微專題09巧妙借助復數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：單模長最值問題題型二：多模長之和差最值問題題型三：模長的范圍問題【方法技巧與總結(jié)】求復數(shù)模的范圍與最值問題是熱點問題，其解題策略是：（1）把復數(shù)問題實數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實數(shù)范圍內(nèi)，求模的范圍與最值問題來解決；（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；（3）利用三角函數(shù)解決.【典型例題】題型一：單模長最值問題【典例1-1】（2024·高一·江蘇蘇州·期末）設(shè)是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．9【典例1-2】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）在復平面內(nèi)，復數(shù)滿足，i為虛數(shù)單位，則的最小值為．【變式1-1】（2024·高一·湖南長沙·期末）已知復數(shù)滿足，則的最小值是.【變式1-2】（2024·高一·全國·單元測試）已知，求的最大值和最小值分別為.【變式1-3】（2024·高一·全國·單元測試）若|，則的最小值為.題型二：多模長之和差最值問題【典例2-1】（2024·上海浦東新·模擬預測）已知復數(shù)，其中.則的最小值為.【典例2-2】（2024·浙江·高一嘉興一中校聯(lián)考）已知復數(shù)滿足，求的最小值______．【變式2-1】（2024·全國·高三專題練習）已知復數(shù)滿足，則的最小值為_________.【變式2-2】著名的費馬問題是法國數(shù)學家皮埃爾·德費馬（1601-1665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”費馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于120°時，則使得的點即為費馬點．根據(jù)以上材料，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型三：模長的范圍問題【典例3-1】（2024·全國·高一專題練習）若，則取值范圍是___．【典例3-2】（2024·高一課時練習）已知復數(shù)滿足，則的取值范圍是______.【變式3-1】（2024·浙江寧波·高一效實中學?？迹┮阎獜蛿?shù)，其中為虛數(shù)單位.(1)當，且是純虛數(shù)，求的值；(2)當時，求的取值范圍.【變式3-2】（2024·山西晉中·高二榆次一中校考開學考試）已知z為復數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2024·全國·高三專題練習）復數(shù)z滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【過關(guān)測試】1．（2024·高一·廣東廣州·期末）瑞士數(shù)學家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式．根據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．B．的最大值為2C．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限D(zhuǎn)．若，在復平面內(nèi)分別對應點，，則面積的最大值為2．（多選題）（2024·高一·海南省直轄縣級單位·期末）已知復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點為，復數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點的坐標為B．（為的共軛復數(shù)）C．的最大值為D．的最小值為3．（多選題）（2024·高一·河北石家莊·期末）下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若復數(shù)滿足，則C．若，則復數(shù)一定為實數(shù)D．若復數(shù)滿足，則最大值為4．（多選題）（2024·高一·廣東東莞·階段練習）設(shè)z為復數(shù)，則下列命題中正確的是（）A． B．C．若，則的最大值為2 D．若復數(shù)，則5．（多選題）（2024·高一·江蘇無錫·期末）（多選）在復平面內(nèi)，下列說法正確的是（

）A．若復數(shù)z滿足，則 B．若復數(shù)、滿足，則C．若，且，則 D．若，則的最大值為6．（多選題）（2024·高一·重慶江津·期末）已知復數(shù)，，則（

）A． B．若，則的最大值為2.C． D．在復平面內(nèi)對應的點在第二象限7．（2024·高一·江蘇鹽城·階段練習）在復平面內(nèi)，已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），記對應的點為點，z對應的點為點，則點與點之間距離的最小值8．（2024·高一·遼寧·階段練習）已知復數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為．9．（2024·高一·遼寧·期末）已知復數(shù)z滿足，則的最大值為．10．（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）若，且滿足，則的最大值為.11．（2024·高一·遼寧遼陽·期末）設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，若，則的最大值為．12．（2024·高一·上海寶山·期末）已知，則的最大值是.13．（2024·高一·上海浦東新·期末）如果復數(shù)滿足，那么的最大值是.14．（2024·福建福州·