2020年中考數(shù)學(xué)人教版專題復(fù)習(xí)：相交線

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂直、點(diǎn)到直線的距離等概念；

2.能夠利用對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和垂直的定義解答有關(guān)角的問題;

3.掌握垂線的兩個(gè)性質(zhì)，體會(huì)其性質(zhì)的應(yīng)用；

4.了解“三線八角”，為學(xué)習(xí)平行線打下基礎(chǔ).

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，垂線的定義和性質(zhì).

難點(diǎn)：怎樣確定同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.

三、考點(diǎn)分析：

本節(jié)的主要考點(diǎn)是：(1)對(duì)頂角的概念及其性質(zhì)的應(yīng)用；(2)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)

角這三類角的識(shí)別;(3)應(yīng)用垂線的性質(zhì)解決實(shí)際問題，其中與生活實(shí)際聯(lián)系密切的應(yīng)用題、

跨學(xué)科綜合題、最短路徑題是中考命題的方向.對(duì)本節(jié)知識(shí)的考查通常以填空題和選擇題的

形式出現(xiàn).

知識(shí)梳理

1.相交線

(1)鄰補(bǔ)角：如圖①，兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有一條公共邊且另一邊互為

反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.如圖②，鄰補(bǔ)角也可以看成是一條直線與端點(diǎn)在這條直線

上的一條射線組成的兩個(gè)角.鄰補(bǔ)角具有特殊的位置關(guān)系，是兩角互補(bǔ)的特例.

(2)對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系

的兩個(gè)角互為對(duì)頂角.對(duì)頂角相等.

2.垂線

(1)垂直的概念

當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一

條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足.如圖③，直線AB、CD互相垂直，記作

AB_LCD或CD_LAB,若垂足為點(diǎn)。，記作AB_LCD,垂足為?；駻B_LCD于點(diǎn)0.

根據(jù)兩直線垂直的定義可知：因?yàn)镹AOD=90°,所以AB_LCD于。；反過來，因?yàn)锳B

_LCD于。，所以/AOD=90°.

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.如圖④，線段PB的長(zhǎng)

度是點(diǎn)P到直線/的距離.

C

A---------3--------B

0

D

③

(2)垂線的性質(zhì)

過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

3.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

如圖⑤所示，直線AB、CD與EF相交(也可以說兩條直線AB、CD被第三條直線EF所

截)，構(gòu)成的八個(gè)角中，具有/I與N5這樣的位置關(guān)系的角稱為同位角.同位角的特征：在

被截兩直線的同一方向;在截線的同旁.圖中N2與/6,Z3與N7,Z4與N8也是同位角.具

有/4與/6這樣的位置關(guān)系的角稱為內(nèi)錯(cuò)角.內(nèi)錯(cuò)角的特征：在被截兩直線之間；在截線

的兩旁.圖中Z3和N5也是內(nèi)錯(cuò)角.具有N4和N5這樣位置關(guān)系的角稱為同旁內(nèi)角.同旁

內(nèi)角的特征：在被截兩直線之間；在截線的同旁.圖中/3和N6也是同旁內(nèi)角.

2^

3/4

6/

C-----7^

F⑤

典例精析

知識(shí)點(diǎn)一：相交線

例1.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.Na的鄰補(bǔ)角與/a的和是180°

B.對(duì)頂角的角平分線在一條直線上

C.相等的角是對(duì)頂角

D.同一個(gè)角的兩個(gè)鄰補(bǔ)角是對(duì)頂角

思路分析：

題意分析：本題考查對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的定義與性質(zhì).

解題思路：由鄰補(bǔ)角的定義可知A和D是正確的，對(duì)于B,如圖所示，因?yàn)锳B、CD相交于

點(diǎn)0,根據(jù)對(duì)頂角相等，得NA0C=NB0D,則它們的一■半也相等，即N1=N2,因?yàn)镹COD

是一條直線，所以N1+NEOD=180°,Z2+ZEOD=180°,即OE與OF構(gòu)成平角，所以

OE、OF在同一條直線上，對(duì)于C,相等的角不一定是對(duì)頂角，如圖，Z1=Z3,但它們不

是對(duì)頂角.

解答過程：C

解題后的思考：①幾何問題通過畫圖來幫助分析可使問題更有直觀性.如圖所示，畫AB、

CD交于點(diǎn)0,畫NAOC的平分線0E,NBOD的平分線OF.②判斷OE、OF是否在一條直線

上，要看它們是否構(gòu)成一個(gè)平角.③要說明某一結(jié)論是錯(cuò)的，只需舉一個(gè)反例即可.

例2.如圖所示，AB與CD相交于點(diǎn)。，0E平分NAOD,ZAOC=120°.求NBOD、Z

AOE的度數(shù).

思路分析：

題意分析：如圖所示，NA0C與NB0D是對(duì)頂角，NA0D與NA0C是鄰補(bǔ)角，ZAOE=ZDOE

1

,/AOD.

解題思路：/BOD與NA0C是對(duì)頂角，可得NBOD的度數(shù).由于/AOC與NA0D是鄰補(bǔ)角，

可得NA0D的度數(shù).又由于0E平分ZA0D,可得NAOE的度數(shù).

解答過程：已知AB與CD相交于點(diǎn)。，

由對(duì)頂角相等，得：ZBOD=ZAOC=120°,

由鄰補(bǔ)角的定義可得：ZAOD=180°-ZA0C=180o-120°=60°,

又因?yàn)?E平分/AOD,

11

所以NAOE=5/AOD=5X60。=30°

解題后的思考：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)揭示了兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，因此，我們要善于觀察圖

形，利用這種數(shù)量關(guān)系求角.

例3.如圖所示，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)0,ZAOF=3ZFOB,ZAOC=90°.求/

EOC的度數(shù).

D

F

思路分析:

題意分析：本題考查鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角性質(zhì)的應(yīng)用.

解題思路：由觀察圖形可知，NAOF與/FOB是鄰補(bǔ)角，/BOF與NAOE是對(duì)頂角，利用它

們的性質(zhì)和已知條件可求得/EOC的度數(shù).

解答過程：設(shè)/BOF=x,則/AOF=3x.

由鄰補(bǔ)角的定義可得：x+3x=180。.

解方程得x=45°,即NBOF=45°.

由對(duì)頂角相等，得NAOE=/BOF=45°,

BPZEOC=ZAOC-ZAOE=90°-45°=45°.

解題后的思考：有關(guān)圖形的計(jì)算題常借用方程來求解.一般地，有類似NAOF=3/FOB這

樣的條件時(shí)，引入未知數(shù)構(gòu)建方程較好.

小結(jié)：在兩條直線相交所形成的四個(gè)角中，相鄰的是鄰補(bǔ)角，相對(duì)的是對(duì)頂角，理解鄰補(bǔ)角

和對(duì)頂角時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是位置關(guān)系，二是數(shù)量關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)二：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

例4.如圖所示，寫出圖中/I的同位角.

/b

4

3/2

思路分析:

題意分析：要準(zhǔn)確地找出所有的同位角，就必須做到不重復(fù)、不遺漏，而出現(xiàn)同位角的條件

必須是兩條直線被第三條直線所截.

解題思路：由題意知，與N1構(gòu)成同位角的三條直線只可能是a、b、/i或a、b、卜，當(dāng)直線

h.12被直線?；騜所截時(shí)，Z1不具有形成同位角的位置特征.

解答過程：(1)當(dāng)三條直線為。、b、/i時(shí)，①直線。、/i被直線b所截，得/I的同位角是

Z2；②直線b、/i被直線。所截，得N1的同位角是23.(2)當(dāng)三條直線為a、b、/2時(shí)，

①直線。、匕被直線b所截，得N1的同位角是/4；②直線b、〃被直線。所截，得/I的同

位角是/5.圖中N1的同位角共有4個(gè)，Z2.Z3.Z4.Z5.

解題后的思考：解答這類題時(shí)，先確定截線和被截的兩條直線，再根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同

旁內(nèi)角的位置特征來找.

例5.如圖所示，已標(biāo)出8個(gè)角，其中內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角各有幾對(duì)？

思路分析：

題意分析：本題考查對(duì)內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的理解.

解題思路：可依據(jù)內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的特征來確定.

解答過程：內(nèi)錯(cuò)角有4對(duì)：N1與N7,N2與/8,/4與N7,/3與N6.

同旁內(nèi)角有7對(duì)：N1與N8,N2與/7,N2與N3,N3與N7,N4與N5,N4與

Z6,與N6.

解題后的思考：在找圖形中的內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角時(shí)，要抓住特點(diǎn)，掌握其順序方法，做到不

重、不漏.

小結(jié)：在兩條直線被第三條直線所截形成的八個(gè)角中，同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角具有不同

的位置特征，但在數(shù)量關(guān)系上并沒有要求.如果在數(shù)量上存在某種特殊關(guān)系，那么這三條直

線就會(huì)存在某種特殊的位置關(guān)系，這正是下一講要學(xué)的內(nèi)容.

知識(shí)點(diǎn)三：垂線

例6.（1）如圖①所示，AC±/i，AB1/2，垂足分別為點(diǎn)A、B,則點(diǎn)A到直線/2的距

離是線段的長(zhǎng)度.

（2）如圖②所示，POXOR,0Q1PR,能表示點(diǎn)到直線（或線段）的距離的線段有

__________條.

思路分析：

題意分析：表示點(diǎn)到直線的距離必須明確是哪一點(diǎn)到哪一條直線的距離，注意不要被圖形中

無關(guān)的點(diǎn)和線段混淆視線而盲目作答.

解題思路：（1）題要求找點(diǎn)A到直線/2的距離，即是找點(diǎn)A到直線/2的垂線段，顯然線段

AB符合要求.（2）這是一道幾何計(jì)數(shù)問題，實(shí)際上是找點(diǎn)到線段的距離，注意，不要漏點(diǎn)、

漏線.

解答過程：（1）AB；（2）5.P0表示點(diǎn)P到OR的距離；PQ表示點(diǎn)P到0Q的距離；R0表

示點(diǎn)R到0P的距離；RQ表示點(diǎn)R到0Q的距離；0Q表示點(diǎn)0到PR的距離.

解題后的思考:表示點(diǎn)到線段的距離時(shí)，要明確是點(diǎn)到該線段所在的直線的距離.如下圖中，

CF表示點(diǎn)C到線段AB的距離，BE表示點(diǎn)B到線段AC的距離.

c

例7.如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)。，OM±AB.

(1)若N1=N2,求NNOD的度數(shù)；

1

(2)若Nl=w/BOC,求/MOD的度數(shù).

思路分析：

題意分析：若兩條直線垂直，那么它們所得的四個(gè)角中每個(gè)角都是90°,在計(jì)算角的度數(shù)

時(shí)，根據(jù)需要選用一個(gè)即可.

解題思路：由己知條件和觀察圖形，可知N1與/COA互余，又Nl=/2,即可推出N2與

/COA互余，利用這些關(guān)系可求出/NOD；由/1=(/BOC,而NBOC=/1+90°,即可求

出N1的度數(shù).

解答過程：(1)由OMJ_AB可得，NBOM=NAOM=90°,

而NAOM=N1+NAOC、Z1=Z2.

所以/AOM=/2+/AOC=90°.

又因?yàn)?2+/AOC=NCON,

所以NCON=90°，而NNOD=/COD—/CON.

所以NNOD=180°-90°=90°.

(2)由題意可得/BOC—/1=90°,

1

所以NBOC-W/BOC=90°,所以NBOC=120°,

11

Zl=^ZB0C=-X120o=30。.

所以NMOD=NCOD-/1=180°—30°=150°.

解題后的思考：在有關(guān)角的計(jì)算問題中，根據(jù)條件給出的角與角的關(guān)系，利用方程的思想方

法進(jìn)行角的相關(guān)計(jì)算.

例8.某人騎自行車在直線形的公路AB上由A向B行進(jìn)，M、N是分別位于AB兩側(cè)的

村莊.

(1)設(shè)此人騎行到公路AB上點(diǎn)P的位置時(shí)，距離村莊M最近；騎行到點(diǎn)Q的位置時(shí)，

距離村莊N最近，請(qǐng)?jiān)趫D中的公路上分別畫出P、Q的位置(保留畫圖痕跡).

(2)當(dāng)自行車從A出發(fā)向B行進(jìn)時(shí)，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村越來越

近？在哪一段路上，距離村莊N越來越近，而離村莊M卻越來越遠(yuǎn)？(分別用文字表述你

的結(jié)論，不必證明)

思路分析：

題意分析：本題考查：①點(diǎn)到直線的距離的定義，垂線段最短；②兩點(diǎn)的距離的定義：③作

圖能力；④應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能