數(shù)學(xué)與建筑數(shù)學(xué)與藝術(shù)之?dāng)?shù)學(xué)與建筑建筑中往往涉及到數(shù)學(xué)中的幾何學(xué)問(wèn)，因?yàn)榻嵌?、距離等都是建筑中必需考慮的問(wèn)題，同時(shí)建筑中還是的美學(xué)、力學(xué)等學(xué)問(wèn)．中午不少出名的建筑和一些聞名的幾何體，也和我們中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)相關(guān)呢．一、好題賞析例1．1．北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板（稱(chēng)為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下比中層多729塊，則第三層（即下層）共有扇面形石板（

）A．1539塊 B．1863塊C．3402塊 D．3339塊例2．2．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希臘宏大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家.后人依據(jù)他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球（如圖所示），該球與圓柱的兩個(gè)底面及側(cè)面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.若該球的體積為，則圓柱的體積為（

）A． B． C． D．二、小試牛刀3．東寺塔與西寺塔為“昆明八景”之一，兩塔一西一東，遙遙相對(duì)，已有1100多年歷史．東寺塔基座為正方形，塔身有13級(jí)，塔頂四角立有四只銅皮做成的鳥(niǎo)，俗稱(chēng)金雞，所以也有“金雞塔”之稱(chēng)．如圖，在A(yíng)點(diǎn)測(cè)得：塔在北偏東30°的點(diǎn)處，塔頂?shù)难鼋菫?0°，且點(diǎn)在北偏東60°．相距80（單位：），在點(diǎn)測(cè)得塔在北偏西60°，則塔的高度約為（

）A．69 B．40 C．35 D．234．中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點(diǎn)是屋頂為單檐四角攢（cuán）尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近30°，若取，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為48mB．正四棱錐的高為4mC．正四棱錐的體積為D．正四棱錐的側(cè)面積為5．?dāng)€尖頂是中國(guó)傳統(tǒng)建筑屋頂表現(xiàn)手法，多用于面積不大的建筑，如故宮的中和殿．?dāng)€尖依據(jù)脊數(shù)多少，分三角攢尖頂、四角攢尖頂、六角攢尖頂、八角攢尖頂，具有較強(qiáng)的藝術(shù)裝飾效果．一建筑屋頂想接受攢尖形式，有三種設(shè)計(jì)方案，三角攢尖，四角攢尖，八角攢尖，若將三種方案中屋頂分別看成正三棱錐，正四棱錐，正八棱錐的側(cè)面，且各正棱錐底面面積相同，各正棱錐側(cè)面與底面所成角相等．那么三種設(shè)計(jì)中正棱錐側(cè)面積最小的為（

）A．三角攢尖 B．四角攢尖 C．八角攢尖 D．面積一樣大6．江西南昌的滕王閣，位于南昌沿江路贛江東岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑．因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，流芳后世，被譽(yù)為“江南三大名樓”之首（另外兩大名樓分別為岳陽(yáng)的岳陽(yáng)樓與武漢的黃鶴樓）．小張同學(xué)為測(cè)量滕王閣的高度，選取了與底部水平的直線(xiàn)，將自制測(cè)量?jī)x器分別放置于，兩處進(jìn)行測(cè)量．如圖，測(cè)量?jī)x器高，點(diǎn)與滕王閣頂部平齊，并測(cè)得，，則小張同學(xué)測(cè)得滕王閣的高度為（

）A． B． C． D．7．八角紅樓是某?，F(xiàn)址上最早的教學(xué)大樓，她是一座三層的教學(xué)樓，中間是四層的八角樓，也是該校最具歷史意義的一幢建筑.“以八角紅樓為標(biāo)記，綠樹(shù)紅墻，借錫惠、運(yùn)輸河之景，形成大氣、美麗之校內(nèi)環(huán)境”是該校校內(nèi)的整體規(guī)劃指導(dǎo)思想，因此在此后的綜合教化樓等校內(nèi)建筑的設(shè)計(jì)中，大多都以坡屋頂、八角頂和八角紅樓相呼應(yīng)，形成了現(xiàn)在該校校內(nèi)建筑的整體風(fēng)格，給多數(shù)校友和國(guó)內(nèi)外來(lái)賓留下了深刻的印象，為迎接建黨100周年及110年校慶，學(xué)?？紤]更換樓項(xiàng)紅瓦，考慮到拼接重疊、各種可能的其他損耗及后期維護(hù)須要，打算按樓頂面積的1.5倍打算紅瓦，八角紅樓的樓頂可近似看成正八棱錐，正八棱錐的底面邊長(zhǎng)約為2m，高約為m.已知紅瓦整箱出售，每箱50片，每片規(guī)格為20cm×30cm，則學(xué)校至少須要選購(gòu) 紅瓦（

）A．10箱 B．11箱 C．12箱 D．13箱8．旅游區(qū)的玻璃棧道、玻璃橋、玻璃景觀(guān)臺(tái)等近年來(lái)熱搜不斷，因其驚險(xiǎn)刺激的體驗(yàn)備受追捧．某景區(qū)順應(yīng)趨勢(shì)，為擴(kuò)大營(yíng)收，打算在如圖所示的山峰和山峰間建一座空中玻璃觀(guān)景橋．已知兩座山峰的高度都是，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及，則兩座山峰之間的距離（

）A． B． C． D．9．法國(guó)羅浮宮玻璃金字塔外表呈正四棱錐形態(tài)（如圖所示），已知塔高，底寬，則塔身的表面積（精確到是（可能用到的參考數(shù)據(jù)：，A． B．C． D．10．第十屆中國(guó)花博會(huì)于2024年5月21日至7月2日在上海崇明舉辦，主題是“花開(kāi)中國(guó)夢(mèng)"，其標(biāo)記建筑世紀(jì)館以“蝶戀花”為設(shè)計(jì)理念，利用國(guó)際前沿的數(shù)字技術(shù)，突破物理空間局限，打造了一個(gè)萬(wàn)花競(jìng)放的虛擬絢麗空間，擁有全國(guó)跨度最大的自由曲面混凝土殼體，屋頂跨度達(dá)280米．圖1為世紀(jì)館真實(shí)圖，圖2是世紀(jì)館的簡(jiǎn)化圖．世紀(jì)館的簡(jiǎn)化圖可近似看成是由兩個(gè)半圓及中間的陰影區(qū)域構(gòu)成的一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，其中（，分別為半圓的圓心），線(xiàn)段與半圓分別交于C，，若米，米，，，，，則的長(zhǎng)約為（

）A．27米 B．28米 C．29米 D．30米11．墨斗由墨倉(cāng)?線(xiàn)輪?墨線(xiàn)（包括線(xiàn)錐）?墨簽四部分構(gòu)成，是中國(guó)傳統(tǒng)木工行業(yè)中極為常見(jiàn)工具.墨斗通常被用于測(cè)量和房屋建立等方面.它的原理是用浸有墨的蠶絲線(xiàn)在木石上畫(huà)下印記.小明受墨斗線(xiàn)的啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖所示的裝置.其中是一根棉線(xiàn)，兩端固定在垂直的架子上并能在所在的一支自由滑動(dòng)，下面墊有一張白紙.現(xiàn)小明在線(xiàn)段上隨機(jī)點(diǎn)下一滴墨并上下拖拽，，則白紙上的墨跡可能是下列哪種曲線(xiàn)的一部分？（

）A．拋物線(xiàn) B．雙曲線(xiàn) C．圓 D．橢圓12．蜂巢結(jié)構(gòu)精密，是通過(guò)優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化自然形成的．單蜂巢的橫截面為正六邊形，有人探討發(fā)覺(jué)，蜂巢橫截面結(jié)構(gòu)和科學(xué)論證的最“經(jīng)濟(jì)”平面簡(jiǎn)潔結(jié)構(gòu)完全一樣，最“經(jīng)濟(jì)”平面簡(jiǎn)潔結(jié)構(gòu)同時(shí)滿(mǎn)意以下兩點(diǎn)：（1）橫截面圖形由全等的正多邊形組成，且能無(wú)限無(wú)縫隙拼接（稱(chēng)此正多邊形具有同形結(jié)構(gòu)）；（2）邊長(zhǎng)為1的單個(gè)正邊形的面積與邊數(shù)之比最大．已知具有同形結(jié)構(gòu)的正（）邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，那么．給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A．； B．正三角形具有同形結(jié)構(gòu)；C．具有同形結(jié)構(gòu)的正多邊形有4個(gè)； D．與滿(mǎn)意的關(guān)系式為．13．圣·索菲亞教堂坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)記性建筑.1996年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物疼惜單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)之一.其中心主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱(chēng)之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)悟它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為米，在它們之間的地面上的點(diǎn)（、、三點(diǎn)共線(xiàn)）處測(cè)得樓頂．教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則小明估算索菲亞教堂的高度為_(kāi)_____米．14．鎮(zhèn)海中學(xué)大成殿具有悠久的歷史，始建于北宋年間，大成殿建筑美觀(guān)大氣，如圖：上建筑屋脊?fàn)钚w，下建筑是長(zhǎng)方體．假設(shè)屋脊沒(méi)有歪斜，即的中點(diǎn)在底面上的投影為矩形的中心點(diǎn)，，，，，，（長(zhǎng)度單位：米）．則大成殿的體積為_(kāi)_____（體積單位：立方米）．15．半正多面體亦稱(chēng)為“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，如圖所示．這是一個(gè)將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”花崗巖石凳，已知此石凳的棱長(zhǎng)為，則此石凳的體積是________．16．窗，古時(shí)亦稱(chēng)為牅，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國(guó)建筑文化中是一種獨(dú)具文化意蘊(yùn)和審美魅力的重要建筑構(gòu)件．如圖，是某古代建筑群的窗戶(hù)設(shè)計(jì)圖，窗戶(hù)的輪廓是邊長(zhǎng)為的正方形，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形拼接而成，則__________；的值為_(kāi)_________．17．鉸鏈又稱(chēng)合頁(yè)，是用來(lái)連接兩個(gè)固體并允許兩者之間做相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械裝置.鉸鏈可由可移動(dòng)的組件構(gòu)成，或者由可折疊的材料構(gòu)成.合頁(yè)主要安裝于門(mén)窗上，而鉸鏈更多安裝于櫥柜上.如圖所示，就是一個(gè)合頁(yè)的抽象圖，可以在變更，其中，正常把合頁(yè)安裝在家具上時(shí)，的變更范圍是.依據(jù)合頁(yè)的安裝和運(yùn)用閱歷可知，要使得安裝的家具門(mén)開(kāi)關(guān)并不受影響，在以為邊長(zhǎng)的正三角形區(qū)域內(nèi)不能有障礙物.（1）若時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)是多大時(shí)，求面積的最大值.參考答案：1．C【分析】首先，依據(jù)題意轉(zhuǎn)化為已知等差數(shù)列的公差求，再求的值.【詳解】由題意可知，從上到下，從內(nèi)到外，每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為，設(shè)上層有環(huán)，則上層扇面形石板總數(shù)為，中層扇面形石板總數(shù)為，下層扇面形石板總數(shù)為，三層扇面形石板總數(shù)為，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以構(gòu)成等差數(shù)列，公差為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，解得：，所以.故選：C2．C【分析】先由球的體積求得球的半徑，再依據(jù)圓柱的體積公式可求得答案.【詳解】解：因?yàn)樵撉虻捏w積為，設(shè)球的半徑為R，則，解得。所以圓柱的體積為：，故選：C.3．B【分析】依據(jù)題意構(gòu)造四面體C-ABD,再運(yùn)用線(xiàn)面位置關(guān)系及三角形相關(guān)學(xué)問(wèn)求解出相應(yīng)的線(xiàn)段長(zhǎng)即可.【詳解】如圖，依據(jù)題意，圖中平面ABD,,中，，又平面ABD，是直角三角形中，，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤故選：B.4．C【分析】在如圖所示的正四棱錐中，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，依據(jù)側(cè)棱長(zhǎng)和側(cè)面與底面所成的二面角可求底邊的邊長(zhǎng)，從而可求體高、側(cè)面積以及體積，據(jù)此可推斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】如圖，在正四棱錐中，為正方形的中心，，則為的中點(diǎn)，連接，則平面，，則為側(cè)面與底面所成的銳二面角，設(shè)底面邊長(zhǎng)為．正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近30°，取，∴，則，，．在中，，解得，故底面邊長(zhǎng)為，正四棱錐的高為，側(cè)面積為，體積．故選：C．5．D【分析】先分別表示出正三棱錐，正四棱錐，正八棱錐的底面積，再求出對(duì)應(yīng)的側(cè)面積，結(jié)合已知條件即可求解【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，底面中心到邊的距離為，底面積為,側(cè)面積為；設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，底面中心到邊的距離為，底面積為,側(cè)面積為；設(shè)正八棱錐的底面邊長(zhǎng)為，底面中心到邊的距離為，底面積為,側(cè)面積為；，，，因?yàn)榈酌娣e相同，所以，因?yàn)閭?cè)面與底面的夾角相等，設(shè)為，所以正三棱錐，正四棱錐，正八棱錐側(cè)面每個(gè)三角形的高分別為，所以，，，又，所以，所以側(cè)面積一樣大，故選：D6．B【分析】由三角形的性質(zhì)求得，得，然后由直角三角形中三角函數(shù)定義求得，從而可得滕王閣的高度．【詳解】解析：中，，又，所以，則，，故小張同學(xué)測(cè)得滕王閣的高度為．故選：B．7．B【分析】依據(jù)正八棱錐的底面為正八邊形，側(cè)面為8個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的高即為側(cè)面的側(cè)高，求得其側(cè)面積即可.【詳解】正八棱錐的底面為正八邊形，側(cè)面為8個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的高即為側(cè)面的側(cè)高，如圖所示：

∵，令，則，即，解得或（舍去）∴∴，∴所以學(xué)校至少須要選購(gòu) 紅瓦11箱，故選：B8．C【分析】由題意先求出，再由余弦定理求解即可【詳解】由題意可知：，，，由余弦定理得故選：C9．C【分析】由題意可得正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高，代入棱錐表面積公式求解．【詳解】如圖，正四棱錐，底面，，，則，所以，作，則所以該塔身的表面積故選：．10．B【分析】由已知求出半圓半徑，再求出中各個(gè)角，利用正弦定理即可求解.【詳解】，，，又，，所以，則，則半圓半徑為，，，，又，所以，，，在中，由正弦定理可得，即，解得米.故選：B.11．CD【分析】構(gòu)建坐標(biāo)系，引入墨滴的坐標(biāo)，求出其軌跡的方程即可.【詳解】當(dāng)墨滴在線(xiàn)段端點(diǎn)時(shí)，拖動(dòng)的軌跡是直線(xiàn)的一部分，但沒(méi)有答案可選，故考慮墨滴在線(xiàn)段中不包含端點(diǎn)的處，構(gòu)建如圖的坐標(biāo)系，設(shè)，為定值，并過(guò)作軸，垂足為，由相像關(guān)系：，這里，則，則，，由，得到，又，故當(dāng)時(shí)，軌跡是圓的一部分，，軌跡是橢圓的一部分.故選：CD.12．ABD【分析】由已知計(jì)算，可推斷A；由已知得，，可以推斷BCD.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)BCD，邊形的內(nèi)角和為，正邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，所以，又，故，故，所以，.所以BD正確，C不正確，故選：ABD.13．【分析】本題首先可以在直線(xiàn)三角形中求出米，然后在中利用正弦定理求出米，最終在直角三角形中通過(guò)即可求出結(jié)果.【詳解】在直線(xiàn)三角形中，，即，解得米，在中，，，，則，即，解得米，在直角三角形中，，即，解得米，故索菲亞教堂的高度為米，故答案為：.14．6800【分析】首先將幾何體進(jìn)行分割，然后分別求得各部分的體積即可確定大成殿的體積．【詳解】大成殿下面的部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，上面的部分可以分割為一個(gè)三棱柱和兩個(gè)四棱錐，其中長(zhǎng)方體的體積，三棱柱的體積：，四棱錐的體積：，故大成殿的體積：．故答案為：6800．15．【分析】依據(jù)題意，該石凳是由棱長(zhǎng)為cm的正方體沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的，故由正方體的體積減去個(gè)三棱錐的體積，即可求解.【詳解】解：由圖可知：該石凳是由棱長(zhǎng)為cm的正方體沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的，該石凳的體積為：.故答案為：.16．

0【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)與軸正方向的夾角為，表示出、、點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)，得到，即可求出、，即可求出、點(diǎn)的坐標(biāo)，再依據(jù)平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得；【詳解】解：依據(jù)正方形的