上海市曹揚(yáng)第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知均為銳角,,則=A． B． C． D．2．如圖，在中，若，，，用表示為（）A． B．C． D．3．等差數(shù)列{}中，＝2，＝7，則＝()A．10 B．20 C．16 D．124．長方體中，已知，，棱在平面內(nèi)，則長方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的3倍，則（）A． B． C． D．76．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．7．已知向量，，，且，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．8．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.69．某船從處向東偏北方向航行千米后到達(dá)處，然后朝西偏南的方向航行6千米到達(dá)處，則處與處之間的距離為（）A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米10．某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，則應(yīng)抽取三年級的學(xué)生人數(shù)為（）A．80 B．40 C．60 D．20二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．sin750°=12．若、分別是方程的兩個根，則______.13．將一個圓錐截成圓臺，已知截得的圓臺的上、下底面面積之比是1:4，截去的小圓錐母線長為2，則截得的圓臺的母線長為________.14．已知等差數(shù)列的公差為，且，其前項和為，若滿足，，成等比數(shù)列，且，則______，______.15．已知函數(shù)f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______16．若，則實(shí)數(shù)的值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．（1）從某廠生產(chǎn)的一批零件1000個中抽取20個進(jìn)行研究，應(yīng)采用什么抽樣方法？（2）對（1）中的20個零件的直徑進(jìn)行測量，得到下列不完整的頻率分布表：（單位：mm）分組頻數(shù)頻率268合計201①完成頻率分布表；②畫出其頻率分布直方圖.19．已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，且.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使恒成立？若存在，求出的值;若不存在，請說明理由.20．在等差數(shù)列中，，（1）求的通項公式；（2）求的前n項和21．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面⊥底面，若分別為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面⊥平面．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】因為,所以,又,所以,則;因為且,所以,又,所以;則====;故選A.點(diǎn)睛：三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則（1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式，常見的有“切化弦”；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等.2、C【解析】

根據(jù)向量的加減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算來表示即可得到結(jié)果.【詳解】本題正確選項：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的線性運(yùn)算，來利用已知向量表示所求向量；關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用向量的加減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算法則.3、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知第五項減去第三項等于公差的2倍，由=+5得到2d等于5，然后再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到第七項等于第五項加上公差的2倍，把的值和2d的值代入即可求出的值,即可知=,故選D.4、A【解析】

本題等價于求過BC直線的平面截長方體的面積的取值范圍。【詳解】長方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍等價于，求過BC直線的平面截長方體的面積的取值范圍。由圖形知,，故選A.【點(diǎn)睛】將問題等價轉(zhuǎn)換為可視的問題。5、A【解析】由題意，焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以，解得，故選A。6、B【解析】

∵，∴.∴，即，∴,，故選B.【考點(diǎn)定位】向量的坐標(biāo)運(yùn)算7、A【解析】

求出的坐標(biāo)，由得，得到關(guān)于的方程.【詳解】，，因為，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量減法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.8、B【解析】AB＝1000×(km)，∴BC＝·sin30°＝(km)．∴航線離山頂h＝×sin75°≈11.4(km)．∴山高為18－11.4＝6.6(km)．選B.9、B【解析】

通過余弦定理可得答案.【詳解】設(shè)處與處之間的距離為千米，由余弦定理可得，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，難度不大.10、B【解析】試題分析：方法一:由條件可知三年級的同學(xué)的人數(shù)為,所以應(yīng)抽人數(shù)為,方法二:由條件可知樣本中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1,因此應(yīng)抽取三年級的學(xué)生人數(shù)為,答案選B.考點(diǎn)：分層抽樣二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】試題分析：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得sin750°=【考點(diǎn)】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式【名師點(diǎn)睛】本題也可以看作來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本．有許多三角函數(shù)的求值問題都是通過三角函數(shù)公式把一般的三角函數(shù)求值化為特殊角的三角函數(shù)求值而得解．12、【解析】

利用韋達(dá)定理可求出和的值，然后利用兩角和的正切公式可計算出的值.【詳解】由韋達(dá)定理得，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和的正切公式求值，同時也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、2【解析】

由截得圓臺上，下底面積之比可得上，下底面半徑之比，再根據(jù)小圓錐的母線即可得圓臺母線．【詳解】設(shè)截得的圓臺的母線長為.因為截得的圓臺的上、下底面面積之比是1:4，所以截得的圓臺的上、下底面半徑之比是1:2.因為截去的小圓錐母線長為2，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題考查求圓臺的母線，屬于基礎(chǔ)題．14、2【解析】

由，可求出，再由，，成等比數(shù)列，可建立關(guān)系式，求出，進(jìn)而求出即可.【詳解】由，可知，即，又，，成等比數(shù)列，所以，則，即，解得或，因為，所以，，所以.故答案為：2；.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項和的求法，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、－1【解析】

分n為偶數(shù)和奇數(shù)求得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等差數(shù)列，然后利用分組求和得答案．【詳解】若n為偶數(shù)，則an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），偶數(shù)項為首項為a2＝﹣5，公差為﹣4的等差數(shù)列；若n為奇數(shù)，則an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，奇數(shù)項為首項為a1＝3，公差為4的等差數(shù)列．∴a1+a2+a3+…+a1＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項和的求法，是中檔題．16、【解析】

由得，代入方程即可求解.【詳解】,.,,,即，故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查了反三角函數(shù)的定義及運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）利用條件求數(shù)列的首項與公比，確定所求.(2)將分組，，再利用等比數(shù)列前n項和公式求和【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，由，所以，則；（2），所以數(shù)列的前項和,則數(shù)列的前項和.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項，分組求和法，考查計算能力，屬于中檔題.18、（1）系統(tǒng)抽樣；（2）①分布表見解析；②直方圖見解析.【解析】

（1）因需要研究的個體很多，且差異不明顯，適宜用系統(tǒng)抽樣.（2）①直接計算頻率即可.②根據(jù)①中計算出的數(shù)據(jù)，用每一組的頻率/組距作為縱坐標(biāo)，即可做出頻率分布直方圖.【詳解】某廠生產(chǎn)的一批零件1000個,差異不明顯,且因需要研究的個體很多.

所以適宜用系統(tǒng)抽樣.（2）①頻率分布表為分組頻數(shù)頻率20.160.380.440.2合計201②頻率分布直方圖為.分組頻數(shù)頻率頻率/組距20.10.0260.30.0680.40.0840.20.04合計201【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表和根據(jù)頻率分布表繪制頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.19、（1），．（2）存在正整數(shù)，，證明見解析【解析】

（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于d與q的兩個等式，解方程組，即可求出。（2）利用錯位相減求出，再討論求出的最小值，對應(yīng)的n值即為所求的k值?！驹斀狻浚?）解：設(shè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的公差與公比分別為，，則，解得，于是，，．（2）解：由，即，①，②①②得：，從而得．令,得,顯然、所以數(shù)列是遞減數(shù)列，于是，對于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，即，，，…為遞減數(shù)列，最大項為，最小項大于；當(dāng)為偶數(shù)時，即，，，…為遞增數(shù)列，最小項為，最大項大于零且小于，那么數(shù)列的最小項為．故存在正整數(shù)，使恒成立．【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列，利用錯位相減法求差比數(shù)列的前n項和，并討論其最值，屬于難題。20、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)可知：前3項和，所以，又因為，所以公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式，可以求得．本問考查等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于對基礎(chǔ)知識的考查，為容易題，要求學(xué)生必須掌握．（2）由于為等差數(shù)列，所以可以根據(jù)重要結(jié)論得知：數(shù)列為等比數(shù)列，可以根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明，即，符合等比數(shù)列定義，因此數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為2，所以問題轉(zhuǎn)化為求以4為首項，2為公比的等比數(shù)列的前n項和，根據(jù)公式有．本問考查等比數(shù)列定義及前n項和公式．屬于對基礎(chǔ)知識的考查．試題解析：（1）又（2）由（1）知得：是以4為首項2為公比的等比數(shù)列考點(diǎn)：1.等差數(shù)列；2.等比數(shù)列．21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（Ⅰ）利用線面平行的判定定理，只需證明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先證明線面垂直，CD⊥平面PAD，再證明面面垂直，平面PAD⊥平面PDC