四川省成都市新都第一中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知直線l和平面，若直線l在空間中任意放置，則在平面內(nèi)總有直線和A．垂直 B．平行 C．異面 D．相交2．將正整數(shù)按第組含個數(shù)分組：那么所在的組數(shù)為（）A． B． C． D．3．函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有的點（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度4．函數(shù)的簡圖是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)則的是A． B． C． D．6．已知向量滿足.為坐標原點，.曲線，區(qū)域.若是兩段分離的曲線，則()A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是A． B． C． D．8．中國數(shù)學家劉微在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加的時候，它的周長的極限是圓的周長，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內(nèi)任取一點，則此點取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為（）A． B． C． D．9．已知的模為1，且在方向上的投影為，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°10．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為()A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角的對邊分別為，若，則_______.（僅用邊表示）12．P是棱長為4的正方體的棱的中點，沿正方體表面從點A到點P的最短路程是_______.13．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，的面積等于，則外接圓的面積為______．14．在△ABC中，點M，N滿足，若，則x＝________，y＝________.15．函數(shù)的最小正周期是____.16．點關(guān)于直線的對稱點的坐標為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在平面四邊形中，已知，，，為線段上一點.(1)求的值；(2)試確定點的位置，使得最小.18．已知分別是的三個內(nèi)角所對的邊．(1)若的面積，求的值；(2)若，且，試判斷的形狀．19．已知函數(shù)，其圖象的一個對稱中心是，將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意，當時，都有，求實數(shù)的最大值；（3）若對任意實數(shù)在上與直線的交點個數(shù)不少于6個且不多于10個，求實數(shù)的取值范圍.20．如圖，在四棱錐中，平面，，，，點Q在棱AB上.（1）證明：平面.（2）若三棱錐的體積為，求點B到平面PDQ的距離.21．已知的角、、所對的邊分別是、、，設向量，，.（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長，角，求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

本題可以從直線與平面的位置關(guān)系入手：直線與平面的位置關(guān)系可以分為三種：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行，在這三種情況下再討論平面中的直線與已知直線的關(guān)系，通過比較可知：每種情況都有可能垂直．【詳解】當直線l與平面相交時，平面內(nèi)的任意一條直線與直線l的關(guān)系只有兩種：異面、相交，此時就不可能平行了，故B錯．當直線l與平面平行時，平面內(nèi)的任意一條直線與直線l的關(guān)系只有兩種：異面、平行，此時就不可能相交了，故D錯．當直線a在平面內(nèi)時，平面內(nèi)的任意一條直線與直線l的關(guān)系只有兩種：平行、相交，此時就不可能異面了，故C錯．不管直線l與平面的位置關(guān)系相交、平行，還是在平面內(nèi)，都可以在平面內(nèi)找到一條直線與直線垂直，因為直線在異面與相交時都包括垂直的情況，故A正確．故選:A．【點睛】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力和思維能力．2、B【解析】

觀察規(guī)律，看每一組的最后一個數(shù)與組數(shù)的關(guān)系，可知第n組最后一個數(shù)是2+3+4+…..+n+1=，然后再驗證求解.【詳解】觀察規(guī)律，第一組最后一個數(shù)是2=2，第二組最后一個數(shù)是5=2+3，第三組最后一個數(shù)是9=2+3+4，……，依此，第n組最后一個數(shù)是2+3+4+…..+n+1=.當時，，所以所在的組數(shù)為63.故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推，還考查了推理論證的能力，屬于中檔題.3、D【解析】

由圖象求得函數(shù)解析式的參數(shù)，再利用誘導公式將異名函數(shù)化為同名函數(shù)根據(jù)圖象間平移方法求解.【詳解】由圖象可知，又，所以，又因為，所以，所以，又因為，又，所以所以又因為故選D.【點睛】本題考查由圖象確定函數(shù)的解析式和正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象之間的平移，關(guān)鍵在于將異名函數(shù)化為同名函數(shù)，屬于中檔題.4、D【解析】

變形為，求出周期排除兩個選項，再由函數(shù)值正負排除一個，最后一個為正確選項．【詳解】函數(shù)的周期是，排除AB，又時，，排除C．只有D滿足．故選：D.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選圖象，可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等排除某些選項，還可求出特殊值，特殊點，函數(shù)值的正負，函數(shù)值的變化趨勢排除一些選項，從而得出正確選項．5、D【解析】

根據(jù)自變量的范圍確定表達式，從里往外一步步計算即可求出.【詳解】因為，所以，因為，所以＝＝3.【點睛】主要考查了分段函數(shù)求值問題，以及對數(shù)的運算，屬于基礎題.對于分段函數(shù)求值問題，一定要注意根據(jù)自變量的范圍，選擇正確的表達式代入求值.6、A【解析】

不妨設，由得出點的坐標，根據(jù)題意得出曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓，區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)，再由是兩段分離的曲線，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系得出的取值.【詳解】不妨設則，所以，則曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓因為區(qū)域，所以區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)由于是兩段分離的曲線，則該兩段曲線分別為上圖中的要使得是分離的曲線，則所在的圓與圓相交于不同的兩點所以，即故選：A【點睛】本題主要考查了集合的應用以及由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)的范圍，屬于中檔題.7、D【解析】試題分析：在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上先增后減；在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上為減函數(shù)，選D.考點：函數(shù)增減性8、C【解析】

設出圓的半徑,表示出圓的面積和圓內(nèi)接正六邊形的面積,即可由幾何概型概率計算公式得解.【詳解】設圓的半徑為則圓的面積為圓內(nèi)接正六邊形的面積為由幾何概型概率可知,在圓內(nèi)任取一點,則此點取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為故選:C【點睛】本題考查了圓的面積及圓內(nèi)接正六邊形的面積求法,幾何概型概率的計算公式,屬于基礎題.9、A【解析】

根據(jù)投影公式，直接得到結(jié)果.【詳解】，.故選A.【點睛】本題考查了投影公式，屬于簡單題型.10、B【解析】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其頂點為(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知點(2,1)位于函數(shù)f(x)＝2lnx圖象的下方，故函數(shù)f(x)＝2lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象有2個交點．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應用求出結(jié)果．【詳解】由正弦定理，結(jié)合可得，即，即，從而.【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積的應用，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題型．12、【解析】

從圖形可以看出圖形的展開方式有二，一是以底棱BC，CD為軸，可以看到此兩種方式是對稱的，所得結(jié)果一樣，另外一種是以側(cè)棱為軸展開，即以BB1，DD1為軸展開，此兩種方式對稱，求得結(jié)果一樣，故解題時選擇以BC為軸展開與BB1為軸展開兩種方式驗證即可【詳解】由題意，若以BC為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為4，6，故兩點之間的距離是若以BB1為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2，8，故兩點之間的距離是故沿正方體表面從點A到點P的最短路程是cm故答案為【點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，求解的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意把求幾何體表面上兩點距離問題轉(zhuǎn)移到平面中來求13、4π【解析】

利用三角形面積公式求解,再利用余弦定理求得,進而得到外接圓半徑,再求面積即可.【詳解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圓的面積為4π．故答案為：4π．【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦與面積公式的運用,屬于基礎題型.14、【解析】特殊化，不妨設，利用坐標法，以A為原點，AB為軸，為軸，建立直角坐標系，，，則，.考點：本題考點為平面向量有關(guān)知識與計算，利用向量相等解題.15、【解析】

將三角函數(shù)化簡為標準形式，再利用周期公式得到答案.【詳解】由于所以【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡，周期公式，屬于簡單題.16、【解析】

設關(guān)于直線的對稱點的坐標為,再根據(jù)中點在直線上,且與直線垂直求解即可.【詳解】設關(guān)于直線的對稱點的坐標為,則中點為,則在直線上,故①.又與直線垂直有②,聯(lián)立①②可得.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了點關(guān)于直線對稱的點坐標,屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

(1)通過，，可得，從而通過可以求出，再確定的值.(2)法一：設()，可以利用基底法將表示為t的函數(shù)，然后求得最小值；法二：建立平面直角坐標系，設()，然后表示出相關(guān)點的坐標，從而求得最小值.【詳解】(1)，，，，，即，，(2)法一:設()，則，，當時，即時，最小法二:建立如圖平面直角坐標系，則，，，，設()，則，當時，即時，最小．【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運算，數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)思想，意在考查學生的劃歸能力和分析能力，難度較大.18、（1）；（2）等腰直角三角形．【解析】試題分析：（1）解三角形問題，一般利用正余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化.首先根據(jù)面積公式解出b邊，得，再由由余弦定理得：，所以，（2）判斷三角形形狀，利用邊的關(guān)系比較直觀.因為，所以由余弦定理得：，所以，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.解：（1），2分，得3分由余弦定理得：，5分所以6分（2）由余弦定理得：，所以9分在中，，所以11分所以是等腰直角三角形；12分考點：正余弦定理19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，可得函數(shù)的解析式，再由函數(shù)圖象的平移變換法則，可得函數(shù)的解析式；（2）將不等式進行轉(zhuǎn)化，得到函數(shù)在[0，t]上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可；（3）求出的解析式，結(jié)合交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為周期關(guān)系進行求解即可．【詳解】（1）因為函數(shù)，其圖象的一個對稱中心是，所以有，的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.所以；（2）由，構(gòu)造新函數(shù)為，由題意可知：任意，當時，都有，說明函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，而的單調(diào)遞增區(qū)間為：，而，所以單調(diào)遞增區(qū)間為：，因此實數(shù)的最大值為：；（3），其最小正周期，而區(qū)間的長度為，直線的交點個數(shù)不少于6個且不多于10個,則，且，解得：.【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性和圖象變換，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性，考查了已知兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)求參數(shù)問題，考查了數(shù)學運算能力.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）線面垂直只需證明PD和平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可，易得，另外中已知三邊長通過勾股定理易得,所以平面．（2）點B到平面PDQ的距離通過求得三棱錐的體積和面積即可，而,帶入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：在中，，，所以.所以是直角三角形，且，即.因為平面PAD，平面PAD，所以.因為，所以