6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算[目標(biāo)導(dǎo)航]核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.了解向量的數(shù)乘的概念,并理解這種運(yùn)算的幾何意義2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律,會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法,并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線向量的問(wèn)題1.通過(guò)向量數(shù)乘運(yùn)算知識(shí)的形成過(guò)程,體會(huì)概念及性質(zhì)的產(chǎn)生發(fā)展的過(guò)程,達(dá)成數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)2.通過(guò)向量共線定理的學(xué)習(xí)與應(yīng)用,培養(yǎng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)新知導(dǎo)學(xué)·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育新知導(dǎo)學(xué)·素養(yǎng)啟迪1.向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義:規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa.它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下:①|(zhì)λa|=

;②當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向

;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向

.|λ||a|相同相反①λ(μa)=

a;②(λ+μ)a=

;③λ(a+b)=

.特別地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.(3)向量的線性運(yùn)算:向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.2.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使

.(λμ)(2)運(yùn)算律:設(shè)λ,μ為任意實(shí)數(shù),則有λa+μaλa+λbb=λa小試身手B1.(2a-b)-(2a+b)等于(

)A.a-2b B.-2b

C.0 D.b-a解析:原式=2a-2a-b-b=-2b.故選B.DB4.已知a與b共線,且方向相同,若|a|=8|b|,則a=

b.

解析:因?yàn)閍與b共線,且方向相同,所以a=λb(λ>0),所以|a|=|λb|=|λ||b|.又|a|=8|b|,所以|λ|=8(λ>0).所以a=8b.答案:8課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一數(shù)乘運(yùn)算的定義及其幾何意義[例1]已知λ,μ∈R,且a≠0,則在以下各命題中,正確命題的個(gè)數(shù)為(

)①λ<0,λa與a的方向一定相反;②λ>0,λa與a的方向一定相同;③λ≠0時(shí),λa與a是共線向量;④λμ>0時(shí),λa與μa的方向一定相同;⑤λμ<0時(shí),λa與μa的方向一定相反.A.2 B.3 C.4 D.5解析:根據(jù)實(shí)數(shù)λ與向量a的積λa的方向規(guī)定,易知①②③都是正確的;對(duì)于④,由λμ>0可得λ,μ同為正或同為負(fù),所以λa和μa都與a同向,或者都與a反向,所以λa與μa是同向的,故④正確;對(duì)于⑤,由λμ<0可得λ,μ異號(hào),所以λa和μa中,一個(gè)與a同向,另一個(gè)與a反向,所以λa與μa是反向的,故⑤正確.故選D.方法技巧(1)當(dāng)λ>0時(shí),λa與a同向;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a反向(a≠0).(2)當(dāng)λ=0且a≠0時(shí),或當(dāng)λ≠0且a=0時(shí),λa=0,注意是0,而不是0.即時(shí)訓(xùn)練1-1:(1)(多選題)設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),下列說(shuō)法中正確的是(

)A.a與-λa的方向相反B.|-λa|=λaC.a與λ2a方向相同D.|-2λa|=2|λ||a|解析:(1)由已知可得若λ<0,則a與-λa的方向相同,故A錯(cuò)誤;由于實(shí)數(shù)與向量不能比較大小,故B錯(cuò)誤;a與λ2a方向相同,故C正確;D中|-2λa|=2|λ||a|正確.故選CD.答案:(1)CD(2)已知a,b為兩個(gè)非零向量,則下列說(shuō)法正確的是

.(填序號(hào))

①2a與a的方向相同,且2a的模是a的模的兩倍;③-3a與3a是一對(duì)相反向量;④a-b與-(b-a)是一對(duì)相反向量.答案:(2)①②③探究點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算[例2]化簡(jiǎn)下列各式:解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.解:(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.方法技巧向量線性運(yùn)算的基本方法(1)類比法:向量的數(shù)乘運(yùn)算可類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算.例如,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形在向量的數(shù)乘中同樣適用,但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看作向量的系數(shù).(2)方程法:向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用解方程的方法求解,同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察,恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律,簡(jiǎn)化運(yùn)算.探究點(diǎn)三向量共線的判定及應(yīng)用方法技巧(1)證明或判斷三點(diǎn)共線的方法(2)利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求λ,常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.若兩向量不共線,必有向量的系數(shù)為零,利用待定系數(shù)法建立方程,從而解方程求得λ的值.即時(shí)訓(xùn)練3-1:設(shè)向量a,b不共線,向量λa+b與a+2b共線,則實(shí)數(shù)λ=

.課堂達(dá)標(biāo)BA3.化簡(jiǎn)4(a-3b)-6(-2b-a)=