第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考試要求結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)．鏈接教材夯基固本第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上________f′(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上________f′(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是________單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)2．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的______；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的____；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．[常用結(jié)論]1．若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時(shí)，f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時(shí)，f′(x)≤0恒成立．2．若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時(shí)，f′(x)>0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時(shí)，f′(x)<0有解．3．f′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分不必要條件，舉例：f(x)＝x3在R上單調(diào)遞增，但f′(0)＝0.定義域零點(diǎn)一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性． (

)(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限個(gè)，則f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減． (

)(3)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增． (

)(4)函數(shù)f(x)＝x－sinx在R上單調(diào)遞增． (

)√√×√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P103復(fù)習(xí)參考題5T3改編)f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是(

)A

B

C

DC

[由f′(x)的圖象知，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)單調(diào)遞增．故選C.]

(0，1)3典例精研核心考點(diǎn)第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

名師點(diǎn)評(píng)

利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的注意點(diǎn)(1)必須先求函數(shù)定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．(2)正確求導(dǎo)函數(shù)．(3)當(dāng)f′(x)＝0無(wú)解時(shí)，可根據(jù)f′(x)的結(jié)構(gòu)特征確定f′(x)的符號(hào)．(4)所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí)，這些區(qū)間之間不能用“∪”及“或”連接，只能用“，”及“和”隔開(kāi)．

(0，1)

[拓展變式]若將本例中參數(shù)a的取值范圍改為a∈R，其他條件不變，試討論f(x)的單調(diào)性．

【教師備選資源】討論下列函數(shù)的單調(diào)性．(1)f(x)＝x－alnx；(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.

(2)g(x)的定義域?yàn)镽，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2.①當(dāng)a>ln2時(shí)，x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，x∈(ln2，a)時(shí)，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln2，a)上單調(diào)遞減．②當(dāng)a＝ln2時(shí)，g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上單調(diào)遞增．③當(dāng)a<ln2時(shí)，x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，x∈(a，ln2)時(shí)，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(a，ln2)上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)a>ln2時(shí)，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln2，a)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝ln2時(shí)，g(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a<ln2時(shí)，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(a，ln2)上單調(diào)遞減．名師點(diǎn)評(píng)

(1)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，常見(jiàn)的分類討論點(diǎn)按討論的先后順序有以下三個(gè)：分類討論點(diǎn)1(根的有無(wú)討論)：求導(dǎo)后，考慮f′(x)＝0是否有實(shí)數(shù)根，從而引起分類討論；分類討論點(diǎn)2(根在不在定義域內(nèi)討論)：求導(dǎo)后，f′(x)＝0有實(shí)數(shù)根，但不清楚f′(x)＝0的實(shí)數(shù)根是否落在定義域內(nèi)，從而引起分類討論；分類討論點(diǎn)3(根的大小的討論)：求導(dǎo)后，f′(x)＝0有實(shí)數(shù)根，f′(x)＝0的實(shí)數(shù)根也落在定義域內(nèi)，但不清楚這些實(shí)數(shù)根的大小關(guān)系，從而引起分類討論．(2)求出f′(x)后，先觀察f′(x)的解析式的特征(當(dāng)參數(shù)取某些特殊值或在某一范圍內(nèi)時(shí)，f′(x)≥0(≤0)恒成立)，再解不等式．

【教師備選資源】已知函數(shù)f(x)＝(mx2－3x－3)ex，當(dāng)m<0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向1比較大小或解不等式[典例3]

(1)已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，則(

)A．c<b<a

B．b<c<aC．a(chǎn)<c<b

D．a(chǎn)<b<c(2)(2024·重慶模擬)已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－f(x)>0，且f(1)＝2，則f(ex)>2ex的解集為(

)A．(0，＋∞)

B．(ln2，＋∞)C．(1，＋∞)

D．(0，1)

名師點(diǎn)評(píng)

靈活構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小或解抽象不等式．

(2)g(x)在[1，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則g′(x)＞0在[1，2]上有解，即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，∴a＞(－2x2－x)min，又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－10，＋∞)．[拓展變式]

(1)(變條件)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)(變條件)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，2]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

名師點(diǎn)評(píng)

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．(2)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增的充要條件是對(duì)任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解．但有時(shí)等號(hào)取不到或f′(x)＝0恒成立．(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題．

(2)設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)，則h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，所以h(x)在R上單調(diào)遞減，因