動能定理

力的功

動能定理

功率與功率方程

質(zhì)點和質(zhì)點系的動能

機械能守恒§13-1力的功一、常力在直線路程上的功M1M2sθ常力在直線路程上的功等于力在路程方向上的投影與路程的乘積。功的單位：功的量綱：功：代數(shù)量二、變力在曲線路程上的功元功：MM’M1M2θ力在全路程上所做的功注意到：xzyOM1MM2mgz1z2三、幾種常見力的功1、重力的功質(zhì)點M的重力mg的投影值為：∴重力從M1→M2時所做的功為xzyOM1MM2mgz1z2對于質(zhì)點系（或剛體）質(zhì)點i的重力mig的功為：質(zhì)點系的全部重力所做的功為：由質(zhì)心坐標公式有：得：質(zhì)點系的重力所做的功為：質(zhì)點系總重力與質(zhì)心下降高度的乘積。2、彈性力的功彈簧的自然長度為，剛度系數(shù)為k。Mxδ1δδ2M1M2從M1到M2

彈簧的彈性力的功為：彈簧的彈性力為：結(jié)論：彈性力的功為2、彈性力的功Mxδ1δδ2M1M2彈性力的功為當時，（起始伸長大于最后伸長）彈性力做正功當時，（起始伸長小于最后伸長）彈性力做負功yxzRA3、定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功剛體繞z軸轉(zhuǎn)動，力的元功為：注意到：得到：從到，力的功特別地，若為常數(shù)，平面運動=隨基點的平動+繞基點的轉(zhuǎn)動在動力學中，應取質(zhì)心為基點平面運動=隨質(zhì)心的平動+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動4、剛體作平面運動結(jié)論：作用在平面運動剛體上力系的元功為：力系的主矢力系對質(zhì)心的主矩質(zhì)心的位移繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角C證明：取質(zhì)心為基點，當剛體有微小位移時，力的作用點Mi

的位移為：力的元功為：由于力系全部力所做的功為得到：剛體作平面運動時作用力所作的功等于： 作用力主矢在質(zhì)心位移上所作的功與對質(zhì)心的主矩在繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動中所作的功之和。結(jié)論：作用在平面運動剛體上力系的元功為：功為：例題AθCT半徑為r的圓盤在水平力T作用下沿斜面純滾動上升，寫出水平力T的元功當輪心C有微小位移時，解：圓盤作平面運動§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能一、質(zhì)點的動能二、質(zhì)點系的動能定義：量綱：單位：J（焦耳）三、剛體的動能1、平移剛體的動能

平移剛體的動能等于把剛體的質(zhì)量集中于質(zhì)心時質(zhì)心的動能證明：由于剛體作平移以及得到：代入：

定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對于定軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度平方乘積的一半。3、定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能證明：剛體繞Z軸作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度為ω得到：注意到：yxz3、平面運動剛體的動能

平面運動剛體的動能等于剛體跟隨質(zhì)心平移的動能與相對于質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能之和。平面運動=隨質(zhì)心的平移+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動平面運動=繞速度瞬心P

的轉(zhuǎn)動CPω平面運動=繞速度瞬心P

的轉(zhuǎn)動∵∴由轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸公式得到CPωd∵得到：例題已知：半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，在地面上作純滾動，中心的速度為求：該物體的動能C解：圓盤作平面運動代入：得到：例題求：該物體的動能已知均質(zhì)桿長l，質(zhì)量為m，B端的速度為v。vBAφ圖示位置，P解：AB桿作平面運動，速度瞬心在P點CvBAφAm1x′y′θlOxm2BvA已知滑塊A的質(zhì)量為m1，質(zhì)點B的質(zhì)量為m2,。AB桿的長度為l、不計質(zhì)量，可以繞A點轉(zhuǎn)動，滑塊的速度為

vA

。求：系統(tǒng)的動能例題例題1ve解：1、運動分析與速度分析滑塊作直線運動，速度為vA；質(zhì)點B作平面運動。以A為基點，其牽連速度與相對速度分別為Am1x′y′θlOxm2BvAvr例題1解：3、計算系統(tǒng)動能滑塊的動能質(zhì)點B的動能Am1x′y′θlOxm2BvA例題1解：3、計算系統(tǒng)動能滑塊的動能質(zhì)點B的動能系統(tǒng)的總動能Am1x′y′θlOxm2BvA§13-3動能定理一、質(zhì)點的動能定理質(zhì)點動能的微分等于作用在質(zhì)點上力的元功微分形式質(zhì)點從某一位置運動到另一位置，其動能改變量等于運動過程中作用在質(zhì)點上的力所作之功。積分形式定理的證明：由牛頓第二定律：動能定理微分形式積分上式動能定理積分形式

對于有n個質(zhì)點的質(zhì)點系，將n個方程相加質(zhì)點系動能定理微分形式：質(zhì)點系動能的微分等于作用在質(zhì)點系上所有力的元功之和二、質(zhì)點系的動能定理

對于第i個質(zhì)點：質(zhì)點動能的微分等于作用在質(zhì)點上合力的元功得到：式中：

所有有功力——既包括外力，也包括內(nèi)力； 既包括主動力，也可能包括約束力質(zhì)點系動能定理積分形式：質(zhì)點系動能改變量等于運動過程中作用在質(zhì)點系上的所有有功力所作之功的代數(shù)和將上式積分，得：由質(zhì)點系動能定理微分形式三、內(nèi)力的功與理想約束的概念xzyFAFBAB系統(tǒng)內(nèi)力FA＝－FB

這一對內(nèi)力在什么情形下作功？什么情形下不作功？1、內(nèi)力的功xzyFAFBABrArB

FA和FB在drA和drB上所作之元功為：

內(nèi)力之功與理想約束力之功xzyFAFBBrArBA

這一結(jié)果表明：當兩點之間的距離發(fā)生變化時，這兩點之間的內(nèi)力所作之元功不等于零。

內(nèi)力之功與理想約束力之功

關(guān)于內(nèi)力之功對于一個剛體，內(nèi)力功恒等于0對于剛體系，內(nèi)力功一般不等于0

關(guān)于內(nèi)力之功

內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量和動量矩，但是內(nèi)力作功可能改變系統(tǒng)的能量；2、理想約束的概念由于對于質(zhì)點系（剛體系），內(nèi)力功一般不等于0，此時，可將作用力分為：主動力約束反力理想約束：約束反力的功等于0的約束研究質(zhì)點系上作用力的功時，將力分為外力和內(nèi)力，并不方便。3、幾種常見的理想約束（1）光滑接觸面約束

約束反力：作用于接觸點，沿二個接觸面的公法線方向（若為尖點和面的接觸，則沿該面的法線方向）?！凸饣佑|面約束為理想約束（2）柔索特點：只能受拉，不可伸長。ABαβA、B兩點的位移在繩索中心線上的投影必然相等。柔索約束為理想約束（3）光滑鉸支座和軸承在不考慮其內(nèi)部的摩擦力時，由于約束反力與位移方向始終相互垂直，約束反力不做功。光滑鉸支座和軸承也是理想約束銷釘銷釘孔（4）連接兩個剛體的鉸鏈兩個剛體的連接鉸鏈處的相互約束反力總是大小相等、方向相反。O當鉸鏈O有微小位移時，連接兩個剛體的鉸鏈是理想約束純滾動時，滑動摩擦力(約束力)不作功OvOC*FFN

C*

為瞬時速度中心，在這一瞬時C*點的位移為零。作用在C*點的摩擦力F所作元功為四、摩擦力的功1、純滾動時，滑動摩擦力(約束力)所做的功2、動滑動摩擦力的功M2MM1摩擦阻力總是做負功，并與路程的途徑有關(guān)。特別地：若FN為常數(shù)式中：S為曲線M1M2

的長度。五、動能定理的另一常用形式對于具有理想約束的質(zhì)點系，動能定理可表示為：動能定理：對于具有理想約束的質(zhì)點系，質(zhì)點系動能改變量等于運動過程中作用在質(zhì)點系上的所有主動力所作之功的代數(shù)和。對于具有摩擦力的約束，將摩擦力作為主動力處理后，仍可將它們視為理想約束例題質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓柱，純滾動，斜面傾角為θ，摩擦系數(shù)為f，均為已知。求：圓柱下降S長度后，中心的AθCSAθCS解：由動能定理代入：外力功：代入動能定理得：解得：AθCS求C點的加速度，可利用（a）式將（a）式的兩邊對t求導，得解得：利用質(zhì)心運動定理可進一步求得圓柱上的約束反力。例題鼓輪半徑為R1、質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上，圓柱質(zhì)量為m

2，半徑為R2，質(zhì)量均勻分布，鼓輪在力偶矩M帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，帶動圓柱純滾動上升，軌道的傾角為θ。求：圓柱中心C經(jīng)過路程s時的速度和加速度。OθMC解：以鼓輪和圓柱為研究系統(tǒng)OθMC設(shè)C點上升s后，鼓輪的角速度為

，圓柱中心C的速度為由系統(tǒng)的受力圖可知，系統(tǒng)主動力所做的功為：ω1OθMCω1系統(tǒng)的動能為：上式中：得到：代入動能定理得：OθMCω1系統(tǒng)的動能為：由動能定理得：代入：解得：將（a）式的兩邊對t求導，得bl－b

鏈條總長度為l，線質(zhì)量密度為，下垂部分長度為b，鏈條從禁止開始，在自重作用下運動。不考慮鏈條與臺面之間的摩擦。求：鏈條完全離開臺面時的速度例題例題6bl－b鏈條的動能變化鏈條重力所作之功應用動能定理求得鏈條完全離開臺面時的速度1、定義：單位時間內(nèi)力所作之功

力的功率等于該力在其作用點速度方向上的投影與速度的乘積?！?3-4功率、功率方程、機械效率一、功率2、力的功率

作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力矩的功率等于力矩與剛體轉(zhuǎn)動角速度的乘積。3、轉(zhuǎn)矩的功率4、功率的單位功率的單位：功率的量綱：二、功率方程質(zhì)點系動能定理的微分形式等式兩邊同除以dt——功率方程輸入有用無用輸入有用無用得：輸入有用無用

系統(tǒng)的輸入功率等于有用功率、無用功率、以及系統(tǒng)動能變化率之和。三、機械效率η一般定義：有用輸入有效功率輸入功率本書中規(guī)定：有效功率=有用例題帶式運輸裝置，膠帶速度v=1m/s，輸送量 輸送高度h=5m。膠帶轉(zhuǎn)動的機械效率，機械傳動的效率求：所需電動機的功率vh解：輸送機的總效率為有用vh有用由功率效率方程：有用輸入有用輸入解得：輸入車床電動機的功率P輸入＝5.4kW。傳動零件之間的摩擦損耗功率為輸入功率的30％。工件的直徑d＝100mm。求：轉(zhuǎn)速n=42r/min和n=112r/min

的允許最大切削力。例題解：車床正常工作時，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動能無變化其中切削力F與工件在切削力作用點的速度v同向當

n=42r/min

時當

n=112r/min

時§13-5勢力場、勢能、機械能守恒定理1、力場物體在空間任一點上都受到一個大小和方向都由點的位置所確定的力的作用，該空間稱為力場。一、勢力場2、勢力場物體在力場中運動時，所受力場作用力的功，與物體運動軌跡無關(guān)，僅取決于其起始位置和最終位置。重力場、彈性力場，都是勢力場3、有勢力物體在勢力場中所受的力二、勢能1、定義：勢力場中，從點M運動到任一點M0，有勢力所做的功，稱為點M相對于點M0的勢能。點M0—零勢能點，可任意選取。2、重力場的勢能xzyOMM0z0z在重力場中，一般選地面作為零勢能點3、彈性力場的勢能由彈性力的功的計算公式：若取彈簧的自然位置點作為零勢能點，彈性力場的勢能為：四、質(zhì)點系的勢能質(zhì)點系從原始位置到其零勢能位置的運動過程中，所有有勢力的功的代數(shù)和。五、質(zhì)點系勢力場中運動時，有勢力所做的功結(jié)論：質(zhì)點系勢力場中運動時，有勢力所做的功等于質(zhì)點系在運動過程中起始位置和終了位置的勢能之差。五、機械能守恒定理

保守系統(tǒng)