第十八章平行四邊形

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)

第1課時(shí)平行四邊形的邊、角特征

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握平行四邊形的對邊相等、對角相等的兩條性質(zhì)；

2.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的計(jì)算和證明；

3.經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)一猜想一驗(yàn)證一證明”的過程，發(fā)展學(xué)生的思維水平.

重點(diǎn)：掌握平行四邊形的對邊相等、對角相等的兩條性質(zhì).

難點(diǎn)：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的計(jì)算和證明.

一、知識回顧

1.平行四邊形的定義是什么？如何表示一個(gè)平行四邊形？

2.如圖，DC〃GH〃AB,DA〃EF〃CB,圖中的平行四邊形有多少個(gè)？將它們表示出來.

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：平行四邊形的邊、角的特征

量一量1.畫一個(gè)平行四邊形ABCD,用尺子等工具度量它的四條邊，并記錄下數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)AB與DC,AD與

BC之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

2.再用量角器等工具度量它的四個(gè)角，并記錄下數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)NA與NC,/B與/D之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

思考你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

證一證已知：四邊形ABCD是平行四邊形.

求證:AD=BC,AB=CD,ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC.

證明：如圖，連接AC.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD—BC,AB—CD,

AZ1—Z2,Z3_Z4.

又?；AC是AABC和4CDA的公共邊，

二AABC___ACDA,

AAD—BC,AB—CD,ZABC—ZADC.

VZBAD=Z1+Z4,ZBCD=Z2+Z3,

ZBAD_ZBCD.

思考不添加輔助線，你能否直接運(yùn)用平行四邊形的定義，證明其對角相等?

要點(diǎn)歸納：平行四邊形的對邊;平行四邊形的對角.

典例精析

I

例1如圖，在平行四邊形ABCD中.

⑴若NA=32°，求其余三個(gè)角的度數(shù).

⑵連接AC,已知平行四邊形ABCD的周長等于20cm,AC=7cm,求4ABC的周長.

變式題⑴在平行四邊形ABCD中,/A:/B=2:3,求各角的度數(shù).

(2)若平行四邊形ABCD的周長為28cm,AB:BC=3:4,求各邊的長度.

方法總結(jié):已知平行四邊形的邊角的比例關(guān)系求其他邊角時(shí)，會(huì)用到方程思想，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)列方程.

例2如圖，在平行四邊形ABCD中,E,F是對角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF,求證：BE=DF.

針對訓(xùn)練

1.如圖，在平行四邊形ABCD中.

⑴若NA=130°,則/B=,ZC=，ZD=.

⑵若AB=3,BC=5,則它的周長=.

(3)若NA+ZC=200°,則NA=,ZB=.

2如.圖，在平行四邊形ABCD中，若AE平分NDAB,AB=5cm,AD=9cm,則EC=.

3.剪兩張對邊平行的紙條隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形，轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條，線段AD和

BC的長度有什么關(guān)系？為什么？

2

探究點(diǎn)2：平行線間的距離

想一想:如圖，若m//n,作AB//CD//EF,分別交m于A、C、E,交n于B、D、F.由

易知四邊形ABCD,CDEF均為.由平行四邊形的性質(zhì)得ABCDEF.

ACE

BDF

填一填：

如圖，在平行四邊形ABCD中，DE±AB,BF1CD,垂足分別是E,F.求證：DE=BF.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

二ZAZC,ADCB.

又NAED=ZCFB=90°,

AADE____ACBF(_____),

.\AE____CF.

AEB

要點(diǎn)歸納：1.兩條平行線之間的任何平行線段都.

2.兩條平行線間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的,

3.兩條平行線間的距離.

典例精析

2

例3如圖，AB〃CD,BC1AB,若AB=4cm,SAABC=12cm,求4ABD中AB邊上的高.

二、課堂小結(jié)

平行四邊形內(nèi)容

定義兩組對邊分別平行的四邊形

1.兩組對邊分別平行，相等

性質(zhì)

2.兩組對角分別相等，鄰角互補(bǔ)

1.兩條平行線間的距離相等

其它結(jié)論

2.兩條平行線間的平行線段也相等

3

〉國堂嬴I〈

1.判斷題(對的在括號內(nèi)填“J"，錯(cuò)的填“X”)：

(1)四平行四邊形兩組對邊分別平行且相等()

⑵平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角都相等()

(3)平行四邊形的相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和等于180。()

(4)如果平行四邊形相鄰兩邊長分別是2cm和3cm,那么周長是10cm()

(5)在平行四邊形ABCD中，如果/A=42°,那么/B=48°()

(6)在平行四邊形ABCD中，如果NA=35°,那么NC=145°()

2.在平行四邊形ABCD中，M是BC延長線上的一點(diǎn)，若/A=135°,則/MCD的度數(shù)是()

A.45°B.55°C.65°D.75

第2題圖第3題圖第4題圖

3.如圖，D、E、F分別在△ABC的邊AB、BC、AC±,且DE〃AC,DF〃BC,EF〃AB,則圖中有個(gè)平

行四邊形.

4.如圖，直線AE//BD,點(diǎn)C在BD上，若AE=5,BD=8,AABD的面積為16,則4ACE的面積為.

5.已知在平行四邊形ABCD中，DE平分NADC,BF平分/ABC.求證:AE=CF.

6.有一塊形狀如圖所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，現(xiàn)在只測得AE=60cm,BC=80cm,NB=6O°且

AE〃BC、AB〃CF,你能根據(jù)測得的數(shù)據(jù)計(jì)算出DE的長度和ND的度數(shù)嗎？

7.如圖，在4ABC中,AD平分NBAC,點(diǎn)M,E,F分別是AB,AD,AC上的點(diǎn)，四邊形BEFM是平行四邊形.

求證：AF=BM.

4

第2課時(shí)平行四邊形的對角線的特征

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)；

2.經(jīng)歷對平行四邊形性質(zhì)的猜想與證明的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想，體會(huì)圖形性質(zhì)探究的一般思路.

重點(diǎn)：掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì).

難點(diǎn)：經(jīng)歷對平行四邊形性質(zhì)的猜想與證明的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想，體會(huì)圖形性質(zhì)探究的一般思路.

一、知識回顧

1.你能說出平行四邊形邊、角的特征嗎？

平行四邊形對邊互相；

平行四邊形對邊；

平行四邊形對角.

二、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：平行四邊形的對角線的性質(zhì)

猜一猜如圖，在口ABCD中，連接AC,BD,并設(shè)它們相交于點(diǎn)0.0A與0C,0B與0D有什么關(guān)系？

證一證

已知：如圖，OABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)0.

求證:0A=0C,0B=0D.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AD—BC,AD—BC,

Z1—Z2,Z3—Z4,

AA0D_AC0B(),

：.0A___0C,0B____0D.

要點(diǎn)歸納：平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相.

應(yīng)用格式：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，0A=0C,0B=0D.

典例精析

例1如圖，已知平行四邊形ABCD的周長為60cm,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AAOB的周長比^DOA的

周長長5cm,求這個(gè)平行四邊形各邊的長.

方法總結(jié):平行四邊形被對角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差.

變式題如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,平行四邊形ABCD的周長是100cm,△

AOB與△BOC的周長的和是122cm,且AC:DB=2:1,求AC和BD的長.

5

例2如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)0.點(diǎn)0作直線EF,分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.求證:OE=OF.

變式題請判斷下列圖中，OE=OF還成立么？

方法總結(jié):過平行四邊形的對角線交點(diǎn)作直線與平行四邊形的一組對邊或?qū)叺难娱L線相交，得到線段總相等.

針對訓(xùn)練一

1.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,若AD=16,AC=24,BD=12,貝IJ^OBC的周長為

2.如圖，在匚7ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O,4AOB的周長為15,AB=6,則對角線AC、BD的長

度的和是（）

A.9B.18C.27D.36

3.如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD交于。點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AO、CO的中點(diǎn)，試判斷線段BE、DF的

關(guān)系并證明你的結(jié)論.

探究點(diǎn)2：平行四邊形的面積

典例精析

例3如圖，平行四邊形ABCD中，DELAB于E,DFLBC于F,若平行四邊形ABCD的周長為48,DE=5,

DF=10,求平行四邊形ABCD的面積.

EB

6

方法總結(jié):已知平行四邊形的高DE,DF,根據(jù)“等面積法”及平行四邊形性質(zhì)列方程求解.

例4平行四邊形的對角線分平行四邊形ABCD為四個(gè)三角形，它們的面積有怎樣的關(guān)系呢？

a______

方法總結(jié)：平行四邊形的對角線分平行四邊形為四個(gè)面積相等的三角形，旦都等于平行四邊形面積的四分之一.

相對的兩個(gè)三角形全等.

例5如圖，AC,BD交于點(diǎn)0,EF過點(diǎn)0,平行四邊形ABCD被EF所分的兩個(gè)四邊形面積相等嗎？

變式題如圖，AC,BD交于點(diǎn)0,EF過點(diǎn)0,平行四邊形ABCD被EF所分的兩個(gè)四邊形面積相等嗎？

￡\BA

方法總結(jié):國角線交點(diǎn)的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分「I

針對訓(xùn)練

1.把一個(gè)平行四邊形分成3個(gè)三角形，已知兩個(gè)陰影三角形的面積分別是9cm2和12cm2,求平行四邊形的面積.

2.如圖，歡歡看到平行四邊形的草地中間有一水井，為了澆水的方便，歡歡建議我們經(jīng)過水井修小路，一樣可

以把草地分成面積相等的兩部分，同學(xué)們，你知道聰明的歡歡是怎么分的嗎？

二、課堂小結(jié)

7

平行四邊形對角線互相平分

過平行四邊形的對角線交點(diǎn)作直線與平行四邊形的一組

對邊或?qū)叺难娱L線相交，得到線段總相等.

平行四邊形

對角線的性質(zhì)

兩條對角線分平行四邊形為面積相等的四個(gè)三角形

過對角線交點(diǎn)的任一條直線都將平行四邊形分成面積相

等的兩部分.且與對角線圍成的三角形相對的兩個(gè)全等.

當(dāng)堂檢測

1.如圖，0ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,且AC+BD=16,CD=6,則△ABO的周長是

()

A.10B.14C.

第1題圖第2題圖第3題圖

2.如圖，在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.ZABO=ZCDOB.ZBAD=ZBCD

C.AO=COD.AC±BD

3.在。ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m,則m的取值范圍是)

A.24<m<39B.14<m<62

C.7<m<31D.7<m<12

4.如圖，二熱BCD的對角線AC,BD相交于0,EF過點(diǎn)0與AD,BC分別相交于E,F,若AB=4,BC=5,0E=l.5,

那么四邊形EFCD的周長為()

A.16B.14

C.12D.10

5.如圖，平行四邊形ABCD的面積為20,對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,F分別是AB,CD上的點(diǎn)，且AE=D

F,則圖中陰影部分的面積為.

第4題圖第5題圖第6題圖

6.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,AB±AC,AB=3,AD=5,則BD

的長是.

8

7.如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)0,且ABWAD,過。作0ELBD,交BC于點(diǎn)E.若4CDE的周長為

10,則平行四邊形ABCD的周長是多少？

能力提升

8.如圖，已知O是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，AC=24,BD=18,AB=16,求aOCD的周長及AD邊的

取值范圍.

第1課時(shí)平行四邊形的判定（1）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.經(jīng)歷平行四邊形判定定理的猜想與證明過程，體會(huì)類比思想及探究圖形判定的一般思路；

2.掌握平行四邊形的三個(gè)判定定理，能根據(jù)不同條件靈活選取適當(dāng)?shù)呐卸ǘɡ磉M(jìn)行推理論證.

重點(diǎn)：經(jīng)歷平行四邊形判定定理的猜想與證明過程，體會(huì)類比思想及探究圖形判定的一般思路.

難點(diǎn)：掌握平行四邊形的三個(gè)判定定理，能根據(jù)不同條件靈活選取適當(dāng)?shù)呐卸ǘɡ磉M(jìn)行推理論證.

一、知識回顧

1.平行四邊形的定義是什么？有什么作用？

2.除了兩組對邊分別平行，平行四邊形還有哪些性質(zhì)？

3.平行四邊形上面的三條性質(zhì)的逆命題各是什么？

課堂探究

三、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

猜一猜將兩長兩短的四根細(xì)木條用小釘固定在一起，任意拉動(dòng)，所得的四邊形是平行四邊形嗎？

證一證

已知：四邊形ABCD中,AB=DC,AD=BC.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

9

證明：連接AC,

在4ABC和4CDA中，

"AB=CD,

?AC=CA,.,.△ABC____ACDA().

,BC=DA,

，Z1Z4,Z2Z3,

.\ABCD,ADBC,

二四邊形ABCD是.

要點(diǎn)歸納：平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形.

幾何語言描述：在四邊形ABCD中，-.^6=60,AD=BC,

四邊形ABCD是.

典例精析

例1如圖，在RtZ\MON中，/MON=90°.求證：四邊形PONM是平行四邊形.

例2如圖，在4ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊aABD、等邊aACE、等邊aBCF.

試說明四邊形DAEF是平行四邊形.

針對訓(xùn)練

如圖,AD1AC,BC±AC,JLAB=CD,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

探究點(diǎn)2：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

猜一猜對于兩組對角分別相等的四邊形的形狀你的猜想是什么？

證一證

已知：四邊形ABCD中，ZA=ZC,NB=ND,

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：：NA+NC+NB+ND=______0,

又：/人=/口ZB=ZD,

:.—ZA+_NB=_,

即NA+NB=°,

AD____BC.同理得AB____CD,

,四邊形ABCD是.

10

要點(diǎn)歸納：平行四邊形的判定定理：兩組對角分別的四邊形是平行四邊形.

幾何語言描述：在四邊形ABCD中，?.?NA=,NB=,

四邊形ABCD是.

典例精析

例3如圖，在四邊形ABCD中，AB〃DC,ZB=55°,Nl=85°,Z2=40°.

(1)求ND的度數(shù)；

(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

針對訓(xùn)練

1.判斷下列四邊形是否為平行四邊形:

2.能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件：NA:NB:NC:ND的值為()

A.1:2:3:4B.1:4:2:3C.1:2:2:1D.3:2:3:2

探究點(diǎn)3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

猜一猜如圖,將兩根細(xì)木條AC、BD的中點(diǎn)重疊，用小釘固定在一起，用橡皮筋連接木條的頂點(diǎn)，做成一個(gè)四

邊形ABCD.轉(zhuǎn)動(dòng)兩根木條，四邊形ABCD一直是一個(gè)平行四邊形嗎？

證一證

已知:四邊形ABCD中，OA=OC,OB=OD.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明:在aAOB和△COD中，

”O(jiān)A=OC,

?ZA0B=ZC0D,AAAOBAC0D().

.OB=OD,

ZBAOZOCD,ZABOZCDO,

AAB____CD,AD____BC,

???四邊形ABCD是.

要點(diǎn)歸納：平行四邊形的判定定理：對角線互相的四邊形是平行四邊形.

幾何語言描述：在四邊形ABCD中，’.飛。_C0,DO_____BO,

二四邊形ABCD是.

典例精析

11

例4（教材P46例3變式題）如圖，AC是平行四邊形ABCD的一條對角線，BM1AC于M,DN±AC于N,四邊形BMDN

是平行四邊形嗎？說說你的理由.

例5昨天李明同學(xué)在生物實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí)，不小心碰碎了實(shí)驗(yàn)室的一塊平行四邊形的實(shí)驗(yàn)用的玻璃片，只剩下

如圖所示部分，他想回家去割一塊賠給學(xué)校，帶上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原來的平行四邊

形重新在紙上畫出來?然后帶上圖紙去就行了，可原來的平行四邊形怎么給它畫出來呢（A,B,C為三頂點(diǎn)，即找

出第四個(gè)頂點(diǎn)D）?（請用多種方法）

針對訓(xùn)練

1.根據(jù)下列條件,不能判定四邊形為平行四邊形的是（）

A.兩組對邊分別相等B.兩條對角線互相平分

C.兩條對角線相等D.兩組對邊分別平行

2.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O.如果AC=8cm,BD=10cm,那么當(dāng)AO=cm,BO=cm

時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形.

內(nèi)容

定義法:兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

平行四邊形的判定

（1）

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

12

〉國堂嬴I〈

1.判斷對錯(cuò)：

(1)有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.()

(2)有兩條邊相等，并且另外的兩條邊也相等的四邊形一定是平行四邊形()

(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形()

(4)一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形()

(5)有一組對角相等且一組對邊平行的四邊形是平行四邊形()

2.如圖，四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)0,下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形()

A.0A=0C,0B=0DB.AB=CD,A0=C0

C.AB=CD,AD=BCD.NBAD=/BCD,AB〃CD

3.如圖，在四邊形ABCD中，

(1)如果AB〃CD,AD〃BC,那么四邊形ABCD是.

(2)如果NA：ZB：ZC：ZD=a：b：a：b(a,b為正數(shù))，那么四邊形ABCD是.

(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么當(dāng)BC=cm,CD=cm時(shí)，四邊形ABCD為平行四邊形.

4.如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，連接BD、CE,交于點(diǎn)P.求證：四邊形ABPE是平行四邊形.

5.如圖,已知E,F,G,H分別是平行四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),且AE=CG,BF=DH.求證：四

邊形EFGH是平行四邊形.

13

6.如圖,AB,CD相交于點(diǎn)0,AC〃DB,A0=B(),E、F分別是0C、0D的中點(diǎn).求證：(1)AAOC^ABOD；

(2)四邊形AFBE是平行四邊形.

7.學(xué)校買了四棵樹，準(zhǔn)備栽在花園里，已經(jīng)栽了三棵(如圖)，現(xiàn)在學(xué)校希望這四棵樹能組成一個(gè)平行四邊

形，你覺得第四棵樹應(yīng)該栽在哪里？

第2課時(shí)平行四邊形的判定(2)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定方法.

2.會(huì)進(jìn)行平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用.

重點(diǎn)：“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定方法.

難點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用.

一、知識回顧

1.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了判定一個(gè)四邊形為平行四邊形的方法有哪幾種？

四、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

想一想我們知道，兩組對分別平行或相等的是平行四邊形.如果只考慮四邊形的一組對邊，它們滿足什么條

件時(shí)這個(gè)四邊形能成為平行四邊形呢？對于這個(gè)問題，有以下兩種猜想：

猜想1：一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；

猜想2：一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.這兩種猜想對嗎？如果不對，你能舉出反例嗎？

活動(dòng)如圖，將線段AB向右平移BC長度后得到線段CD,連接AD,BC,由此你能猜想四邊形ABCD的形狀嗎？

猜一猜經(jīng)歷了上面的活動(dòng)，你現(xiàn)在能猜出，一組對邊滿足什么條件的四邊形是平行四邊形嗎？

一組對邊平的四邊形是平行四邊形.

證一證

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD且AB〃CD,

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：連接AC.

14

?；AB〃CD,/.Z1=Z2.

在AABC和aCDA中，

"AB=CD,

?N1=N2,AABCACDA().

.AC=CA,

:.BC=DA.

又；AB=CD,

四邊形ABCD是.

要點(diǎn)歸納：平行四邊形的判定定理：一組對邊的四邊形是平行四邊形.

幾何語言描述：在四邊形ABCD中，?.?AB〃CD,AB=CD,

...四邊形ABCD是平行四邊形.

典例精析

例1如圖，點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上，點(diǎn)E,F分別在直線AD的兩側(cè)，AE=DF,ZA=ZD,AB=DC.求

證：四邊形BFCE是平行四邊形.

變式題如圖，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，AD=CE,CD=BE.

(1)求證：△ACD04CBE；

(2)求證：四邊形CBED是平行四邊形.

針對訓(xùn)練

1.已知四邊形ABCD中有四個(gè)條件：AB〃CD,AB=CD,BC〃AD,BC=AD,從中任選兩個(gè)，不能使四邊形

ABCD成為平行四邊形的選法是()

A.AB〃CD,AB=CD

B.AB〃CD,BC〃AD

C.AB〃CD,BC=AD

D.AB=CD,BC=AD

2.四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

BC

15

探究點(diǎn)2：平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用

典例精析

例2如圖，AABC中，BD平分/ABC,DF〃BC,EF〃AC,試問BF與CE相等嗎？為什么？

例3如圖，將oABCD沿過點(diǎn)A的直線/折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D'處，折痕/交CD邊于點(diǎn)E,連接BE.求

證：四邊形BCED'是平行四邊形.

方法總結(jié):此題利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出NDAE=NEAD'=NDEA=N>EA,再結(jié)合平行四邊形

的判定”性質(zhì)進(jìn)行解題.

針對訓(xùn)練|

L四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)()，給出下列四個(gè)條件：①AD〃BC；②AD=BC；③0A=0C；@0B=

0D.從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有()

A.3種B.4種C.5種D.6種

2.如圖，在QABCD中，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，連接DE,EF,BF,寫出圖中除。ABCD以外的所有的平行四

邊形.

二、課堂小結(jié)

r一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

平行四邊形的.

判定⑵|----------------------------------

I平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用

16

當(dāng)堂檢測

1.在。ABCD中，E、F分別在BC、AD上，若想要使四邊形AFCE為平行四邊形，需添加一個(gè)條件，這

個(gè)條件不可以是

A.AF=CEB.AE=CF

C.ZBAE=ZFCDD.ZBEA=ZFCE

AH

B.Vc

第1題圖第3題圖

2.已知四邊形ABCD中，AB〃CD,AB=CD,周長為40cm,兩鄰邊的比是3：2,則較大邊的長度是()

A.8cmB.10cm

C.12cmD.14cm

3.如圖，在平行四邊形ABCD中，EF〃AD,HN〃AB,則圖中的平行四邊形的個(gè)數(shù)共有個(gè).

4.如圖，點(diǎn)E,C在線段BF上，BE=CF,ZB=ZDEF,ZACB=ZF,求證：四邊形ABED為平行四邊形.

AD

5.如圖，Z^ABC中，AB=AC=10,D是BC邊上的任意一點(diǎn)，分別作DF〃AB交AC于F,DE〃AC交AB于E,求DE

+DF的值.

能力提升

6.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,AD=12cm,BC=15cm,點(diǎn)P自點(diǎn)A向D以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到D

點(diǎn)即停止.點(diǎn)Q自點(diǎn)C向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)即停止，點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

(1)用含t的代數(shù)式表示：D-----、一

AP=.

BQ=_

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APQB是平行四邊形?

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形?

17

第3課時(shí)三角形的中位線

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線定理;

2.能利用三角形的中位線定理解決有關(guān)證明和計(jì)算問題.

重點(diǎn)：理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線定理.

難點(diǎn)：能利用三角形的中位線定理解決有關(guān)證明和計(jì)算問題.

一、知識回顧

1.平行四邊形的性質(zhì)和判定有哪些？

'邊：①AB〃CD,ADBC

性質(zhì)②AB=CD.ADBC

平行四邊形ABCD----《③AB//CD,ABCD

判定角：ZBADZBCD,ZABC

、對角線：A0CO,DO___BO

五、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：三角形的中位線定理

概念學(xué)習(xí)三角形中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段.

如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接DE.則線段DE就稱為△ABC的中位線.

想一想1.一個(gè)三角形有幾條中位線？你能在aABC中畫出它所有的中位線嗎？

2.三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？

猜一猜如圖，DE是AABC的中位線，DE與BC有怎樣的位置關(guān)系，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

猜想：三角形的中位線_三角形的第三邊且第三邊的.

量一量度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結(jié)論?

證一證如圖，在aABC中，點(diǎn)D,E分別是AB,AC邊的中點(diǎn).

求證：DE//BC,DE=-BC.

2

18

:.DFBC,DFBC,

又,;DE=LDF,

2

ADEBC,DE=BC.

證法2：證明：延長DE到F,使EF=DE.連接FC.

VZAED=ZCEF,AE=CE,

A△ADE____ACFE.

:.ZADE=Z_____,AD=,

:.CFAD,.IBDCF.

???四邊形BCFD是.

???DFBC.

又，;DE=>DF,

2

ADEBC,DE=BC.

要點(diǎn)歸納：三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.

符號語言：AABC中，若D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，

則。￡口3。,DE=-BC.

2

重要結(jié)論：①中位線DE、EF、DF把a(bǔ)ABC分成四個(gè)全等的三角形；有三組共邊的平行四邊形,

它們是四邊形ADFE和BDEF,四邊形BFED和CFDE,四邊形ADFE和DFCE.

②頂點(diǎn)是中點(diǎn)的三角形，我們稱之為中點(diǎn)三角形；中點(diǎn)三角形的周長是原三角形的周長

的一半.面積等于原三角形面積的四分之一.

例1如圖，在aABC中，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，AF平分NCAB,交DE于點(diǎn)F.若DF=3,求AC的

長.

19

例2如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,M、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，ZABD=20°,ZBDC=70°,

求NPMN的度數(shù).

例3如圖，在aABC中，AB=AC,E為AB的中點(diǎn)，在AB的延長線上取一點(diǎn)D,使BD=AB,求證：CD

=2CE.

方法總結(jié)：恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造三角形中位線是解決線段倍分關(guān)系的關(guān)鍵.

針對訓(xùn)練

1.如圖，ZiABC中，D、E分別是AB、AC中點(diǎn).

(1)若DE=5,則BC=.

(2)若NB=65°,貝UNADE=°.

(3)若DE+BC=12,則BC=.

第1題圖第2題圖

2.如圖，A,B兩點(diǎn)被池塘隔開，在A,B外選一點(diǎn)C,連接AC和BC,并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M,N,

如果測得MN=20m,那么A,B兩點(diǎn)間的距離為m.

探究點(diǎn)2：三角形的中位線的與平行四邊形的綜合運(yùn)用

典例精析

例4如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點(diǎn).

求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

方法總結(jié):順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.

20

變式題如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為平行四邊形.

例5如圖，等邊4ABC的邊長是2,D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F,使CF=_LBC,連接CD和

2

EF.

(1)求證：DE=CF；

(2)求EF的長.

針對訓(xùn)練

1.如圖，在aABC中，AB=6,AC=10,點(diǎn)D,E,F分別是AB,BC,AC的中點(diǎn)，則四邊形ADEF的周長為

)

A.8B.10C.12D.16

2.如圖，口ABCD的周長為36,對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=12,求ADOE的周長.

二、課堂小結(jié)

三角形的中三角形中位線平行于第三

位線定理邊，并且等于它的一半

三角形的中位線

I三角形的中位線定理的應(yīng)用

21

)當(dāng)堂檢測K

1.如圖，在Z\ABC中,點(diǎn)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn).若EF的長為2,則BC的長為

()

A.1B.2C.4D.8

第1題圖第2題圖第3題圖

2.如圖，在口ABCD中，AD=8,點(diǎn)E,F分別是BD,CD的中點(diǎn)，貝I」EF等于()

A.2B.3C.4D.5

3.如圖，點(diǎn)D、E、F分別是ZXABC的三邊AB、BC、AC的中點(diǎn).

(1)若NADF=50°,則NB=°；

(2)已知三邊AB、BC、AC分別為12、10、8,則aDEF的周長為.

4.在aABC中，E、F、G、H分別為AC、CD、BD、AB的中點(diǎn)，若AD=3,BC=8,則四邊形EFGH的周長是

A

5.如圖，在aABC中，AB=6cm,AC=10cm,AD平分NBAC,BDLAD于點(diǎn)D,BD的延長線交AC于點(diǎn)F,E為BC

的中點(diǎn)，求DE的長.

6.如圖，E為51BCD中DC邊的延長線上一點(diǎn)，且CE=DC,連接AE,分別交BC、BD于點(diǎn)F、G,連接AC交BD

于0,連接0F,判斷AB與OF的位置關(guān)系和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

22

7.如圖，在四邊形ABCD中，AC1BD,BD=12,AC=16,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn)，求EF的長.

18.2.1矩形

第1課時(shí)矩形的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系；

2.會(huì)證明矩形的性質(zhì)，會(huì)用矩形的性質(zhì)解決簡單的問題；

3.掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并會(huì)簡單的運(yùn)用.

重點(diǎn)：理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系；掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并會(huì)簡單的

運(yùn)用.

難點(diǎn)：會(huì)證明矩形的性質(zhì)，會(huì)用矩形的性質(zhì)解決簡單的問題.

—＞知識回顧

L平行四邊形是什么？它有哪些性質(zhì)？

2.你還記得長方形是什么嗎？

二、新知預(yù)習(xí)

1.如圖，現(xiàn)有一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形，使它的一個(gè)內(nèi)角變化，當(dāng)內(nèi)角變化為90°時(shí)，這是我們學(xué)過的哪個(gè)圖形？

2.自主學(xué)習(xí)：

(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做，也就是長方形.

(2)矩形是特殊的平行四邊形，平行四邊形是矩形.

三、自學(xué)自測

1.矩形是常見的圖形，你能舉出一些生活中的實(shí)例嗎？

2.矩形是特殊的平行四邊形，你能根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，說出3條矩形的性質(zhì)嗎？

23

六、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1:矩形的性質(zhì)

思考因?yàn)榫匦问瞧叫兴倪呅危运哂衅叫兴倪呅蔚乃行再|(zhì)，由于它有一個(gè)角為直角，它是否具有一般

平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？

活動(dòng)準(zhǔn)備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.

（1）請同學(xué)們以小組為單位，測量身邊的矩形（如書本，課桌，鉛筆盒等）的四個(gè)角度數(shù)和對角線的長度,并記錄

測量結(jié)果.

ACBDZBADZADCZABCZBCD

橡皮擦

課本

桌子

（2）根據(jù)測量的結(jié)果，你有什么猜想？

猜想1矩形的四個(gè)角都是.

猜想2矩形的對角線.

證一證如圖,四邊形ABCD是矩形,NB=90°.

求證：ZB=ZC=ZD=ZA=90°.

證明：???四邊形ABCD是矩形，

二ZB____ZD,ZC____ZA,ABDC.D

.*.ZB+ZC=°.----------\

又"Bugo。，

AZC=°.------1。

.\ZB=ZC=ZD=ZA=°.

如圖,四邊形ABCD是矩形,NABC=90°,對角線AC與DB相較于點(diǎn)O.

求證：AC=DB.

證明：???四邊形ABCD是矩形，

，ABDC,NABC=NDCB=

在4ABC和4DCB中，

VAB=DC,ZABC=ZDCB,BC=CB,

/.△ABC___ADCB.

AACDB.

思考請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的矩形紙片，折一折,觀察并思考.矩形是不是軸對稱圖形?如果是，那么對稱軸有幾

條？

要點(diǎn)歸納：矩形除了具有平行四邊形所有性質(zhì)，還具有的性質(zhì)有:

1.矩形的四個(gè)角都是,矩形的對角線.

2.矩形是圖形,它有條對稱軸.

幾何語言描述：

在矩形ABCD中,對角線AC與DB相交于點(diǎn)0.

ZABC-ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,AC=DB.

典例精析

24

例1如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點(diǎn),AE=AD,DF，AE，垂足為F.求證：DF=DC.

例2如圖，將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C'處，BC'交AD于點(diǎn)E,AD=8,AB=4,求

△BED的面積.

C'

J

針對訓(xùn)練

1.如圖，在矩形ABCD中，對角線ACBD交于點(diǎn)O,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.ABZ7DCB.AC=BD

C.AC±BDD.OA=OB

上

B匕--------

第1題圖第2題圖

2如.圖，EF過矩形ABCD對角線的交點(diǎn)0,且分別交AB、CD于E、F,那么陰影部分的面積是矩形ABCD

面積的________.

3如.圖，在矩形ABCD中,AELBD于E,/DA\E：NBAE=3：1,求/BAE和NEAO的度數(shù).

BC

探究點(diǎn)2：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

活動(dòng)如圖，一張矩形紙片，畫出兩條對角線，沿著對角線AC剪去一半.

25

問題RtaABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關(guān)系？

猜想直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的.

證一證如圖，在RtaABC中，ZABC=90°,B0是AC上的中線.

求證：BO=-AC.

2

證明：延長B0至D,使OD=BO,連接AD、DC.

,--AO=OC,BO=OD,

/.四邊形ABCD是.

VZABC=90°,

???平行四邊形ABCD是,

AACBD,

BO=BD=AC.

要點(diǎn)歸納:直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的______等于斜邊的—

典例精析

例3如圖，在aABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn).

(1)若AB=10,AC=8,求四邊形AEDF的周長；

(2)求證：EF垂直平分AD.

方法總結(jié):當(dāng)已知條件含有線段的中點(diǎn)、直角三角形的條件時(shí)，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進(jìn)行求

解.

例4如圖，已知BD,CE是aABC不同邊上的高，點(diǎn)G,F分別是BC,DE的中點(diǎn)，試說明GFLDE.

方法總結(jié):在直角三角形中，遇到斜邊中點(diǎn)常作斜邊中線，進(jìn)而可將問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形的問題，然后利用

等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)解題.

針對訓(xùn)練|

如圖，在aABC中，NABC=90°,BD是斜邊AC上的中線.A

D

26

B