Page21赤峰高二年級第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（共8小題）1.空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.詳解】點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得中得為：，即.故選A.2.如圖所示,在平行六面體中,,,,是的中點(diǎn),點(diǎn)是上的點(diǎn),且,用表示向量的結(jié)果是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在平行六面體中依據(jù)空間向量的加法合成法則,對向量進(jìn)行線性表示,即可求得答案.【詳解】連接可得:又故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的加法運(yùn)算,解題關(guān)鍵是駕馭向量的加法運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合,屬于基礎(chǔ)題.3.已知，，，則的夾角是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的夾角坐標(biāo)公式計算即可.【詳解】因為，，，所以，，所以，又，所以，即的夾角是.故選：C.4.在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得和平面的一個法向量，利用向量的距離公式，即可求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，則，即，解得，故，明顯平面平面，所以平面與平面之間的距離．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應(yīng)用，對于利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對應(yīng)的向量在法向量上的投影的確定值，即為點(diǎn)到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解．著重考查了推理與運(yùn)算實力，屬于基礎(chǔ)題.5.若直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計算出的取值范圍，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，又因為，故.故選：C.6.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)，即可求得本題答案.【詳解】因為所求直線方程與直線平行，所以可設(shè)為，又因為經(jīng)過點(diǎn)，代入可得，則所求直線方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.7.已知直線:，直線:，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線的垂直，即可求出tanα=2，再依據(jù)二倍角公式即可求出．【詳解】因為l1⊥l2，所以，所以tanα=2，所以.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線的垂直的充要條件，以及正切二倍角公式，屬于簡潔題.8.已知六棱錐的底面是正六邊形，平面ABC，.則下列命題中正確的有（）①平面平面PAE；②；③直線CD與PF所成角的余弦值為；④直線PD與平面ABC所成的角為45°；⑤平面PAE.A.①④ B.①③④ C.②③⑤ D.①②④⑤【答案】B【解析】【分析】①要推斷面面垂直，需先推斷是否有線面垂直，依據(jù)線線，線面的垂直關(guān)系推斷；②由條件可知若，可推出平面，則，推斷是否有沖突；③異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，即依據(jù)，轉(zhuǎn)化為求；④依據(jù)線面角的定義干脆求解；⑤若平面，則，由正六邊形的性質(zhì)推斷是否有沖突.【詳解】∵平面ABC，∴，在正六邊形ABCDEF中，，，∴平面PAE，且面PAB，∴平面平面PAE，故①成立；由條件可知若，平面，則，，可推出平面，則，這與不垂直沖突，故②不成立；∵，直線CD與PF所成角為，在中，，∴，∴③成立.在中，，∴，故④成立.若平面，平面平面則，這與不平行沖突，故⑤不成立.所以正確的是①③④故選：B【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查推理證明，空間想象實力，屬于基礎(chǔ)題型.二、多選題（共4小題）9.已知空間中三點(diǎn)、、，則下列結(jié)論不正確的有（）A.與是共線向量B.的單位向量是C.與夾角的余弦值是D.平面的一個法向量是【答案】ABC【解析】【分析】利用共線向量的坐標(biāo)關(guān)系可推斷A選項；利用單位向量的定義可推斷B選項；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可推斷C選項；利用法向量的定義可推斷D選項.【詳解】對于A選項，，，因為，則、不共線，A錯；對于B選項，的單位向量為，B錯；對于C選項，，，所以，與夾角的余弦值是，C錯；對于D選項，設(shè)為平面的法向量，則，取，則，，所以，平面的一個法向量為，D對.故選：D.10.下列說法正確的是（）A.直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積是2B.直線的傾斜角為C.過，兩點(diǎn)的直線方程為D.直線在軸上截距是【答案】ABD【解析】【分析】A確定直線在坐標(biāo)軸上截距，再求面積即可推斷；B由斜率確定傾斜角大小即可；C依據(jù)兩點(diǎn)式運(yùn)用前提推斷；D令即可得軸上截距.【詳解】A：由直線方程知：其在x、y軸截距分別為，故該直線與坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為2，對；B：由直線斜率為1，即傾斜角正切值為1，依據(jù)傾斜角范圍為，則傾斜角大小為，對；C：僅當(dāng)時，直線才能表示為，錯；D：令，則，故在軸上截距是，對.故選：ABD11.已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角是B.若直線，則C.直線過定點(diǎn)D.過與直線平行的直線方程是【答案】CD【解析】【分析】對選項A，依據(jù)，即可判定A錯誤，對選項B，依據(jù)斜率相乘不等于-1，即可判定B錯誤，對選項C，變形直線方程得到，即可判定C正確，對選項D，設(shè)所求直線方程，再代入點(diǎn)，即可推斷D正確.【詳解】對選項A，直線，，，故A錯誤；對選項B，直線，，，故B錯誤；對選項C，直線，，恒過，故C正確.對選項D，設(shè)直線平行的直線方程是，把代入得：，解得，所以所求直線方程，故D正確.故選：CD12.在棱長為的正方體中中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列命題正確的是（）A.異面直線和所成的角為定值B.直線和平面平行C.三棱錐的體積為定值D.直線和平面所成的角為定值【答案】ABC【解析】【分析】由線面垂直的判定可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可知A正確；依據(jù)，結(jié)合線面平行的判定可得B正確；結(jié)合平行關(guān)系，可由體積橋得到，由此可得C正確；依據(jù)線面角的定義可確定所求角，依據(jù)正切值不為定值可知D錯誤.【詳解】對于A，四邊形為正方形，；平面，平面，，又平面，，平面，平面，，異面直線和所成角為定值，A正確；對于B，，平面，平面，平面，又平面，平面即為平面，平面，B正確；對于C，由B知：平面，，平面平面，平面，平面，，，即三棱錐的體積為定值，C正確；對于D，設(shè)，由A知：平面，即為直線和平面所成的角，，不是定值，不是定值，即直線和平面所成的角不是定值，D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，的中點(diǎn)是，則等于________【答案】【解析】【分析】依據(jù)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.【詳解】因為點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)和點(diǎn)B(－，1)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)M(1,1)和點(diǎn)N(0，－2)，若l1與l2沒有公共點(diǎn)，則實數(shù)a的值為________．【答案】－6【解析】【分析】分別依據(jù)斜率公式求出兩條直線的斜率，再依據(jù)兩直線平行，斜率相等即可求出a的值．【詳解】直線l2經(jīng)過點(diǎn)M（1，1）和點(diǎn)N（0，﹣2），∴==3，∵直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣1）和點(diǎn)B（﹣，1），∴==﹣，∵l1與l2沒有公共點(diǎn)，則l1∥l2，∴﹣=3，解得a=﹣6，故答案為﹣6．【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線平行的條件，斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．15.將正方形沿對角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時，異面直線與所成的角為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可知，當(dāng)最大時，平面平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得異面直線夾角.詳解】依據(jù)題意可知，當(dāng)最大時，平面平面，設(shè)的中點(diǎn)為，連接建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，令，則，，因此所以異面直線與所成的角為故答案為：【點(diǎn)睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，詳細(xì)步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．16.如圖所示，在直平行六面體中，，，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到平面的距離為________.【答案】【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離計算，即可得答案；【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，∴.∴點(diǎn)到平面的距離.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離，考查運(yùn)算求解實力，求解時留意坐標(biāo)系的建立.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知，，，，，求：（1），，；（2）與所成角的余弦值．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)空間向量平行公式與垂直公式求解即可；（2）依據(jù)空間向量夾角公式求解即可.【小問1詳解】因為，故，解得，故，.由可得，解得，故.【小問2詳解】，，故與所成角的余弦值.18.如圖，在直三棱柱中，，，，，是的中點(diǎn).（1）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）求的長（3）求證：.【答案】（1）坐標(biāo)系見解析，，（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，即可得到所求點(diǎn)的坐標(biāo).（2）依據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可..（3）依據(jù)，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.所以，【小問2詳解】，，，.【小問3詳解】，.，，，所以.19.已知中，點(diǎn)，，.（1）求直線的方程；（2）求邊的高線所在的直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）依據(jù)直線垂直的結(jié)論和點(diǎn)斜式方程即可得到答案.【小問1詳解】由題意可知，直線的斜率，故直線的方程為即，【小問2詳解】邊的高線的斜率，故直線邊的高線的方程為，即.20.如圖，正方形與梯形所在的平面相互垂直，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求點(diǎn)到面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）依題意可以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量共面定理可證明共面，即可證明平面；（2）由空間向量數(shù)量積為零可證明，，再由線面垂直的判定定理即可證明平面.（3）利用點(diǎn)到平面距離的空間向量求法即可.【小問1詳解】∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.以為原點(diǎn)，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.∵為的中點(diǎn)，∴，則，，，∴，故，，共面.又平面，∴平面.【小問2詳解】，，，∵，∴又，∴又，，平面，∴平面.【小問3詳解】由（2）知為平面的法向量，則點(diǎn)到面的距離.21.（1）過點(diǎn)，且斜率為的直線的一般式方程方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；（3）經(jīng)過點(diǎn)且與軸，軸正半軸分別交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）或；（3）12【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式，化成一般式即可.（2）截距相等分兩種狀況探討，截距相等且是0，設(shè)為,或者截距相等不是0，設(shè)為，代入求解即可.（3）設(shè)直線截距式方程，可得，由基本不等式可得，可得的面積最小值.【詳解】（1）利用點(diǎn)斜式可得：直線的方程為：，化為：.（2）截距相等不是0時，可設(shè)直線方程為，直線的方程經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入上式，得：，∴直線的方程為：.截距相等且是0時，設(shè)直線為，直線的方程經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入上式，得，即.∴經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為或；（3）設(shè)直線方程為，直線的方程經(jīng)過點(diǎn)，代入，所以，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時，等號成立，所以.22.如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，側(cè)面是邊長為的正三角形，且平面底面.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)證得平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，再求得平面的一個法向量