cos汽=-l,cos—=—ye[0,71],

232

???y嗚，兀），

7t、

故答案為：［r于，兀）

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查反三角函數(shù)的性質(zhì)，相對(duì)簡(jiǎn)單.

13、8073

【解題分析】

對(duì)〃分奇偶討論求解即可

【題目詳解】

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a-a,=a-a一氣=3

nn-1n-2n-321

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a—a—a—a—???a—a—5

nrr-1/i-2n-332

故當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

_ncn~\..今

a=a-a+a-a+…+〃-a+a=5x------+3x-------+1=4n-3

nnn-1n-1n-221122

故a=4x2019-3=8073

2019

故答案為8073

【題目點(diǎn)撥】

本題考查數(shù)列遞推關(guān)系，考查分析推理能力，對(duì)〃分奇偶討論發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決本題的關(guān)

鍵，是難題

14、7

【解題分析】

在A43C中，利用余弦定理得到=AB2+4C2=2A5-ACCOSA,即可求解，得

到答案.

【題目詳解】

由余弦定理可得BCz=ABi+.402-2AB-ACcosA=524-82-2x5x8x-l=49,

2

解得8C=7.

故答案為：7.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的余弦定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答

的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

n

15、

4

【解題分析】

根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解.

【題目詳解】

由弧長(zhǎng)公式/=a"可得

兀

I2兀

Q=—==一

r24

兀

故答案為：-

4

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了孤長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16、1

【解題分析】

表示出扇形的面積，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

【題目詳解】

設(shè)扇形的半徑為一，圓心角為則弧長(zhǎng)/=人,

/.2r+ra=4,即a=2-2,

r

???該扇形的面積S=!(X"2=L(--2r2=-r2+2r=-(r-l)2+l<l,

22\rJ

當(dāng)且僅當(dāng)r=l，a=2時(shí)取等號(hào).

,該扇形的面積的最大值為1.

故答案：L

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了瓠長(zhǎng)公式與扇形的面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟。

17、(1)y=-4x+82(2)y=70,y=66,$=62,y=58,y=54,y=50

123456

【解題分析】

(l)先計(jì)算1=48,將數(shù)據(jù)代入公式得到方=-4,6=82,線性回歸方程為

y=-4x+82

（2）利用（1）中所求的線性回歸方程，代入數(shù)據(jù)4=3,4,5,6,7,8分別計(jì)算得到答案

【題目詳解】

（1）由歹=!苫

y=60,可求得［=48,

O/

1=1

故Exy=1910,〃石=1980,EX2=199,n?=i81.5,

rii

r=l；=l

Exy-nxy

代入可前二節(jié)二一"—1910-1980__70_

199-181.5~\T5~~

乙X2-nx2

a=y—bx=60+4x5.5=82,

所以所求的線性回歸方程為？=—4X+82.

（2）利用（1）中所求的線性回歸方程亍=-4工+82可得，當(dāng)匕=3時(shí)，y=70.當(dāng)

x=4時(shí)，y=66.當(dāng)x=5時(shí)，y=62.當(dāng)x=6時(shí)，y=58.當(dāng)x=7時(shí)，

2233445

y=54.當(dāng)/=8時(shí)，y=50.

566

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了線性回歸方程的計(jì)算，求估計(jì)值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于回歸方程

公式的理解應(yīng)用.

18、（1）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)坐標(biāo)。（2』）；（2）2師

【解題分析】

（1）將（整理為：WQ-2J）-（2>'-2）=0,可得方程組，從而求得定點(diǎn)；（2）直線

方程聯(lián)立求得圓心坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線（距離的最大值的問(wèn)題，根據(jù)圓的

性質(zhì)可知最大值為8,從而求得卜8|最小值.

【題目詳解】

（1）證明：I：3_2（血+1））+2=0,可化為：w（x-2y）-（2y-2）=0

x-2y=0

令彳^o八，解得：x=2,>=1

2y-2=0

?二直線（恒過(guò)定點(diǎn)。（2』）

（2）將/,：x_2y+3=0,4：x-y+l=0聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)C（L2）

設(shè)C（l,2）到直線（的距離為d,則產(chǎn)|=2〃2-公=2也2-d2

則求|A目的最小值，即求d的最大值

由（1）知，直線/恒過(guò)點(diǎn)。（21）,則d最大時(shí)，8JL/,即d=CD

1max

?/\CD|=J（2-l>+（l-2>="

:.\AB\=271^2=2710

min

【題目點(diǎn)撥】

本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解、直線被圓截得弦長(zhǎng)的最值的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓

的性質(zhì)確定求解弦長(zhǎng)的最小值即為求解圓心到直線距離的最大值，求得最大值從而代入

求得弦長(zhǎng)最小值.

19、（I）3x-y-3=0；（II）2x-y+6=0或2x-y-4=0.

【解題分析】

（I）根據(jù)直線/與直線x+3y+2=0垂直，求得直線/的斜率為k=3,再利用直線

的點(diǎn)斜式方程，即可求解；

（II）設(shè)所求直線方程為y=2x+，〃，由點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，求得〃，的

值，即可得到答案.

【題目詳解】

（I）由題意，設(shè)所求直線/的斜率為％,

由直線x+3y+2=0的斜率為勺=一“

因?yàn)橹本€/與直線x+3y+2=0垂直，所以直線/的斜率為R=3,

所以所求直線的方程為直線/的方程為：y-3=3（x-2）,即3x-y-3=0.

（II）設(shè)所求直線方程為y=2x+",即2x-y+m=°,

直線y=2x+l上任取一點(diǎn)（0,1）,

由點(diǎn)到直線的距離公式，可得d=l/?=/,解得機(jī)=6或?4,

所以所求直線方程為：2x—y+6=0或2x_y_4=0.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了直線方程的求解，兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式

的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）叵.

2

【解題分析】

（1）利用線面平行的判定定理，尋找面PAD內(nèi)的一條直線平行于MN,即可證出；（2）

先證出一條直線垂直于面PCD,依據(jù)第一問(wèn)結(jié)論知，MN也垂直于面PCD,利用面面

垂直的判定定理即可證出；

（依據(jù)等積法匕”“二匕”幢，即可求出點(diǎn)到平面的距離.

3）B-MNCN-MBC8MNC

【題目詳解】

證明：（1）取尸。中點(diǎn)為G,連接NG,4G,M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)，

:.NG〃CD,NG=gcD,AM〃CD,AM=lcD,.\AMNG是丑行四邊形，

MV〃AG,AGu平面24。，MN?平面PAD,：.MN〃平面PAD

證明：（2）因?yàn)槭珹_L平面ABC。，所以~4_LCO,而CD1AD,24cAO=A

「.CD_L而PAD,而4Gu面PAO,所以CO_LAG,

由94=4）,G為尸。的終點(diǎn)，所以AGJ_P。

由于AG±PD,AG_LCD,:.AG_L平面PDC,又由（1）知，MN//AG

MN_L平面PDC,MNu平面MPC，，平面MPC1平面PCD

解：（3）V=V=LsLpAt

B-MNCN-