4.2.2對(duì)數(shù)運(yùn)算法則基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則1.若a>0且a≠1,x>0,n∈N+,給出下列各式:①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;③logax=-loga1x;④⑤log其中正確的有()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)2.(2024廣東深圳期中)已知m>0,n>0,ln22m+ln2n=ln2,則2m+n的值是()A.2B.1C.ln2D.-13.(2024重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)若lga,lgb是方程2x2+4x+1=0的兩個(gè)根,則lgaA.4B.2C.14.(2023天津耀華中學(xué)月考)計(jì)算:lg52+23lg8+lg5×lg20+(lg2)2=題組二換底公式5.(2022山東菏澤期末)1614年納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明對(duì)數(shù);1637年笛卡兒開(kāi)始使用指數(shù)運(yùn)算;1770年,歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)間的互逆關(guān)系,指出:對(duì)數(shù)源于指數(shù),對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù).若2x=52,lg2≈A.1.322B.1.410C.1.507D.1.6696.(2022山東威海期末)若2a=5b=10,則2aA.2B.4C.5D.107.(2024天津南開(kāi)中學(xué)期末)計(jì)算:loga2+loga0.5-log225×log34×log59=.

8.已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,loga2=logb3=π,則log3a·log2b=.

題組三對(duì)數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用9.已知a,b,c是△ABC的三邊,且關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則△ABC的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形10.(2024江西贛州期中)某工廠新購(gòu)置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備,使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放,以減少對(duì)空氣的污染.已知過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位:mg/L)與過(guò)濾時(shí)間t(單位:h)的關(guān)系為P(t)=P0e-kt(P0,k是正實(shí)數(shù)).若經(jīng)過(guò)10h過(guò)濾后消除了20%的污染物,則污染物減少50%大約需要(參考數(shù)據(jù):log25≈2.322)()A.30hB.31hC.32hD.33h11.(2024江蘇泰州期中)1859年,德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某給定值的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題,并得到小于數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)可以表示為π(x)≈xlnx的結(jié)論.根據(jù)歐拉得出的結(jié)論,估計(jì)104以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為(素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù),lgeA.1085B.2085C.2869D.8686能力提升練題組一對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用1.若x,y,z都是大于1的正數(shù),m>0,logxm=24,logym=40,log(xyz)m=12,則logzm的值為()A.12.(2024江蘇徐州期中)設(shè)a=lg6,b=lg20,則log43=()A.a3.若x,y,z是正實(shí)數(shù),且2x=3y=5z,則()A.3x>4y>6zB.3x>6z>4yC.4y>6z>3xD.6z>4y>3x4.(2024福建廈門期中)912lo5.(2024重慶一中期末)設(shè)p>0,q>0,滿足log2p=log4q=log8(2p+q),則pq=6.(2023江蘇常州十校調(diào)研)若b>a>1且3logab+6logba=11,則a3+2b-1的最小值為7.設(shè)方程log(3x)3+log27(3x)=-43的兩個(gè)根分別為a和b,則a+b的值為8.(2024江蘇南通期中)(1)計(jì)算lg3lg4(2)已知x,y,z為正數(shù),若3x=4y=6z,求yz題組二對(duì)數(shù)運(yùn)算的綜合應(yīng)用9.(2024遼寧丹東期中)血氧飽和度是指血液中被氧氣結(jié)合的血紅蛋白占總血紅蛋白的百分比,即血液中血氧的濃度,它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般不低于95%,95%以下為供氧不足.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi),可以用指數(shù)模型:S(t)=S0eKt描述血氧飽和度S(t)(單位:%)隨給氧時(shí)間t(單位:h)的變化規(guī)律,其中S0為初始血氧飽和度,K為參數(shù).已知S0=60,給氧1h后,血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達(dá)到正常值,則給氧時(shí)間至少還需要約(取ln2=0.69,ln3=1.10,ln19=2.94)()A.0.54hB.0.64hC.0.74hD.0.84h10.(1)甲、乙兩人同時(shí)解關(guān)于x的方程log3x-blogx3+c=0,甲寫錯(cuò)了常數(shù)b,得兩根為3,19,乙寫錯(cuò)了常數(shù)c,得兩根為1(2)因?yàn)?10=1024∈(103,104),所以210的位數(shù)為4(一個(gè)自然數(shù)數(shù)位的個(gè)數(shù),稱為位數(shù)).請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)過(guò)的對(duì)數(shù)運(yùn)算的知識(shí),判斷20192020的位數(shù).(參考數(shù)據(jù):lg2019≈3.305)

答案與分層梯度式解析4.2.2對(duì)數(shù)運(yùn)算法則基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.A2.B3.B5.A6.C9.B10.B11.A1.A根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則logaMα=αlogaM(M>0,a>0且a≠1)知③與⑤正確.2.B由ln22m+ln2n=ln(22m×2n)=ln22m+n=ln2(m>0,n>0),得2m+n=1.3.B由題意可知,lga+lgb=-2,lga·lgb=12所以lgab2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lga·4.答案3解析原式=2lg5+23×3lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg5×lg2+(lg2)2=2+1-lg2+lg2×(1-lg2)+(lg2)25.A∵2x=52,6.C∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510.∴ab7.答案-8解析原式=loga(2×0.5)-log252×log322×log532=loga1-8log25×log32×log53=-8×ln5ln28.答案1解析由題意得log3a·log2b=lga9.B由題意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lga+1]=0,化簡(jiǎn)得2lga-lg(c2-b2)=0,所以lga2c2-b2=0,所以a2c210.B由題意,知經(jīng)過(guò)10h過(guò)濾后還剩余80%的污染物,則0.8P0=P0e-10k,解得e10k=54設(shè)污染物減少50%大約需要th,則0.5P0=P0e-kt,即ekt=2,則(e10k)t=210,即54t=2兩邊取對(duì)數(shù)得tlog254=10,因此t=10lo11.A由題可知104以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為π(104)≈10000ln10000=10000故選A.能力提升練1.B2.C3.B9.B1.B依題意得logmx=124logm(xyz)=112?logmx+logmy+logmz=1∴l(xiāng)ogmz=112∴l(xiāng)ogzm=60,故選B.2.C由a=lg6,b=lg20,可得a=lg6=lg2+lg3,b=lg20=lg10+lg2=1+lg2,聯(lián)立lg2+lg3=a,1+lg2=b,3.B令2x=3y=5z=t,t>1,則x=log2t=lgt∴3x-6z=3lgt即3x>6z;6z-4y=23lgt即6z>4y.∴3x>6z>4y.故選B.4.答案8解析原式=9log910+5.答案1解析由log2p=log4q可知log2p=log2q由log2p=log8(2p+q)可知log2p=log2(2消去q得p2-p-2=0,解得p=2或p=-1(舍去),當(dāng)p=2時(shí),q=4,所以pq6.答案22+1解析∵3logab+6logba=11,即3logab+6lo∴3(logab)2-11logab+6=0,即(3logab-2)(logab-3)=0,∴l(xiāng)ogab=23或loga又b>a>1,∴l(xiāng)ogab>1,∴l(xiāng)ogab=3,∴a3=b,∴a3+2b-1=b?1+2b-1+1≥2∴a3+2b-1的最小值為27.答案10解析利用對(duì)數(shù)的換底公式把方程log(3x)3+log27(3x)=-43化為1∴(1+log3x)2+4(1+log3x)+3=0,∴1+log3x=-1或1+log3x=-3,∴l(xiāng)og3x=-2或log3x=-4,∴x=19或x=18.解析(1)原式=lg32lg2(2)令3x=4y=6z=a,則a>0,所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,所以yz9.B當(dāng)t=1時(shí),S(1)=60eK=80,得K=ln8060令S(t)=S0eKt≥95,即60eKt≥95,化簡(jiǎn)得Kt≥ln9560所以t≥ln19?ln12ln8?ln6=因?yàn)橐呀?jīng)給氧1h,所以給氧時(shí)間至少還需要約0.64h.10.解析(1)由題意可得(log3x)2+clog3x-b=0,所以log33+log319log381×log3127所以原方程為(log3x)2+log3x-12=0,所以log3x=-4或log3x=3,所以x=181或x=27,故這個(gè)方程的根為27或1(2)解法一:設(shè)10k<20192020<10k+1,k∈N+,兩邊取常用對(duì)數(shù),得k<lg20192020<k+1,因此k<2020lg2019<k+1,又lg2019≈3.305,所以k<2020×3.305<k+1,