2022－2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試題（B）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可.【詳解】由，得.

故選：C.2.的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，因此，.故選：C.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)定義以及復(fù)數(shù)的減法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，因此，.故選：A.4.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，即，所以，解?故選：C5.在中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合向量加減法運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，故選：B6.已知向量，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意可得，則，即可得到方程，解之即可.【詳解】因?yàn)?，，，則，所以，，，，，因?yàn)?，所以，所以，即，解?故選：C7.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若E為AF的中點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)建以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)，標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得坐標(biāo)，結(jié)合，應(yīng)用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示列方程求出即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)，又為的中點(diǎn)，∴，則，由，得：，∴，解得，則故選：B.8.在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝2，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)值域作答.【詳解】在中，以直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令角的始邊為射線，終邊經(jīng)過點(diǎn)，由，得，而，于是，因此，其中銳角由確定，顯然，則，所以的取值范圍是.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則（）A.B.C.D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減、乘法及共軛復(fù)數(shù)定義判斷A、B、C，再由復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)判斷所在象限判斷D.【詳解】A：，對；B：，對；C：，錯(cuò)；D：由C分析知：對應(yīng)點(diǎn)為在第四象限，錯(cuò).故選：AB10.的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且.若D是外一點(diǎn)，DC＝1，AD＝2，則下列說法中正確（）A. B.C.四邊形ABCD面積有最小值 D.四邊形ABCD面積有最大值【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦定理可求出角，進(jìn)而求出，即可判斷AB；先求出的關(guān)系，再在中，利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合三角函數(shù)即可判斷CD.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，即，又，所以，在中，因?yàn)?，則，所以，則，故AB正確；在中，，在中，，四邊形ABCD面積，其中（為銳角），又，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，在上遞減，所以四邊形ABCD面積有最大值，無最小值，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.11.已知向量，，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先由已知條件求出向量，的坐標(biāo)，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，對于A，因?yàn)?，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，對于B，因?yàn)?，所以，所以B正確，對于C，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以C正確，對于D，因?yàn)?，，所以，所以與不垂直，所以D錯(cuò)誤，故選：BC12.在中，，BC＝10，AC＝2，則（）A. B.的面積為8C.外接圓半徑是 D.內(nèi)切圓半徑是【答案】ABD【解析】【分析】由二倍角公式解出，結(jié)合余弦定理、正弦定理和面積公式判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由二倍角公式，可得，因?yàn)?，所?對A，由余弦定理有，解得，故A正確；對B，三角形的面積，故B正確；對C，由正弦定理并結(jié)合A選項(xiàng)，有（為外接圓半徑），即，解得，故C不正確；對D，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，結(jié)合B選項(xiàng)，三角形面積，解得，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.若，則______.【答案】－2【解析】【分析】根據(jù)題意求得，得到，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，可得，所以.故答案為：.14.設(shè)向量、的夾角的余弦值為，且，，則______.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積的定義可計(jì)算出，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?、的夾角的余弦值為，且，，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，.故答案為：.15.1748年，瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式可知，設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)的模為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)歐拉公式寫出，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，從而求出其模.【詳解】因?yàn)?，所以，所以表示的?fù)數(shù)的模為.故答案為：16.在中，∠B＝45°，，M是BC的中點(diǎn)，，則AC＝______，______.【答案】①②.【解析】【分析】由題意結(jié)合可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，因?yàn)榍?，所以為等腰直角三角形，則，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，C為鈍角，.（1）求C；（2）若b＝6，且的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求解；（2）根據(jù)三角形的面積為，求得a，再利用余弦定理求解.【小問1詳解】因?yàn)镃為鈍角，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以；【小?詳解】因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以a＝4.由余弦定理，可得，所以，所以的周長為.18.（1）在①，②z為純虛數(shù)，③z為非零實(shí)數(shù)，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題.已知復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），為z的共軛復(fù)數(shù)，若______.求實(shí)數(shù)m的值；（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件給分）（2）若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程：的一個(gè)根，求a，b的值及方程的另一個(gè)根.【答案】（1）答案見解析；（2），【解析】【分析】（1）不論選哪個(gè)條件，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念或共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算即可；（2）將代入方程計(jì)算可得a，b的值，再解方程即可.【詳解】（1）選條件①：∵，，∴，解得；選條件②：∵z為純虛數(shù)，∴，解得；選條件③：∵z為非零實(shí)數(shù)，∴，解得；（2）∵為實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，∴，解得，∴原方程為，配方得，解得或，∴方程的另一個(gè)根為.19.在中，已知BC＝4，AC＝3，P在線段BC上，且，，設(shè)，.（1）用向量，表示；（2）若∠ACB＝60°，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；（2）根據(jù)條件求出，再根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算即可.【小問1詳解】由題得；【小問2詳解】，∴.20.已知平面向量，.（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若與的夾角為銳角.求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出，利用平行關(guān)系和模長列出方程組，求出，得到答案；（2）寫出，根據(jù)與夾角為銳角，得到方程和不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍..【小問1詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所?x＝－y，因?yàn)?，所以，解得或，所以或；【小?詳解】，，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，，解得且，即.21.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為，且A，E，C三點(diǎn)共線.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，若A，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意可得，根據(jù)A，E，C三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)k，使得求解即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；（3）由A，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，得，設(shè)，則，再利用（2）的結(jié)論即可求解.【小問1詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量，，因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得，所以，解得，；【小問2詳解】；【小問3詳解】因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為.22.記是內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c